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钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百卷目录

 测量部汇考一
  上古〈黄帝有熊氏一则〉
  周〈总一则〉
  汉〈文帝二则〉
  后汉〈总一则〉
  晋〈总一则〉
  梁〈总一则〉
  北魏〈世宗宣武帝一则〉
  隋〈文帝开皇一则 炀帝大业一则〉
  唐〈高宗麟德一则 仪凤一则 元宗开元三则〉
  后周〈世宗显德一则〉

历法典第一百卷

测量部汇考一

上古

黄帝宥熊氏,始置灵台,以为测候之所。
《史记·五帝本纪》不载 按《事物纪原》云云。

周制,以土圭测影。
《周礼·地官》:大司徒以土圭之法测土深,正日景,以求地中。日南则景短,多暑;日北则景长,多寒;日东则景夕,多风;日西则景朝,多阴。日至之景,尺有五寸,谓之地中。
〈订义〉史氏曰:虞以璿玑玉衡,齐七政,求天之中。周以土圭正日景,求地之中。中于天地者,为中国先王之建国,所以致意焉。然必以玉为之,以其温润、廉洁,受天地之中气,以类而求类也。郑康成曰:土圭所以致四时日月之景,测犹度也。不知广深,故曰测。郑司农曰:测土深,谓南北东西之深。王氏曰:土圭之法,所以度天之高,四方之广,测土之深。举测土深,则天与四方可知矣。郑锷曰:凡地之远近里数,侵入则谓之深。土圭尺有五寸耳,日景于地千里而差一寸。尺有五寸之土圭,则可以探一万五千里。而地与星辰,四游升降于三万里之中,故以半三万里之法而测之也。愚尝闻土圭测日之法于师,今载于此。冬夏二至,昼漏正中立一表以为中,东西南北各立一表。其取中表皆以千里为率,其表则各以八尺为度。于表之傍立一尺五寸之土圭焉。日南者,南表也。昼漏正而中表之景已与土圭等,其南方之表则于表南得一尺四寸之景,不及土圭之长。是其地于日为近南故。其景短,南方偏乎阳,则知其地之多暑。日北者,北表也。昼漏正而中表之景已与土圭等,其北方之表则于表北得一尺六寸之景,有过乎土圭之长。是其地于日为近北故。其景长,北方偏乎阴,则知其地之多寒。日东者,东表也。昼漏正而中表景正矣。东表之景已跌,是其地于日为近东故。昼而得夕时之景也。箕者,东方之宿,箕星好风,则知其地之多风。日西者,西表也。昼漏正而中表景正矣。西表之景犹未中,是其地于日为近西故。昼而得朝时之景也。毕者,西方之宿,毕宿好雨,故知其地之多阴。阴虽未必雨,然阴则雨意也。凡此皆偏于一方,非建王国之所也。愚按:此即发明疏说,考之洛诰,但言卜河朔黎水、涧水、瀍水、惟洛食而已。未闻置四表于千里之外。疏又谓:今颍川阳城县周公度景之处,古迹犹存,不知四方立表之迹,果何地乎。此未足信也。日月之行,分同道也,至相过也。景晷相过则有可候之理,故致日必以冬夏。今建国测景只于夏至而不于冬至,以冬至景长三尺,过于土圭之制。未若夏至之日昼漏之半,立八尺之表。表北尺有五寸,正与土圭等,则为地中故。于此时植之以表,测之以圭。假如表北得尺四寸,是地于日为近,南景短于表。南为阳,粤地常多暑。假如表北得尺六寸,是地于日为近,北景长于表。北为阴,燕地常多寒。正中时表其景已跌,是地于日为近,东先夕景也。东近海,卑下故多飓风。正中时表其景未中,是地于日为近,西犹朝景也。西则近山幽阴,故多积雪。多者,不得夫气之中,而偏胜之谓日南日北。盖假借言之,以證必如下文。地中斯无偏胜之患。若以四表而验中表之正,万一与土圭不协,四方相去各千里,而遥必非顷刻所能取会。苟失其时,地中何时而可求耶。

《夏官》:土方氏上士五人,下士十人,府二人,史五人,胥五人,徒五十人。
〈订义〉项氏曰:土方者,主土度四方之地。贾氏曰:主
四方邦国之事,与职方,连类在此。〈以下至形方并同〉

掌土圭之法,以致日景,以土地相宅,而建邦国都鄙。
〈订义〉黄氏曰:地形广远,不可度量,故有土圭之法。今九章犹有钩股存焉。郑锷曰:冬夏至颍川阳城昼漏半,立八尺之表。夏至于表北得尺五寸之景,冬至于表北得丈三尺之景,皆为地中,此建国所用也。若建诸侯国则不用此,何则。景一寸差千里,一分则百里。封侯国之大者,不过五百里,何取于土圭之寸耶。亦取其分而已。若建小国,又取其分以为小分也。一分百里,男国也,亦大都也。二分二百里,子国也。若小都五十里则为小分五分,大夫。二十五里则为小分二分半,所谓建邦国都鄙也。
郑康成曰:土地犹度地,知东西南北之深而相
其可居者,宅居也。李嘉会曰:知其风土,以相国君居民之所宅。盖宅里所居,必阴阳纳藏,风气合聚,如禹贡所云四隩既宅是也。郑锷曰:土方氏所掌,与大司徒以土圭正日景,冯相氏之致日致月不同。大司徒建王国而用土圭以测土深,求天地之中。冯相氏欲知四时之气。土方氏专建诸侯之国,不过用土圭以度其地之远近广狭而已。

以辨土宜土化之法,而授任地者。
〈订义〉黄氏曰:所谓景短多寒,景长多暑,景朝多阴,景夕多风,土宜土化,由是而有其法焉。郑康成曰:土宜谓九谷植稚所宜也,土化地之轻重,粪种所宜用也。任地者,载师之属。刘氏曰:谓授其地以任之耕种者。郑锷曰:大司徒有土宜之法,草人有土化之法,用是法以授夫任地之人,则非特治王畿千里之地有法,而治诸侯之地亦有法,何患职贡之不供哉。王昭禹曰:大司徒以土圭之法测土深,正日景以求地中。凡建邦国以土圭土其地,而土方氏则辅成,司徒建国之事而已。大司徒掌土宜之法而土方氏亦辨土宜土化之法,则辅相司徒草人任土粪种之事而已。司徒草人所掌止于王畿,而土方氏所掌则及于四方。

《考工记》
匠人

匠人建国。
〈订义〉郑锷曰:梓匠轮舆皆工之巧,而梓人与轮舆只能为、器为车而已。至于为工而从事于斧斤者,匠也。攻木攻土无所不能,是以谓之匠。陈用之曰:大司徒以土圭之法求地中,主天地之中而言焉。匠人建国水地视景,昼参夜考。又将求王国之中,

水地以县。
〈订义〉赵氏曰:县者,谓于造城之处,四角立四柱于柱四畔,垂绳以正柱。柱正然后去柱远,以水平之法望柱高下。定,即知地之高下。然后平高就下,地乃平也。盖地高则柱高,柱高则映于水之影短。水地者,于柱四角之中掘地,贮水以望柱也。毛氏曰:谓于地之四边掘而为沟,以围绕之,而注水于其中。水之浅深相似不偏。则虽不平,高下依水以为平矣。然水所注须臾乾焉。故既依水以得其平,又以绳依水而县之。水虽乾而绳存,则不复资于水也,以绳为正足矣。此县宜以绳相牵连,而县于水之上也。郑锷曰:天下之至平莫如水,将以知地之高下,则用水而视之。天下之至直莫如绳,将以知槷之邪正,则用绳而视之。谓之水地以县者,既度地而筑之,未知其高下,乃用水以望之也。然水可以望高下,必以绳而验之。用水以平地,立柱以悬绳观水矣。而又观绳,则平与直皆可知也。

置槷以县,视以景。
〈订义〉毛氏曰:水地之县,求地之平也。既得平矣,宜辨方以正。东西南北之所在,正之如何。置槷以县而已。夫立槷以致日景而正四方,槷或不正,则景从而差。先王垂其绳以正其槷,而后视其所致之景焉。上言水地以县以依水而横县之也。此言置槷以县则直,县之而已。郑锷曰:八尺之表,谓之槷。槷与《书》所谓臬司之臬同,皆法也。八尺之表则法之所在也。赵氏曰:唯置槷平,直则冬至夏至,日出入景或尺五寸,或一丈三尺,皆可视矣。置水于地,置槷于地,必假绳而后正,故皆以县焉。陈用之曰:谓之水,与司徒所谓土其地者同。以测其土之深,故谓之土;以求诸水之平,故谓之水。

为规识日出之景,与日入之景。
〈订义〉毛氏曰:识谓记之也。此申明上文视景之义,大抵平地。宜以水,水在地而近人审之为易,辨方宜以日月在天而远人审之为难,故置县槷以致其景而视之也。然日不暂停,晷亦随之。槷虽能致其景,而又随其出入之景,而规识之如是。则日虽在槷,而槷所以得之者,规画之识而已。此言规犹轮,人之言矩其阴阳也。矩与规方圆不同,皆为刻画之称。郑锷曰:记景之法必画为规者,盖规圆而
矩方惟因其圜,然后中屈之。郑康成曰:度两交之间中,屈之以指槷规之交处,则东西正也。于两交之间中,屈之指槷,又知南北正也。易氏曰:又于四旁之地为规圜之势,昼以识之,日出于东,其景在西,则识其出景之端。日入于西,其景在东,则识其入景之端。景之两端既定,中屈其所量之绳,而两者相合,则地中可验。

昼睹诸日中之景,夜考之极星,以正朝夕。
〈订义〉赵氏曰:昼是昼漏半正午时。此时日正行在天之中。虽不正在天中行,然必在极旁。行及夜后极星则日去极远近可验。夜正是夜半三更,正子之时,极星谓北辰。正当天极中,以居天之中,众星所拱者,谓之极。极言中也。易氏曰:又虑所规之不正也。复以出入之景与日中之景三者相参,故曰参。又虑所参之或偏也,复以日中之景与极星之度两者相考,故曰考。且极星之度何与于日月之景,凡以验日景之中而已。盖夏至日在南,陆躔于东,井去极六十六度有奇,而其景尺有五寸。冬至日在北,陆躔于牵牛,去极一百一十六度有奇,而其景丈有三尺。春分日在西,陆躔于娄。秋分日在东,陆躔于角,去极九十一度有奇,而其景均焉。观日躔去极之远近以验四时,考四时日景之短长以求地中,则东西可正。王昭禹曰:昼参日景所以正其朝也,夜考极星所以正其夕也。陈用之曰:朝主东言,夕主西言。东西正,则南北可从而正矣。东西南北位皆正,则中可求矣。郑锷曰:昼参日中之景,所以求地之中。夜考天之极星,所以求天之中。如是则可以正朝夕,国当天地之中,四方各正。当朝则朝,当夕则夕。早晚晷刻,不失之先,不失之后,于此而为天子之居,以受百官之朝,则朝不废朝,暮不废夕。自非辨方正位之初,克正朝夕,安能至此。

文帝后三年,以庚辰岁冬至,为历元,立仪表,以测日景长短。
《汉书·文帝本纪》不载 按《后汉书·律历志》:汉高皇帝受命四十有五岁,阳在上章,阴在执徐。冬十有一月甲子夜半朔旦,冬至日月皆自此始。立
元正朔,谓之汉历。乃立仪表以校日景。景长则日远,天度之端也。日发其端,周而为岁。〈按《尔雅》:太岁在庚日,上章在辰日,执
徐汉受命以来,文帝后三年,岁在庚辰,故编于后三年

〉后汉

《后汉历》二十四气,晷景长短
《后汉书·律历志》黄道去极,日景之生,据仪表也。漏刻之生以去极,远近差乘节气之差,如远近而差一刻以相增损。昏明之生,以天度乘昼漏夜漏减三百而一为定度,以减天度,馀为明加定度一为昏。其馀四之如法为少,不尽三之如法为强,馀半法以上以成强。强三为少,少四为度。其强二为少,弱也。又以日度馀为少,强而各加焉。
二十四气:
冬至晷景丈三尺
小寒晷景丈二尺三寸
大寒晷景丈一尺
立春晷景九尺六寸
雨水晷景七尺九寸五分
惊蛰晷景六尺五寸
春分晷景五尺二寸五分
清明晷景四尺一寸五分
谷雨晷景三尺二寸
立夏晷景二尺五寸三分
小满晷景尺九寸八分
芒种晷景尺六寸八分
夏至晷景尺五寸
小暑晷景尺七寸
大暑晷景二尺
立秋晷景二尺五寸五分
处暑晷景三尺三寸三分
白露晷景四尺三寸五分
秋分晷景五尺五寸
寒露晷景六尺八寸五分
霜降晷景八尺四寸
立冬晷景丈四寸二分
小雪晷景丈一尺四寸
大雪晷景丈二尺五寸六分

《晋历》二十四气,晷景长短
《晋书·天文志》:夫天之昼夜以日出没为分,人之昼夜以昏明为限。日未出二刻半而明,日入二刻半而昏,故损夜五刻以益昼,是以春秋分漏昼五十五刻。三光之行,不必有常术,术家以算求之,各有同异,故诸家历法参差不齐。《洛书·甄曜度》《春秋·考异邮》皆云:周天一百七万一千里,一度为二千九百三十二里七十一步二尺七寸四分四百八十七分分之三百六十二。陆绩云:天东西南北,径三十五万七千里。此言周三径一也。考之径一不啻周三,率周百四十二而径四十五,则天径三十二万九千四百一里一百二十二步二尺二寸一分七十一分分之十。《周礼》:日至之景尺有五寸,谓之地中。郑众说:土圭之长尺有五寸,以夏至之日立八尺之表,其景与土圭等,谓之地中,今颍川阳城地也。郑元云:凡日景于地,千里而差一寸,景尺有五寸者,南戴日下万五千里也。以此推之,日当去其下地八万里矣。日邪射阳城,则天径之半也。体圆如弹丸,地处天之半,而阳城为中,则日春秋冬夏,昏明昼夜,去阳城皆等,无盈缩矣。故知从日邪射阳城,为天径之半也。以句股法言之,旁万五千里,句也;立八极万里,股也;从日邪射阳城,弦也。以句股求弦法入之,得八万一千三百九十四里三十步五尺三寸六分,天径之半而地上去天之数也。倍之,得十六万二千七百八十八里六十一步四尺七寸二分,天径之数也。以周率乘之,径率约之,得五十一万三千六百八十七里六十八步一尺八寸二分,周天之数也。减甄曜度、考异邮五十五万七千三百一十二里有奇。一度凡千四百六里二十四步六寸四分十万七千五百六十五分分之万九千四十九,减旧度千五百二十五里二百五十六步三尺三寸二十一万五千一百三十分分之十六万七百三十。分黄赤二道,相与交错,其间相去二十四度。以南仪推之,二道俱三百六十五度有奇,是以知天体员如弹丸也。而陆绩造浑象,其形如鸟卵,然则黄道应长于赤道矣。绩云天东西南北径三十五万七千里,然则绩亦以天形正员也,而浑象为鸟卵,则为自相违背。古旧浑象以二分为一度,凡周七尺三寸半分。张衡制,以四分为一度,凡周一丈四尺六寸。蕃以古制局小,星辰稠穊,衡器伤大,难可转移,更制浑象,以三分为一度,凡周天一丈九寸五分分之三也。按《律历志》:冬至晷景丈三尺三寸 小寒晷景丈二尺三寸 大寒晷景丈一尺 立春晷景九尺六寸雨水晷景七尺九寸五分 惊蛰晷景六尺五寸五分 春分晷景五尺二寸五分 清明晷景四尺一寸五分 谷雨晷景三尺二寸 立夏晷景二尺五寸三分 小满晷景尺九寸八分 芒种晷景尺六寸八分 夏至晷景尺五寸 小暑晷景尺七寸大暑晷景二尺 立秋晷景二尺五寸五分 处暑晷景二尺三寸三分 白露晷景四尺二寸五分秋分晷景五尺五寸二分 寒露晷景六尺八寸五分 霜降晷景八尺四寸 立冬晷景丈八寸二分
小雪晷景丈一尺四寸 大雪晷景丈二尺五寸

六分

梁祖暅造铜表于嵩山,以测景。按《嵩高志》:观星台在测景台北,高五丈,阔三丈。台背面正中处凹入数尺,上下悬直,北有平石三十六。方面为二溜漕接连平铺至尽头,合通其制难晓。按:梁祖暅时造八尺铜表,其下与圭相连。圭上为沟,置水以取平正揆,测日晷求其盈缩。

北魏

世宗宣武帝正始四年冬,公孙崇表荐辛宝贵等,伺察晷度。诏从之。
《魏书·世宗本纪》不载 按《律历志》:正始四年冬,崇表曰:太史令辛宝贵职司元象颇闲秘数,秘书监郑道昭才学优赡,识览该密长兼国子博士。高僧裕乃故司空允之孙,世综文业。尚书祠部郎中宗景博涉经史,前兼尚书郎中崔彬微晓法术。请此数人在秘省参候而伺,察晷度要。在冬夏二至前后各五日,然后乃可取验。臣区区之诚,冀效万分之一。诏曰:测度晷象,考步宜审。可令太常卿芳率太学四门博士等,依所启者,悉集详察。

文帝开皇二十年,以袁充奏日长影短,诏皇太子徵天下历算之士。
《隋书·文帝本纪》不载 按《律历志》:开皇二十年,袁充奏:日长影短。高祖因以历事,付皇太子,遣更研详著日长之候。太子徵天下历算之士,咸集于东宫。刘焯以太子新立,复增修其书,名曰《皇极历》。駮正冑元之短。太子颇嘉之。未获考验。焯为太学博士,负其精博,志解胄元之印官。不满意,又称疾罢归。
炀帝大业三年,敕诸郡测影,不果。
《隋书·炀帝本纪》不载 按《天文志》:仁寿四年,河间刘焯造《皇极历》。上启于东宫,论浑天云:璿玑玉衡,正天之器,帝王钦若世传其象。汉之孝武,详考律历,纠洛下闳,鲜于妄人等,共所营定。逮于张衡,又寻述作。亦其体制,不异闳等。虽闳制莫存,而衡造有器。至吴时陆绩王蕃并要修铸。绩小有异,蕃乃事同。宋有钱乐之,魏初晁崇等总用铜铁,小大有殊,规域经模不异蕃造。观蔡邕月令章句,郑元注考,灵曜势同,衡法迄今不改。焯以愚管留情推测见其数制,莫不违爽失之千里,差若毫釐。大象一乖,馀何可验。况赤黄均度,月无出入至所。恒定气不别衡,分刻本差轮回守故,其为疏谬不可复言。亦既由理不明,致使异家间出。盖及宜夜三说并驱,平昕安穹四天腾沸,至当不二,理唯一揆。岂容天体七种殊说,又影漏去极,就浑可推,百骸共体。本非异物,此真已验。彼伪自彰,岂朗日未晖,爝火不息,理有而阙,讵不可悲者也。昔蔡邕自朔方上书曰:以八尺之仪,度知天地之象,古有其器而无其书。常欲寝伏仪下,案度成数而为立说。邕以负罪朔裔,书奏不许。邕若蒙许,亦必不能。邕才不踰张衡,衡本岂有遗思也。则有器无书,观不能悟。焯今立术改正旧浑,又以二至之影,定去极晷漏,并天地高远,星辰运周,所宗有本,皆有其率。祛今贤之巨惑,稽往哲之群疑。豁若云披,朗如雾散。为之错综,数卷已成。待得影差,谨更启送。又云:《周官》夏至日影,尺有五寸。张衡、郑元、王蕃、陆绩先儒等,皆以为影千里差一寸。言南戴日下万五千里,表影正同,天高乃异。考之算法,必为不可。寸差千里,亦无典说,明为意断,事不可依。今交爱之州,表北无影,计无万里,南过戴日,是千里一寸,非其实差。焯今说浑以道为率,道里不定,得差乃审。既大圣之年,升平之日,釐改群谬,斯正其时。请一水工并解算术士,取河南北平地之所,可量数百里。南北使正,审时以漏平地,以绳随气至分。同日度影,得其差率里,即可知。则天地无所匿其形,辰象无所逃其数。超前显圣,效象除疑。请勿以人废言不用。至大业三年,敕诸郡测影,而焯寻卒。事遂寝废。

高宗麟德二年,为木浑图,以测黄道。
《唐书·高宗本纪》不载 按《历志》:高宗时,戊寅历益疏,李淳风作甲子元历以献。诏太史起麟德二年颁用,谓之麟德历。古历有章、蔀,有元、纪,有日分、度分,参差不齐,淳风为总法千三百四十以一之。损益中晷术以考日至,为木浑图以测黄道,馀因刘焯皇极历法,增损所宜。当时以为密,与太史令瞿昙罗所上经纬历参行。
仪凤四年,遣太常博士姚元,立表于岳台。
《唐书·高宗本纪》不载 按《嵩高志·杜氏通典》云:仪凤四年五月,命太常博士姚元于阳城测景。台依古法,立八尺表。夏至日中测景尺有五寸,正同古法。
元宗开元九年,诏太史测天下之晷,求土中以为定数。
《唐书·元宗本纪》不载 按《天文志》:中晷之法。初,淳风造历,定二十四气中晷,与祖冲之短长颇异,然未知其孰是。及一行作大衍历,诏太史测天下之晷,求其土中,以为定数。其议曰:《周礼》大可,徒以土圭之法测土深。日至之景,尺有五寸,谓之地中。郑氏以为日景于地,千里而差一寸。尺有五寸者,南戴日下万五千里,地与星辰四游升降于三万里内,是以半之,得地中,今颍川阳城是也。宋元嘉中,南征林邑,五月立表望之,日在表北,交州影在表南三寸,林邑九寸一分。交州去洛,水陆之路九千里,盖山川回折使之然,以表考其弦当五千乎。
《大唐新语》:僧一行造黄道游仪以进,御制游仪铭付太史监,将向灵台上用以测候,分遣太史官驰驿往安南朗兖等州测候。日影同以二分二至之日午时量日影,皆数年方定。
开元十一年,诏太史南宫说,立石表于阳城。
《唐书·元宗本纪》不载 按《嵩高志》:测景台在告成镇,即古阳城地也。有石方可,仞馀耸立盈丈,上植石表八尺,刻其南曰:周公测景台按:《唐地理志》云:阳城有测景台,开元十一年,诏太史监南宫说刻石表焉,即今表是也。
开元十二年,测各处晷景,以校其差。
《唐书·元宗本纪》不载 按《天文志》:开元十二年,测交州,夏至,在表南三寸三分,与元嘉所测略同。使者大相元太言:交州望极,才高二十馀度。八月海中望老人星下列星粲然,明大者甚众,古所未识,乃浑天家以为常没地中者也。大率去南极二十度已上之星则见。又铁勒、回纥在薛延陀之北,去京师六千九百里,其北又有骨利干,居浣海之北,北距大海,昼长而夜短,既夜,天如曛不暝,夕胹羊髀才熟而曙,盖近日出没之所。太史监南宫说择河南平地,设水准绳墨植表而以引度之,自滑台始白马,夏至之晷,尺五寸七分。又南百九十八里百七十九步,得浚仪岳台,晷尺五寸三分。又南百六十七里二百八十一步,得扶沟,晷尺四寸四分。又南百六十里百一十步,至上蔡武津,晷尺三寸六分半。大率五百二十六里二百七十步,晷差二寸馀。而旧说王畿千里,影差一寸,妄矣。今以句股校阳城中晷,夏至尺四寸七分八釐,冬至丈二尺七寸一分半,定春秋分五尺四寸三分,以覆矩斜视,极出地三十四度十分度之四。自滑台表视之,极高三十五度三分,冬至丈三尺,定春秋分五尺五寸六分。自浚仪表视之,极高三十四度八分,冬至丈二尺八寸五分,定春秋分五尺五寸。自扶沟表视之,极高三十四度三分,冬至丈二尺五寸五分,定春秋分五尺三寸七分。上蔡武津表视之,极高三十三度八分,冬至丈二尺三寸八分,定春秋分五尺二寸八分。其北极去地,虽秒分微有盈缩,难以目校,大率三百五十一里八十步,而极差一度。极之远近异,则黄道轨景固随而变矣。自此为率推之,比岁武陵晷,夏至七寸七分,冬至丈五寸三分,春秋分四尺三寸七分半,以图测之,定气四尺四寸七分,按图斜视,极高二十九度半,差阳城五度三分。蔚州横野军夏至二尺二寸九分,冬至丈五尺八寸九分,春秋分六尺四寸四分半,以图测之,定气六尺六寸二分半。按图斜视,极高四十度,差阳城五度三分。凡南北之差十度半,其径三千六百八十八里九十步。自阳城至武陵,千八百二十六里七十六步;自阳城至横野,千八百六十一里二百十四步。夏至晷差尺五寸三分;自阳城至武陵,差七寸三分;自野城至横野,差八寸。冬至晷差五尺三寸六分,自阳城至武陵差二尺一寸八分;自阳城至横野,差三尺一寸八分。率夏至与南方差少,冬至与北方差多。又以图校安南,日在天顶北二度四分,极高二十度四分。冬至晷七尺九寸四分,定春秋分二尺九寸三分,夏至在表南三寸三分,差阳城十四度三分,其径五千二十三里。至林邑,日在天顶北六度六分彊,极高十七度四分,周圆三十五度,常见不隐。冬至晷六尺九寸,定春秋分二尺八寸五分,夏至在表南五寸七分,其径六千一百一十二里。若令距阳城而北,至铁勒之地,亦差十七度四分,与林邑正等,则五月日在天顶南二十七度四分,极高五十二度,周圆百四度,常见不隐。北至晷四尺一寸三分,南至晷二丈九尺二寸六分,定春秋分晷五尺八寸七分。其没地才十五馀度,夕没亥西,晨出丑东,校其里数,已在回纥之北,又南距洛阳九千八百一十五里,则极长之昼,其夕常明。然则骨利干犹在其南矣。吴中常侍王蕃考先儒所传,以戴日下万五千里为句股,斜射阳城,考周径之率以揆天度,当千四百六里二十四步有馀。今测日晷,距阳城五千里,已在戴日之南,则一度之广皆三分减二,南北极相去八万里,其径五万里。宇宙之广,岂若是乎。然则蕃之术,以蠡测海者也。古人所以恃句股术,谓其有證于近事。顾未知目视不能及远,远则微差,其差不已,遂与术错。譬游于太湖,广袤不盈百里,见日月朝夕出入湖中;及其浮于巨海,不知几千万里,犹见日月朝夕出入其中矣。若于朝夕之际,俱设重差而望之,必将大小同术,无以分矣。横既有之,纵亦宜然。又若树两表,南北相距十里,其崇皆数十里,置大炬于南表之端,而植八尺之本于其下,则当无影。试从南表之下,仰望北表之端,必将积微分之差,渐与南表参合。表首参合,则置炬于其上,亦当无影矣。又置大炬于北表之端,而植八尺之木于其下,则当无影。试从北表之下,仰望南表之端,又将积微分之差,渐与北表参合。表首参合,则置炬于其上,亦当无影矣。复于二表间更植八尺之木,仰而望之,则表首环屈相合。若置火炬于两表之端,皆当无影矣。夫数十里之高与十里之广,然犹斜射之影与仰望不殊。今欲凭晷差以指远近高下,尚不可知,而况稽周天里步于不测之中,又可必乎。

后周

世宗显德三年,树圭置箭,测岳台晷漏。
《五代史·世宗本纪》不载 按《司天考》古者,植圭于阳城,以其近洛也。盖尚慊其中,乃在洛之东偏。开元十二年,遣使天下候景,南距林邑,北距横野,中得浚仪之岳台,应南北弦,居地之中。大周建国,定都于汴。树圭置箭,测岳台晷漏,以为中数。晷漏正,则日之所至,气之所应,得之矣。




钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百一卷目录

 测量部汇考二
  宋一〈仁宗皇祐一则〉

历法典第一百一卷

测量部汇考二

宋一

仁宗皇祐年,诏周琮等改造圭表。
《宋史·仁宗本纪》不载。按《律历志》:观天地阴阳之体,以正位辨方、定时考闰,莫近于圭表。宋何承天始立表候日景。十年间,知冬至比旧用景初历常后天三日。又唐一行造大衍历,用圭表测知旧历气节常后天一日。今司天监圭表,乃石晋时天文参谋赵延乂所建。表既欹倾,圭亦垫陷,其于天度无所取正。皇祐初,诏周琮、于渊、舒易简改制之。乃考古法,立八尺铜表,厚二寸,博四寸,下连石圭一丈三尺,以尽冬至景长之数。面有双水沟为平准,于沟双刻尺寸分数,又刻二十四气岳台晷景所得尺寸,置于司天监。候之三年,知气节比旧历后天半日。因而成书三卷,命曰《岳台晷景新书》。论前代测候是非、步算之法颇详。既上奏,诏翰林学士范镇为序以识。琮以谓二十四气所得尺寸,比显德钦天历王朴算为密。今载气之盈缩,备采用焉。
小雪: 皇祐元年己丑十月十九日戊寅,新表测景长一丈一尺三寸五分,王朴算景长一丈一尺三寸九分,新法算景长一丈一尺三寸四分〈小分四十八〉。二年庚寅十月二十九日癸未〈云阴不测〉。三年辛卯十月十日戊子,新表测景长一丈一尺三寸,王朴算景长一丈一尺四寸七分,新法算景长一丈一尺二寸九分。〈小分九十八〉
大雪: 元年己丑十一月四日癸巳。〈云阴不测。〉二年庚寅十一月十五日戊戌,新表测景长一丈二尺四寸五分半,王朴算景长一丈二尺四寸五分,新法算景长一丈二尺四寸四分〈小分二十五〉
冬至: 元年己丑十一月十九日戊申,新法测景长一丈二尺八寸五分,王朴算景长一丈二尺八寸六分,新法算景长一丈二尺八寸五分。二年庚寅十一月三十日癸丑,新表测景长一丈二尺八寸四分,王朴算景长一丈二尺八寸六分,新法算景长一丈二尺八寸五分。三年辛卯十一月十二日己未〈云阴不测〉。小寒: 元年己丑十二月四日癸亥,新表测景长一丈二尺四寸,王朴算景长一丈二尺四寸八分,新法算景长一丈二尺四寸〈小分十五〉。二年庚寅闰十一月十五日戊辰〈云阴不测〉。三年辛卯十一月二十七日甲戌新表测景长一丈二尺三寸七分,王朴算景长一丈二尺四寸八分〈小分二十六〉
大寒: 元年己丑十二月十九日戊寅〈云阴不测〉。二年庚寅十二月一日甲申,新表测景长一丈一尺一寸七分,王朴算景长一丈一尺四寸四分,新法算景长一丈一尺一寸八分〈小分四十〉。三年辛卯十二月十二日己丑〈云阴不测〉
立春: 元年己丑正月六日甲午〈云阴不测〉。二年庚寅十二月十六日己亥〈云阴不测〉。三年辛卯十二月二十七日甲辰,新表测景长九尺六寸七分半,王朴算景长一丈一寸五分,新法算景长一丈六寸八分〈小分七〉。雨水: 二年庚寅正月二十一日己酉〈云阴不测〉。三年辛卯正月一日甲寅,新表测景长八尺一寸半分,王朴算景长八尺五寸,新法算景长八尺九寸〈小分七十六〉。四年壬辰正月十二日己未,新表测景长八丈一寸二分半,王朴算景长八尺六寸一分,新法算景长八尺一寸二分〈小分一十八〉
惊蛰: 二年庚寅二月七日甲子,新表测景长六尺六寸三分,王朴算景长六尺八寸五分,新法算景长六尺六寸三分〈小分三十九〉。三年辛卯正月十七日己巳,新表测景长六尺六寸五分,王朴算景长六尺八寸五分,新法算景长六尺六寸五分〈小分六十八〉。四年壬辰正月二十八日乙亥〈云阴不测〉
春分: 二年庚寅二月二十三日己卯,新表测景长五尺三寸五分,王朴算景长五尺二寸七分,新法算景长五尺三寸四分〈小分七十七〉。三年辛卯二月四日乙酉〈云阴不测〉。四年壬辰二月十四日庚寅,新表测景长五尺三寸一分,王朴算景长五尺二寸七分,新法算景长五尺三寸〈小分七十二〉
清明: 二年庚寅三月八日乙未,新表测景长四尺二寸,王朴算景长三尺八寸九分,新法算景长四尺一寸八分〈小分六十一〉。三年辛卯二月十九日庚子〈云阴不测〉。四年壬辰二月二十九日乙巳,新表测景长四尺二寸二分,王朴算景长三尺九寸六分,新法算景长四尺二寸一分〈小分八十五〉
谷雨: 二年庚寅三月二十三日庚戌〈云阴不测〉。三年辛卯三月四日乙卯,新表测景长三尺三寸,王朴算景长二尺九寸六分,新法算景长三尺二寸九分〈小分八十六〉。四年壬辰三月十五日庚申,新表测景长三尺三寸一分半,王朴算景长三尺一寸,新法算景长三尺三寸一分〈小分一十六〉
立夏: 二年庚寅四月九日乙丑,新表测景长二尺五寸七分,王朴算景长二尺三寸,新法算景长二尺五寸六分〈小分二十八〉。三年辛卯三月十九日庚午,新表测景长二尺五寸七分半,王朴算景长二尺三寸,新法算景长二尺五寸七分〈小分四十二〉。四年壬辰三月三十日乙亥,新表测景长二尺五寸八分半,王朴算景长二尺三寸四分,新法算景长二尺五寸八分〈小分四十四〉
小满: 二年庚寅四月二十四日庚辰,新表测景长二尺三分,王朴算景长一尺八寸六分,新法算景长二尺三分〈小分五十一〉。三年辛卯四月五日乙酉,新表测景长二尺三分半,王朴算景长一尺八寸六分,新法算景长二尺三分〈小分五十一〉。四年壬辰四月十六日辛卯〈云阴不测〉
芒种: 二年庚寅五月九日乙未,新表测景长一尺六寸九分,王朴算景长一尺六寸,新法算景长 尺六寸半分〈小分九十七〉。三年辛卯四月二十一日辛丑,新表测景长一尺六寸七分,王朴算景长一尺五寸九分,新法算景长一尺六寸七分〈小分八十四〉。四年壬辰五月二日丙午,新表测景长一尺六寸八分半,王朴算景长一尺六寸,新法算景长一尺一寸八分〈小分二十〉。夏至: 二年庚寅五月二十五日辛亥,新表测景长一尺五寸七分半,王朴算景长一尺五寸一分,新法算景长一尺五寸七分。三年辛卯五月七日丙辰〈云阴不测〉。四年壬辰五月十七日辛酉,新表测景长一尺五寸七分,王朴算景长一尺五寸一分,新法算景长一尺五寸七分。
小暑: 二年庚寅六月十一日丙寅〈云阴不测〉。三年辛卯五月二十二日辛未,新表测景长一尺六寸九分半,王朴算景长一尺六寸,新法算景长一尺六寸九分〈小分七十五〉。四年壬辰六月三日丙子〈云阴不测〉。大暑: 二年庚寅六月二十六日辛巳,新表测景长二尺四寸,王朴算景长一尺八寸五分,新法算景长二尺四寸〈小分九十七〉。三年辛卯六月七日丙戌。新表测景长二尺二分太,王朴算景长一尺八寸五分,新法算景长二尺四分〈小分二十四〉。四年壬辰六月十九日壬辰,新表测景长二尺五分,王朴算景长一尺八寸七分,新法算景长二尺六分〈小分五十三〉
立秋: 二年庚寅七月十一日丙申,新表测景长二尺五寸九分,王朴算景长二尺二寸九分,新法算景长二尺五寸九分〈小分五十一〉。三年辛卯六月二十三日壬辰,新表测景长二尺六寸一分半,王朴算景长二尺三寸三分,新法算景长二尺六寸二分〈小分七十三〉。处暑: 二年庚寅七月二十七日壬子〈云阴不测〉。三年辛卯七月九日丁巳,新表测景长三尺三寸六分,王朴算景长三尺,新法算景长三尺三寸六分〈小分六十五〉。四年壬辰七月十九日壬戌〈云阴不测〉
白露: 二年庚寅八月十三日丁卯〈云阴不测〉。三年辛卯七月二十四日壬申〈云阴不测〉。四年壬辰八月五日丁丑〈云阴不测〉
秋分: 二年庚寅八月二十八日壬午〈云阴不测〉。三年辛卯八月九日丁亥,新表测景长五尺三寸八分,王朴算景长五尺二寸一分,新法算景长五尺三寸八分〈小分六十九〉。四年壬辰八月二十日壬辰〈云阴不测〉。寒露: 二年庚寅九月十三日丁酉〈云阴不测〉。三年辛卯九月二十四日壬寅,新表测景长六尺六寸七分,王朴算景长六尺八分,新法算景长六尺六寸七分〈小分八十八〉。四年壬辰九月六日戊申,新表测景长六尺七寸三分半,王朴算景长六尺九寸一分,新法算景长六尺七寸四分〈小分八十四〉
霜降: 二年庚寅九月二十八日壬子,新表测景长八尺一寸六分,王朴算景长八尺四寸五分,新法算景长八尺一寸四分〈小分七十〉。三年辛卯九月十日戊午〈云阴不测〉。四年壬辰九月二十一日癸亥,新表测景长八尺二寸,王朴算景长八尺五寸六分,新法算景长八尺一寸九分〈小分六十六〉
立冬: 二年庚寅十月十四日戊辰,新表测景长九尺八寸半分,王朴算景长一丈一寸,新法算景长九尺八寸一分〈小分二十五〉。三年辛卯九月二十日癸酉,新表测景长九尺七寸九分,王朴算景长一丈一寸,新法算景长九尺七寸八分〈小分六十三〉。四年壬辰十月六日戊寅,新表测景长九尺七寸六分,王朴算景长一丈一寸,新法算景长九尺七寸六分〈小分一十〉。测景正加时早晚,后汉熹平三年,四分历志立冬中景长一丈,立春中景长九尺六寸。寻冬至南极,日晷最长,二气去至日数既同,则中景应等,而前长后短,顿差四寸。此历景冬至后天之验也。二气中景日差九分半弱,进退均调,略无盈缩,以率计之,二气各退二日十二刻,则晷景之数,立冬更短,立春更长,并差二寸,二气中景俱长九尺八寸矣,即立冬、立春之正日也。以此推之,历置冬至后天亦二日十二刻也。熹平三年,时历丁丑冬至,加时正在日中。以二日十二刻减之,定以乙亥冬至,加时在夜半后二十八刻。宋志大明五年十月十日,景一丈七寸七分半;十一月二十五日,景一丈八寸一分太。二十六日,一丈七寸五分强。折取其中,则中天冬至应在十一月三日求其早晚。今后二日景相减,则一日差率也,倍之为法。前二日减,以百刻乘之,为实。以法除实,得冬至加时在夜半后三十一刻,在元嘉历后一日,天数之正也。量检弥年,则加减均同。异岁相课,则远近应率。观二家之说,略而未通。熹平乃要取其中,而失于至前、至后之馀。大明则左右率,而失于为实、为法之数。若夫较景、定气,历家最为急务。观古较验,止以冬至前后数日之间,以定加时早晚。且景之差行,当二至前后,进退在微芒之间。又日有变行,盈缩稍异,若以为准,则加时相背。又晋、汉历术,多以前后所测晷要取其中,此亦差过半日。今比岁较验,在立冬、立春景移过寸,若较取加时,则宜以其相近者通计,半之为距至汎日;乃以其晷数相减,馀者以法乘之,满其日晷差而一,为刻;乃以差刻〈求冬至,视其前晷,多则为减,少则为加,求夏至返之。〉加减距至汎日,为定日;仍加半日之刻,命从前距日辰,算外,即二至加时日辰及刻分。如此推求,则二至加时早晚可验矣。
皇祐岳台晷景法,按大衍载日及崇天定差之率,虽号通密,然未能尽上下交应之理,则晷度无由合契。今立新法,使上符盈缩之行,下参句股之数,所算尺寸与天测验,无有先后。其术曰:计二至后日数,乃减去二至约馀,仍加半日之分,即所求日午中积数,而置之以求进退差分。
求进退差分者,置中积之数,如一象九十一日三十一分以下为在前;如一象以上,返减二至限一百八十二日六十一分,馀为在后。置前后度于上,列二百于下,以上减下,馀以下乘上,满四千一百三十五除之为分,不满,退除为小分。在冬至后则为进差,在夏至后则为退差。

仍列初、末二限。
求入初、末限者,置所求日午中积数,日在冬至后初限、夏至后末限之数四十五日六十二分以下,即为所求在初限;如在以上者,乃返减二至限,馀即为所求入末限。其冬至后末限、夏至后初限,以一百三十七日为率。

用求午中晷数。
求午中晷数者,视所求。如入冬至后初限、夏至后末限者,以入限日减一千九百三十七半,馀为汎差;仍以限日分乘其进退差,五因百约之,用减汎差,为定差;乃以日限日分自相乘,以乘定差,满一百万为尺,不满为寸、为分及小分,以减冬至常晷一丈二尺八寸五分,馀为其日午中晷数。若所求入冬至后末限、夏至后初限者,乃三约入限日分,以减四百八十五少,馀为汎差;仍以进退差减极数,馀者若在春分后、秋分前者,直以四约之,以加汎差,为定差;若在春分前、秋分后者,乃以去二分日数及分乘之,满六百而一,以减汎差,馀为定差,乃以入限日分自相乘,以乘定差,满一百万为尺,不满为寸、为分及小分,以加夏至常晷一尺五寸七分,即为其日午中晷数。若用周岁历,直以其日晷景损益差分乘其日午中之馀,满法约之,乃损益其下晷数,即其日午中定晷。

如此推求,则上下通应之理,句股斜射之原,皆可视验,乃具岳台晷景周岁算数。
冬至后       每日损差
每日午中晷景常数
初日        空分〈小分一十九〉
一丈二尺八寸五分
一日        空分〈小分五十八〉
一丈二尺八寸四分〈小分八十一〉
二日        空分〈小分九十六〉
一丈二尺八寸四分〈小分二十二〉
三日        一分〈小分三十五〉
一丈二尺八寸三分〈小分二十七〉
四日        一分〈小分七十二〉
一丈二尺八寸一分〈小分九十二〉
五日        二分〈小分七十一〉一丈二尺八寸〈小分一十九〉
六日        二分〈小分四十八〉
一丈二尺七寸八分〈小分八〉
七日        二分〈小分八十五〉
一丈二尺七寸五分〈小分六十〉
八日        三分〈小分二十一〉
一丈二尺七寸七分〈小分七十五〉
九日        三分〈小分五十八〉
一丈二尺六寸九分〈小分五十四〉
十日        三分〈小分九十二〉
一丈二尺六寸五分〈小分九十六〉
十一日       四分〈小分二十八〉
一丈二尺六寸二分〈小分三〉
十二日       四分〈小分二十二〉
一丈二尺五寸七分〈小分七十五〉
十三日       四分〈小分九十六〉
一丈二尺五寸三分〈小分一十三〉
十四日       五分〈小分二十九〉
一丈二尺四寸八分〈小分一十七〉
十五日       五分〈小分六十一〉
一丈二尺四寸二分〈小分八十八〉
十六日       五分〈小分九十一〉
一丈二尺三寸七分〈小分二十七〉
十七日       六分〈小分二十一〉
一丈二尺三寸一分〈小分三十五〉
十八日       六分〈小分五十二〉
一丈二尺二寸五分〈小分一十〉
十九日       六分〈小分八十一〉
一丈二尺一寸八分〈小分六十〉
二十日       七分〈小分九〉
一丈二尺七寸七分〈小分七十九〉
二十一日      七分〈小分三十六〉
一丈二尺四寸〈小分七十〉
二十二日      七分〈小分六十二〉
一丈一尺九寸七分〈小分三十四〉
二十三日      七分〈小分八十七〉
一丈一尺八寸九分〈小分七十三〉
二十四日      八分〈小分一十一〉
一丈一尺八寸一分〈小分八十五〉
二十五日      八分〈小分八十四〉
一丈一尺七寸三分〈小分七十四〉
二十六日      八分〈小分五十五〉
一丈一尺六寸五分〈小分四十〉
二十七日      八分〈小分七十三〉
一丈一尺五寸六分〈小分八十五〉
二十八日      九分〈小分空〉
一丈一尺四寸八分〈小分一十三〉
二十九日      九分〈小分一十四〉
一丈一尺三寸九分〈小分一十二〉
三十日       九分〈小分三十二〉
一丈一尺二寸九分〈小分九十八〉
三十一日      九分〈小分四十八〉
一丈一尺二寸〈小分六十六〉
三十二日      九分〈小分六十二〉
一丈一尺一寸一分〈小分十八〉
三十三日      九分〈小分七十六〉
一丈一尺一分〈小分五十五〉
三十四日      九分〈小分八十九〉
一丈九寸一分〈小分七十八〉
三十五日      一寸〈小分一〉
一丈八尺一寸〈小分六十九〉
三十六日      一寸〈小分一十二〉
一丈七寸一分〈小分八十八〉
三十七日      一寸〈小分二十〉
一丈六寸一分〈小分七十六〉
三十八日      一寸〈小分二十八〉
一丈五寸一分〈小分五十六〉
三十九日      一寸〈小分三十五〉
一丈四寸一分〈小分二十八〉
四十日       一寸〈小分四十〉
一丈三寸〈小分九十三〉
四十一日      一寸〈小分四十四〉
一丈二寸〈小分九十三〉
四十二日      一寸〈小分四十八〉
一丈一寸〈小分九〉
四十三日      一寸〈小分四十九〉
九尺九寸九分〈小分六十一〉
四十四日      一寸〈小分五十〉
九尺八寸九分〈小分一十三〉
四十五日      一寸〈小分五十七〉
九尺七寸八分〈小分六十二〉四十六日      一寸〈小分六十七〉
九尺六寸八分〈小分五〉
四十七日      一寸〈小分六十一〉
九尺五寸七分〈小分三十八〉
四十八日      一寸〈小分五十六〉
九尺四寸六分〈小分七十七〉
四十九日      一寸〈小分五十六〉
九尺三寸六分〈小分一十七〉
五十日       一寸〈小分五十二〉
九尺二寸五分〈小分六十七〉
五十一日      一寸〈小分四十九〉
九尺一寸五分〈小分九〉
五十二日      一寸〈小分四十五〉
九尺一寸五分〈小分九〉
五十三日      一寸〈小分四十一〉
八尺九寸四分〈小分一十八〉
五十四日      一寸〈小分三十八〉
八尺八寸三分〈小分七十七〉
五十五日      一寸〈小分三十二〉
八尺七寸三分〈小分三十九〉
五十六日      一寸〈小分三十七〉
八尺六寸三分〈小分七〉
五十七日      一寸〈小分二十七〉
八尺六寸二分〈小分八〉
五十八日      一寸〈小分一十九〉
八尺四寸二分〈小分五十七〉
五十九日      一寸〈小分一十二〉
八尺三寸二分〈小分三十八〉
六十日       一寸〈小分八〉
八尺二寸〈小分二十六〉
六十一日      一寸〈小分三〉
八尺一寸二分〈小分一十八〉
六十二日      九分〈小分九十七〉
八尺二分〈小分一十五〉
六十三日      九分〈小分九十一〉
七尺九寸二分〈小分一十八〉
六十四日      九分〈小分八十六〉
七尺八寸二分〈小分二十五〉
六十五日      九分〈小分八十一〉
七尺七寸二分〈小分三十九〉
六十六日      九分〈小分七十五〉
七尺六寸二分〈小分五十八〉
六十七日      九分〈小分六十九〉
七尺五寸二分〈小分八十三〉
六十八日      九分〈小分六十二〉
七尺四寸三分〈小分一十四〉
六十九日      九分〈小分五十七〉
七尺三寸三分〈小分五十二〉
七十日       九分〈小分五十一〉
七尺二寸三分〈小分九十五〉
七十一日      九分〈小分四十九〉
七尺一寸四分〈小分四十四〉
七十二日      九分〈小分三十八〉
七尺四分〈小分九十七〉
七十三日      九分〈小分三十一〉
六尺九寸五分〈小分六十一〉
七十四日      九分〈小分二十五〉
六尺八寸六分〈小分三〉
七十五日      九分〈小分一十七〉
六尺七寸七分〈小分五〉
七十六日      九分〈小分一十三〉
六尺六寸七分〈小分八十八〉
七十七日      九分〈小分六〉
六尺五寸八分〈小分七十五〉
七十八日      八分〈小分九十七〉
六尺四寸九分〈小分六十九〉
七十九日      八分〈小分九十〉
六尺四寸〈小分七十三〉
八十日       八分〈小分八十三〉
六尺三寸一分〈小分八十三〉
八十一日      八分〈小分七十七〉
六尺二寸三分〈小分空〉
八十二日      八分〈小分六十八〉
六尺一寸四分〈小分三十三〉
八十三日      八分〈小分六十二〉
六尺五分〈小分五十五〉
八十四日      八分〈小分五十五〉
五尺九寸六分〈小分九十三〉
八十五日      八分〈小分四十七〉
五尺八寸八分〈小分三十八〉
八十六日      八分〈小分三十九〉五尺七寸九分〈小分九十一〉
八十七日      八分〈小分三十三〉
五尺七寸一分〈小分五十二〉
八十八日      八分〈小分二十五〉
五尺六寸三分〈小分二十〉
八十九日      八分〈小分一十七〉
五尺五寸四分〈小分九十五〉
九十日       八分〈小分九〉
五尺四寸六分〈小分七十八〉
九十一日      七分〈小分九十六〉
五尺三寸八分〈小分六十九〉
九十二日      七分〈小分八十三〉
五尺三寸〈小分七十三〉
九十三日      七分〈小分七十六〉
五尺二寸二分〈小分九十〉
九十四日      七分〈小分六十七〉
五尺一寸五分〈小分一十四〉
九十五日      七分〈小分五十九〉
五尺七分〈小分四十七〉
九十六日      七分〈小分五十〉
四尺九寸九分〈小分八十八〉
九十七日      七分〈小分四十一〉
四尺九寸二分〈小分三十八〉
九十八日      七分〈小分三十四〉
四尺八寸四分〈小分九十六〉
九十九日      七分〈小分二十六〉
四尺七寸七分〈小分六十二〉
一百日       七分〈小分一十七〉
四尺七寸〈小分二十六〉
一百一日      七分〈小分九〉
四尺六寸二分〈小分一十九〉
一百二日      七分〈小分一〉
四尺五寸六分〈小分一十〉
一百三日      六分〈小分九十三〉
四尺四寸九分〈小分九〉
一百四日      六分〈小分八十五〉
四尺四寸二分〈小分一十六〉
一百五日      六分〈小分七十七〉
四尺三寸五分〈小分三十一〉
一百六日      六分〈小分六十九〉
四尺二寸八分〈小分五十四〉
一百七日      六分〈小分六十〉
四尺二寸一分〈小分八十五〉
一百八日      六分〈小分五十〉
四尺一寸五分〈小分二十五〉
一百九日      六分〈小分四十五〉
四尺九分〈小分七十四〉
一百十日      六分〈小分三十七〉
四尺二分〈小分二十九〉
一百一十一日    六分〈小分二十九〉
三尺九寸五分〈小分九十二〉
一百一十二日    六分〈小分二十一〉
三尺八寸九分〈小分六十三〉
一百一十三日    六分〈小分一十二〉
三尺八寸三分〈小分四十二〉
一百一十四日    六分〈小分四〉
三尺七寸七分〈小分三十〉
一百一十五日    五分〈小分九十七〉
三尺七寸一分〈小分二十六〉
一百一十六日    五分〈小分八十九〉
三尺六寸五分〈小分二十九〉
一百一十七日    五分〈小分八十〉
三尺五寸九分〈小分四十〉
一百一十八日    五分〈小分七十三〉
三尺五寸三分〈小分六十〉
一百一十九日    五分〈小分六十五〉
三尺四寸七分〈小分八十七〉
一百二十日     五分〈小分五十九〉
三尺四寸二分〈小分二十三〉
一百二十一日    五分〈小分四十九〉
三尺三寸六分〈小分六十五〉
一百二十二日    五分〈小分四十〉
三尺三寸一分〈小分一十六〉
一百二十三日    五分〈小分三十二〉
三尺二寸五分〈小分七十六〉
一百二十四日    五分〈小分二十六〉
三尺二寸〈小分四十四〉
一百二十五日    五分〈小分一十七〉
三尺一寸五分〈小分一十八〉
一百二十六日    五分〈小分九〉
三尺一寸〈小分二〉一百二十七日    五分〈小分一〉
三尺四分〈小分九十二〉
一百二十八日    四分〈小分九十三〉
二尺九寸九分〈小分九十一〉
一百二十九日    四分〈小分八十五〉
二尺九寸五分〈小分九十八〉
一百三十日     四分〈小分七十七〉
二尺九寸〈小分一十三〉
一百三十一日    四分〈小分六十六〉
二尺八寸五分〈小分三十六〉
一百三十二日    四分〈小分六十一〉
二尺八寸〈小分六十七〉
一百三十三日    四分〈小分五十二〉
二尺七寸六分〈小分一〉
一百三十四日    四分〈小分四十五〉
二尺七寸一分〈小分五十四〉
一百三十五日    四分〈小分三十六〉
二尺六寸七分〈小分九〉
一百三十六日    四分〈小分二十九〉
二尺六寸二分〈小分七十三〉
一百三十七日    四分〈小分二十〉
二尺五寸八分〈小分四十四〉
一百三十八日    四分〈小分一十一〉
二尺五寸四分〈小分二十四〉
一百三十九日    四分〈小分四〉
二尺三寸〈小分一十三〉
一百四十日     三分〈小分九十五〉
二尺四寸六分〈小分九〉
一百四十一日    三分〈小分八十七〉
二尺四寸二分〈小分一十四〉
一百四十二日    三分〈小分七十九〉
二尺三寸八分〈小分二十七〉
一百四十三日    三分〈小分七十〉
二尺三寸四分〈小分四十八〉
一百四十四日    三分〈小分六十二〉
二尺三寸〈小分七十八〉
一百四十五日    三分〈小分五十二〉
二尺二寸七分〈小分一十六〉
一百四十六日    三分〈小分四十五〉
二尺二寸三分〈小分六十三〉
一百四十七日    三分〈小分三十七〉
二尺二寸〈小分一十八〉
一百四十八日    三分〈小分二十九〉
二尺一寸六分〈小分八十一〉
一百四十九日    三分〈小分一十八〉
二尺一寸三分〈小分五十二〉
一百五十日     三分〈小分一十〉
二尺一寸〈小分三十四〉
一百五十一日    三分〈小分二〉
二尺七寸〈小分二十四〉
一百五十二日    二分〈小分九十三〉
二尺四分〈小分二十三〉
一百五十三日    二分〈小分八十〉
二尺一分〈小分二十九〉
一百五十四日    二分〈小分七十六〉
一尺九寸八分〈小分四十五〉
一百五十五日    二分〈小分六十六〉
一尺九寸五分〈小分六十九〉
一百五十六日    二分〈小分五十八〉
一尺九寸三分〈小分三〉
一百五十七日    二分〈小分四十九〉
一尺九寸〈小分四十五〉
一百五十八日    二分〈小分三十九〉
一尺八寸七分〈小分九十六〉
一百五十九日    二分〈小分三十〉
一尺八寸五分〈小分五十七〉
一百六十日     二分〈小分二十一〉
一尺八寸三分〈小分二十七〉
一百六十一日    二分〈小分一十一〉
一尺八寸一分〈小分五〉
一百六十二日    二分〈小分三〉
一尺七寸八分〈小分九十九〉
一百六十三日    一分〈小分九十三〉
一尺七寸六分〈小分九十一〉
一百六十四日    一分〈小分八十四〉
一尺七寸四分〈小分九十八〉
一百六十五日    一分〈小分七十五〉
一尺七寸三分〈小分一十四〉
一百六十六日    一分〈小分六十四〉
一尺七寸一分〈小分三十九〉
一百六十七日    一分〈小分五十五〉一尺六寸九分〈小分七十五〉
一百六十八日    一分〈小分四十六〉
一尺六寸八分〈小分二十〉
一百六十九日    一分〈小分三十六〉
一尺六寸六分〈小分四十七〉
一百七十日     一分〈小分三十五〉
一尺六寸五分〈小分三十八〉
一百七十一日    一分〈小分一十六〉
一尺六寸四分〈小分一十三〉
一百七十二日    一分〈小分六〉
一尺六寸三分〈小分九十七〉
一百七十三日    空分〈小分九十六〉
一尺六寸一分〈小分九十一〉
一百七十四日    空分〈小分八十六〉
一尺六寸〈小分九十五〉
一百七十五日    空分〈小分七十五〉
一尺六寸〈小分九〉
一百七十六日    空分〈小分六十五〉
一尺五寸九分〈小分三十四〉
一百七十七日    空分〈小分五十五〉
一尺五寸八分〈小分六十九〉
一百七十八日    空分〈小分四十四〉
一尺五寸八分〈小分一十四〉
一百七十九日    空分〈小分三十三〉
一尺五寸七分〈小分七十〉
一百八十日     空分〈小分二十三〉
一尺五寸七分〈小分三十七〉
一百八十一日    空分〈小分一十二〉
一尺五寸七分〈小分一十四〉
一百八十二日    空分〈小分三〉
一尺五寸七分〈小分二〉
夏至后       每日益差
每日午中晷景常数
初日        空分〈小分五〉
一尺五寸七分〈小分空〉
一日        空分〈小分一十六〉
一尺五寸七分〈小分五〉
二日        空分〈小分二十七〉
一尺五寸七分〈小分二十一〉
三日        空分〈小分三十八〉
一尺五寸七分〈小分四十九〉
四日        空分〈小分四十八〉
一尺五寸七分〈小分八十六〉
五日        空分〈小分五十九〉
一尺五寸八分〈小分三十四〉
六日        空分〈小分六十九〉
一尺五寸八分〈小分九十三〉
七日        空分〈小分七十九〉
一尺五寸九分〈小分六十二〉
八日        空分〈小分八十九〉
一尺六寸〈小分四十一〉
九日        一分〈小分空〉
一尺六寸一分〈小分三十〉
十日        一分〈小分一十〉
一尺六寸二分〈小分三十〉
十一日       一分〈小分一十九〉
一尺六寸三分〈小分四十〉
十二日       一分〈小分三十〉
一尺六寸四分〈小分五十九〉
十三日       一分〈小分三十九〉
一尺六寸五分〈小分八十九〉
十四日       一分〈小分四十九〉
一尺六寸七分〈小分二十八〉
十五日       一分〈小分五十九〉
一尺六寸八分〈小分七十七〉
十六日       一分〈小分六十九〉
一尺七寸〈小分三十六〉
十七日       一分〈小分七十八〉
一尺七寸二分〈小分五〉
十八日       一分〈小分八十七〉
一尺七寸三分〈小分八十五〉
十九日       二分〈小分九十八〉
一尺七寸五分〈小分七十〉
二十日       二分〈小分六〉
一尺七寸七分〈小分六十七〉
二十一日      二分〈小分一十五〉
一尺七寸九分〈小分七十三〉
二十二日      二分〈小分二十五〉
一尺八寸一分〈小分八十八〉
二十三日      二分〈小分三十四〉
一尺八寸四分〈小分一十三〉二十四日      二分〈小分四十三〉
一尺八寸六分〈小分四十七〉
二十五日      二分〈小分五十二〉
一尺八寸八分〈小分九十〉
二十六日      二分〈小分六十一〉
一尺九寸一分〈小分四十二〉
二十七日      二分〈小分七十一〉
一尺九寸四分〈小分三〉
二十八日      二分〈小分七十九〉
一尺九寸六分〈小分七十三〉
二十九日      二分〈小分八十七〉
一尺九寸九分〈小分五十二〉
三十日       二分〈小分九十七〉
二尺二分〈小分三十九〉
三十一日      三分〈小分五〉
二尺五分〈小分三十六〉
三十二日      三分〈小分一十四〉
二尺八分〈小分四十〉
三十三日      三分〈小分二十二〉
二尺一寸一分〈小分五十五〉
三十四日      三分〈小分三十一〉
二尺一寸八分〈小分七十七〉
三十五日      三分〈小分四十〉
二尺一寸八分〈小分八〉
三十六日      三分〈小分四十八〉
二尺二寸一分〈小分四十八〉
三十七日      三分〈小分五十七〉
二尺二寸四分〈小分九十六〉
三十八日      三分〈小分六十五〉
二尺二寸八分〈小分五十三〉
三十九日      三分〈小分七十三〉
二尺三寸二分〈小分一十八〉
四十日       三分〈小分八十二〉
二尺三寸五分〈小分九十一〉
四十一日      三分〈小分九十〉
二尺三寸九分〈小分七十一〉
四十二日      三分〈小分九十九〉
二尺四寸三分〈小分六十三〉
四十三日      四分〈小分六〉
二尺四寸七分〈小分六十二〉
四十四日      四分〈小分一十五〉
二尺五寸一分〈小分六十八〉
四十五日      四分〈小分二十三〉
二尺五寸五分〈小分八十三〉
四十六日      四分〈小分三十三〉
二尺六寸〈小分六〉
四十七日      四分〈小分三十九〉
二尺六寸四分〈小分三十八〉
四十八日      四分〈小分四十八〉
二尺六寸八分〈小分七十七〉
四十九日      四分〈小分五十五〉
二尺七寸三分〈小分三十五〉
五十日       四分〈小分六十四〉
二尺七寸七分〈小分八十〉
五十一日      四分〈小分七二〉
二尺八寸二分〈小分四十四〉
五十二日      四分〈小分七十九〉
二尺八寸七分〈小分一十六〉
五十三日      四分〈小分八十九〉
二尺九寸一分〈小分六十五〉
五十四日      四分〈小分九十六〉
二尺九寸六分〈小分八十四〉
五十五日      五分〈小分四〉
三尺一寸六分〈小分八十六〉
五十六日      五分〈小分一十二〉
三尺六寸〈小分二十四〉
五十七日      五分〈小分二十〉
三尺一寸二分〈小分九十六〉
五十八日      五分〈小分二十八〉
三尺一寸七分〈小分二十六〉
五十九日      五分〈小分三十六〉
三尺二寸二分〈小分四十四〉
六十日       五分〈小分四十四〉
三尺二寸七分〈小分八十〉
六十一日      五分〈小分一十二〉
三尺三寸三分〈小分二十四〉
六十二日      五分〈小分六十〉
三尺三寸八分〈小分七十六〉
六十三日      五分〈小分六十八〉
三尺四寸四分〈小分三十六〉
六十四日      五分〈小分七十五〉三尺五寸〈小分四〉
六十五日      五分〈小分八十四〉
三尺五寸五分〈小分七十九〉
六十六日      五分〈小分九十一〉
三尺六寸一分〈小分六十三〉
六十七日      五分〈小分九十九〉
三尺六寸七分〈小分五十五〉
六十八日      六分〈小分八〉
三尺七寸三分〈小分五十四〉
六十九日      六分〈小分一十六〉
三尺七寸九分〈小分六十二〉
七十日       六分〈小分二十三〉
三尺八寸五分〈小分七十八〉
七十一日      六分〈小分三十二〉
三尺九寸二分〈小分一〉
七十二日      六分〈小分三十九〉
三尺九寸八分〈小分三十三〉
七十三日      六分〈小分四十八〉
四尺四寸〈小分七十三〉
七十四日      六分〈小分四十五〉
四尺一寸七分〈小分七十五〉
七十五日      六分〈小分六十四〉
四尺一寸七分〈小分七十五〉
七十六日      六分〈小分七十一〉
四尺二寸四分〈小分三十九〉
七十七日      六分〈小分八十〉
四尺三寸一分〈小分一十〉
七十八日      六分〈小分八十八〉
四尺三寸七分〈小分九十〉
七十九日      六分〈小分九十七〉
四尺四寸四分〈小分七十八〉
八十日       七分〈小分三〉
四尺五寸一分〈小分七十五〉
八十一日      七分〈小分一十三〉
四尺五寸八分〈小分七十八〉
八十二日      七分〈小分二十〉
四尺六寸五分〈小分五十一〉
八十三日      七分〈小分二十九〉
四尺七寸三分〈小分一十一〉
八十四日      七分〈小分三十七〉
四尺八寸〈小分四十〉
八十五日      七分〈小分四十四〉
四尺八寸七分〈小分七十七〉
八十六日      七分〈小分五十四〉
四尺九寸五分〈小分二十一〉
八十七日      七分〈小分六十三〉
五尺二分〈小分七十五〉
八十八日      七分〈小分六十九〉
五尺一寸〈小分三十八〉
八十九日      七分〈小分七十七〉
五尺一寸八分〈小分七〉
九十日       七分〈小分九十〉
五尺二寸五分〈小分八十四〉
九十一日      八分〈小分一〉
五尺三寸三分〈小分七十四〉
九十二日      八分〈小分一十三〉
五尺四寸一分〈小分七十五〉
九十三日      八分〈小分二十〉
五尺四寸九分〈小分八十八〉
九十四日      八分〈小分二十七〉
五尺五寸八分〈小分八〉
九十五日      八分〈小分三十五〉
五尺六寸六分〈小分三十五〉
九十六日      八分〈小分四十四〉
五尺七寸四分〈小分七十〉
九十七日      八分〈小分四十七〉
五尺八寸三分〈小分一十四〉
九十八日      八分〈小分五十八〉
五尺九寸一分〈小分六十一〉
九十九日      八分〈小分六十六〉
六尺〈小分一十九〉
一百日       八分〈小分七十〉
六尺八分〈小分八十五〉
一百一日      八分〈小分八十〉
六尺一寸七分〈小分五十五〉
一百二日      八分〈小分八十六〉
六尺二寸六分〈小分三十五〉
一百三日      八分〈小分九十三〉
六尺三寸五分〈小分二十一〉
一百四日      九分〈小分空〉
六尺四寸四分〈小分一十四〉一百五日      九分〈小分八〉
六尺五寸三分〈小分一十四〉
一百六日      九分〈小分一十三〉
六尺六寸二分〈小分二十二〉
一百七日      九分〈小分二十一〉
六尺七寸一分〈小分三十五〉
一百八日      九分〈小分二十七〉
六尺八寸〈小分五十六〉
一百九日      九分〈小分三十五〉
六尺八寸九分〈小分八十三〉
一百十日      九分〈小分四十〉
六尺九寸九分〈小分一十八〉
一百一十一日    九分〈小分四十七〉
七尺八寸〈小分五十八〉
一百一十二日    九分〈小分五十四〉
七尺一寸八分〈小分五〉
一百一十三日    九分〈小分六十〉
七尺二寸七分〈小分五十九〉
一百一十四日    九分〈小分六十四〉
七尺三寸七分〈小分一十九〉
一百一十五日    九分〈小分七十〉
七尺四寸六分〈小分八十三〉
一百一十六日    九分〈小分七十八〉
七尺五寸六分〈小分五十三〉
一百一十七日    九分〈小分八十三〉
七尺六寸六分〈小分三十一〉
一百一十八日    九分〈小分八十七〉
七尺七寸六分〈小分一十四〉
一百一十九日    九分〈小分九十六〉
七尺八寸六分〈小分一〉
一百二十日     九分〈小分九十九〉
七尺九寸五分〈小分九十七〉
一百二十一日    一寸〈小分四〉
八尺五分〈小分九十六〉
一百二十二日    一寸〈小分九〉
八尺一寸六分〈小分空〉
一百二十三日    一寸〈小分一十七〉
八尺二寸六分〈小分九〉
一百二十四日    一寸〈小分一十九〉
八尺三寸六分〈小分二十六〉
一百二十五日    一寸〈小分二十五〉
八尺四寸六分〈小分四十五〉
一百二十六日    一寸〈小分二十九〉
八尺五寸六分〈小分七十〉
一百二十七日    一寸〈小分三十三〉
八尺六寸六分〈小分九十九〉
一百二十八日    一寸〈小分三十八〉
八尺七寸七分〈小分三十二〉
一百二十九日    一寸〈小分四十三〉
八尺七寸七分〈小分七十〉
一百三十日     一寸〈小分四十五〉
八尺九寸八分〈小分一十三〉
一百三十一日    一寸〈小分五十一〉
九尺八分〈小分五十八〉
一百三十二日    一寸〈小分五十四〉
九尺一寸九分〈小分九〉
一百三十三日    一寸〈小分五十五〉
九尺二寸九分〈小分六十三〉
一百三十四日    一寸〈小分六十二〉
九尺四寸〈小分一十八〉
一百三十五日    一寸〈小分六十四〉
九尺五寸〈小分八十〉
一百三十六日    一寸〈小分六十六〉
九尺六寸一分〈小分四十四〉
一百三十七日    一寸〈小分五十二〉
九尺七寸二分〈小分一十〉
一百三十八日    一寸〈小分五十〉
九尺八寸二分〈小分六十二〉
一百三十九日    一寸〈小分四十八〉
九尺九寸三分〈小分一十二〉
一百四十日     一寸〈小分四十六〉
一丈三分〈小分六十〉
一百四十一日    一寸〈小分四十三〉
一丈一寸四分〈小分六〉
一百四十二日    一寸〈小分三十九〉
一丈二寸四分〈小分四十九〉
一百四十三日    一寸〈小分三十二〉
一丈三寸四分〈小分八十八〉
一百四十四日    一寸〈小分二十五〉
一丈四寸五分〈小分二十〉
一百四十五日    一寸〈小分一十六〉一丈五寸五分〈小分四十五〉
一百四十六日    一寸〈小分八〉
一丈六寸五分〈小分六十二〉
一百四十七日    九分〈小分九十六〉
一丈七寸五分〈小分七十〉
一百四十八日    九分〈小分八十五〉
一丈八寸五分〈小分六十六〉
一百四十九日    九分〈小分七十二〉
一丈九寸五分〈小分二十一〉
一百五十日     九分〈小分五十七〉
一丈一尺五分〈小分三十三〉
一百五十一日    九分〈小分四十三〉
一丈一尺一寸四分〈小分八十〉
一百五十二日    九分〈小分二十五〉
一丈一尺二寸四分〈小分二十二〉
一百五十三日    九分〈小分七〉
一丈一尺三寸三分〈小分四十七〉
一百五十四日    八分〈小分九十〉
一丈一尺四寸二分〈小分五十四〉
一百五十五日    八分〈小分六十八〉
一丈一尺五寸一分〈小分四十四〉
一百五十六日    八分〈小分四十八〉
一丈一尺六寸六分〈小分一十二〉
一百五十七日    八分〈小分二十五〉
一丈一尺六寸八分〈小分六十〉
一百五十八日    八分〈小分二〉
一丈一尺七寸六分〈小分八十五〉
一百五十九日    七分〈小分七十七〉
一丈一尺八寸四分〈小分八十七〉
一百六十日     七分〈小分五十二〉
一丈一尺九寸二分〈小分六十四〉
一百六十一日    七分〈小分二十七〉
一丈二尺〈小分一十六〉
一百六十二日    六分〈小分九十八〉
一丈二尺七分〈小分四十三〉
一百六十三日    六分〈小分六十七〉
一丈二尺一寸四分〈小分四十二〉
一百六十四日    六分〈小分四十五〉
一丈二尺二寸一分〈小分一〉
一百六十五日    六分〈小分一十一〉
一丈二尺二寸七分〈小分五十三〉
一百六十六日    五分〈小分八十〉
一丈二尺三寸三分〈小分六十四〉
一百六十七日    五分〈小分四十九〉
一丈二尺三寸九分〈小分四十四〉
一百六十八日    五分〈小分六十〉
一丈二尺四寸四分〈小分九十三〉
一百六十九日    四分〈小分八十三〉
一丈二尺五寸〈小分九〉
一百七十日     四分〈小分五十〉
一丈二尺五寸四分〈小分九十二〉
一百七十一日    四分〈小分一十四〉
一丈二尺五寸九分〈小分四十二〉
一百七十二日    三分〈小分八十〉
一丈二尺六寸三分〈小分五十六〉
一百七十三日    三分〈小分四十五〉
一丈二尺六寸七分〈小分三十五〉
一百七十四日    三分〈小分七〉
一丈二尺七寸〈小分八十一〉
一百七十五日    二分〈小分七十一〉
一丈二尺七寸三分〈小分八十八〉
一百七十六日    二分〈小分三十四〉
一丈二尺七寸二分〈小分五十九〉
一百七十七日    二分〈小分三〉
一丈二尺七寸八分〈小分九十三〉
一百七十八日    一分〈小分五十二〉
一丈二尺八寸〈小分九十六〉
一百七十九日    一分〈小分二十〉
一丈二尺八寸二分〈小分四十八〉
一百八十日     空分〈小分八十二〉
一丈二尺八寸三分〈小分六十八〉
一百八十一日    空分〈小分四十三〉
一丈二尺八寸四分〈小分五十〉
一百八十二日    空分〈小分七〉
一丈二尺八寸二分〈小分九十〉




钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百二卷目录

 测量部汇考三
  宋二〈神宗熙宁一则 徽宗崇宁一则 孝宗乾道一则 淳熙三则 光宗绍熙一则〉
  元〈总一则 世祖至元四则〉
  明〈英宗正统一则 世宗嘉靖二则 神宗万历一则〉
皇清〈康熙四则〉

历法典第一百二卷

测量部汇考三

宋二

神宗熙宁七年,沈括上景表议。
《宋史·神宗本纪》不载,按《天文志》:沈括上景表议曰:步景之法,惟定南北为难。古法置槷为规,识日出之景,与日入之景。昼参诸日中之景,夜考之极星。极星不当天中,而候景之法取晨夕景之最长者规之,两表相去中折以参验,最短之景为日中。然测景之地,百里之间,地之高下东西,不能无偏。其间又有邑屋山林之蔽,倘在人目之外,则与浊氛相杂,莫能知其所蔽,而浊氛又系其日之明晦风雨,人间烟气尘坌变作不常。臣在本局候景,入浊出浊之节,日日不同,此又不足以考见出没之实,则晨夕景之短长未能得其极数。参考旧闻,别立新术。候景之表三,其崇八尺,博三寸三分,杀一以为厚者。圭首剡其南使偏锐。其趺方厚各二尺,环趺刻渠受水以为准。以铜为之。表四方志墨以为中刻之,缀四绳,垂以铜丸,各当一方之墨。先约定四方,以三表南北相重,令趺相切,表别相去二尺,各使端直。四绳皆附墨,三表相去左右上下以度量之,令相重如一。自日初出,则量西景三表相去之度,又量三表之端景之所至,各别记之。至日欲入,候东景亦如之。长短同,相去之疏密又同,则以东西景端随表景规之,半所以求最短之景。五者皆合,则半折最短之景为北,表南墨之下为南,东西景端为东西。五候一有不合,未足以为正。既得四方,则惟设一表,方首,表下为石席,以水平之,植表于席之南端。席广三尺,长如九服冬至之景,自表跌刻以为分,分积为寸,寸积为尺。为密室以栖表,当极为霤,以下午景使当表端。副表并跌崇四寸,趺博二寸,厚五分,方首,剡其南,以铜为之。凡景表景薄不可辨,即以小表副之,则景墨而易度。
徽宗崇宁 年,姚舜辅造纪元历,求岳台晷景。
《宋史·徽宗本纪》不载 按《天文志》:土圭周官,大司徒以土圭之法正日景,以求地中。而冯相氏春夏致日,秋冬致月,以辨四时之叙。汉之造历,必先定东西,立晷仪。唐诏太史测天下之晷,盖校定日景,推验气节,必先乎此也。宋朝测景,在浚仪之岳台。崇宁间,姚舜辅造纪元历,求岳台晷景。冬至后初限六十二日二十二分。盖立八尺之表,俟圭尺上正八尺之景去冬至多寡日辰,立为初限,用减二至,得一百二十日四十二分为夏至后初限,以为后法。盖冬至之景,长短实与岁差相应,而地里远近,古今亦不同焉。中兴后,清台亦立晷圭,如汴京之制,冬至必测验焉。统天历、开禧历,亦皆以六十二日数分为冬至初限,而议者谓临安之晷景,当与岳台异。或谓当立八尺之表,俟圭景上八尺之景,在四十九日有奇,当用四十九日五分,为临安冬至后初限。用减二至限,得一百三十三日有奇,为夏至后初限。参合天道,其法为密焉。然土圭之法本以致日景,求地中,而表景不应,灾祥系焉。占家知之,而亦不能知其所以然也。
孝宗乾道六年,以历官所推日月食各有异同,诏礼部侍郎郑闻等测验。
《宋史·孝宗本纪》不载,按《律历志》:六年,日官言:比诏权用乾道历推算,今岁颁历于天下,明年用何历推算。诏亦权用乾道历一年。秋,成都历学进士贾复自言,诏求推明荧惑、太阴二事,转运使资遣至临安,愿造新历毕还蜀,仍进历法九议。孝宗嘉其志,馆于京学,赐廪给。太史局李继宗等言:十二月望,月食大分七、小分九十三。贾复、刘大中等各亏初、食甚分夜不同。诏礼部侍郎郑闻监李继宗等测验。是夜,食八分。秘书省言,灵台郎宋允恭、国学生林永叔、草泽祝斌、黄梦得、吴时举、陈彦健等各推算日食时刻、分数异同。乃诏谏议大夫姚宪监继宗等,测验五月朔日食。宪奏时刻、分数皆差舛,继宗、泽、大声削降有差。太史局春官正、判太史局吴泽等言:乾道十年,颁赐历日,其中十二月已定作小尽,乾道十一年正月一日注:癸未朔,毕乾道十一年正月一日。崇天、统元二历算得甲申朔,纪元、乾道二历算得癸未朔,今乾道历正朔小馀,约得不及进限四十二分,是为疑朔。更考日月之行,以定月朔大小,以此推之,则当是甲申朔。今历官弗加精究,直以癸未注正朔,窃恐差误,请再推步。于是俾继宗监视,皆以是年正月朔当用甲申。兼今岁五月朔,太阳交食,本局官生瞻视到天道日食四分半:亏初西北,午时五刻半;食甚正北,未初二刻;复满东北,申初一刻。后令永叔等五人各言五月朔日食分数并亏初、食甚、复满时刻皆不同。并见行乾道历比之,五月朔天道日食多算二分少彊,亏初少算四刻半,食甚少算三刻,复满少算二刻已上。又考乾道历比之崇天、纪元、统元三历,日食亏初时刻为近;较之乾道,日食亏初时刻为不及。继宗等参考来年十二月系大尽,及十一年正月朔当用甲申,而太史局丞、同判太史局荆大声,言乾道历加时,系不及进限四十二分,定今年五月朔日食亏初在午时一刻。今测验五月朔日食亏初在午时五刻半,乾道历加时弱四百五十分,苟以天道时刻预定乾道十二年正月朔,已过甲申日四百五十分。大声今再指定乾道十一年正月合作甲申朔,十年十二月合作大尽,请依太史局详定行之。五月,诏历官详定。
淳熙五年,以金使来言历异同,诏礼部郎官吕祖谦测验太阴行度。
《宋史·孝宗本纪》不载,按《律历志》:五年,金遣使来朝贺会庆节,乃妄称其国历九月庚寅晦为己丑晦。接伴使、检详丘崇辨之,使者辞穷,于是朝廷益重历事。李继宗、吴泽言:今年九月大尽,系三十日,于二十八日早晨度瞻见太阴离东浊高六十馀度,则是太阴东行未到太阳之数。然太阴一昼夜东行十三度馀,以太阴行度较之,又减去二十九日早晨度太阴所行十三度馀,则太阴尚有四十六度以上未行到太阳之数,九月大尽,明矣。其金国九月作小尽,不当见月体;今既见月体,不为晦日。乞九月三十日、十月一日差官验之。诏遣礼部郎官吕祖谦。祖谦言:本朝十月小尽,一日辛卯朔,夜昏度太阴躔在尾宿七度七十分。以太阴一昼夜平行十三度三十一分,至八日上弦日,太阴计行九十一度馀。按历法,朔至上弦,太阴平行九十一度三十一分,当在室宿一度太。金国十月大尽,一日庚寅朔,夜昏度太阴约在心宿初度三十一分。太阴一昼夜亦平行十三度三十一分,自朔至本朝八日为金国九日,太阴已行一百四度六十二分,比之本朝十月八日上弦,太阴多行一昼夜之数。今测见太阴在室宿二度,计行九十二度馀,始知本朝十月八日上弦,密于天道。诏祖谦复测验。是夜,邦杰用浑天仪法物测验,太阴在室宿四度,其八日上弦夜所测太阴在室宿二度。按历法,太阴平行十三度馀,行迟行十二度。今所测太阴,比之八日夜又东行十二度,信合天道。
淳熙十二年,以成忠郎杨忠辅言,诏测来年月食。按《宋史·孝宗本纪》不载 按《律历志》:十二年九月,成忠郎杨忠辅言:淳熙历简陋,于天道不合。今岁三月望,月食三更二点,而历在二更二点;数亏四分,而历亏几五分。四月二十三日,水星据历当夕伏,而水星方与太白同行东井间,昏见之时,去浊犹十五馀度。七月望前,土星已伏,而历犹注见。八月未弦,金巳过氐矣,而历犹在亢。此类甚多,而朔差者八年矣。夫守疏敝之历,不能革旧,其可哉。忠辅于易粗窥大衍之旨,创立日法,撰演新历,不敢以言者,诚惧太史顺过饰非。恃刻漏则水有增损、迟疾,恃浑仪则度有广狭、斜正。所赖今岁九月之交食在昼,而淳熙历法当在夜,以昼夜辨之,不待纷争而决矣。辄以忠辅新历推算,淳熙十二年九月定望日辰退乙未,太阴交食大分四、小分八十五,晨度带入渐进大分一、小分七;亏初在东北,卯正一刻一十一分,系日出前;食甚在正北,辰初一刻一十分;复满在西北,辰正初刻,并日出后。其日日出卯正二刻后,与亏初相去不满一刻。以地形论之,临安在岳台之南,秋分后昼刻比岳台差长,日当先历而出,故知月起亏时,日光已盛,必不见食。以淳熙历推之,九月望夜,月食大分五、小分二十六,带入渐进大分三、小分四十七;亏初在东北,卯初三刻,系攒点九刻后;食甚在正北,卯正三刻后;复满在西北,辰正初刻后,并在昼。礼部乃考其异同,孝宗曰:日月之行有疏数,故历久不能无差,大抵月之行速,多是不及,无有过者。可遣台官、礼部官同验之。诏遣礼部侍郎颜师鲁。其夜戌正二刻,阴云蔽月,不辨亏食。师鲁请诏精于历学者与太史定历,孝宗曰:历久必差,闻来年月食者二,可俟验否。
淳熙十六年,承节郎赵涣请遣官测验,诏从之。按《宋史·孝宗本纪》不载 按《律历志》:淳熙十六年,承节郎赵涣言:历象大法及淳熙历,今岁冬至并十二月望,月食皆后天一辰,请遣官测验。诏礼部侍郎李巘、秘书省邓驲等视之。巘等请用太史局浑仪测验,如乾道故事,差秘书省提举一员专监之。
光宗绍熙四年,布衣王孝礼请立表测景,从之,不果行。
《宋史·光宗本纪》不载 按《律历志》:绍熙四年,布衣王孝礼言:今年十一月冬至,日景表当在十九日壬午,会元历注乃在二十日癸未,系差一日。崇天历癸未日冬至加时在酉初七十六分,纪元历在丑初一刻六十七分,统元历在丑初二刻二分,会元历在丑初一刻二百四十分。迨今八十有七年,常在丑初一刻,不减而反增。崇天历实天圣二年造,纪元历崇宁五年造,计八十二年。是时测景验气,知冬至后天乃减六十七刻半,方与天道协。其后陈得一造统元历,刘孝荣造乾道、淳熙、会元三历,未尝测景。苟弗立表测景,莫识其差。乞遣官令太史局以铜表同孝礼测验。朝廷虽从之,未暇改作。

元置正方案、圭表景符、窥几测验等器,定拟二至晷景。
《元史·天文志》:正方案,方四尺,厚一寸。四周去边五分为水渠。先定中心,画为十字,外抵水渠。去心一寸,画为圆规,自外寸规之,凡十九规。外规内三分,画为重规,遍布周天度。中为圆,径二寸,高亦如之。中心洞底植臬,高一尺五寸,南至则减五寸,北至则倍之。凡欲正四方,置案平地,注水于渠,视平,乃植臬于中。自臬景西入外规,即识以墨影,少移辄识之,每规皆然,至东出外规而止。凡出入一规之交,皆度以线,屈其半以为中,即所识与臬相当,且其景最短,则南北正矣。复遍阅每规之识,以审定南北。南北既正,则东西从而正。然二至前后,日轨东西行,南北差少,即外规出入之景以为东西,允得其正。当二分前后,日轨东西行,南北差多,朝夕有不同者,外规出入之景或未可凭,必取近内规景为定,仍校其累日则愈真。又测用之法,先测定所在北极出地度,即自案地平以上度,如其数下对南极入地度,以墨斜经中心界之,又横截中心斜界为十字,即天腹赤道斜势也。乃以案侧立,悬绳取正。凡置仪象,皆以此为准。圭表以石为之,长一百二十八尺,广四尺五寸,厚一尺四寸,座高二尺六寸。南北两端为池,圆径一尺五寸,深二寸,自表北一尺,与表梁中心上下相直。外一百二十尺,中心广四寸,两旁各一寸,画为尺寸分,以达北端。两旁相去一寸为水渠,深广各一寸,与南北两池相灌通以取平。表长五十尺,广二尺四寸,厚减广之半,植于圭之南端圭石座中,入地及座中一丈四尺,上高三十六尺。其端两旁为二龙,半身附表上檠横梁,自梁心至表颠四尺,下属圭面,共为四十尺。梁长六尺,径三寸,上为水渠以取平。两端及中腰各为横窍,径二分,横贯以铁,长五寸,系线合于中,悬锤取正,且防倾垫。按表短则分寸短促,尺寸之下所谓分秒太半少之数,未易分别;表长则分寸稍长,所不便者景虚而淡,难得实影。前人欲就虚景之中考求真实,或设望筒,或置小表,或以木为规,皆取端日光,下彻表面。今以铜为表,高三十六尺,端挟以二龙,举一横梁,下至圭面共四十尺,是为八尺之表五。圭表刻为尺寸,旧一寸,今申而为五,釐毫差易分别。景符之制,以铜叶,博二寸,长加博之二,中穿一窍,若针芥然。以方为趺,一端设为机轴,令可开阖,榰其一端,使其势斜倚,北高南下,往来迁就于虚梁之中。窍达日光,仅如米许,隐然见横梁于其中。旧法以表端测晷,所得者日体上边之景。今以横梁取之,实得中景,不容有毫末之差。至元十六年己卯夏至晷景,四月十九日乙未景一丈二尺三寸六分九釐五毫。至元十六年己卯冬至晷景,十月二十四日戊戌景七丈六尺七寸四分。窥几之制,长六尺,广二尺,高倍之。下为趺,广三寸,厚二寸,上广四寸,厚如趺。以板为面,厚及寸,四隅为足,撑以斜木,务取正方。面中开明窍,长四尺,广二寸。近窍两旁一寸分画为尺,内三寸刻为细分,下应圭面。几面上至梁心二十六尺,取以为准。窥限各各长二尺四寸,广二寸,脊厚五分,两刃斜杀,取其于几面相符,著限两端,厚广各存二寸,衔入几。俟星月正中,从几下仰望,视表梁南北以为识,折取分寸中数,用为直景。又于远方同日窥测取景数,以推星月高下也。按《历志》:天道运行,如环之无端,治历者必就阴消阳息之际,以为立法之始。阴阳消息之机,何从而见之。惟候其日晷进退,则其机将无所遁。候之之法,不过植表测景,以究其气至之始。智作能述,前代诸人为法略备,苟能精思密索,心与理会,则前人述作之外,未必无所增益。旧法择地平衍,设水准绳墨,植表其中,以度其中晷。然表短促,尺寸之下所为分秒太、半、少之数,未易分别。表长,则分寸稍长,所不便者,景虚而淡,难得实景。前人欲就虚景之中改求真实,或设望筒,或置小表,或以木为规,皆取表端日光下彻圭面。今以铜为表,高三十六尺,端挟以二龙,举一横梁,下至圭面,共四十尺,是为八尺之表五。圭表刻为尺寸,旧寸一,今申而为五,釐毫差易分。别创为景符,以取实景。其制以铜叶,博二寸,长加博之二,中穿一窍,若针芥然,以方圆为趺,一端设为机轴,令可开閤,榰其一端,使其势斜倚,北高南下,往来迁就于虚景之中,窍达日光,仅如米许,隐然见横梁于其中。旧法以表端测晷,所得者日体上边之景,今以横梁取之,实得中景,不容有毫末之差。地中八尺表景,冬至长一丈三尺有奇,夏至尺有五寸。今京师长表,冬至之景七丈九尺八寸有奇,在八尺表则一丈五尺九寸六分;夏至之景一丈一尺七寸有奇,在八尺表则二尺三寸四分。虽晷景长短所在不同,而其景长为冬至,景短为夏至,则一也。惟是气至时刻考求不易,盖至日气正,则一岁气节从而正矣。刘宋祖冲之尝取至前后二十三四日间晷景,折取其中,定为冬至,且以日差比课,推定时刻。宋皇祐间,周琮则取立冬、立春二日之景,以为去至既远,日差颇多,易为推考。纪元以后诸历,为法加详,大抵不出冲之之法。新历积日累月,实测中晷,自远日以及近日,取前后日率相埒者,参考同异,初非偏取一二日之景,以取数多者为定,实减大明历一十九刻二十分。仍以累岁实测中晷日差分寸,定拟二至时刻于后。推至元十四年丁丑岁冬至,其年十一月十四日己亥,景长七丈九尺四寸八分五釐五毫;至二十一日丙午,景长七丈九尺五寸四分一釐;二十二日丁未,景长七丈九尺四寸五分五釐。以己亥、丁未二日之景相校,馀三分五釐为晷差,进二位;以丙午、丁未二日之景相校,馀八分六釐为法;除之,得三十五刻;用减相距日八百刻,馀七百六十五刻;折取其中,加半日刻,共为四百三十二刻半;百约为日,得四日;馀以十二乘之,百约为时,得三时,满五十又作一时,共得四时;馀以十二收之,得三刻;命初起距日己亥算外,得癸卯日辰初三刻为丁丑岁冬至。此取至前后四日景。十一月初九日甲午,景七丈八尺六寸三分五釐五毫;至二十六日辛亥,景七丈八尺七寸九分三釐五毫;二十七日壬子,景七丈八尺五寸五分。以甲午、壬子景相减,复以辛亥、壬子景相减,准前法求之,亦得癸卯日辰初三刻。至二十八日癸丑,景七丈八尺三寸四釐五毫,用壬子、癸丑二日之景与甲午景,准前法求之,亦合。此取至前后八九日景。十一月丙戌朔,景七丈五尺九寸八分六釐五毫;二日丁亥,景七丈六尺三寸七分七釐;至十二月初六日庚申,景七丈五尺八寸五分一釐。准前法求之,亦在辰初三刻。此取至前后一十七日景。十一月二十一日丙子,景七丈九寸七分一釐;至十二月十六日庚午,景七丈七寸六分;十七日辛未,景七丈一寸五分六釐五毫。准前法求之,亦得辰初三刻。此取至前后二十七日景。六月初五日癸亥,景一丈三尺八分;距十五年五月癸未朔,景一丈三尺三分八釐五毫;初二日甲申,景一丈二尺九寸二分五毫。准前法求之,亦合。此取至前后一百六十日景。
推十五年戊寅岁夏至,五月十九日辛丑,景一丈一尺七寸七分七釐五毫;距二十八日庚戌,景一丈一尺七寸八分;二十九日辛亥,景一丈一尺八寸五釐五毫。用辛丑、庚戌二日景相减,馀二釐五毫,进二位为实;复用庚戌、辛亥景相减,馀二分五釐五毫为法;除之,得九刻,用减相距日九百刻,馀八百九十一刻;半之,加半日刻,百约,得四日;馀以十二乘之,百约,得十一时;馀以十二收为刻,得三刻;命初起距日辛丑算外,得乙巳日亥正三刻夏至。此取至前后四日景。十四年十二月十五日己巳,景七丈一尺三寸四分三釐;距十五年十一月初二日辛巳,景七丈七寸五分九釐五毫;初三日壬午,景七丈一尺四寸六釐。用己巳、壬午景相减,以辛巳、壬午景相减除之,亦合。此用至前后一百五十六日景。十四年十二月十二日丙寅,景七丈二尺九寸七分二釐五毫;十三日丁卯,景七丈二尺四寸五分四釐五毫;十四日戊辰,景七丈一尺九寸九;釐距十五年十一月初四日癸未,景七丈一尺九寸五分七釐五毫;初五日甲申,景七丈二尺五寸五釐;初六日乙酉,景七丈三尺三分三釐五毫。前后互取,所得时刻皆合。此取至前后一百五十八九日景。十四年十二月初七日辛酉,景七丈五尺四寸一分七釐;初八日壬戌,景七丈四尺九寸五分九釐五毫;初九日癸亥,景七丈四尺四寸八分六釐;距十五年十一月初九日戊子,景七丈四尺五寸二分五毫;初十日己丑,景七丈五尺三釐五毫;十一日庚寅,景七丈五尺四寸四分九釐五毫。以壬戌、己丑景相减为实,以辛酉、壬戌景相减为法,除之;或以壬戌、癸亥景相减,或以戊子、己丑景相减,若己丑、庚寅景相减,推前法求之,皆合。此取至前后一百六十三四日景。
推十五年戊寅岁冬至,其年十一月十九日戊戌,景七丈八尺三寸一分八釐五毫;距闰十一月初九日戊午,景七丈八尺二寸六分三釐五毫;初十日己未,景七丈八尺八分二釐五毫。用戊戌、戊午二日景相减,馀四分五釐为晷差,进二位,以戊午、己未景相减,馀二寸八分一釐为法,除之,得一十六刻,加相距日二千刻,半之,加半日刻,百约,得十日;馀以十二乘之,百约为时,满五十又进一时,共得七时;馀以十二收为刻;命初起距日己亥算外,得戊申日未初三刻为戊寅岁冬至。此取至前后十日景。十一月十二日辛卯,景七丈五尺八寸八分一釐五毫;十三日壬辰,景七丈六尺三寸一釐五毫;闰十一月十五日甲子,景七丈六尺三寸六分六釐五毫;十六日乙丑,景七丈五尺九寸五分三釐;十七日丙寅,景七丈五尺五寸四釐五毫。用壬辰、甲子景相减为实,以辛卯、壬辰景相减为法,除之,亦得戊申日未初三刻。或用甲子、乙丑景相减,推之,亦合。若用辛卯、乙丑景相减为实,用乙丑、丙寅景相减,除之,并同。此取至前后十六七日景。十一月初八日丁亥,景七丈四尺三分七釐五毫;闰十一月二十日己巳,景七丈四尺一寸四分;二十一日庚午,景七丈三尺六寸一分四釐五毫。用丁亥、己巳景相减为实,以己巳、庚午景相减,除之,亦同。此取至前后二十一日景。六月二十六日戊寅,景一丈四尺四寸五分二釐五毫;二十七日己卯,景一丈四尺六寸三分八釐;至十六年四月二日戊寅,景一丈四尺四寸八分一釐。以二戊寅景相减,用后戊寅、己卯景相减,推之,亦同。此取至前后一百五十日景。五月二十八日庚戌,景一丈一尺七寸八分;至十六年四月二十九日乙巳,景一丈一尺八寸六分三釐;三十日丙午,景一丈一尺七寸八分三釐。用庚戌、丙午景相减,以乙巳、丙午景相减,推之,亦同。此取至前后一百七十八日景。
推十六年己卯岁夏至,四月十九日乙未,景一丈二尺三寸六分九釐五毫;二十日丙申,景一丈二尺二寸九分三釐五毫;至五月十九日乙丑,景一丈二尺二寸六分四釐。以丙申、乙丑景相减,馀二分九釐五毫为晷差,进二位;以乙未、丙申景相减,得七分六釐为法;除之,得三十八刻;加相距日二千九百刻,半之,加半日刻,百约,得十五日;馀以十二乘之,百约,得二时;馀以十二收之,得二刻;命初起距日丙申算外,得辛亥日寅正二刻为夏至。此取至前后十五日景。三月二十一日戊辰,景一丈六尺三寸九分五毫;六月十六日壬辰,景一丈六尺九分九釐五毫;十七日癸巳,景一丈六尺三寸一分一釐。用戊辰、癸巳景相减,以壬辰、癸巳景相减,准前法推之,亦合。此取至前后四十二日景。三月初二日己酉,景二丈一尺三寸五釐;至七月初七日壬子,景二丈一尺一寸九分五釐五毫;初八日癸丑,景二丈一尺四寸八分六釐五毫。用己酉、壬子景相减,以壬子、癸丑景相减,如前法推之,亦合。此取至前后六十一二日景。三月戊申朔,景二丈一尺六寸一分一釐;至七月初八日癸丑,景二丈一尺四寸八分六釐五毫;初九日甲寅,景二丈一尺九寸一分五釐五毫。用戊申、癸丑景相减,以癸丑、甲寅景相减,准前法推之,亦同。此取至前后六十二三日景。二月十八日乙未,景二丈六尺三分四釐五毫;至七月二十一日丙寅,景二丈五尺八寸九分九釐;二十二日丁卯,景二丈六尺二寸五分九釐。用乙未、丙寅景相减,以丙寅、丁卯景相减,如前法推之,亦同。此取至前后七十五六日景。二月三日庚辰,景三丈二尺一寸九分五釐五毫;至八月初五日庚辰,景三丈一尺五寸九分六釐五毫;初六日辛巳,景三丈二尺二分六釐五毫。用前庚辰与辛巳景相减,以后庚辰、辛巳景相减,如前法推之,亦同。此取至前后九十日景。正月十九日丁卯,景三丈八尺五寸一釐五毫;至八月十八日癸巳,景三丈七尺八寸二分三釐;十九日甲午,景三丈八尺二寸一分五毫。用丁卯、甲午景相减,以癸巳、甲午景相校,如前推之,亦同。此取至前后一百三四日景。
推十六年己卯岁冬至,十月二十四日戊戌,景七丈六尺七寸四分;至十一月二十五日己巳,景七丈六尺五寸八分;二十六日庚午,景七丈六尺一寸四分二釐五毫。用戊戌、己巳景相减,馀一寸六分为晷差,进二位;以己巳、庚午景相减,馀四寸三分七釐五毫为法;除之,得三十六刻;以相减距日三千一百刻,馀三千六十四刻;半之,加五十刻,百约,得一十五日;馀以十二乘之,百约为时,满五十,又进一时,共得十时;馀以十二收之为刻,得二刻;命初起距日戊戌算外,得癸丑日戌初二刻冬至。此取前后十五六日景。十月十八日壬辰,景七丈四尺五分二釐五毫;十九日癸巳,景七丈四尺五寸四分五釐;二十日甲午,景七丈五尺二分五釐;至十一月二十八日壬申,景七丈五尺三寸二分;二十九日癸酉,景七丈四尺八寸五分二釐五毫;十二月甲戌朔,景七丈四尺三寸六分五釐;初二日乙亥,景七丈三尺八寸七分一釐五毫。用甲午、癸酉景相减,癸巳、甲午景相减,如前推之,亦同。若以壬申、癸酉景相减为法,推之亦同。此取至前后十八九日景。若用癸巳与甲戌景相减,以壬辰、癸巳景相减,推之,或癸巳、甲午景相减,推之,或用甲戌、癸酉景相减,推之,或甲戌、乙亥景相减,推之,或以壬辰、乙亥景相减,用壬辰、癸巳景相减,推之并同。此取至前后二十日景。十月十六日庚寅,景七丈三尺一分五釐;十二月初三日丙子,景七丈三尺三寸二分;初四日丁丑,景七丈二尺八寸四分二釐五毫。用庚寅、丁丑景相减,以丙子、丁丑景相减,推之亦同。此取至前后二十三日景。十月十四日戊子,景七丈一尺九寸二分二釐五毫;十五日己丑,景七丈二尺四寸六分九釐;十二月初五日戊寅,景七丈二尺二寸七分二釐五毫。用己丑、戊寅景相减,以戊子、己丑景相减,推之,或用己丑、庚寅相减,推之亦同。此取至前后二十四日景。十月初七日辛巳,景六丈七尺七寸四分五釐;初八日壬午,景六丈八尺三寸七分二釐五毫;初九日癸未,景六丈八尺九寸七分七釐五毫;十二月十二日乙丑,景六丈八尺一寸四分五釐。用壬午、乙丑景相减,以辛巳、壬午相减,推之,壬午、癸未景相减,推之亦同。此取至前后三十一二日景。十月乙亥朔,景六丈三尺八寸七分;十二月十八日辛卯,景六丈四尺二寸九分七釐五毫;十九日壬辰,景六丈三尺六寸二分五釐。用乙亥、壬辰景相减,以辛卯、壬辰景相减,推之亦同。此取至前后三十八日景。九月二十二日丙寅,景五丈七尺八寸二分五釐;十二月二十八日辛丑,景五丈七尺五寸八分;二十九日壬寅,景五丈六尺九寸一分五釐。用丙寅、辛丑景相减,以辛丑、壬寅景相减,推之亦同。此取至前后四十七八日景。九月二十日甲子,景五丈六尺四寸九分二釐五毫;至十二月二十九日壬寅,景五丈六尺九寸一分五釐;至十七年正月癸卯朔,景五丈六尺二寸五分。用甲子、癸卯相减,壬寅、癸卯景相减,推之亦同。此取至前后五十日景。
右以累年推测到冬夏二至时刻为准,定拟至元十八年辛巳岁前冬至,当在己未日夜半后六刻,即丑初一刻。
世祖至元十六年二月,王恂请增高铜表,分置监候,官从之。三月,遣郭守敬测验晷景。
《元史·世祖本纪》:至元十六年春二月癸未,太史令王恂等言:建司天台于大都,仪象圭表皆铜为之,宜增铜表高至四十尺,则景长而真。又请上都、洛阳等五处分置仪表,各选监候官。从之。三月庚戌,敕郭守敬繇上都、大都,历河南府抵南海,测验晷景。按《郭守敬传》:十六年,改局为太史院,以恂为太史令,守敬为同知太史院事,给印章,立官府。及奏进仪表式,守敬当帝前指陈理致,至于日晏,帝不为倦。守敬因奏:唐一行开元间令南宫说天下测景,书中见者凡十三处。今疆宇比唐尤大,若不远方测验,日月交食分数时刻不同,昼夜长短不同,日月星辰去天高下不同,即日测验人少,可先南北立表,取直测景。帝可其奏。遂设监候官一十四员,分道而出,东至高丽,西极滇池,南踰朱崖,北尽铁勒,四海测验,凡二十七所。按天文志,南海,北极出地一十五度,夏至景在表南,长一尺一寸六分。 衡岳,北极出地二十五度,夏至日在表端,无景。岳台,北极出地三十五度,夏至晷景长一尺四寸八分。和林,北极出地四十五度,夏至晷景长三尺二寸四分。铁勒,北极出地五十五度,夏至晷景长五尺一分。北海,北极出地六十五度,夏至晷景长六尺七寸八分。大都,北极出地四十度太强,夏至晷景长一丈二尺三寸六分。上都,北极出地四十三度少。北京,北极出地四十二度强。益都,北极出地三十七度少。登州,北极出地三十八度少。高丽,北极出地三十八度少。西京,北极出地四十度少。太原,北极出地三十八度少。安西府,北极出地三十四度半强。兴元,北极出地三十三度半强。成都,北极出地三十一度半强。西凉州,北极出地四十度强。东平,北极出地三十五度太。大名,北极出地三十六度。南京,北极出地三十四度太强。河南府阳城,北极出地三十四度太弱。扬州,北极出地三十三度。鄂州,北极出地三十一度半。吉州,北极出地二十六度半。雷州,北极出地二十度太。琼州,北极出地一十九度太。
至元十七年,新历成,郭守敬等奏上考正测影事。按《元史·世祖本纪》不载,按《元史纪事本末》:至元十七年,新历成,郭守敬与诸太史同上奏曰:帝王之事,莫重于历。我朝统一六合,肇造区夏,专命臣等改治新历,臣等用创造简仪、高表、凭测到实数,所考正者:一曰冬至。自丙子年立冬后,依每日测到晷景,逐日取对,冬至前后日差同者为准。得丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻半,又定丁丑夏至得在庚子日夜半后七十刻;又定戊寅冬至在癸卯日夜半后三十三刻;己卯冬至在戊申日夜半后五十七刻半;庚辰冬至在癸丑日夜半后八十一刻半。凡减大明历十八刻,远近相符,前后应准。二曰岁馀。自刘宋大明历以来,凡测影、验气,得冬至时刻真数者有六,用以相距,各得其时合用岁馀。今考定四年,相符不差,仍自宋大明壬寅年距至今日八百一十年,每岁合得三百六十五日二十四刻二十五分,其二十五分为今历岁馀合用之数。三曰日躔。用至元丁丑四月癸酉望月食既,推求日躔,得冬至日躔赤道箕宿十度,黄道箕九度有畸。仍凭每日测到太阳躔度,或凭星测月,或凭月测日,或径凭星度测日,立术准算。起自丁丑正月至乙卯十二月,凡三年,共得一百三十四事,皆躔于箕,与日食相符。四曰月离。自丁丑至今,每日测到逐时太阴行度推算,变从黄道求入转极迟、极疾并平行处,前后凡十三转,计五十一事。内除不的者外,有三十事,得大明历入转后天。又因考验交食,加大明历三十刻,与天道合。五曰入交。自丁丑五月以来,凭每日测到太阴去极度数,比拟黄道去极度,得月道交于黄道,共得八事。仍依日食法度推求,皆有食分,得入交时刻,与大明历所差不多。六曰二十八宿距度。盖自汉太初以来,距度不同,互有损益。大明历则于度下馀分,附以太半少,皆私意牵就,未尝实测其数。今新仪皆细刻周天度分,每度为三十六分,以距线代管窥,宿度馀分并依实测,不以私意牵就。是岁,有诏颁行新历。守敬又为二至晷景考二十卷,新测二十八舍,杂坐诸星八宿去极一卷,新测无名诸星一卷,守敬所为历,至为切密,八尺之表。夏至景长尺有五寸,千里为差一寸,其说见于周官周髀,唐一行。虽尝疑之,而未之有改。守敬乃为表,比古制加五倍,上施横梁,每日中以符窍夹测横梁之景,折取中数,视旧法,但取表端之影者,审矣。按杨恭懿传,恭懿归田里。十六年,诏安西王相敦遣赴阙。入见,诏于太史院改历。十七年二月,进奏曰:臣等遍考自汉以来历书四十馀家,精思推算,旧仪难用,而新者未备,故日行盈缩,月行迟疾,五行周天,其详皆未精察。今权以新仪木表,与旧仪所测相较,得今岁冬至晷景及日躔所在,与列舍分度之差,大都北极之高下,昼夜刻长短,参以古制,创立新法,推算成辛巳历。虽或未精,然比之前改历者,附会元历,更日立法,全踵故习,顾亦无愧。然必每岁测验修改,积三十年,庶尽其法。可使如三代日官,世专其职,测验良久,无改岁之事矣。
至元二十一年夏六月壬子,遣使,分道寻访测验晷景日月交食历法。
《元史·世祖本纪》云云。
至元二十二年春三月丙子,遣太史监候张公礼、彭质等,往占城测候日景。
《元史·世祖本纪》云云。

英宗正统十一年,奏准修简仪等器,造晷影堂。
《明会典》:正统十一年奏准,简仪修刻黄道等度,圭表、壶漏俱如南京旧制,又造晷影堂,以便窥测调品。
世宗嘉靖七年,奏准立四丈木表测晷,以定气朔。
《明会典》云云。
嘉靖九年,委官考正土圭表漏。
《嵩高志》:嘉靖九年,巡按河南何天衢言登封,旧有测景观星二台,周公遗迹也。土圭、表漏俱存,乞敕委官考正制度刻之,史册从之。
神宗万历二十四年,礼部以河南按察司佥事邢云路奏窥天之器,即请以云路提督钦天监事,率官属测候,未果行。
《明纪事本末》:万历二十四年,河南按察司佥事邢云路奏窥天之器,无踰观象测景候时,筹策四事议者应宜,俱改,使得中秘星历书一编阅而校焉。必自有得于是,钦天监正张应候等疏诋,其诬礼部言:使旧法无差,诚宜世守而今既觉少差矣。失今不修,将岁愈久而差愈远,其何以齐七政而釐百工哉。理应俯从云路所请,即行考求磨算,渐次修改。但历数本极元微修改,非可易议。盖更历之初,上考往古数千年布算,虽有一定之法,而成历之后,下行将来数百年不无分秒之差。前此不觉,非其术之疏也。以分秒布之,百馀年间其微不可纪,盖亦无从测识之耳。必积至数百年,差至数分,而始微见其端。今欲验之,亦必测候数年,而始微得其概。即今该监人员不过因袭,故常推衍成法而已。若欲斟酌损益,缘旧为新,必得精谙历理者为之总统,其事选集星家多方,测候积算累岁,较析毫芒,然后可为准信,裁定规制。伏乞即以邢云路提督钦天监事,该监人员皆听约束本部,仍博访通晓历法之士,悉送本官委用务,亲自督率官属测候二至、太阳晷刻、逐月中星、躔度及验日月交食起复时刻、分秒、方位诸数,随得随录,一切开呈御览,积之数年,酌定岁差,修正旧法,则万世之章程不易,而一代之宝历惟新。其于国家敬天勤民之政,诚大有裨益矣。疏奏留中未行。

皇清

康熙七年
《大清会典》:康熙七年,
命大臣传集西洋人与本监官质辨,复令礼部堂官
与西洋人,至
午门,测验正午日影。
康熙八年

《大清会典》:康熙八年,
特遣大臣二十员赴观象台测验,遂令西洋人治理
历法。
康熙十四年

《大清会典》:康熙十四年,定日月食俱归钦天监职掌。
前期,钦天监推算分秒时刻,奏

闻礼部,遣司官一员前住观象台,督同钦天监官测
验所食分秒。仍令钦天监奏覆。
康熙二十二年

《大清会典》:康熙二十二年,测验
盛京北极高度,推算日月交食表,告成。




钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百三卷目录

 测量部汇考四
  诗经〈鄘风定之方中 大雅公刘〉
  易纬〈通卦验〉
  书纬〈考灵曜〉
  淮南子〈天文训〉
  隋书〈天文志〉
  宋史〈律历志〉
  宣和博古图〈周双螭表座 汉表座〉
  元史〈天文志〉
  新法历书一〈大测上〉

历法典第一百三卷

测量部汇考四

《诗经》鄘风定之方中

定之方中,作于楚宫。揆之以日,作于楚室。
〈传〉定,营室也。揆,度也。度日出日入以知东西,南视定北准极以正南北。室,犹宫也。〈笺〉定星昏中而正,于是可以营制宫室,故谓之营室。定昏中而正,谓小雪时,其体与东壁连正四方。〈疏〉《正义》曰:此度日出日入,谓度其影也。故《公刘传》曰:考于日影是也。其术则匠人云水地以县,置槷以悬视,以影为规,识日出之影,与日入之影。昼参诸日中之影,夜考之极星,以正朝夕。注云:于四角立植而悬以水,望其高下。高下既定,乃为位而平也。于所平之地中央树八尺之槷以悬正之视之以其影端,以至日入既则为规。测影两端之内规之,规之交乃其审也。度两交之间,中屈之以指槷,则南北正也,日中之影最短者也。极星谓北辰也,是揆日瞻星,以正东西南北之事也。如匠人注:度日出日入之影,不假于视,定视极而东西南北皆知之。此传度日出入以知东西,视定极以正南北者,考工之文,止言以正朝夕,无正南北之语。故规影之下,别言考之,极星是视,极乃南北正矣。但郑因屈横度之绳,即可以知南北,故细言之,与此不为乖也。

大雅公刘

笃公刘,既溥既长,既景乃冈。相其阴阳,观其流泉。
〈传〉既景,乃冈考于日景,参之高冈。〈笺〉以日景定其经界于山之脊观,相其阴阳寒煖所宜,流泉浸润所及,皆为利民富国。〈疏〉日影定其经界者,民居田亩,或南或东,皆须正其方面,故以日影定之。

《易纬》通卦验

冬至之日,树八尺之表。日中视其晷景长短,以占和否。夏至影一尺四寸八分,冬至一丈三尺。

《书纬》考灵曜

日末影尺五寸,日短景尺三寸。

《淮南子》天文训

正朝夕,先树一表东方,操一表却去前表十步以参望。日始出,北廉日直入。又树一表于东方,因西方之表以参望,日方入北廉,则定东方。两表之中与西方之表则东西之正也。日冬至,日出东南,维入西南。维至春秋分,日出东中入西中。夏至出东北,维入西北。维至则正南。欲知东西南北广袤之数者,立四表以为方一里距先春分若秋分十馀日。从距北表参望,日始出及旦以候相应,相应则此与日直也。辄以南表参望之,以入前表数为法。除举广,除立表。袤以知从,此东西之数也。假使视日出入,前表中一寸,是寸得一里也。一里积万八千寸得从,此东万八千里。视日方入,入前表半寸,则半寸得一里。半寸而除一里,积寸得三万六千里。除则从此,西里数也,并之东西里数也,则极径也,未春分而直,已秋分而不直,此处南也。未秋分而直,已春分而不直,此处北也。分至而直,此处南北中也。从中处欲知中南也,未秋分而不直,此处南北中也。从中处欲知南北,极远近从西南表参望日。日夏至始出,与北表参则是东。与东北表等,正东万八千里则从中,北亦万八千里也。倍之南北之里数也,其不从中之数也。以出入前表之数益损之。表入一寸,寸减日近一里;表出一寸,寸益远一里。欲知天之高,树表高一丈,正南北,相去千里同日度其阴,北表二尺,南表尺九寸,是南千里阴短寸,南二万里则无景,是直日下也。阴二尺而得高一丈者,南一而高五也。则置从此南至日下里数,因而五之为十万里,则天高也。若使景与表等,则高与远等也。

《隋书》天文志

《周礼》:大司徒职,以土圭之法测土深,正日景以求地中,此则浑天之正说,立仪象之大本。故云:日南则景短,多暑;日北则景长,多寒;日东则景夕多风,日西则景朝多阴。日至之景,尺有五寸,谓之地中,天地之所合也,四时之所交也,风雨之所会也,阴阳之所和也。然则百物阜安乃建王国焉。又考工记匠人建国水地以县置槷,以县视。以景为规,识日出之景与日入之景。昼参诸日中之影,夜考之极星以正朝夕。按:土圭正影,经文阙略,先儒解说,又非明审。祖暅错综经注以推地中,其法曰:先验昏旦,定刻漏,分辰次,乃立仪表于准平之地,名曰南表。漏刻上水居日之中,更立一表于南,表影末,名曰中表。夜依中表以望北极枢而立北表,令参相直。三表皆以县准定乃观,三表直者,其立表之地,即当子午之正。三表曲者,地偏僻。每观中表以知所偏,中表在西,则立表处在地中之西,当更向东求地中。若中表在东,则立表处在地中之东也,当更向西求地中。取三表直者为地中之正。又以春秋二分之日,旦始出东方半体,乃立表于中表之东,名曰东表。令东表与日及中表参相直,是日之夕。日入西方半体,又立表于中表之西,名曰西表。亦从中表西望西表。及日参相直,乃观三表直者,即地南北之中也。若中表差近南,则所测之地在卯酉之南。中表差在北,则所测之地在卯酉之北。进退南北求三表直,正东西者则其地处中,居卯酉之正也。〈地中〉
昔者周公测晷景于阳城,以参考历纪。其于周礼,在大司徒之职,以土圭之法测土深,正日景以求地中。日至之景,尺有五寸,则天地之所合,四时之所交,百物阜安乃建王国。然则日为阳精元象之著然者也。生灵因之动息,寒暑由其递代。观阴阳之升降,揆天地之高远。正位辨方,定时考闰,莫近于兹也。古法简略,旨趣难究。术家考测,互有异同。先儒皆云:夏至立八尺表于阳城,其影与土圭等。案《尚书·考灵曜》称,日永景尺五寸,日短景尺三寸。《易通卦验》曰:冬至之日,树八尺之表,日中视其晷景长短以占和否。夏至景一尺四寸八分,冬至一丈三尺。《周髀》云:成周土中夏至景一尺六寸,冬至景一丈三尺五寸。刘向《鸿范传》曰:夏至景长一尺五寸八分,冬至一丈三尺一寸四分,春秋二分景七尺三寸六分。后汉《四分历》、魏《景初历》、宋《元嘉历》《大明祖冲之历》皆与《考灵曜》同。汉魏及宋所都,皆别四家历法。候景则齐,且纬候所陈,恐难依据。刘向二分之景直以率推,非因表候定其长短。然寻晷景尺丈,虽有大较,或地域不改而分寸参差,或南北殊方而长短维一。盖术士未能精验,冯古所以致乖。今删其繁杂,附于此云:梁天监中、祖暅造八尺铜表,其下与圭相连。圭上为沟,置水以取平,正揆测日晷求其盈缩。至大同十年,太史令虞𠠎又用九尺表格,江左之景夏至一尺三寸二分,冬至一丈三尺七分。立夏、立秋二尺四寸五分,春分、秋分五尺三寸九分。陈氏一代,唯用梁法。齐神武以洛阳旧器,并徙邺中以暨。文宣受终,竟未考验。至武平七年,讫于景礼。始荐刘孝孙、张孟宾等于后主刘张建表,测景以考分至之气,草创未就,仍遇朝亡。周自天和以来,言历者纷纷复出,亦验二至之景以考历之精粗。及高祖践极之后,大议造历。张胄元兼明揆测言:日长之瑞有诏司,存而莫能考决。至开皇十九年,袁充为太史令,欲成胄元旧事,复表曰:隋兴已后,日景渐长。开皇元年冬至之景长一丈二尺七寸二分,自尔渐短。至十七年,冬至景一丈二尺六寸三分。四年冬至,在洛阳测景长一丈二尺八寸八分,二年夏至景一尺四寸八分,自尔渐短。至十六年夏至景一尺四寸五分,其十八年冬至阴云,不测。元年十七年、十八年亦阴云,不测。周官以土圭之法正日景,日至之景尺有五寸。郑元云:冬至之景一丈三尺,今十六年夏至之景短于旧五分。十七年冬至之景短于旧三寸七分。日去极近则景短,而日长去极远则景长。而日短行内道则去极近,行外道则去极远。《尧典》云:日短星昴以正仲冬据昴星昏中,则知尧时仲冬日在须女十度。以历数推之,开皇以来冬至日在斗十一度,与唐尧之代去极俱近。谨案《元命包》云:日月出内道,璇玑得其常。天帝崇灵圣王,初功京房别对曰:太平日行上道升平,日行次道霸代,日行下道伏惟。大隋启运上感乾元景短日长,振古希有是。时废庶人勇晋王广初为太子,充奏此事,深合时宜。上临朝谓百官曰:景长之庆,天之祐也。今太子新立,当须改元,宜取日长之意以为年号。由是改开皇二十一年为仁寿元年。此后百工作役,并加程课,以日长故也。皇太子率百官诣阙,陈贺案日徐疾盈缩无常,充等以为祥瑞,大为议者所贬。又《考灵曜》《周髀》、张衡《灵宪》及郑元《注周官》并云:日影于地千里而差一寸。案宋元嘉十九年,壬午使使往交州测影,夏至之日影出表南三寸二分。何承天遥取阳城云:夏至一尺五寸。计阳城去交州路当万里,而影实差一尺八寸二分,是六百里而差一寸也。又梁大同中,二至所测以八尺表率取之,夏至当一尺一寸七分彊。后魏信都芳注周髀四术称,永平元年戊子,当梁天监之七年,见洛阳测影又见。公孙崇集诸朝士共观,秘书影同是。夏至日其中影皆长一尺五寸八分。以此推之,金陵去淮南北略当千里而影差四寸,则二百五十里而影差一寸也。况人路迂回,山川登降,方于鸟道所校弥多,则千里之言未足依也。其揆测参差如此,故备论之。〈晷影〉

《宋史》律历志

英宗明天历法,升降分:皇极躔衰有陟降率,麟德以日景差、陟降率、日晷景消息为之,义通轨漏。夫南至之后,日行渐升,去极近,故晷短而万物皆盛;北至之后,日行渐降,去极远,故晷长而万物寖衰。自大衍以下,皆从麟德。今历消息日行之升降,积而为盈缩焉。岳台日晷,岳台者,今京师岳台坊地曰浚仪近古候景之所,《尚书·洛诰》称东土是也。《礼·玉人职》土圭长尺有五寸以致日,此即日有常数也。司徒职以圭正日晷,日至之景尺有五寸,谓之地中,此即是地土中,致日景与土圭等。然表长八尺,见于《周髀》。夫天有常运,地有常中,历有正象,表有定数。言日至者,明其日至此也。景尺有五寸与圭等者,是其景晷之真效然。夏至之日尺有五寸之景,不因八尺之表,将何以得。故经见夏至日景者,明表有定数也。

【宣和博古图】

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【周双螭表座】

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右表座高一尺三寸七分,下径一尺九寸三分,重五十五斤。无铭。周官置槷昼以参诸日中之景。槷即表也。是器形若大盘,上蟠双螭,而仰其首于两螭间。又出一筒,中通上下,是为表座中通。所以植槷无欹,侧以取其端焉。

【汉表座】

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右表座高四寸六分,深四寸二分,阔七寸一分,口径一寸一分,重三斤九两。无铭。是器,表座也。作三圜筒相合为一体,措之地则一筒端立可以立表。周官所谓槷者,是器所以为测日之具也。

《元史》天文志

鲁哈麻亦渺凹只,汉言春秋分晷影堂。为屋二间,脊开东西横罅,以斜通日晷。中有台,随晷影南高北下,上仰置铜半环,刻天度一百八十,以准地上之半天,斜倚锐首铜尺,长六尺,阔一寸六分,上结半环之中,下加半环之上,可以往来窥运,侧望漏屋晷影,验度数,以定春秋二分。鲁哈麻亦木思塔馀,汉言冬夏至晷影堂也。为屋五间,屋下为坎,深二丈二尺,脊开南北一罅,以直通日晷。随罅立壁,附壁悬铜尺,长一丈六尺。壁仰画天度半规,其尺亦可往来规运,直望漏屋晷影,以定冬夏二至。

《新法历书一》大测上

大测者,测三角形法也。凡测算皆以此测彼。而此一彼一不可得。测九章算多以三测,一独句股章以二测。一则皆三角形也,其不言句股者,句与股交必为直角。直角者,正方角也,遇斜角则句股穷矣。分斜角为两直角,亦句股也。遇或不可得分,又穷矣。三角形之理,非句股可尽,故不名句股也。句股之易测者,直线也,平面也。测天则圜面曲线,非句股所能得也。故有弧矢弦割圜之法。弧者,曲线。弦矢者,直线也。以弧求弧无法可得,必以直线曲弧相当相准,乃可得之。相当相准者,围径之法也。而围与径终古,无相准之率。古云:径一围,三实围以内。二径之六弦,非围也。祖冲之密率云:径七围二十二,则其外切线也,非围也。刘徽密率云:径五十围百五十七,则又其内弦也,非围也。或推至万万亿以上然。而小损即内弦,小益即外切线也,终非围也。历家以句股开方,展转商求,累时方成一率。然不能离径一围三之法,即祖率已繁,不复能用,况徽率乎。况万万亿以上乎。是以甚难而实谬。今西法以周天一象限分为半弧,而各取其正半弦。其术从二径六弦,始以次求得六宗率皆度数之正义无可疑者。次用三要法相分相准,以求各率,而得各弧之正半弦。又以其馀弧之正弦为馀弦,以馀弦减半径为矢弧之外,与正弦平行而,交于割线者,为切线。以他半径截弧之一端而交于切线者,为割线。其与馀弦平行者,则馀切线也。即正割一线交于馀切线,而止者,馀割线也。以正弦减半径者,馀矢也。总之为八线,其弧度分为五千四百。每一度分有八线焉,合之为四万三千二百率也。其用之则一形中有三边、三角,任有其三可得其馀三也。凡测候所得者,皆弧度分也。以此二三弧求彼一弧,先简此弧之某直线与彼弧之某直线,推算得数简表,即得彼弧之度分。不劳馀力,不费晷刻。为之者,劳用之者,逸方之句股。开方以测圆者,甚易而实是也。然则必无差乎。曰:有之。或在其末位。如半径设十万,则所差者,十万分之一也。设千万则所差者,千万分之一也。历家推演至微,纤以下率皆弃去,即谓之无差亦可。故论此法者,谓于推步术中为模范矣。测天者,所必须大于他测,故名大测,其解义六篇,谨列如左:
因明篇第一
总论〈凡三十二条〉

三角形者,一形而三边。容有三角也。如左图:甲乙丙


为平面三角形,丁戊己为球面三角形。
三角形各以两边容一角,此两边为角形之两腰,第三边为角形之底。
如上:甲乙丙形,若以甲乙甲丙为两腰,则容乙甲丙角,〈第二字为所指角〉乙丙其底也,馀二同,丁戊己亦同。


各边向一角者,名为对角。如上甲乙线向丙角者,名为对丙角,甲丙向乙名为对乙角。
角以何为尺度。一弧之心在交点,从心引出线为两腰,而弧在两腰之间,此弧即此角之尺度。
如上乙甲丙角,其尺度则


丁丙或戊己皆是。其法甲为心其界或近如丁丙,或远如戊己。
大测法:分圈三百六十为度,度析百分,〈中历〉或六十分,〈远西〉分或百析为秒,递析为百至纤而止。〈中历〉或析为六十秒,递析为六十至十位而止。〈远西〉
圈愈大,其度分亦愈大。两弧之分数等,其圈等弧亦等。其圈不等,弧亦不等。其不等之两弧,名相似弧。如上丁丙虽小于戊己,而同对甲角,即同为若干度分之弧也。
圈四分之一为九十度,有弧不足九十度,则其外


至九十者,名馀弧,亦曰较弧,亦曰差弧。
如甲丁弧四十度,则丁至丙五十度为馀弧。
有弧大于象限,〈在九十以上〉名为过弧。
如甲乙弧大于甲丁,过九十度则丁乙为过弧。半圈界一百八十度,有弧小于半圈,则其外至百八十度者,名为半圈之较弧。
如甲乙弧小于甲乙丙半圈,则乙丙为其较弧。凡交角俱相等。
如甲与乙,丙与丁,皆交角相等。〈见几何第一卷十五题〉如戊与己亦交角相等。


角有二类:一直角,一斜角。凡直角其度皆九十。斜角有二类:一锐角,一钝角。
钝角者,其度大于象限。锐角者,其度小于象限。角之馀,与弧同理。〈或曰较角或曰差角〉
有两角并在一线,上为同

方,角并之等于两直角。如右图甲与乙,丙与丁皆是同方,两角等于两直角,故彼角为此角之较。
如前乙角即甲之较,甲亦乙之较。
三角形或三边等,或两边等,或三不等。
三角形两腰等,其底线上两角亦等。底上两角等,则两腰亦等。〈见几何一卷第五〉
三边形之三角等,则三边亦等。
三角形之角有二类:一为直角三边形,一为斜角三边形。
直角三边形,形内止有一直角。
直角三边形之对直角边名弦,两腰名句股。
远西句股,俱各垂线互用之。

斜角形其角皆斜。
斜角形有二类:一曰锐角,一曰钝角。
钝角形止有一钝角。
锐角形三皆锐角。
三角形有二类:一曰平面上形,一曰球上形。
论平面上三角形〈凡十一条〉

平面上三角形有三种:一直线,一曲线,一杂线。大测所论皆直线也。
凡等角,两三边形其在等角旁之各两腰线相与为比例必等。而对等角之边为相似边。〈几何六卷第四题〉凡两三角形其角两边之比例等,即两形为等角形。而对各相似边之角各等。〈几何六卷第五题〉
此二题为大测之根本,不用开方,直以比例得之。法至简,用至大也。

如左图甲乙丙、丁戊己两形,甲与丁,乙与戊,丙与己


皆等角,其旁各两腰之比例等者,十与六若五与三也。更之,则十与五若六与三也。反之,则六与十若三与五也。
凡两形中,各对相当等角之边皆相似之边。如甲丙对乙,丁己对戊。而乙戊为等角者,即甲丙丁己为相似之边也。
三角形之外角与相对之内两角并等。〈几何一卷之三十二〉如上甲乙丙形之乙甲两角并,与甲丙丁角等。三角形之三角并,等于两直角。
如上图丁己庚直角与乙角等,其甲丙二角并与丁


己戊角等。
平面上三角形止有一直角或一钝角,其馀二必皆锐角。
三边形内之第三角为前两角之馀角,何者。为前两角不满二直角故。
直角旁之两腰,其能与弦等。能等者谓两腰,上两方


形并与弦上方形等也。〈几何一卷之四七〉
此理之用为:先得二边以求第三边。如甲乙丙形先得甲乙、乙丙两边,而求第三边法:以甲乙三自之为九,乙丙四自之为十六,并得二十五,与甲丙之实等。开方得甲丙弦五。若先得


直角旁之一腰,如甲乙三,又得甲丙弦五,而求乙丙。则以甲丙自之得二十五,乙甲自之得九,相减之较十六,开方得乙丙四。直角形之两等边有数,则其弦无数,可推。若弦有数,则两等边无数,可推。如图甲乙、甲丙各三自之


各九,并之得十八。乙丙上实十八,开方得四,馀实二分之,或为八分之二或为九分之二。八分之二则大于真率,九分之二则小于真率。其乙丙真率无数可得更细分之,亦复不尽。直角三边形之两锐角,彼锐为此锐之馀。


如乙丙二锐角,丙为馀角,为三角并等二直角。此二锐应等一直角,乙一角不足一直角,故丙角为乙角与直角相减之较。
平边三角形在圈内,其各角之度数皆为其对弧度数之半。
如上甲乙丙形三边等分


圈为三,各弧俱一百二十度。本形之三角等二直角,并得一百八十。则对弧百二十度倍于对角六十度也。
平面两三角形在圈内,同底两形之顶相连成一四边形。此形内有两对角线,则此形相对之各两边,各


相偕为两直角,形并与两对角线相偕为直角形等。如上甲乙丙、甲丁丙两三角形在甲乙丁丙圈内,甲丙同底,其顶乙丁相连成甲乙丁丙四边形。形内有甲丁、乙丙两对角线,以此两线相偕为直角形。次以乙丁、甲丙两相对边以甲

乙、丁丙两相对边各相偕为直角形。题言后两形并与前一形等。
其用为:先得五线,以求第六线。〈多罗某之法〉
论球上三角形〈凡二十条〉

凡球上三角形,皆用大圈相交之角。
大测所用三角形之各弧,必小于大圈之半。
球大圈分球为两平,分离于两极,各九十度。
彼大圈过此大圈之极,此两圈必相交为直角。两大圈相交为直角,必彼大圈过此大圈之极。


如甲丙大圈,其极乙丁有乙戊丁己大圈过两极,其交处如戊,如己,各成四直角。
球上角之度,必从交引出为两弧,各九十度而遇一象限之弧,两遇处相去之度即此角之大。
如甲乙丙球上三角形,欲


知甲角之大为几何度分,不得用己庚弧为其尺度,必从甲引出至乙、至丙各为一象限之弧。而戊丁亦大圈之一象限弧也。丁戊弧与甲乙、甲丙相遇,即乙丙弧之大为甲角之大。球上角之两边引出之至相遇,即两弧俱成半圈,而


两对角必等。
如甲乙丙三角形,从两腰各引出之至丁,则甲丙丁、甲乙丁两弧皆成半圈,而甲与丁两角等。
球上三角形有相对彼三角形与同底,而对角等,即彼形之两腰为此形两腰之馀腰。


初腰不足一百八十度,故后腰为半圈之馀。
其彼此之同方,两角亦等。两直角而彼角为此角之馀角。
如上甲乙丙三角形与相对之乙丙丁同乙丙底,而甲乙两角等,即乙丁为甲乙之馀弧,丙丁为甲丙之


馀弧,丁乙丙角为甲乙丙之馀角。
为甲乙丙不足两直角故。
乙丙丁角为甲丙乙之馀角。
球上直角三边形,或有一直角,或二直角,或三俱直角。


球上三边形有一直角者,或有两锐角,或有两钝角,或一钝一锐角。
如上甲乙丙形,甲为直角,其乙丙为两锐角。乙丁丙形,丁为直角,其乙丙为两钝角。若丁戊己形则其戊为锐角,其己为钝角。甲戊己形则其戊为钝角;其己

为锐角。
球上直角三边形有两锐角,则其对直角之直角三边形有两钝角。
如前图,甲乙丙之甲直角与乙丁丙之丁直角相对者是。
球上直角三边形有两锐角,其三弧皆小于象限。如前图甲乙丙是。
球上直角三边形有两钝角,其两腰皆大于象限,而第三弧必小于象限。


如前图乙丁丙是。
球上直角三边形有一锐一钝角,其锐角之相对三角形亦有一直角、两锐角,如上图丁乙丙三边形,丙为直角,丁为锐角,乙为钝角,即丁锐角之相对乙丙戊形,其丙为直角。
与乙丙丁并等两直角,


其乙与戊为两锐角。球上三边形有多直角,其对直角之各弧皆为一象限。
如甲为直角,乙丙弧对之为一象限。馀二同。
此图为三直角,题言多者,以该二直角也。
球上三边形有二直角,若


第三为锐角,即对角之弧小于象限。若钝角,即对角之弧大于象限。
如上丁戊己形丁戊皆直角,己为锐角,即对己之丁戊弧小于象限。甲乙丙形甲丙皆直角,乙为钝角,则对角之甲丙弧大于象限。球上斜三角形有三类:或


俱锐角,或俱钝角,或杂锐钝角。
球上斜三角形俱锐角者,其相对三角形有两钝角,一锐角。
如上甲乙丙形三皆锐角,即相对丁乙丙形其乙丙为两钝角,丁为锐角。球上三边形俱钝角者,其


相对三角形有两锐角,一钝角。
如上甲乙丙形三皆钝角,即相对乙丙丁形其乙丙为两锐角,丁为钝角。球上三角形之三角并,大于两直角。
有二直角即大,何况一直一钝以上。
割圆篇第二
总论〈凡二十六条〉

三角形有六率:三角、三边是也。测三角形者,于六率中先得其三,而测其馀三也。
测三角形者,止测其线,非测其容。测或作推,或作解,下文通用。

测三角形必藉同比例法。〈亦曰三率法〉同比例者,四率同。比例先有三而求第四也。故三角形之六率,其比例欲定,其分数欲明。
三角形六率之比例,其中用弧者,最为难定。何者圆线与直线之比例,从古至今未有其法。故
三角形何以有弧。曰:球上三角形其三边皆弧也,其三角皆弧角也。即平面三角形,其可以直线测者,三边耳。欲测其角,非弧不得。而弧为圆,线无数可测。故测弧者,必求其与弧相当之直线。
与弧相当之直线者,割圆界而求其直线之分,与弧分相当者是也。
割圆之直线有四:一曰弦,一名通弦,二曰半弦,皆在


圆界内。三曰切线,在圆界外。四曰割线,在圆界之内外。
弦者,直线在圈内,从此点至彼点分圈为两分。凡弦皆,对两弧一上一下。如上图甲乙为弦,分甲丙乙丁圈为两分,甲丁乙为大分,甲丙乙为小分。则甲


乙弦上当甲丙乙小弧,下当甲丁乙大弧。
正弧者,从弧作垂线至全径上。
如上图从丁作甲乙之垂线,若从丁直至戊则为通弦,故丁丙为半弦。
半弦又有二种:有正弦,有倒弦。


正半弦是直线在半圈内,从弧作垂线至径上,分半圈为不等之两分,一大弧,一小弧。此半弦者,当小弧,亦当大弧。
当者,为小弧之半弦,亦为大弧之半弦。
如上图从己弧下至甲乙全径,上作己庚垂线,分甲

丙乙半圈为不等两分:乙己弧为小分,己丙甲弧为大分。则己庚为己乙小弧之半弦,又为己丙甲大弧之半弦。
正半弦从一点作两半弦。第一为前半弦,第二为后半弦。又为馀弧弦,又为较弦,又为差弦。
如前图先论,己庚即为前半弦,其己戊即为后半弦。又为馀为较者,乙己丙弧九十度。乙己不足九十度,则己丙为馀弧,亦为较弧。故己戊为馀弦较弦也。前后两半弦,其能等于半径。


如上图庚己为前弦当乙己弧,己戊为后弦当己丙馀弧。戊己弦等于丁庚。〈几何一卷三十四〉则丁己半径上方与庚己己戊上两方并等,故云两半弦之能等于半径。
论曰:其两半弦可互为垂线,则己庚丁为直角,而对


直角之弦己丁上方与句股上两方并等也。〈几何一卷四十七〉
系直角三边形内有半径,亦有一半弦,即可求后半弦。
法曰:半径上方形实减半弦上方形实,其较即后半弦上方形之实。开方得后


半弦。
如丙乙半径十,甲乙前半弦六,而有丙甲乙直角,今求丙甲后半弦。其法:丙乙自之为百,甲乙自之为三十六,相减馀六十四,即甲丙方之实平方法,开之得八。
两正弦之较与纪限左右


距等,弧之半弦等。〈六十度为纪限〉解曰:甲乙丙象限内有丙己小弧,丙己戊丁大弧,丙戊弧为六十度,而戊己戊丁两弧等其两半弦:一为己辛,一为丁庚。两半弦之较为丁癸。题言:丁癸较与己壬半弦壬丁半弦各等。论曰:试作一己子线,则丁

己子成三边等角形,何也。此形中有子丁壬、壬己子两三角形,此两角形等,又何也。子戊同腰而丁壬、壬己两腰等,则丁壬、己壬两直角亦等,而丁子、子己两底亦等,子丁己、子己丁两角亦等。又丙戊弧既六十度,其馀戊乙弧必三十度,其乙甲戊角为三十度角。甲乙庚丁既平行,甲戊线截二线于子,即内外角等。而丁子戊角亦三十度,戊子己角亦三十度,是丁子己为六十度角也。丁与己与全子三角既等,两直角〈一卷三十二〉则共为一百八十度。于中减全子角六十度,


则丁、己两角百二十度。而此两角既等,即各得六十度,则此形之三角三边俱等。夫丁己、巳子两线等,则己癸垂线所分之丁癸、子癸两直角亦等,而己癸同腰则丁癸与癸子必等。丁癸为丁子之半,丁壬为丁己之半,全线等则所分必

等。是丁癸与丁壬等,与壬己亦等。
系题两弧各有其正半弦,两半弦至弧之点在六十度之左右,而距度点等其前两正半弦之较,即后两半弦。
如前图,丙己戊弧六十度,丙己弧五十度,己戊弧十度,丙己之正半弦己辛,简表先得七千六百六十。丙丁弧七十度,丁戊弧亦十度。丙丁弧之正半弦为丁庚,先得九千三百九十六,今求丁戊弧之半弦。其法:以己辛、丁庚两半弦相减得丁癸,较一千七百三十


六,即丁戌弧十度之丁壬半弦。〈此设数半径一万〉倒弦者,馀弦与全数之较,本名为矢。
如上图,甲丙径以乙丁正半弦,分径为二:分一为甲丁,一为丁丙。其丁丙即乙丁,正半弦之倒弦也。矢有二,有大有小。

如前图:甲丁为大矢,与甲乙弧相当。丁丙为小矢,与乙丙弧相当。
矢加于馀半弦即半径。
如前图,乙己为乙丁正弦之馀弦以加丁丙,即半径为乙己,与丁戊等故。
切线者,弧之外有线,为径一端之垂线,半径为底线而交于截弧之弦线。
弦线者,句股之弦,非弧矢之弦也。

如上图,戊丙弧乙丙为半径,从丙出垂线至丁,又从


乙出线截戊丙弧于戊,而与丁丙线交于丁。即丁丙为切线,而与戊丙弧相当也。
割线者,从心过弧之一端而交于切线。
如上图,乙戊丁线为割线,与戊丙弧相当也。故戊丙弧在三角形内。其句为半


径,其股为切线,其弦为割线,皆与戊丙弧相当之直线。
又戊丙一弧,其相当之直线有四:一丁丙切线,一乙丁割线,一戊己正半弦,一己丙矢。
定割圆之数当作割圆线,以立成表。


一名三角形表,一名度数表,今名大测表。
大测表不过一象限。
古用弦则须半周。
如上图用弦,则乙丙弧必得乙丙弦,乃至乙庚弧必得乙庚弦。故百八十度之弧,必得百八十度之弦也。因此术既繁且难,后从简


便。则以半弦当之为各半弦,可当上下两弧,故不过一象限而足也。
如上图辛壬半弦当乙壬小弧,亦当壬己甲大弧。庚己半弦当乙己小弧,亦当己甲大弧。且一象限之外无切线,而亦无割线,故用半圈之全不如象限之半

也。
大测表不止有各弧之各度数,亦有其各分数。
欲极详,亦可析分为十,为六也,但少用耳。

作大测表,先定半径为若干,分愈多愈细。
凡割圆四线,大抵皆不尽之数。无论全数不尽,即以畸零法命其分,亦不能尽。故大测表不得谓其不差。但所差甚少,不至半径全数中之一耳。
假如半径为千万,表中诸线中不至差千万分之一分。自一以内或半,或大,或少,不能无差而微乎微矣。故作表中半径必用极大之数,最少者,一万以上或至百万千万,或至万万可也。
七位即千万,八位即万万。

定半径之全数,即可求一象限内各弧各度分之半弦。以此半弦可求得其切线、割线。
凡半径用数少即差多。
如用千则差千之一,用万则差万之一。

用极大之数,即难推。
如用万万以上数,极繁矣。

今定为几何,则可曰:凡半径之数,其中之小分与半弧度分之小分大约相等,而上之即是中数。
假如欲测有分之弧,问半径应定几何。分曰一象限九十度,每度六十分,则一象限五千四百分。又古率圆与径之比例大略为二十二与七,则象限弧与半径之比例若十一与七。
如左图,周二十二四分之,则一象限为五又半。径七二分之,则三又半。此二比例有畸零之数,故各倍之为十一与七也。


今用同比例法:〈即三率法〉以象限十一为第一数,以半径七为第二数,以象限五千四百分为第三数,而求得第四数为三千四百三十六。故半径分为三千四百三十六,则半径之各分略相等于一象限之各分,五千四百也。故用大数最少,


一万为与五千相近。用此乃可推有分之弧也。欲推弧分之秒,亦用此法。其象限为三十二万四千秒。依三率法,十一与七若三十二万四千与二十○万六千一百八十二。其半径细分,与象限之分秒相等,而上之必用百万。
表原篇第三

表原者,作表之原本也。测圆无法,必以直线。直线与圆相准不差,又极易见者,独有六边一率而已。古云:径一围三是也,然此六弧之弦,非六弧之本数。自此以外,虽分至百千万亿,皆弦耳。故测弧必以弦,弦愈细数愈密,其法仍由六边之一准率始。自此又推得五率,此六率皆相准不差。但后五率其理难见,推求乃得是名。为六宗率其法:先定半径为若干数,〈今用一千万〉则作圈内六种多边形。〈俱见几何第四卷〉推此六形各等边之数得此六数,即为六通弦,各当其本弧。因以为作表原本。
宗率一 圈内六边等切形求边数

几何原本四卷十五题言六边等形在圈内者,其各边俱与半径等。半径既定为千万,即边亦千万。凡边皆弦也。圈分三百六十度,此各弦相当之弧各六十度,各与千万相当矣。相当者千万,即六十度弧之弦也。
如左,乙丙圈内有六边等形,其半径甲乙既定为千


万,即乙丙弦为六边形之一边,亦千万。而相当之乙丙弧六十度。
宗率二 内切圈直角方形求边数
几何四卷第六言:一线在圈内对一象限为方形边,其上方形等于两半径上方形并,〈几何一卷四七〉此句股法


也。故用两半径之实,并而开方而得本形边。
如上乙丙圈内方形,甲乙为半径。句股法:甲乙、甲丙上两方并,与乙丙上方等。即以之开方而得乙丙边,今两半径上方形并为二○、○○○○、○○○○、○○○○○。
此数为二百万万万。○旁作点者,万也。末○为单数。

以开方得其边一千四百一十四万二千一百九十六,此为乙丙弧之弦也。乙丙弧为四分圈之一九十度,则乙丙弧数为乙丙九十度弦相当之数。
宗率三 圈内三边等切形,求边数

几何十三卷十二题言三边等形内切圈,其各边上方形三倍于半径上方形。
丁乙方与丙丁、丙乙两方等,而四倍于丙丁形。则


丙乙为丁乙四之三,而三倍于丙丁。
如上图,乙丙圈甲乙为半径,乙丙上方三倍大于甲乙上方,即三因半径上方为三○、○○○○、○○○○、○○○○○。
此数为三百万万万有奇。


开方得一千七百三十二万○五○八弱。
宗率四 圈内十边等切形求边数
几何十三卷九题言:以比例分半径为自分,连比例线,其大分则十边等形之一边。
如上图,甲乙半径与戊己


等,用自分连比例法。
几何六卷三十称理分中末线
分为大小分。其大分为丁己,与十边形之乙丙边等。盖戊己线与己癸等,己癸线既两平分于庚,则戊己己庚线上两方并,与庚戊上方等。〈几何一卷四十七〉今以庚

戊上方开得庚戊线为一千一百一十八万○四百三十○。次减去己庚五百万馀六百一十八万○四百三十○,即丁己线,亦即乙丙弦。而乙丙弦为全圈十分之一,得三十六度,是乙丙为三十六度弧之弦。
宗率五 圈内五边等切形求边数

几何十三卷第十题言:圈内五边等切形,其一边上方形与六边等形、十边等形之各一边上方形并等也。
如左圈内,甲乙戊为五边等形,甲丙己为六边等形,


甲丁乙为十边等形。题言:甲丁、甲丙上两方并,与甲乙上方等者,前言甲丙半径为千万,甲丁线为六百一十八万○四百三十○,各自之,并得数开方,得甲乙线为一千一百七十五万五千七百○四弱。其弧五分全圈得七十二,即甲

乙为七十二度弧之弦。
宗率六 圈内十五边等切形,求边数。

几何四卷十六题言,圈内从一点作一三边等形,又作一五边等形。同以此点为其一角,从此角求两形相近之第一差弧,即十五边形之一边。
如左图,从甲点作甲乙丙三边形,甲丁戊五边形,求得两形相近之第一差为乙戊,即十五边等形之一边,乃丁乙全差之半。其数先有三边形之乙丙,一百二十度之弦为一千七百三十二万○五百○八弱。


又有五边形之戊子,七十二度之弦为一千一百七十五万五千七百○四弱。则乙庚六十度之正弦为乙丙之半,得八百六十六万○二百五十四弱。戊辛三十六度之正弦为戊子之半,得五百八十七万七千八百五十二。两相减馀

为乙癸,得二百七十八万二千四百○二。夫乙己半径上方减壬乙六十度之正弦,乙庚上方馀己庚。依开方法为五百万。己子半径上方,与己辛三十六度之正弦辛子上两方并等。依前法亦得己辛八百○九万○一百七十○。己辛、己庚两相减馀为庚辛,得三百○九万○一百七十○,庚辛即戊癸也。既得乙癸二百七十八万二千四百○二,今得戊癸三百○九万○一百七十○,用句股术求得乙戊弦为四百一十五万八千二百三十四,为十五边等形之一边。其乙戊弧为全圈十五分之一,得二十四,则乙戊为二十四度弧之相当弦。
六题总表

边   弧度      弦数
三   一百二十    一七三二○五○八四   九十      一四一四二一九六五   七十二     一一七五五七○四六   六十
十   三十六     六一八○三四○十五  二十四     四一五八二三四既得全数,今推半弧、〈即半角〉半弦。
弧度  半弦
六十  八六六○二五四
四十五 七○七一○九八
三十六 五八七七八五二
三十  五○○○○○○
十八  三○九○一七○
十二  二○七九一一七〈以上原本卷一〉




钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百四卷目录

 测量部汇考五
 新法历书二〈大测下〉

历法典第一百四卷

测量部汇考五

《新法历书二》大测下表法篇第四

既得前六宗率更用三要法作表
要法一

前后两弦其能等于半径〈图说系法俱见本篇总论第十二条〉
要法二


有各弧之前后两弦,求倍本弧之正弦。
如上甲戊弧三十五度,其正弦为戊己,得五七三五七六四。其馀弦即乙己,得八一九一五二○。今以此二弦求倍,甲戊而为甲丁弧之正弦。其法:以乙戊半径千万为第一率,以戊己

正弦为第二率,以乙壬馀弦为第三率,即得壬庚第四率与辛癸等,为四六九八四六。二倍之得丁癸为九三九六九二四,其弧甲丁七十度。
论曰:乙戊己与乙壬甲两三角形比例等,则乙己与乙壬等,而戊己与甲壬亦等。乙己与乙壬等,故乙壬为馀弦也。而乙壬庚、乙戊己两形之比例等,故第四率为壬庚。壬庚与辛癸同为直角形之边,故等。又丁壬戊、戊壬甲同为直角,则甲戊、戊丁两弧等。甲壬、壬丁两弦亦等,而丁辛与壬庚亦等,故倍辛癸得丁癸也。又丁辛壬、壬庚甲两形之三边俱等,依句股法得甲庚边,倍之为甲癸,以减半径得癸乙为馀弦。
要法三

各弧之全弦上方与其正半弦上,偕其矢上两方并等,句股术也。
如左,甲丁弧之正弦为丁辛,其矢为甲辛。此两线上方并与甲丁上方等。
系法:有一弧之正弦及其馀弦,而求其半弧之正弦。如左,甲丁弧其正弦为丁辛,馀弦为乙辛而求甲戊


弧之甲己半弦。其法:于甲乙半径减乙辛馀弦,得甲辛矢其上方,偕丁辛半弦上方并,与甲丁通弦上方等。开方得甲丁线,半之得甲己为甲戊弧之正弦,其数如上:甲丁弧三十度,其半弦丁辛为五○○○○○○乙辛馀弦为八六六

○二五四。以减全半径得甲辛矢一三三九七四六,丁辛上方为二五。○○○○○○○○○○○○甲辛上方为一七九四九一九三四四五一六。并之得二六七九四九一九三四四五一六,开方得甲丁线五一七六三八○,即甲丁弧三十度之弦也。半之为甲己,半弦得二五八八一九○,其弧十五度。
用前三要法,即大测表大略可作。又有简法二题,其用甚便,但非恒有。
简法一


两正弦之较与六十度左右距等,弧之正弦等。〈见本卷第二篇〉
解曰:甲乙丙象限内有丙己小弧,丙己戊丁大弧。丙戊弧为六十度,而戊己戊丁两弧等其前两正弦。一为己辛,一为丁庚,其较丁癸。题言:丁癸较与己壬、壬


丁两正弦各等。
论曰:试作一己子线,则丁己子成三边等角形。何也。此形中有子丁壬、壬己子两三角形。此两角形等,又何也。子壬同腰而丁壬、壬己两腰等,则丁壬、己壬两直角亦等。而丁子、子己两底亦等,子丁己、子己丁两


角亦等。又丙戊弧既六十度,其馀戊乙弧必三十度。而乙甲戊角为三十度角。甲乙、庚丁既平行甲戊线,截二线于子,即内外角等。而丁子戊角亦三十度,戊子己角亦三十度,是丁子己为六十度角也。丁与全己、全子三角既等,两直角


〈一之三十二〉则共为一百八十度。于中减全子角六十度,则丁己两全角百二十度。而此两角既等,即各得六十度,则此形之三角三边俱等。夫丁己、己子两线等,则己癸垂线所分之丁癸、子癸两直角亦等。而己癸同腰,则丁癸与癸子必等。

丁癸为丁子之半,丁壬为丁己之半。全线等则所分必等,是丁癸与丁壬等,与壬己亦等。
系题两弧各有其正半弦、两半弦,至弧之点在六十度之左右,而距度点等。则前两正半弦之较即后两半弦。
如图丙己戊弧六十度,丙己弧五十度,己戊弧十度。丙己之正半弦己辛,先得七千六百六十。丙丁弧七十度,丁戊弧亦十度,丙丁弧之正半弦为丁庚,先得九千三百九十六。今求丁戊弧之半弦,其法以己辛、丁庚两半弦相减,得丁癸较一千七百三十六,即丁戊弧十度之丁壬半弦。〈此数半径设一万〉
次系有六十度,左右相离弧之正弦一率,又有其原正弦一率,而求其相对之彼正弦。其法有二:一以大求小,一以小求大。以大求小者,用大弧之正弦与相离弧之正弦相减,其较为小弧之正弦。
馀则称馀,倒则称倒。

以小求大者,用相离弧之半弦加小弧之半弦,即大弧之半弦。


如上丁壬离弧之正弦,即九度与丁癸较等,为一千七百三十六。丁庚大弦为九千三百九十六,相减得癸庚七千六百六十,即己丙弧之己辛,小弦反之。丁癸较为一千七百三十六,〈即丁壬离弦〉以加于癸庚。〈即辛己小弦〉七千六百六十,得丁庚

大弦九千三百九十六。
用此法于象限内,先得半弦六十率,用加减法即得其馀三十率。
简法二

有两弧不等之各正弦,又有其各馀弦,而求两弦相加、相减弧之各正弦。其法有二:一相加,一相减。相加者,以前弧之正弦乘后弧之馀弦,以后弧之正弦乘前弧之馀弦,各得数并之为实,以半径为法,而一得两弧相加为总。弧之正弦相减者,亦如前法。互乘得


各数相减,馀为实,以半径为法。而一为两弧相减弧之正弦。
如上甲乙前弧二十度,乙丙后弧十五度,总三十五度,其差五度。甲乙弧之半弦为三四二○二○一,其馀弧甲丁之半弦为九三九六九二六,乙丙弧之半

弦为二五八八一九○,其馀弧乙丁之半弦为九六五九二五八。以甲乙半弦与丙丁馀弦之半乘得三三○三六六○三八七○八五八,以乙丙半弦与甲丁馀弦乘得二四三三二一○二九九○五七四○,以相加得五七三三七六三。
以下满半收为一,不满去之。

三七七六五九八,以半径为法,而一得五七三五七六三,即三十五度弧之半弦。若以相减则馀八七一五五七三九六五一一八。以半径为法而一得八七一五五七,即○五度弧之半弦。此题多罗某所用全弦。故说中云半弦而图与数皆全弦,然全与全半与半比例等,则亦未有异也。
有前六宗率为资,有后三要法为具。
资为材料具如器械

即可作大测全表
如用前法,求得十二度弧之正半弦率,而求其相通之他率。
弧         度分     用法得半弦数正弧        一二                二○七九一一七〈半之〉      ○六                一○四五二八五〈又半之〉     ○三                五二三三六○〈又半之〉     ○一三○              二六一七六九〈又半之〉     ○○四五              一三○八九六其馀弧       八四   〈六度之馀第一〉     九九四五二一九
八七   〈一度之馀〉       九九八六二九五八、八三○〈一度半之馀〉      九九九六五七三八、九一五〈○度四十五分之馀〉   九九九九一四三

弧         度分                用法得正弦数〈半其馀八十四度〉 四二                六六九一三○六〈半之〉      二一                三五八三六七九〈又半之〉     十○三○              一八二二三五五〈又半之〉     ○五一五              九一五○一六〈半其馀八十七度〉 四三三○              六八八三五四六〈又半之〉     二一四五              三七○五五七四〈半其馀八八○三○〉四十四  十五           六九七七九○五又用前七率之馀弧而求其正弦
四八   〈四十二之第馀   一〉 七四三一四四八六九   〈二十一之馀〉      九三三五八○四七九三○ 〈十度半之馀〉      九八三二五四九八四四五 〈八度十五分之馀〉    九九五八○四九四六三○ 〈四十三度半之馀〉    七二五三七四四六八一五 〈二十一四十五分馀〉   九二八八○九六四五四五 〈四十四十五分之馀〉   七一六三○一九

又半前七率而求其正弦
二四   〈四十八之半〉      四○六七三六六

弧         度分                用法得正弦数
三四三○ 〈六十九之半〉      五六六四○六二一七一五 〈三十四三十分之半〉   二九六五四一六三九四五 〈七十九三十分之半〉   六三九四三九○二三一五 〈四十六三十分之半〉   三九四七四三九

又用前五率之馀弧而求其半弦
六六   〈二十四之第馀一〉    九一三五四五五五五三○ 〈三十四三十分之馀〉   八二四一二六二七二四五 〈十七度十五分之馀〉   九五五○一九九五○一五 〈三十九四十五分馀〉   七六八八四一八六六四五 〈二十三度十五分馀〉   九一八七九一二

又半前五率而求其正弦
三三   〈六十六之半〉      五四四六三九○一六三○ 〈三十三之半〉      二八四○一五三○八一五 〈一十六三十分之半〉   一四三四九二六二七四五 〈五十五三十分之半〉   四六五六一四五

又用前四率之馀弧而求其正弦
五七   〈三十三之第馀一〉    八三八六七○六

弧         度分                用法得正弦数
七三三○ 〈十六度三第十分之馀一〉 九五八八一九七八一四五 〈八度十五分之馀〉    九八九六五一四六二一五 〈二十七四十五分馀〉   八八四九八七六

又半前四率而求其正弦
二八三○  〈五十七度之半〉     四七七一五八八一四一五 〈二十八三十分之半〉   二四六一五三三三六四五 〈七十三三十分之半〉   五九八三二四六

又用前三率之馀而求其正弦
六一三○ 〈二十八度第三十分馀一〉 八七八八一一一七五四五 〈十四度十五分之馀〉   九六九二三○九五三一五 〈三十六四十五分馀〉   八○一二五三八

又半前六十一度三十分而求其正弦
三○四五              五一一二九三一

又用前三十○度四十五分之馀而求其正弦
五九一五          〈第一〉八五九四○六四

以上皆十二度所生之率,再用其馀弧七十八度推之,亦如前法。又十二度之弧为前六宗率之十五边形也。其馀五形,如三边、四边、五边、六边、十边形亦如前法。作此既毕,即大测表之大段全具矣。何者。首得者四十五分,其次为一度三十分。又次为二度一十五分,如此常越,四十五分而得一率,乃至九十度皆然。所少者,其中之各第一以至四十四分也。今欲求初度一分以至四十五分,如何。其法以四十五分弧之半弦一三○八九六,用第二、第三法半之得二十二分三十秒之弧。其半弦为六五四四九,又半前弧得一十一分一十五秒之弧,其半弦为三二七二四。半夫二十二分三十秒之前弧,倍于一十一分十五秒之后弧,而前半弦亦倍于后半弦。盖繇初度之弦与弧切近略似,相合为一线故也。则用同比例法,〈即三率法〉以二十二分三十秒之弧为第一率,以其半弦六五四四九为第二,率设十分之弧为第三率,而得第四率为二九○八八。再用此法得一分之弧为二九○九,弱既得一分,即用前法推之,可至一十五分。此外更用前三要法推之,以至九十度。
其求切线,皆用三率法。


以馀半弦为第一率,以半弦为第二率,以半径为第三率,而得第四率切线。如三十度之弧,其馀半弦八六六○二五四为第一率,其半弦五○○○○○○为第二率,半径一○○○○○○○为第三率,则得第四率,五七七三五○

二。
其求割线,亦用三率法。
以馀半弦为第一率,半径为第二率,又为第三率,而得割线第四率。
如前戊乙为三十度之弧,其馀半弦甲丙八六六○二五四为第一率,半径甲戊一○○○○○○○为第二率,又以半径甲乙为第三率,而得甲丁一一五四七○○五,为三十度弧之割线。
其求割线之约法,不用三率而用加减法。


如上乙己弧二十度,其切线为乙戊,馀弧为己丙七十度。半之得己丁三十五度,即截乙庚弧与己丁等。次作乙辛切线得数以加乙戊切线,即两切线并为戊乙。辛切线与甲戊割线等。
其求矢法:以馀半弦减半


径得小矢。
如丙丁弧五十度,馀弧甲丁四十度。其馀半弦丁戊,即己乙为六四二七八七六,以减乙丙千万得己丙矢。
已上所述皆远西法也。彼自度以下递析为六十。今中历递用百析,为便故。须

会通前表为百分之表,其会通法如西。六十分即中之百分,半之三十分即五十分,又半之十五分即二十五分。以五为法,西三分即中五分。次用倍法:六分即十分,九分即十五分,十二分即二十分,如是以至六十。
〈三 六 九 十二 十五 十八 二十一 二十四 二十七 三十 五 十 十五 二十 二十五 三十 三十五 四十 四十五 五十三三 三六 三九 四二 四五 四八 五一 五四 五七 六十 五五 六十 六五 七十 七五 八十 八五 九十 九五 百〉通表法书各度之四种割圆线中西法皆同。所不同者,分也。其分数书五分,用其三分之率。书十分用其六分之率,如是递至于百。所阙者,每二率相距少其间四率耳。则用加减法求之。
如二十四度○三分,即中五分也。其小弦数〈小弦者十万为半径也〉四○七五三,又二十四度○六分,即中十分也。其小半弦四○八三三,其差八十五分之得十六为一差。以加于前小半弦,即得四○七六九,得中历二十四度六分之半弦,再加一差得四○七八五,为七分之半弦。三加得四○八○一,为八分之半弦。四加得四○八一七,为九分之半弦。五加得四○八三三,为十分之半弦。合前率矣。如是递加之得六十与百分相通之全表。
西法每二率各有差,其差大抵半度,而一更也。若差数有畸零不尽者,如西表二十四度二十七分之半弦为四一三九○,又二十四度三十分之半弦为四一四六九,其差得七十九。五分之得十五又五分之四,为一差通之,则从中表二十四度四十五分,首加一差。
〈十四〉度四十五分       四一三九○
〈差法〉一五     五之四
四十六分 〈加一差〉 四一四○五     五之四四十七分 〈加二差〉 四一四二一     五之三四十八分 〈加三差〉 四一四三七     五之二四十九分 〈加四差〉 四一四五三     五之一五十○分 〈加五差〉 四一四六九

如上有畸零者,满半收为一,不满去之。
考表法 作表未必无误故立考之之法

如表书,七十七度一十八分,其切线为四四三七三四九九。此率如属可疑,则以前后各二率考之。
图缺表用篇第五
表用一 有弧数求其正弦

如三十七度五十四分之弧,求其正弦。查本度本分表得六一四二八五三。
又如三十七度五十四分四十六秒,求其半弦。查本度本分之半弦为六一四二八五三又取次率五十五分之半弦为六一四五一四八,相减得差二二九五。〈若表上有差率即取本差〉此差以当六十秒用三率法。以六十秒为第一率,以二二九五差为第二率,以四十六秒为第三率,而求第四率得一七五九。以加所取之前半弦六一四二八五三,共得六一四四六一二,即所求。
系凡求切线割线,同上法。
次系有正弧求馀弦,视本弧同位之馀度分,向正弧表上取其正弦。
如求三十度之馀弦。视正弧表上与同位者为馀弦六十度,即向正弧六十度取其弦八六六○二五四,即三十度之馀弦。
表上逆列同位者为五十九度六十分,而此言六十度,盖并其六十分为六十度。其逆列六十度者,则是六十一度何者。凡所书弧分,皆所书弧度之算外分故也。

又如求五十度○分之馀弦,本表逆列同位者为三十九度六十分,即于正弦表上简三十九度六十分之弦,得六四二七八七六,即所求。
三系测三角形欲得见弧
见弧者,有已得之弧而求其弦也。隐弧者,有已得之弦而求其弧也。凡已得者称见,未得者称隐。诸线、诸角之属皆仿此。

之各线查表之本度分,直取之则各线咸在也。如弧三十度求其割圆各线,即查表之三十度初分,又查其同位之六十度,所得如左:
三十度初分正弦     五○○○○○
切线 五七七三五○三割线 一一五四七○○五

〈五十九度六十分〉弦 八六六○三五四
切线 一七三二○五○八割线 二○○○○○○○

四系有钝角求其各线。如钝角一百四十二度六分,


其正弦则以一百四十二度六分减半周,馀三十七度五十四分,查表求其正弦得六一四三八五三。如上丙丁正弦,当丙乙小弧亦当丙戊大弧。故当丙甲丁锐角,亦当丙甲戊钝角,何者。甲上锐钝二角,原当两直角。而表上无钝角

之弧与其正弦,故减钝角于百八十度,得锐角三十七度五十四分。其半弦丙丁以当丙戊大弧,即以当大弧之钝角也。
表用二 有正弦求其弧

与前题相反,如有正弦八八八八八三九,欲求其弧。查表上正弦格得此数,即得本度为六十二本分,为四十四也。
又如正弦五七六五八三四,求弧。查表无此数,即取其近而略小者,得三十五度十二分之弦为五七六四三二三,与见弦相减馀一五一一。又取其近而略大者,得五七六六七○○,与前小弦相减馀二三七七。以此大差当六十秒。用三率法,以二三七七大差为第一率,以六十秒为第二率,以一五一一小差为第三率,而得第四率为三十五度十二分三十秒,即所求。他各线求弦俱仿此。
表用三 有弧求其通弦

如七十五度四十八分之弧,求通弦。其法:半之得三十七度五十四分,求其正弦得六一四二八五二。倍


之得一二二八五七○四,即所求。
如甲乙弧七十五度四十八分,半之为乙戊弧,求得乙丁正弦。倍之即乙丁甲通弦也。因通弦无表,故用半弧正弦倍之即是。他准此。
表用四 有弧求其


大小矢
如乙丁弧三十七度五十四分,求两矢。查表截矢数得乙丙小矢为二一○九一五九,以减全径二○○○○○○○,得大矢一七八九○八四一。如表无小矢,即求见弧之馀弦得七八九○八四一,以减半径
得小矢。测平篇第六

测平者,测平面上三角形也。凡此形皆有六率,曰三边,曰三角。角无测法,必以割圆线测之,其比例甚多。今用四法以为根本,依此四根法可用大测表测。一切平面三角形亦执简御繁之术也。凡测三角形,皆用三率法。〈即同比例〉三率法又以相似两三角形〈几何六卷四〉为宗,下文详之。
根法一


各三角形之两边与其各对角两正弦比例等。一云右边与左边,若左角之弦与右角之弦。
如上甲乙丙平面三角形,其甲丙两为锐角,即以甲为心,甲乙为半径作乙戊弧。次作乙己垂线,即乙戊弧之正弦,亦即甲角之正

弦也。又以甲乙为度,从丙截取丙庚,从丙心庚界作庚辛弧,又作垂线庚丁,即庚辛弧与丙角之正弦也。题言:乙角之甲乙右边与乙丙左边若,左角丙之庚丁正弦与右角甲之乙己正弦。
论曰:乙丙己三角形,有乙己、庚丁两平行线,即乙丙与乙己若。庚丙与庚丁,而丙庚原与甲乙等,即乙丙与乙己若。甲乙与庚丁更之,即甲乙与乙丙若,庚丁与乙己。
如左:甲乙丙形乙与直角有丙乙、丁戊两平行线,即


甲丙与丙乙若,甲丁与丁戊而乙丙与甲丁等,即甲丙与丙乙若。丙乙与丁戊反之。则丙角之丙乙右边与丙甲左边若,左角甲之丁戊弦与右角乙之丙乙弦
如右甲乙丙形乙为钝角,其正弦丙壬。而甲戊线与


乙丙等,甲角之正弦为戊己。题言丙角之甲丙右边与丙乙左边若,左角乙之丙壬弦与右角甲之戊己弦,何也。试于形外,引甲乙至丁作丙丁线与丙乙等,即丁角与乙锐角等依首条甲丙与丙丁若,丙壬与戊己即甲丙与丙乙亦若,


丙壬与戊己
总论之,各三角形各两边之比例与两对角之两正弦比例等者,何也。试于形外作切圈,则三边为三弦。而本形之各边皆为各对角之通弦,即乙丙边与甲乙边若,甲角之弦与丙角之弦也当己即是岂止同

比例而已乎。夫全与全半与半比例等,则各半弦与各通弦之比例亦等。
此题为用对角根本。
根法二

各三角形以大角为心,小边为半径作圈。而截两边各为圈内外两线,即底线与两腰并,若腰之外分与底之外分。
如左甲乙丙形其小边甲丙,其底乙丙。以甲为心,甲丙为半径作圈,截底于戊,截大腰于庚。题言乙丙底


与乙甲、甲丙两腰并,若腰外分,乙庚与底外分乙戊。论曰:试作乙己引出线,即甲己与甲丙等,而乙己与两腰并等。乙己乙庚矩内形与乙丙乙戊矩内形两容等。〈几何三卷三五〉即两形边为互相视之边。而乙己与乙丙若,乙戊与乙庚即得乙

戊底外分以减全底得戊丙。半之得垂线,所至为丁丙。
此题为用垂线根本
根法三

有两角并之数,又有其各正弦之比例,求两分角之数。
如左乙甲丙角,有其弧乙辛丙之数,其两分之大角为乙甲壬,小角为壬甲丙。未得数,但知大角正弦,乙丁小角正弦,丙戊之比例亦未得数。而求两分角之


数。其法:以乙辛丙弧两平分于辛作甲辛线,乙甲辛、辛甲丙两角等,而辛甲壬角为半弧与小弧之差,又为大弧与小弧之半差。次截辛庚弧与辛戊等,作甲庚线,即庚甲壬角为大小两弧之差。夫乙丙者,总角之弦乙丑平分弧之正弦。

而己辛为乙辛半弧之切线,辛癸为辛丙半弧之切线,此二线等。而辛壬、辛庚各为半差弧之切线亦等。又乙丁子、子丙戊两形为两正弦上三角形。此两形之丁与戊皆直角,又同底,即两正弦之对角为子上两交角亦等。〈几何一卷十题〉而丁乙子、子丙戊两角亦等。〈几何一卷三二〉则两形为相似形。而乙丁正弦与丙戊正弦若,乙子与子丙〈几何六卷四〉先既有乙丁、丙戊两正弦之比例,即得乙子与子丙之比例,而又得乙子与子丙之较为子寅。夫乙丙、己癸两线同为甲辛半径上之垂


线,即平行。甲乙丙、甲己癸两形之各角等,即为相似之形。〈六卷四〉而两形内所分之各两三角形,如甲庚癸、甲寅丙之类,俱相似,即以两线之并数乙丙为第一率,以两线之差数子寅为第二率,以两半弧之两切线己癸为第三率,则得两

差弧之切线庚壬为第四率矣。而此比例稍繁,别有简者则半之曰:丙丑与子丑若癸辛与壬辛也。有更简者则曰:乙丙与子寅若辛癸与辛壬也。今用第三法云:乙丙为两边之并数,子寅其较数,辛癸为两角总数,内半弧之切线。而辛壬为大小两角较弧之切线。既得辛壬切线,即得辛甲壬角。以加乙甲辛半角即得乙甲壬大角。以减辛甲丙半角即得壬甲丙小角。
以数明之乙甲丙角为四十度,所包大小两隐角为


乙甲壬、壬甲丙。其两正弦乙丁丙戊之比例为七与四,即乙子子丙之比例亦七与四。而乙丙之总数如十一平分之于丑,即乙丑丑丙各得五有半,而乙辛辛丙两弧各二十度。又以大线七与半线相减馀一有半,以半线五有半与小

线四相减,亦馀一有半。又甲辛为半径,即辛丙二十度。弧之切线辛癸为三六三九七○二,即以丑丙五有半为第一率,以辛癸切线三六三九七○二为第二率,以子丑一有半为第三率,而得辛壬切线九九二六四六为第四率。既得第四率,即得辛壬所当。辛甲壬角为五度四十○分八秒,以减辛丙二十度,馀壬甲小角一十四度一十九分五十二秒。以加半弧乙辛,得乙甲壬大角二十五度四十○分八秒。
此题为用切线根本


根法四
凡直角三边形之各边皆能为半径。
其一以弦线为半径作弧,即馀两腰。包直角者,各为其对角之正弦。
如上甲乙丙形,其乙丙为对直角之弦线以为半径作丁丙弧,即甲丙小腰为


对角乙之正弦,甲乙大腰为对角丙之正弦。
其二以大腰为半径,即小腰为小角之切线,而弦线为小角之割线。
如上甲乙大腰为半径,即甲丙小腰为乙小角之切线,而乙丙为乙角之割线。其三以小腰为半径,即大


腰为大角之切线,而弦线为大角之割线。
如上甲丙小腰为半径,即甲乙大腰为丙大角之切线,而乙丙弦线为其割线。
此题为用割圆各线根本。〈以上原本卷二〉




钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百五卷目录

 测量部汇考六
  新法历书三〈测天约说上〉

历法典第一百五卷

测量部汇考六

《新法历书三》测天约说上

测天者,修历之首务。约说者,议历之初言也。不从测候无缘推算,故测量亟矣。即测候推算,亦非甚难,不可几及之事。所难者,其数曲而繁,其情密而隐耳。欲御其繁曲。宜自简者,始欲穷其隐密。宜自显者,始约说之义,则总历家之大指,先为简显之说。大指既明,即后来所作易言易知。渐次加详,如车向康庄,此为发轫已。又古之造历者,不欲求明,抑将晦之。诸凡名义,故为隐语。诸凡作法,多未及究。论其所从来,与其所以然之,故墙宇既峻经途斯狭后,来学者多不得其门而入矣。此篇虽云率略,皆从根源起义向。后因象立法,因法论义,亦复称之。务期人人可明,人人可能,人人可改。而止是其与古昔异也。或云诸天之说无从考證,以为疑义。不知历家立此诸名,皆为度数言之也。一切远近内外迟速合离,皆测候所得。舍此即推步之法,无从可用,非能妄作。安所置其疑信乎。若夫位置形模实然实不然。则天载幽元,人灵浅鲜,谁能定之。姑论而不议可矣。都为二卷,共八篇如左。
首篇

度数之学,凡有七种,共相连缀。初为二本:曰数,曰度。数者,论物几何,众其用之则算法也。度者,论物几何,大其用之,则测法量法也。
测法与量法不异,但近小之物寻尺可度者,谓之量法远,而山岳又远,而天象非寻尺可度,以仪象测知之谓之测法。其量法如算家之专术,其测法如算家之缀术也。

既有二本,因生三干:一曰视,人目所见。一曰听,人耳所闻。一曰轻重,人手所揣耳。所闻者,因生乐器乐音。手所揣者,因生举运之器、举运之法。惟目视一干又生二枝,一曰测天,一曰测地。七者,在西土庠,士俱有耑书。今翻译未广,仅有几何原本。一种或多未见未习然。欲略举测天之理与法,而不言此理此法。即说者,无所措其辞。听者,无所施其悟矣。七者之中,音乐与轻重别为二家,故兹所陈,特举其四:曰数,曰测量,曰视,曰测地。四学之中,又每举其一、二为卷中所必需,其馀未及。缕悉者,俟他日续成之也。为他篇所共赖,故列于篇。次之外曰首篇,欲知他篇,须知此篇。故又名须知篇。
数学一题

比例者,以两数相比,论其几何。
比例有二:一曰相等之比例,一曰不等之比例。若二数相等,以此较彼无馀分,名曰等比例也。若二数不等,又有二:一曰以大不等,一曰以小不等。如以四与二相比,四之中凡为二者,二是为以大,即命曰:二倍大之比例也。如以二与四相比,倍其身乃得为四,是为以小,即命曰:二分之一之比例,或命曰半比例也。
测量学十八题

第一题至第十四题,论测量之理。
第十五题至第十八题,论测量之法。
几何原本书中论线、论面、论体,今第一以至第五论线也,第六以至第十四论体也,此书中不及面,故不论面。
几何原本书中多言直线、圜线、其理易明。今不及论,论其稍异者有五题。前二题言独线,后三题言两线。
第一题〈独线一〉

长圆形者,一线作圈,而首至尾之径大于腰间径。亦名曰瘦圈,界亦名撱圈。
如甲乙丙丁圈形,甲丙与乙丁两径等,即成圈今甲首至丙尾之径大于己至庚之腰间径,是名长圆。或问此形何从生。答曰:如一长圆柱横断之,其断处


为两面皆圆形。若断处稍斜,其两面必稍长,愈斜愈长,或称卵形,亦近似然。卵两端小大不等,非其类也。
指其面曰平,长圆若成体曰立长圆。
第二题〈独线三〉
蛇蟠线者,于平面上作一线,自内至外恒平行,恒为


圈线而不遇不尽,如上图自甲至乙者是。
旋风线者,于平圆柱上作一线。亦如蛇蟠但蜿蜒腾凌而上,如旋风也。
如上图,自甲至乙者是。螺旋线者,于球上从腰至顶作一线,如蛇蟠而渐高,如旋风而渐小。

如右图,自甲至乙者是。
此书独用螺旋线,欲解其形势,故备言之。
第三题
下三题言:二线者,或直,或不直,或相遇,或相离。

二线相遇者有三:但相遇而止,名曰至线。因至线在所至线之上,故又曰在上。其割截而过者,名曰交线,亦曰割线,亦曰截线。其至而不过又不止者,名曰切线。其至线而有所分截者,亦称割线,或曰截线,或曰分线。


如上图,甲乙线与丙乙丁线,丙乙丁圈相遇至乙而止。则甲乙为至线,又曰丙乙丁上线。
如上三图,甲乙线截丙丁线于戊,己庚线截辛壬癸圈于辛,子丑寅圈截丑卯寅圈于丑、于寅,皆谓之曰交线。


又如上图,甲乙线遇丙丁圈于丙,戊己庚圈遇戊辛壬圈于戊,皆名之曰切线也。
如上图,甲丙线分甲乙丙圈者,曰分圈线,亦曰割圈线,亦曰截圈。
第四题
两线不相遇而相离之度


恒等,名曰距等线。
或称平行线,侣线,俱通用。
如上三图,甲至己、乙至戊、丙至丁,其相离之度俱等。
第五题
两线相遇即作角。
本是一面,为两线所限,限以内即成角也。


如上图甲乙与乙丙两线相遇于乙,即包一甲乙丙角。〈第二字即所指角〉其球上两圈线相交,亦作角。
如上图,甲丙、乙丁两线交而相分于戊,即成甲、成丁、丁戊丙丙戊乙乙戊甲四球上角也。
第六题

自此至第十四题,皆论体。诸体中球为第一。此书所用,独有球体,故未他及。
凡物之圆者,皆名球。诸题中名义,凡立圆物皆有之,非独天也。

第六至第八言球内之理,第九至第十四言球外之理。
球之内有心。心者,从此引出线至球面,俱相等。如左图,甲乙丙球丁为心,从丁引出线至甲至乙至


丙各等,即作百千万线皆等。
第七题〈球内〉
径者,一直线过球心两端,各至面半径者,从心至面。如上图,甲乙球丙为心,一直线过丙两端至甲、至乙。即甲乙为径线,其丙乙、丙甲皆为半径线。


第八题〈球内〉
球不离于本所而能旋转,则其一径之不动者,名为轴。轴之两端名为两极也。凡一球止有一心,凡球之转止有一轴,其径甚多,无数可尽。
如上图,甲乙丙丁球戊为心,乙丁过心。此球从甲向
丙、丙又向甲旋转而不离其处,则乙戊丁直线为不
动之处,是名轴也。乙与丁则为两极球心,若离于戊点如己,则从心所出两半径线如庚己,己辛必不等。故曰:止有此心,凡轴皆利转。若有二轴,二俱转,即相碍一不转即非轴。故曰:止有一轴,从心出直线,苟至面,皆径也,故曰无数。
第九题〈球外〉

球之面可作多圈,圈有大有小。大圈者,其心即球心。若从圈剖球为二,则其圈之径过球心也。各大圈从


圈面作垂线,各有其本圈之轴与其两极。
如上图甲乙丙丁球上作甲戊丙己大圈,其垂线乙丁即乙丁,为本圈之轴。乙丁两点即其两极,故大圈在两极之间,离两极俱相等。
第十题〈球外〉


小圈者,不分球为两平分,不与球同心,其去两极一近一远。愈近所向极愈小,愈近心愈大。
如上图甲乙为大圈,丙丁戊己庚皆小圈也。故一大圈之上之下可作无数小圈,众小圈之间止可作一大圈。
第十一题〈球外〉

圈不论大小,其分之有三等。
三等者,一曰大分,一曰小分,一曰细分。如两平分之为半圈,四平分之为象限,此大分也。每象限分为九十度,此小分也。每度又析为百分,每分为百秒。递析为百至纤而止。西历则每度析为六十分,每分为六十秒。递析为六十至十位而止,此细分也。
第十二题〈球外〉

两大圈交而相分为角,欲测其角之大,从交数两弧


各九十度,而遇过极之圈。两弧所容过极圈之弧度分即命为本角之度分。如上图,戊丁乙为过极圈。有甲乙丙、甲丁丙两大圈交而相分于甲、于丙,问丁甲乙角为几何。度分之角法:从甲交数各九十度而遇过极之戊丁乙圈为甲

丁甲乙。此两弧间所容,过极圈之分为丁乙弧,如丁乙六十度,即命丁甲乙角为六十度角。
第十三题〈球外〉

凡大圈俱相等。两大圈交而相分,其所分之圈分,两俱相等。
凡大圈必于本球之腰。腰者,最大之线也。凡最大之线止有一,不得有二。故展转作无数大圈俱相等圈。既相等则以大圈分大圈,其两交线必在球之腰。此交至彼交必居球之半,故无数大圈各相分,所分之


两圈分各相等。有不等者,即小圈也。
第十四题〈球外〉
大圈俱相等,故所分之度分秒各所容皆相等。小圈各不相等,故度分秒之名数等,其所容各不等。如上图,甲乙己为大圈,丙丁戊为小圈。大圈既相等,

即多作大圈皆与甲乙己圈等,而各圈之甲至乙其度皆等。若丙丁戊小圈既与甲乙己大圈不等,则甲至乙与丙至丁同,名为若干度,而所容之广狭不等。
第十五题〈以下四题言测量之法〉

长方面其中任设一点,欲定其所在为何度分。作经纬度求之。
法曰:先平分其长为若干度分,名经线。次平分其广为若干度分,名纬线。经与纬每度分之小大俱等。次视经纬之线,其过点各若干度分,即命为点所在之


度分。
如上图,甲乙丙丁长方形,欲知戊点所在。先从乙向丙作距等经线,次从乙向甲作距等纬线。次视戊点在经纬线之交为是何度,即命曰在经度之四纬度之八也。
乙至丙丙点得命为第
六乙点,不得命为第一。而命为初历家言算外者,俱准此。
第十六题

其在球也,亦如之。球之中任设一点,欲定其所在为何度分,亦先作球之经度。
法曰:先于两极之间作一大圈为腰,圈平分腰,圈为三百六十度。从各度各作一过极大圈,即半圈平分为一百八十度,是为腰圈上之经度。
如左图,甲乙丙丁球,乙丁为两极。于其间作甲戊丙


己腰圈,从戊向丙、丙向己各作过极大圈,即乙庚丁乙辛丁等线,皆腰圈上之经度。
第十七题
次作球之纬度,即定所设点在何度分。
腰圈之两旁有两极,从腰圈向极分为九十度。每度


各作一距等小圈,渐远腰渐小。至极而为一点,即第九十小圈也。次视经纬两线之交,命在设点在何度分。
如图甲乙丙丁球,上依前题。既作甲庚丙、甲辛丙各经线,次于乙戊丁腰圈上向甲极分为九十度。每度

各作一距等小圈,如壬子癸丑之类,皆纬圈也。次视经纬各遇点之交,从腰圈线考其经度,从过极线考其纬度。即命所设己点在从戊向丁之第四经圈,从戊向甲之第三纬圈。
凡言度者,各有二义:其一,一度之广,能包一度之地,是其容也。其一自此度至彼度,各以一点为界,是其限也。腰圈度之容,以各过极度之线限之过极度之容,以各距等线限之。
凡圈互相为经,亦互相为纬。如以过极为经,则距等为纬。若以距等为经,则过极为纬。如几何原本之论,线互相为直线,互相为垂线也。
第十八题

论纬圈,以大圈为宗。
过极经圈,皆大圈也,皆等距等线。限之诸度分之容,亦等距等纬。圈皆小圈也,各不等。过极圈限之诸度分之容,愈近极愈狭,至极而尽矣。故纬度之容等于经度者,独有腰圈一线,独有初度、初分、初秒之一率。过此以上无不狭也,故当以大圈为宗。大圈左右诸


纬圈之上,凡言经度之容者,皆从此推减之,圈愈小度愈狭,即差愈多也。
视学一题
凡物必有影。影有等,有大小,有尽有不尽。
不透光之物体,前对光体,后必有影焉。若光体大于物体,其影渐远渐杀,锐极

而尽。若光体小于物体,其影渐远渐大,以至无穷。若光物相等,其影亦相等,亦无穷。
测地学四题
第一题

地为圆体,与海合为一球。
何以徵之。凡人任于一处向北行二日半,则北方之星在子午线。上者必高一度。次后二日半,复高一度。恒如是为相等之差。向南行亦如之。知从南至北为圆体也。


如上图,甲为北星,丁为南星,乙辛丙圈为地球。人在乙,则见甲正在其顶,至戊则少一度矣。从戊至己与乙至戊道里等又少一度矣。迨至辛则不见甲,至壬则反见丁。安得非圆体乎。若云:地为平体则见星,当如癸。从丑向寅至辰,宜常

见不隐。又丑至寅、寅至卯,若见子之高下所差等则道里宜不等。〈别有算数〉安得有时不见,又恒为相等之差也。
若人东行渐远,则诸星出地者渐先见。西行渐远,渐后见。故东西人见日月食,迟速先后各异。是知东西必圆体也。
第二题

地在大圜天之最中。
何以徵之。人任于所在见天星半,恒在上半,恒在下


故知地在最中也。
如上图,丙为地,东见甲,西见乙。甲乙以上恒为天星之半,知丙在中也。若云非中,当在丁。则东望戊,西望己,当见天之小半,而不见者大半。
第三题
地之体恒不动。

一不去本所,二亦不旋转。云:不去本所者,去即不在天之最中也。云在本所又不旋转者,若旋转,人当觉之。且不转则已,转须一日一周。其行至速,一切云行鸟飞顺行则迟,逆行则速。人或从地掷物空中,复归于地,不宜在其初所。今皆不然,足明地之不转。
第四题

地球在天中止于一点。
何以徵之。人在地面,不论所在,仰视填星岁星荧惑。彼此所见,恒是同度。故知地体较于天体则为极小。


若地大者,两人相去绝远,其视三星,彼此所见不宜同躔。
如上图,丙己戊乙为天,甲为地,丁为星。地体若大,能为天分数者,则人在庚。宜见丁在己度,人在辛,宜见丁在戊度。今不然者,是地与天其小大无分数可论

也。
名义篇第一
测天本义〈凡一条〉

问测天者,何事所论者,何义也。曰:此度数之学。度数学有七支,此为第六也。所论者,一言三曜〈日月星〉形象大小之比例,一言其各去离地心地面各几何。一言其运动自相去离几何。一言其躔离逆顺晦明朓朒,一言其五相视,五相视者:一曰会聚。
会聚或同一宿,或同一宫,或相掩,或凌犯。

二曰六合照,〈每隔一宫〉三曰隅照,〈三方相望〉四曰方照,〈四方相望〉五曰对照。〈即冲〉一因其行度;次舍以定岁月日时,此为大端也。
大圜名数〈凡十条〉

大圜者,上天下地之总名也。
亦称宇宙,亦称天下,亦称六合之内,下文通用。

天实浑圆,其中毫无空隙。譬如葱本,重重包裹,其分数几何。则自下数之,〈地居天中为最下亦曰最内〉第一为地水补其阙。
地有庳洼,水则就之。若据地面,则水土相半。蹠实论之,水之视地,仅当千分之一。

共为一球,地外为气,气之外为七政之天,七政之外为恒星〈亦曰经星下文通用〉之天,恒星之外为宗动之天,宗动之外为常静之天。
问地水与气,相次之序,其理解易明。今何以知七政在下,恒星在上。曰:有二验焉:其一,六曜有时,能掩恒星。
六曜者,月五星也。不言日者,日大光星不可见也。唐肃宗上元元年五月癸丑月掩昴。代宗大历三年正月,壬子月掩毕,八月己未月复掩毕。是月掩,恒星也。唐高宗永徽三年正月丁亥,岁星掩太微上将五月戊子荧惑掩右执法。元武宗至大元年十二月戊寅太白掩建星,是五纬掩恒星也。

掩之者,在下所掩者在上也。其二七政循黄道,行皆速,恒星最迟也。
问七政中,复有上下远近否。曰:有之。月最近也。何以知之。亦有二验:其一能掩日五星也。
月掩日而日为食,不待论也。唐文宗太和五年二月,甲申月掩荧惑。六年四月,辛未月掩填星于端门九年六月,庚寅月掩岁星于太微。武宗会昌二年正月,壬戌月掩太白于羽林。是月掩五星也。

其二,循黄道行二十七日有奇,而周天馀皆一年以上。是七政中为最速也。
问行度迟速以别远近,是则然矣。太白辰星与日同,一岁而周,为无远近乎。曰:旧说或云日内月外相去辽绝不应,空然无物,则当在日天之下。或云在日天之上。二说皆疑,了无确据。若以相掩正之,则大光中无复可见。论其行度则三曜运旋终古。若一两术既穷,故知从前所论皆为臆说也。独西方之国近岁有度,数名家造为望远之镜以测太白,则有时晦,有时光满,有时为上下弦。计太白附日而行远时,仅得象限之半,与月异理,因悟时在日上,故光满而体微。
若地日星参直则不可见。稍远而犹在上,则若几望之月也。

时在日下则晦。
三参直,故晦稍远而犹在下。若复苏之月体,微而光耀煜然。

在旁故为上下弦也。辰星体小,去日更近,难见其晦明。因其运行不异太白,度亦与之同理。
问荧惑岁星填星孰远近乎。曰:荧惑在岁,填星之内,在日之外,何者。一为其行黄道速于二星,迟于日也。岁星在其次外其行黄道速于填星迟于荧惑也填星在于最外,其行黄道最迟也。又恒星皆无视差,七政皆有之,以此明其远近,又最确之證,无可疑者。


问何为视差。曰:如一人在极西,一人在极东,同一时仰观七政,则其躔度各不同也。七政愈近人者,差愈大;愈远者差愈小。月最大,日次之,荧惑次之,岁星又次之,填星最小,几于无有。故知月最近,填星最远也。如上图,丙为地,甲为东目,

乙为西目。甲望戊月在己度,乙则在庚度。甲望丁星在辛度,乙则在壬度。己庚差大则月,去人近。辛壬差小则星,去人远也。
问东西相去,既是极远,何以得同在一时仰观七政。曰:此在一时一地亦可测之特缘算数,所得难可遽明。故以东西权说。若月食则亦东西同时,两地并测,亦足證知也。
问何以知七政之上复有恒星之天。曰:恒星布列,终古常然。而一体东行,行度最迟,殆如不动。既与七政异行,知其不得共居一天也。故当别有一恒星之天,众星皆丽其上矣。
问恒星天之上,何以知有宗动无星之天。曰:七政恒星,其运行皆有两种:其一自西而东,各有本行。如月二十七日而周,日则一岁,此类是也。其一自东而西,一日一周者是也。非有二天,何能作此二动。故知七政恒星之上,复有宗动一天,牵掣诸天。一日一周,而诸天更在其中,各行其本行也。又七政恒星,既随宗动西行,一日而周。其为戚速殆非思议所及,而诸天又欲各遂其本行。一东一西,势相违悖,故近于宗动东行极难,远于宗动东行渐易。此又七政恒星迟速所因矣。
问宗动天之上,又有常静大天。何以知之。曰:今所论者,度数也。姑以度数之理明之,凡测量动物皆以一不动之物为准。譬如舟行水中,迟速远近若干。道里何从知之。以离地知之。地本不动故也。若以此舟度彼舟,何从可得诸天自宗动以下,随时展转,八极不同。二行各异。若以动论动,杂糅无纪,将何凭藉。用资考算,故当有不动之天。其上有不动之道,不动之极,然后诸天运行,依此立算。凡所云某曜若干时,行天若干度分。若干时,一周天之类。所言天者,皆此天也。历家谓之天元道、天元极、天元分。至此皆系于静天终古不动矣。
常静篇第二
总论〈凡一条〉

常静天者,有三理:一为此下各动天之一切诸点
七政恒星彗孛。及诸道、诸圈之交、之分,但须测算者,总名为点。不言星者,交与分,非星也,日月大矣。亦言点:凡测皆测其心,心则点也。

藉此天以测知其所在也。二为测各动天运行之时、之度与夫各点之出入、隐见以定岁、月、日、时也。三为测诸动天之各点,相去离几何也。凡常静天上,诸名皆系之天元。因其不动以验他动也。其最尊者有三圈:一曰天元赤道圈,〈或称中圈或称腰圈下文通用〉以定诸点。二曰天元地平圈,
或称四方圈,或称八风圈,或称分光圈,下文皆通用之,

以验运行。三曰天元距圈,〈或称去离圈下文通用〉以辨去离。
论三圈〈凡七章〉
论天元赤道圈〈凡一条〉

天元赤道者,系于宗动之天,平分天体者也。
各圈各有心。天元赤道之心即大寰之心也,即地心也。各圈各有极,各有轴。天元赤道之极、之轴即大寰之极、之轴也,即地之极、之轴也。

天元赤道之左右各有距等圈。以度论则九十为天


元纬圈,其前后各有过极圈,以度论则一百八十为天元经圈。过极圈者,所以定经度、容纬度也。
如上图,甲乙为中圈,其上五经圈为甲丙,有两过极圈以限之丁甲戊,限其首丁丙戊,限其尾甲丙。在其中是大圈上所容之六经
度也。又如丙己为过极圈上四纬圈,则首尾两点有
两距等圈以限之甲丙乙,限其首庚己辛,限其尾丙己,在其中是过极圈上所容之五纬度也。
论天元地平圈〈凡三条〉

常静天下,诸所测候,欲知各点所在,与各点之道,各道之交、之分,则一中圈足矣。为地在中心不能透明,明为地隔人在各所。所见止有半天,其分明分暗处有一大圈,即地平圈也。地球之大人居各所,明暗所分,处处各异。故随在有一地平圈。
地平圈分为四象限,定天下之东西南北,故可曰方道,亦可名风道。所谓不周广,莫八风所来也。四象限分为三百六十者,是地平之经度也。地平之两端,一在人顶为顶极,一在人对足之下为底极。地平之左右各有距等小圈,从大圈至极各九十为地平之纬度。〈亦名高度亦名上度下文通用之〉其算以大圈为初度,次小圈为一度。其最高为九十度,即顶极下,亦如之。〈亦名低度亦名下度下文通用之〉其最下为九十度,即底极也。从地平经度每度出一过顶大圈。凡一百八十以定方维之分。数其


最尊而用大者,有二:一曰地平东西圈,一曰地平南北圈。如天元赤道上之有极至、极分二圈也。
极至、极分见后篇。
如上图,甲乙为地平,丙为顶极,丁为底极,丙戊丁南北圈也。甲丙乙丁东西圈也。丙子丁丙丑丁皆经圈,庚寅辛壬卯癸皆纬圈。算


地平之经度,或从东西圈起,或从南北圈起。其纬度或从地平起,或从顶极起,各任用。
地为圆体,故球之上每一点各有一地平圈。从人所居,目所四望者即是,其多无数。

如右图,戊己为地,甲乙丙丁为天。人在戊,即甲丙是其地平而庚为顶极。人在己,即乙丁是其地平而辛为顶极。
赤道地平二圈比论〈凡四条〉

常静天上有天元赤道,天元南北极恒定不动。就人目所视,又有天元地平圈。今以二圈合论,则六合之内共有三球:一为正球,二为欹球,三为平球。正有一平,有一离,此即欹欹者无数。
正球者,天元赤道之二极。在地平则天元赤道与地


平为直角,而其左右纬圈各半在地平上,半在地平下。
如上图甲戊丙己圈为天,甲乙、丙丁线为地平。甲丙即天元赤道之两极,戊乙丁己为地平之东西圈,亦即天元赤道庚辛壬癸。等则地平之经圈是正球也。

欹球者,天元赤道之二极。一在地平上,一在地平下。赤道与地平为斜角,〈斜角者一锐一钝之总名〉而天元赤道与地平之各经纬圈伏见多寡各不等。其极出地之度为用甚大。测候者,所必须也。赤道纬圈之中,随地各有一纬圈,为用甚大,名为常见纬圈。凡极出地若干度,即有一去极若干度之纬圈,其底点常切地平者是也。
如左图甲丙乙丁为地平,戊己为赤道极。若己乙为极,出地四十度则壬癸乙。常见纬圈亦去极四十度,


而纬圈之乙点即地平之乙点。
平球者,一极在顶天元赤道,与地平为一线,各距等圈皆与地平平行也。如图甲乙丙丁为地平,即为天元赤道,而戊极在顶。庚辛等纬圈皆与地平平行。
论地平南北圈〈凡一条〉

地平大圈上之过顶圈一百八十,名顶圈,皆地平圈之伴侣,故又名侣圈。其中大者二:曰东西,曰南北。其又最尊者,南北也。其两极在地平与东西侣圈之交。此圈平分球为东西二方,不但过顶极,亦过天元赤道极。与天元赤道相交为直角,亦不动。与地平圈等,但其游移也。人于地面上南北迁此圈,止有一,不得有二。东西迁则随在不同,与地平俱无数。
如左图甲乙丙为南北圈,人在戊,在己,在庚,俱南北


一线。则恒以甲乙丙圈为顶,移极不移圈。故云:有一无二也。若从己东西迁丁,为其顶,即以甲丁丙为南北圈矣。
地平南北圈与天元赤道比论〈凡一条〉
此圈交于天元赤道,即为天元赤道之极。高从天元


赤道至顶极之度即北极出地之度。
如图甲己为赤道,丙为顶极,乙为赤道极,戊丁为地平。今言甲丙与乙丁等者,甲乙弧、丙丁弧各相去九十度,各减一丙乙弧,则甲丙与乙丁等。若赤道极高之甲戊弧,亦与丙乙弧等,

其理同也。
论地平东西圈〈凡二条〉

东西,亦地平之侣圈也。其两极在地平,与南北侣圈之交。过此两极者有六。大圈亦分天元球为十二舍,地平以上常见者六舍,最尊者,地平与南北圈也。其次序从东地平起,算为初舍。入东一舍为第一,入东二舍为第二。至南北圈之底起,第四西地平上起第七,南北之顶起第十。此法为用甚大,医家、农家及行海者所必须也。


如上图丙丁壬为东西侣圈,甲乙为两极,甲丁乙为地平圈,甲戊、乙甲、庚乙等皆过极大圈也。
其用之:则以此图甲乙丙丁为地平,甲为东地平起一舍,己为底极。起四丙为西地平,起七戊为顶极。起十也。

东西圈平分球为南北二方,造日晷必用之。
论天元去离圈〈凡二条〉

天元三大圈:其一赤道,其二地平。若欲知两点相距几何,则二圈为未足也。故有去离大圈过所设二点,自此点至彼点,其间之容则相去离之度分也。若此二点俱在天元赤道,或俱在其过极圈,或俱在地平圈,即所在圈为去离圈,不用百游去离圈。
游者,游移不一,百言其多。

如左图甲乙丙丁线为地平,戊己为南北极,庚辛为


黄道。设壬癸点则子癸壬丑,大圈上之癸壬是其度分。
或问二点,或俱在纬圈,则即以纬圈为去离圈不可乎曰。凡测量必用准分之尺度。准度者,止有一不得有二。静天上之大圈分,则准度也。各纬圈之小大与

其度分之广狭,一一不等。若多寡不齐之尺度岂能得物之准分乎。故测去离必用大圈,不得用纬圈也。〈以上原本卷上〉




钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百六卷目录

 测量部汇考七
  新法历书四〈测天约说下〉

历法典第一百六卷

测量部汇考七

《新法历书四》测天约说下宗动篇第三
总论〈凡二条〉

论宗动有二端:一言本天之点与线,二言本天之运动。
三曜皆有两种,运动宜以两物测之,犹布帛之用尺度也。七政恒星皆一日一周,自东而西,则以赤道为其尺度。又各有迟速本行。自西而东,则以黄道为其尺度。凡动天皆宗于宗动天,故黄、赤二道皆系焉。〈三曜者日月星也〉
论本天之点与线〈凡三章〉
论赤道〈凡七条〉

赤道于诸大圈为最尊,其义有三。不知赤道,则诸大圈无从可解,一也。赤道之理,特为易明,二也。一日一周,乃七政恒星之公运动,赤道主之,三也。
其两极即大圜之两极,何者。为本道与天元赤道相合为一线,动静虽异,终古不离也。
大圈之心,中圈之心,赤道之心,地之心,同是一点。为赤道与大圈、中圈同为大圈故也。
赤道既为大圈,其分数亦有半圈,有象限,有三百六十度及分秒。其算数则从一至三百六十,与黄道地平异。黄道分十二宫,各以三十为限。地平分四象,各以九十为限。故赤道亦有过极经圈一百八十,为用甚大。其左右旁各有距等侣圈。〈即纬圈〉每至极各九十,


不甚为用,为与天元纬度一一同线故。
其用则以赤道之经纬度,测各点之所在,命为各点赤道经纬度。
如上图,赤道上任设甲点,从赤道初点乙数至甲为几度分,即甲点之赤道经度分也。为在赤道上,故无


纬度。
若所设甲点在赤道外,则于过极大圈数甲点至赤道交,即定赤道初点至设点之经度为六,甲点至赤道即所容之纬度为五。凡分南北大分,独六合之内〈即大圜也〉及日以赤道分之他则否。


论黄道〈凡十条〉
黄道,亦大圈也。两交于赤道,两交之间最远于赤道者,二十三度有奇。
黄道之两极去赤道两极亦二十三度有奇,与二道相离最远之数同也。如上图甲至丙为黄赤二道,相离最远之二十三度

有奇。则庚至戊亦黄赤二极相离之二十三度有奇也。
黄道分数,其四象限三百六十度与赤道同。又十二分之为宫,二十四分之为节气,七十二分之为候,与赤道异。十二宫曰:元枵,娵訾,降娄,大梁,实沈,鹑首,鹑火,鹑尾,寿星,大火,析木,星纪。后历家从便,命之曰子、亥、戌、酉、申、未、午、巳、辰、卯、寅、丑。
节气曰:冬至,小寒,大寒,立春,雨水,惊蛰,春分,清明,谷雨,立夏,小满,芒种,夏至,小暑,大暑,立秋,处暑,白露,秋分,寒露,霜降,立冬,小雪,大雪。每一节分为三候,节气中以二至二分为主。
黄赤道交处为春秋分,相离最远为冬夏至。
黄道左右各八度以定月,五星出入之道名为月五星道。〈又名六曜道下文通用〉诸曜出入于黄道,度多寡不同。最远者八度也,又总名为黄道带。〈古法左右各六度〉如左图,平分二十四气者,为黄道带。甲至乙广八度,丁戊己庚为赤道圈,辛壬癸为夏至圈,子丑寅为冬至圈,丙则地心也。


周天分十二宫,非独宗动天之面也。凡六合之内,〈即大圜〉一切所有从宗动之面,下至地心皆以十二分之。故凡言宫者,有四义:其一,黄道带上有一长方面为甲乙丙丁,甲乙长三十度,乙丙广十六度。凡七政彗孛等从地心作直线过本点,至此面之某度分,即命


为本点在本宫之某度分。其二以甲乙丙丁为面,从地心戊出四线,上至方面之甲乙丙丁各角成锐角,体凡六合之内,一切所有但入此锐体中,即命为在本宫之某度分。其三为宗动天之内规面十二分之


一。以黄道两大经圈各至极之己庚为首尾,中相去三十度之辛壬为腰,其中容即此分面也。则凡诸点之在其面,或在其下者,皆命为在本宫之某度分。其四己辛庚壬为面,从面分至地心癸为橘房体则入此体中者,皆命为本宫之

某度分。
黄道有经度,〈一名长度〉有纬度。〈一名广度〉从黄道作过极圈以定其经度法与赤道同,但本道本极异耳。若起算从春分始,其义有二:一为是黄赤道,二大圈之交也。二为其为大圜之中,中者,二极之间也。
黄道之过极圈容其各纬度,限各经度。其左右侣圈限其各纬度,容各经度。
黄道比论〈凡八条〉

比论者,一与赤道比,一与地平圈比,一与地平南北


圈比。
与赤道比论
黄赤道之交为春秋分,从此作过极大圈,名为极分交圈。从二道最远处作过极大圈为极至交圈。此二大圈分黄、赤道各为四分,每分各为九十度。
如上图,甲乙为赤道极,丙

丁为赤道,戊己为黄道,庚为二道之交。则甲庚乙为极分交圈,甲丙己丁为极至交圈。
黄、赤道相距不用黄道之纬度,〈经纬线交为直角一名广度〉而用赤道之纬度。
从黄道出线,与黄道为斜角,至赤道作直角,名偏度。

如降娄宫三十度,若用广度则相距十三度,今用偏度则十二度半。所以然者,为黄道斜迤。若用广度,则分及一象限,无法可分矣。不若用赤道之平直四象


皆通也。
本以黄道之三十度立算,而用赤道之侣圈且与赤道为直角,与黄道为斜角,故名为赤道上之黄道。偏度非从赤道,目为偏度也。其在赤道,自名旁度侣度。
黄道一象限九十度,各有

其偏度最远者二十三度有奇。不言三百六十者,馀三象限,与一同理故也。
如右图,甲丙为黄道弧,若广度则值甲乙,偏度则值甲丁,即作庚丙丁辛,去离圈丙丁在其上为距度。测黄道弧之经度亦不用黄道之经度,而用赤道之经度。如降娄宫本三十度以赤道测之,则二十七度为此宫之黄道斜而长,赤道直而狭。故不命降娄一次黄道上之长度曰三十,而命赤道上之黄道升度曰二十七也。


本以黄道三十度立算,而用赤道经度二十七。其去离圈与赤道为直角,名为赤道上之黄道。升度非从赤道,目为升度也。在赤道自名上度。
如上图甲乙为黄道弧,若长度则值甲丁,升度则值甲丙,于赤道上命甲丙曰黄道之升度。


从黄赤交至北最远,黄道圈上有九十度。每度作一圈与赤道距等圈,平行其初圈则赤道也。其第九十为夏至圈,南迄冬至亦然,是名日辙圈,亦曰日距圈。如上图甲乙为赤道,丙丁为黄道,辛丁为冬至圈,丙


庚为夏至圈,己戊等皆其日距圈也。
赤道纬圈去极二十三度有奇者,过黄道极,名为极圈。南北同。
如上图甲乙为黄道,丙丁为黄道极,过此二极之赤道纬圈为丙己,为戊丁名南北极圈。
与地平圈比论

黄道与地平相遇作角,其角随时随地大小不同。正偏球皆然,平球则否。
与地平南北圈比论

两圈交而作角,自六十六度有奇。而至九十九十为二至则直角,六十六为二分则锐角。
论本天之运动〈凡四章〉
总论〈凡一条〉

宗动天常平行,终古无迟疾,赤道系焉。故其行亦终


古无迟疾。
诸点与地平比论〈凡十八条〉
凡先在地平下不见,后见在地平上为出,反是为入。凡平球各点见地平上者,皆与地平平行,无出入。七政则否。
如上图甲乙为地平,与赤


道同线。丙丁等为距等圈。凡戊己等点皆与地平甲乙平行。独七政循黄道行,则否。
若黄道极在天顶,则黄道每日一次与地平为一线一瞬。则六宫在地平上,六宫在地平下矣。此非图像可明视,浑球则得之。离黄

道极圈而外,则出入皆有法。一宫先出,二宫继之。入亦然。若黄道极圈之内,赤道极之外,则反是。
欲测各点运行,视其出入于地平。测法必以赤道之升度为其尺度也,何者。赤道恒平行,是名有法,是为有准分之尺度故。
平球而外,凡各宫出地平上,在黄道俱三十度。赤道则有长短,测法俱不用黄道之长度,而用赤道上之黄道升度。
如北极出地十度为丙乙,其黄道初宫出地为丁戊


三十度。则截取赤道先与黄道初度同出,今与黄道第三十度。同在地平线上者,为己戊得二十四度弱,是为黄道初宫之地升度。凡论时刻及各点出入,皆用之,不用丁戊也。
凡测升度有二:或连,或断。连者,俱初宫、初度起至本


点,依前法视赤道同出度即得。若有别设二点在黄道上,欲测二点之升度,是为断也。法以前点视初宫相距之升度,几何是为前升度。以后点距初宫之升度,几何是为总升度。于总升度中减去前升度,即得后升度。
如右图,乙甲为别设点,求其升度。则丙乙为戊丁之
升度,是前升度。戊甲为丙甲之升度,是总升度。次于戊甲减戊丁,所存丁甲是乙甲之后升度。
问黄道弧而用赤道之升度,为其不等故也。亦有等者乎。曰:有之。论正球则黄赤道从二分二至起算,各出地九十度。其黄道弧与升度等,周天之中其相等者,四而已。
问正球黄赤道之四象限,其升度与弧俱等者,何故。曰:黄赤道俱为二大圈,相等则所分之相似,圈分俱等,一也。又极至极分二大圈,定黄赤道为四象限,此二大圈出入地时,即地平与四象限之交相合为一线。故黄道之象限交必与赤道之象限交偕出偕入,二也。
若欹球,则黄道之半圈从分起,从分止。与赤道升降度等,而周天之中其相等者二,何者。黄赤道二分之交同时至地平,即二大半圈必相等故。
欹球二相等之外,其他升度与黄道弧皆不等。问二象限同升常自不等,何以至九十度则等。曰:黄


道弧与升度从初宫初度始,每度之升度各有差。初差渐多,后差渐少,渐近渐少至极远而平。故也过二至则反是。
若正球则四象限之黄道弧与升度常相似,其差甚少,不过三度。欹球则所差绝多。


如正球甲乙赤道轴即地平,故丁丙弧与丁戊升度相似。欹球北极面则辛壬弧与辛癸升度所差多。升降有二:有正升降,有斜升降。各弧与升度同出入。若赤道上升度大于黄道弧,谓之正升降。小者,谓之斜升降。愈大愈正,为黄道

与地平为角近于直角。愈小愈斜为远于直角。正球但有四宫:为正升冬夏至,前后各二宫是也。冬至先后者,析木星纪夏至。前后者,实沈鹑首馀八宫。有斜者,有半斜者。
若欹球则恒有六宫,为正升。正升谓之迟升,斜升谓之疾升。欹球有六宫焉,正球有八宫焉。
问欹球之正升者,六为何宫。曰:若北极出地一度至六十六度,则鹑首、鹑火、鹑尾、寿星、大火、析木是也。此六宫则正升,正升则斜降。南极出地者,反是。
球愈欹,则黄道与地平为角亦愈斜。
以升降比论〈凡四条〉

论正球黄道上两点去离二至二分〈亦名为四大点〉各等,则其升度亦等。
其相对之宫升度亦等,如降娄寿星各二十七之类,是也。
若欹球,则相对宫之升度各不等。
有两点去春秋分大点等,则其升度亦等。
以正欹球比论〈凡二条〉

从降娄至鹑尾,六宫欹球之升度小,而正球大。从寿星至娵訾,六宫反是。
有两弧在黄道上,相对相等。其正球之两升度并为一率,欹球之两升度并为一率。此两率等。
以黄道之出入比论〈即升降度之合也凡五条〉

各宫各弧各点之出度必等于入度。〈不论正偏球〉各宫之出入度并,与相对宫之出入度并等。
欹球各宫之出入度虽等,而正斜不等。此正升则彼斜降,此斜升则彼正降。


一宫一弧在正球有升度,在欹球有升度。此两升度相减之较名升差。
如上图降娄一宫在正球之地,升度二十六为甲乙。北极出地四十度之欹球地,升度十六为丁己。此二率相减得十度,是为两球升度之差。〈省曰升差〉

正球之升降度从地平起算,可从地平南北圈起算,亦可为赤道与地平圈、与南北圈相遇,俱为直角。故等欹球则否,必用地平也。
太阳篇第四〈不称日者篇中有时日之日故别言之月称太阴同〉总论

宗动天之下则有列宿,又下则填星,则岁星,则荧惑,何以序。先太阳其义有三:一,列宿与六曜之理,皆系太阳。不先论此,不得论彼。二,理较易明,先明其易难者,并易三万光之原。诸曜皆从受光焉,月若其配星其从也。
从本体论〈凡三章〉
论太阳之形象本是圆体

圆有面,有体,太阳之为圆面,举目即是,不待言矣。其为圆体,何从知之。曰:凡物未有有面无体者,太阳之为物大矣,知其必有体也。凡自然生者,初生者无物不圆。太阳之生亦本自然,曾无雕琢,初生则然。曾无迁变,又诸体中圆为最尊,以太阳较天下有形之物亦是。最尊,知其必为圆体也。


论太阳之大
欲知物大,先知其径径有二。一为视径。视径者,人目所视也。旧云:太阳之径一度,近来测验,实止半度。如上图,甲乙、乙丁、丁戊为宗动,天内规面之三度人。从辛视太阳之己庚径,于天度仅得丙丁,不满乙丁


之一度。约如乙丙者,七百二十则满黄道周,故知视径为半度也。
一为本径。欲知本径,先论其去地之远。太阳去地有时近,有时远。折取中数则以地全径为度。
里数太多难计,故以地径之里数为其尺度也。
地之周约九万里,其全径约三万里。

二十四其地径,自之得五百七十六是太阳去地之中数也。
其比例云:地之径与太阳去地之半径若一与五,百七十六也。

既知其视径,又得其去地之远。因以割圆术,求其本径得太阳之容。大于地之容一百馀倍也。
割圆术有专书。二径相比见几何原本第十二卷。第十八题容者,体之容。算术谓之立圆积,非径线


亦非面也。其算法后篇详之。
论太阳之光
日为大光,六合之内无微不照。有不透明之物隔之,则生影。地在天中,体小于日,故影渐远渐杀以至于尽。其影之长不至太阳之冲。

如右图,甲乙为日丙丁圈,为地其影至戊而止不至己。
太阳面上有黑子,或一,或二,或三、四而止。或大,或小,恒于太阳东西径上行,其道止一线。行十四日而尽。前者尽则后者继之。其大者,能减太阳之光,先时或疑为金、水二星。考其躔度,则又不合。近有望远镜,乃知其体不与日体为一,又不若云霞之去日极远,特在其面,而不审为何物。
从运动论〈凡五章〉

太阳之动有二:其一与黄赤道比论,其一与地平比论,与黄赤道比论。如从冬至一点起算,行天一日一周,明日不在冬至即此一圈。作螺旋一周,次日复然。迄夏至点行一百八十馀周,而通作一螺旋线也。第冬至线与次日一周线相离甚近,以次渐远,迄春分而甚远。过此渐近,迄夏至而甚近。过此又渐远,如是循环无穷耳。详见后篇。
又冬至初日之线,其螺圈甚小,次日渐大,至春分甚大。过此渐小,迄夏至而甚小,如是小大循环者,何也。为纬圈中冬夏至皆小圈,赤道为大圈故也。从冬至迄夏至,此为成岁之半矣。若从夏至迄冬至,亦作螺旋行每日一周百八十馀日。通作一螺旋线,但此线非复前线,而别作一线,每日与前线作一交耳,此为成岁之全也。


如右图,作螺旋圈,不能为三百六十,作二十四以明
其意已。上所说螺旋线是太阳之体理,实作如是,运动无可疑者。但螺旋,则无法之线也。以此测候,亦复无法可立,故天官家别用他术。如下文:
测候之术

如用春分起算,初日从初点循赤道行,迄一周是为一日。明日即不在赤道,而在其第二圈。又不直距于初点,而东西相去为黄道之一长度,其南北距度即不及一度也。此一周即为赤道之一距等圈矣。太阳恒在黄道下行,故无黄道之广度。至第三日复作第三距等圈,与次日同。凡九十日行黄道九十度,即于赤道旁作九十距等圈,其第九十则夏至圈。夏至圈去春分圈止二十三度半,故太阳之行亦如是而止。此九十距等线以当全螺线之半也。用此术则从夏至迄秋分,亦有九十距等线。其线即春夏距等之原线矣。
至秋分即复行赤道一日,无距度距圈。与前春分日所行同线相对,其两对处则有极分交圈以为之限也。自春迄秋二分之间行一百八十度,黄道长度与赤道之距度其数皆等。从秋分而后每日作一距等圈,其第九十则冬至圈也。凡诸距度圈,皆交于黄道。独二至之两圈切于黄道,为其行至是尽矣。其两尽处则极至交圈为之限也。秋分迄冬至亦二十三度半,与其迄夏至等,故其间距等圈与其迄夏至之距等圈亦等。从冬至以后,亦依前所行距等原线,以迄春分而岁成矣。
太阳之行恒在黄道下,无广度,亦恒在两至之内,故两至之内皆为太阳所行之道。而太阳每日行一度弱,故两至间之距等圈凡一百八十二有奇。每一圈岁两经焉,如此术即分太阳所行为二路:其一,分计每日所行各行于赤道侣圈,皆在两赤道极间。其二,总计每岁所行,皆行于黄道,在两黄道极间。其一日一周于黄道为一长度,于赤道上不及一上度。此一上度弱者,名为黄道一日之升度。黄道之升度,每宫与赤道不等,故每日黄道之升度一一不等。〈见本设表〉
螺旋合术与黄赤分术比论

论合术则自东而西,每日不及一度,故云日迟。论分术则自西而东,每日循黄道行一度,故云日疾。其实一也。但螺旋于理甚合,而无法可推分术。则分数易明其间即有参差,不能及一微一纤,非仪象可测。故历家专用分术,〈加减法也〉以便推步。
与地平比论

太阳至地平上为出为明,从东而西没于地平下为入为晦。
论正球春分日,太阳出于东方,行赤道。赤道即东西圈,渐升至顶极、至南北圈为极高之弧。此地平以上之半昼分也。亦谓之东半昼弧,午正后渐降至地平谓之西半昼弧。东西合为全弧,行尽全弧为一昼。其一日之中,地平上凡有表,即得影。日出则为无穷之西影,渐短至顶,仅得一点。
或云:是为无影,安得一点,不知无表即无影若。令表离于地平,即有与表等大之影。

午正后影渐长至地平,复为无穷之东影。日既入地平下,则有朦胧分,〈一名昏度一名黄昏〉行地平之低度十八。


低度者,非黄道赤道之度,乃地平之纬度也。在下名低度,在上名高度,
后此为夜。
如上图,甲乙为赤道,即东西圈。丙甲丁为南北圈,甲之高九十度满一象限,己戊为表日出辛表,端影在庚,至壬影在癸,至庚则在

辛也。至甲止一点,丙丁即地平低度十八,至子丑而止矣。
日至于南北圈下为半夜,迨近地平下十八低度,复为朦胧分。
一名晨度,一名昧旦,一名黎明,一名昧爽。

凡黎明将尽,日将出地平上,有云则为朝霞。黄昏之始,日初入地平上,有云则为晚霞。所以赤色者,为日光返照,如火出烟,本是黑色。与火并见即黑,见烟不见火即为红烟矣。
问:日出入则大,日中则小,何故。曰:地居天中,日周其外,因于太阳如受燔炙。恒出热气,是名清蒙之气。此气之厚去地不能甚远,日出入时人目衡视积气甚多,如物在水中其体大于本体。故出入时日形似大,非果大也。至日中时,以垂线照地,人直视之,积气甚少,日不受蒙则似小矣。若出入时或深紫,或微红,或似长圆,亦皆是气之厚薄疏密所为也。
其春分次日,太阳离赤道即不出于东西圈之初度,而在其稍北之阔度。〈即地平之经度不言广者以别于黄道纬度也〉其相去也,与其日之距度等。〈为正球则赤道与地平为直角故也欹球则否〉太阳既稍北,则其表影亦稍南。其昼分与初日等,其南北圈下之极高弧则稍减于九十度。又次日则阔度愈大,极高弧愈小。以迄夏至其阔为二十三度有奇,其高弧为六十三度有奇。从赤道南迄冬至亦如之。其方之昼与夜恒等何者。赤道与地平为直角,即一切经纬圈其隐见恒相半故。
如左图,甲乙为赤道即东西圈,春分日日从此道行,次日以后渐向丁戊行,甲至丁乙至戊各二十三度


有奇,庚至丁其高弧六十三度有奇。
论欹球一岁中,独春秋分两日得昼夜平,何者。是其日太阳在赤道下,赤道与地平皆大圈交而相分,即所分之圈分相等。若赤道距等圈大小不等,以地平分之,其圈分上下皆不等。


如上图甲乙为南北极,丙丁为赤道,丑寅为地平。春秋分两日日在戊为黄赤道之交,则地平上下圈分等。过春分日渐北,如至辛壬距等圈,则丑寅地平分昼夜于子。过秋分日渐南如至己庚距等圈,则地平分昼夜于癸,上下皆不等。

又一岁之中,凡两昼之距两至等,则其昼分之长短亦等。凡两昼之距两分等,即一在赤道南,一在赤道北其距度等,而此日之昼与彼日之夜等。
凡球愈欹,极愈高,即高至〈不曰冬夏至而曰高至通南北言之〉之日愈长。
凡正球之南北阔度等,欹球则否。
凡正球之二至日中,时其高下恒相等。欹球则否。日中时其二至一甚高,一甚低。
论平球则以半年为一昼,以半年为一夜,何者。北极与顶极合,即赤道与地平亦合,故九十距等圈从赤道迄一至,皆在地平上。其在下亦如之也。其表恒作无穷及最长影,不作短影。每日为一周,亦作十二时或二十四。但百八十周,恒在昼耳。
论朦胧
早为晨分,暮为昏分。或并曰晨昏,或省曰朦,曰朦影,朦度。

太阳在二点。二点之距一至等,其朦亦等。何者。去至等则同在一距等圈上故。
若二点之距一分等其朦不等,孰大孰小。近于上极者则大,远则小。
北极出地处则北六宫之朦,大于南六宫。南极出地处,反是。
北极出地处太阳在北六宫,愈近夏至朦愈大,迄夏至极大,过夏至渐小。南方近冬至愈大,迄冬至则极大,过冬至渐小。北极出地处迄冬至不极小。极小者,在赤道冬至之间。南方迄夏至不极小,极小者,在赤道夏至之间。
太阳在北六宫,愈北朦愈大。
平球之处,其太阳入地,低度不过二十三,去朦度之十八,未远也。故其晨昏最长。一年之中明多于晦,几乎不夜。
正球上两点在赤道南北,其距赤道等,其朦亦等。其距赤道不等,其朦亦不等。孰大愈远。赤道者愈大,故二至之朦甚大,二分之朦甚小。
问欹球北极出地处之朦,夏至极大而冬至不极小。极小者,在赤道冬至之间。然则安在。曰:此在秋分之后,特随地不同,皆在分后至前,不在其日也。如北极出地四十度,春分则六刻三十三分,夏至八刻六十分,秋分六刻三十三分。冬至则七刻最小者,六刻二十六分有奇。在寒露之中,候五日也。〈有本表〉
太阴篇第五

五纬在二曜之上,今先太阴者,何故。一、凡论年月日时,皆以二曜定之。二、其理较五纬特为易明。三、太阴体大,昼时亦见。四、太阴之能力亚于太阳。五、纬无能及之。
从本体论

论太阴之形象本是圆体,与太阳同。虽有晦朔弦望,不害为圆。详见后论。
论太阴之大,太阴去人时近时远,折取中数八其地,半径自之得六十四,半径为三十二,全径是太阴去地之中数也。
其视径去人愈近愈大,愈远愈小。折取中数亦得半度,与太阳等。
其本径则小于地球,地之容大于月约三十倍也。


论太阴之光,本自无光,受光于太阳。故本球之光恒得半以上,因太阳之体大于其体故。
如上图甲乙为日,丙丁为月径。因日大,故受光至于戊己。
太阴面上黑象有二种:其一,今人人所见黑白异色

者是。其二,小者则日日不同,非远镜不能见也。详见后论。
从运动论

太阴之运动有二:其一、一日一周,随宗动天行,与六曜同公动也。其二、循白道〈白道月之本道一名月道下文通用〉日行十三度有奇,迄二十七日有奇,而一周本动也。因太阳同行二十七日有奇,则过周二十七度有奇,故又二日有奇。乃及于日而与之会。
白道不与黄道同线,而两交于黄道。
两交名正交、中交,亦名天首、天尾,亦名龙头、龙尾,亦名罗计。

两半交去黄道五度有奇,故每行一周在黄道下者,二交初交中是也。他详后论。
时篇第六〈凡十三条〉

既明二曜之体,又明二曜之运次。因其运动以得时时者,何物。凡诸有形之物,必有变革变革多端。中有迁运一端,因其迁运先后从而测量剖分之,则为时也。
问草木鸟兽人事,皆有变革迁运,亦可用以为时,何必二曜曰凡立术有三法:一须公共,一须分明,一须永久。惟二曜则,然他无有足比者故也。
时之准分尺度一日是也。一日者何。太阳行一周,而过赤道上之一升度弱〈当黄道一度〉者,是也。日之起算有四法:或以早,或以晚,或以昼之中,或以夜之中。日有大小分,大者为昼夜,小者为时辰。时辰者,十二分日之一也。〈西历为二十四分之一〉
常静天之上有二大圈,皆过两极,而分赤道为四。平分其一过顶,即子午圈。其一过东西点。
东西点者,赤道交于地平,是东西之最中。

即卯酉圈从卯至午其间又有二圈,为辰,为己。从午至酉其间又有二圈,为未、为申。此六圈者,终古不动。凡三曜至某圈上即为某时也。
十二时辰不止,日也。月所至即为月之十二时,星所至即为星之十二时。

其起算亦有四法:或用子,或用午,或用卯,或用酉。时又有刻,每时八刻,一日则九十六刻。东西所同用。星官家用百刻,取整数易算也。
刻又析为百分,分析为百秒,递为百以至微。西法每刻为十五分,分析为六十秒,递分之皆以六十也。其积日者,以日加之初加为一旬。一旬者,甲至癸十日。再加为一月,一月者,太阴行一周而与日会也。
称一月者,有二义:一为二十七日有奇而周于天。一为二十九日有奇而及于日。因交会之理分明,故不用月周而用朔实也。

月之分也,两分之为朔望,四分之为晦、朔、弦、望。太阳行一周三百六十五日四分日之一弱,为一岁谓之太阳年。其起算亦有四法:一从冬至,一从春分,〈测天用之〉一从秋分,〈论二十八宿起于角亢在秋分后〉一从夏至。〈古时或用之〉用太阳年者,四年而闰一日为四分之一也。四百年而减一闰为弱也。
凡论岁以太阳为法,太阴行十二周为一岁者,为其近于太阳年也。是谓之太阴年。用太阴年者,岁积气盈朔虚十日有奇,三年一闰为十日。故五年再闰,十九年七闰为有奇故。
太阳年之分也,二分之为半岁,周四分之为四季,八分之为分至启闭,〈立春立夏为启立秋立冬为闭〉十二分之为节。二十四分之为节气中气,七十二分之为候。
其积年者,以年加之十二年为一纪,三十年为一世,六十年亦为一纪。
恒星篇第七

向己说常静、宗动二天,二天之下则恒星天也。略论其凡有四:其一为几何,其二为貌状,其三为能力,其四为迁变。
几何〈凡六条〉

万物中形天为最大,大有二义:一在上所最远,故最大。二能力最大,故其体亦大。
其形象为圆球,何以知之。天体最为精纯无杂,最为单独无二。圆之为象,亦无杂,亦无二。体性如此,故其形象亦当如此。又运行最疾者,莫如圆体。他体则滞碍也。
其去地最远,远之数以地之半径为度。最近处得一万四千度,自此以上非人思力所及知也。此端似为难信,證见后篇。
其所在万物之最上
其质最细,何以徵之。常在上不霣坠,知为轻虚细密也。其质又极精纯,为无他夹杂故。
貌状〈凡一条〉

天下之物,皆以颜色为其美饰。颜色之外别有二美饰:一为透彻,一为光耀也。颜色之美,美之下分,明光之美,美之上分。何者。其形妙好,异于他色,一也。人之见之无不喜悦,二也。他物不能自见其美,惟光能自见,三也。他物有色,惟光能发扬其美妙,四也。有此四者,故为天下真宝,天最尊于万物。故一切颜色不足为其文饰,惟光为其饰矣。或云:天望之苍苍然,苍非色耶。何谓无色。曰苍苍非色也。太空之中气盈其处。气亦无色,气积极厚,则成苍苍之色。譬之玻璃,本自透明,略无他色。积之数重则成苍色。太空中色,亦犹此耳。
能力〈凡四条〉

天之下济,其于下土有大能力,何以徵之。运行一周成为四季,凉燠寒暑,万物藉为生长收藏,一也。世间微物无不各有能力,稍大则能力称之。天如彼,其大也,知其能力与之等大,二也。
天之能力,下及每用二器:其一光也,其一施也。光不独能照天下,亦能作热。如用洼镜,对日而成返照,则能生火。又用玻璃,圆球对日而成折照,亦能出火。其故为何。光于天下为最尊;热于四大物情中,〈四大情者一热二冷三燥四湿〉亦为最尊。以尊生尊,是其理也。其次亦能生冷,亦能生燥,亦能生湿。为光本非热,非冷,非燥,非湿。而其中有精,足当四情。故能生热,生冷,生燥,生湿也。
如仁中无芽叶花实,而其精足当四物,故能生四物也。

夫光之为体,若其发而及物,何为施之不尽。若其不发,则一切所受为从何来。故其体其用总非人间意量所及。
光之外,别有施者,不属光也。此有二證:其一,海潮大小不因于光,亦不因于冷热燥湿。譬如磁石吸铁,别有相摄相受者。则受者,为所施摄者,为能施也。又如怀胎生子,七月生则长,八月生则夭,无不验者,此亦非因于光,亦非因于四情,亦如磁铁有别相摄受者故也。
从上二能知天于下土,盖有四德:一曰覆冒,一曰包函,一曰生育,一曰保存也。假令不动亦有此德,而又加之运动,于此若此,于彼若彼,变化无端。真非思议所及矣。
迁变〈凡四条〉

凡物迁变,首运动。
天之运动皆环行,何者。天体单独无二,故其运动亦应单独无二。环行者,单独无二之行也。何谓单行。曰:凡动如人,如鸟兽,如风,皆杂乱无法之行也。单行有二:一曰垂线,一曰圆线。石在空中下坠于地,此为垂线。一切循环无端者皆为圆线。垂线之动势尽而止,惟圆线独为无穷。天以覆函生存下土者也。故不能不为无穷,不能不为环行矣。
天之运动恒不去其本所。论其各分无一不动,而其全体无一分动。
天之运动有四异:其一甚疾。一刻分中行几万里,如鸟如矢,如炮如霹雳,皆非所及。其二恒平行。
其中迟速别有故,实无一不平行者,详见后论。

若非一一平行,即测候之术无从可用。其三恒久不已,其四万物之动。此为首何者。天下之动于此系焉故也。若无此动即无四季,即无生物。问运动而外更有迁变乎。曰:论其体则无变,何者。为在最上,物无及其际者,故不能受变于物。论其情则有变,如月星无光因于日光,变而有光,一也。又如日月有光,因于交食而若无光,二也。〈以上原本卷下〉




钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百七卷目录

 测量部汇考八
  新法历书五〈测食〉
皇清
  新法历引〈测太阳 测恒星 测太阴 测五纬 时晷〉
  新法表异〈测算异古 测算皆依黄道 表测二分 五星测法〉

历法典第一百七卷

测量部汇考八

《新法历书五》测食似食实食说第一

人恒言:日食月食矣,辄概混焉。不知月实食日,则似食而实非食也。何者。日为诸光之宗,永无亏损。月星皆借光焉。朔则月与日为一线,月正会于线上,而在地与日之间。月本厚体,厚体能隔日光于下。于是日
月食图

若无光,而光实未尝失也。恶得而谓之食。望则日月相对,而日光正照之,月体正受之。人目正视之月光满矣。此时若日月正相对,如一线,而地体适当线上,则在日与月之间。而地亦厚体,厚体隔日光于此面,而射影于彼面。月在影中,
日食图

实失其所借之光,是为食也。然其食特地与月之失日光耳。而其光之失,因光在地面与月体之上,地与月互相遮掩耳。日固自若也,总之日也,月也,地也,使三体并不居一直线,则更无食矣。若食,则日体恒居一直线之界末,而彼界则

月体地体叠居焉。月体居界末,则月面之日光食于地影矣。地体居界末,则地之日光食于月影矣。
实会中会似会说第二

夫日月星宿之会,总名也。第有实会,有中会,有似会。实会者,以地心所出直线上至黄道者,为主而日月五星政当此线,则是实相会也。
黄道圜黄道圜

如右图日在甲,月在乙,地心在丙。甲乙丙线直至黄道圜之丁是也,即南北相距不同在一点,而总在此线。正对之过枢圜亦为实会。盖过枢圜者,过黄道之两极而交会于黄道,分黄道为四直角也。从北视南,虽不在地心,所出之一线却与地心所出之一线正相对,犹一线矣,故为实会也。然月与五星居小轮之边,地心所出线上至黄道,而小轮之心正当此线者,则为月与五星之中会也。但日无小轮,而日天本圜与地不同心。两心所出,必有两线,此两线若为平行。而月轮之心正当居地心线者,则是日月中会也。夫实会既以地心线,射七政之体为主。今此地心线过于小轮之心,则谓之中会矣。如地心为丙,日天之圜心为戊,月小轮之心为己,日在甲。甲日与戊心之戊甲径线而从,地心丙出线至黄道,辛平行乃是中会矣。然实会中,会俱准于地心。而吾人所居,乃在地面而从心所对一线,从面所对又一线。惟正当天顶之圜,则两线同在一线,与实会无异。过此而偏左偏右,即分两线矣。今人所见日食,皆地面上人目所对之
天顶

线也。日月在地心所对之线为实会,则在人目所对之线,不得为实会而特为似会矣。如上第二图地心为丙,地面为壬,天顶为癸,癸壬丙定为一直线也。若甲日乙月即在癸丙线上,则实会并是似会矣。若日在子,月在丑,与地面壬为
一线则似会也。必月至寅与地心丙为一线,方为实
会耳。则是实会在午前,必先于似会实。会在午后,必后于似会也。惟日食全以似会,故地面有不同。而食之分数时候,因之所以随地所见,亦不同也。第合朔论实会,交食论似会。实会、似会之线在日月,本天无度分而全依宗动天上。黄道圜十二宫之度分,则必当极论。会线至黄道之处,实会线所至,谓之实处。似会线所至,谓之似处矣。以实会线上之日月为据,而目视日至黄道,有日似处。目视月至黄道,有月似处。
天顶

得其似处,可以较实处之距度矣。如第二图子寅丙为实会线至黄道卯,则卯为实处。若壬目视子日至黄道辰视寅月至黄道午,则辰为日似处,午为月似处也。然所用既皆实会似会,而并论中会者,凡地与日圜不同心,而与列宿天

则同心。心同则径同,而日圜之心在列宿。天心与地心之上,则日圜之径亦在列宿。天径与地径之上列宿天之径,割日圜为大小两分。两分虽有大小,而各应黄道之一百八十度。此空度、隔度之所出,故不得不辩。夫必用地中会线者,求准对日与黄道,迟速不均不平之本动,又因而求实会之准则焉。
食之徵第三

凡日月相会,未必皆食。惟因会之有,似有实而悉其差之远近几何。此必须测验而后得。凡人居赤道北


者,月之似处比实处恒若偏南。若偏低者,然夫月在日与目之一直线上,不偏斜不低,昂乃能掩日而为食。若精察之较,月食更难焉。第观日月似会之时,其距度比日月之半径或大或等者,必无食也。小则必食矣,愈小则食愈大矣。考


之在龙头、龙尾。若正当龙尾,或与龙尾不甚远,则当测其食否。若与龙头、龙尾相远,而月似会之距度过三十四分,则无食矣,可不必测矣。月食则于望日求之,月之距度若小于月半径与地半影者,必食也。其食之处定在龙头、龙尾之


两傍十三度三分度之一。过此则月之行道不相涉而不相掩矣。如甲子年八月望日,月经龙尾不远,则应测其食而考其所经之躔度,乃在黄道。白羊宫三度五十六分四十一秒,其躔道距度则五分三十六秒矣。夫月半径得十六分

四十三秒。而地影之半径则四十五分十三秒。二数并之即为六十一分五十六秒,距度止五分三十六秒,是最小于月径及地影之半,而全体必尽食地影,必且有馀矣。若乙丑年八月望日,其月在龙尾双鱼宫二十三度半。夫月半径十七分十五秒,而地影之半径则四十六分三十七秒,二数并之得六十三分五十二秒。月距躔道四十八分二秒,则小过于地影之半径,而月体必半入地影而不得全食也。
食之处第四
黄道

龙头、龙尾者,何是日躔之两界,月食所经之处也。昔人测日月之食必在所躔之二处,而月之距此益远则距度益广。广者,象腹也。则其所起、所止者,象头尾矣。十二宫右旋从头至尾,则左旋而此头尾二处非定于二宫,但设为多圜。嫌

于繁混,故止取龙之头尾,以略徵之也。如右图甲丁乙为日躔圜,甲丙乙为月行圜,两圜交于甲于乙。而从甲上升左旋至丙至乙,故甲为头,乙为尾,丙丁相距最广为腹也。但甲在白羊宫,则乙在天称宫,而腹在磨羯宫。若甲在双鱼宫,则乙在室女宫,而腹在人马宫。凡十九年乃复原处。故日月之食,不十九年不能在本躔同宫同度也。
日月地影之径说第五

日月之径,原自平分。今因日在本圜,月在小轮,有远有近。近则见其径大,远则见其径小。又地影者,是日与地所生,故日之远。近亦能为影之大小也。然无有食,而月不居本圜之高处第就。月居小轮,日居本圜,则每食自不同。而其径之大小,与小轮与日本圜无一定之规则。惟用日月之本动方可考定。今考月体本动之法:每四刻若行半度,则知其径亦半度矣。日体每四刻若行二分三十秒,须以十三乘之,则知其径十三倍于二分三十秒矣。此系一定之常法。但日月之行时刻不均,故以是法测其体之大小未免少差。盖日愈高其体愈觉小,其动亦愈觉迟。日愈下其体愈觉大,其行亦愈觉速。月在小轮,其高下迟速亦然。其考地影之法:须先定日之最远处,月径假有三十三分,即以三率法求月体于影,如五与十三之比例,即等于三十三与八十五零五分之四之比例也。若日不在最远,先当考日之居。所离最远处几何度,次考日行比最远处几何疾。以疾行之度减去地影,则得所求矣。
食大小迟速辨第六

夫距度广狭,实为月食大小迟速之分。故望日之月,视其进地影厚处,则其食迟。进地影浅处,则其食速。朔日之月,视其似会少偏日躔,或似会大偏日躔,而其故总由日月远乎。龙之头尾也。望日之月在头尾,正躔则月食至大至深。若少偏而躔影之半径与月体之半径等,则虽全食而即复。若距躔影又远,则食不全也。若日虽全食,亦不能久。因月径之似处小,仅能遮日体,而须臾便过,故但能全掩,不能久掩也。今欲知食分大几何,必须定其分数几何。盖西洋取日
量月食

量日食量日食

月本体为十二平分,移此分寸量月所经之处。若日月食十二分有馀者,是谓至全至大之食也。但欲精察不谬,月食则究食甚时月道距躔道几何。日食则究食甚时月似处距实会几何。量日食

月本体为十二平分,移此分寸量月所经之处。若日月食十二分有馀者,是谓至全至大之食也。但欲精察不谬,月食则究食甚时月道距躔道几何。日食则究食甚时月似处距实会几何。月本体为十二平分,移此分寸量月所经之处。若日月食十二分有馀者,是谓至全至大之食也。但欲精察不谬,月食则究食甚时月道距躔道几何。日食则究食甚时月似处距实会几何。
经候几何第七

欲知食之经候几何,须知日月之本动。设若日月本动相同,则月必不能进影。进亦必不复出矣。今月行黄道比日甚速,能逐及于日而又过日前,故但较月过速日过迟之两候,即知日月食经候得几何也。此有算就立成。凡某时刻日月当食其本动之度几何,则以日过迟之少数减去月过速之多数。次取立成,视月多行之度几何则得。盖以过速之多数除初食至食甚之度数,即系初食至食甚经候之度分也。食甚至复圆,亦如之。顾日食之中,前中后与月食有异。盖日食惟在躔道九十度,正天中者,中前中后均平无异。若其食偏在东西,即有异矣。偏东则初食,至食甚短于食甚至复圆。偏西则食甚至复圆短于初食至食甚。故求日食毫釐不差,必须较看日月行动先后两时刻度分。其一在未食前,其一挨复圆后。而初食至食甚度分用以除食前一时刻度分,食甚至复圆度分用以除复圆后一时刻度分,即是日食中前中后之经候度分也。
日食月食辨第八

夫日食与月食,固自有异。盖月食天下皆同,而日食则否。日食此地速,彼地迟,此地见多,彼地见少。此地见偏南,彼地见偏北,无有相同者也。而月食则凡地面见之者,大小同焉,迟速同焉,经候同焉,唯所居不同。子午线者,则时刻不同矣。盖月一入影,失其借光,更无处可见其光也。
右所举不过略言食之固然与夫所以然耳。若精求合朔之时刻,日月之真方位及月离躔道之距度,考南北东西差。每处之异同,日月每时行几何度分与夫月进地影食甚时以较,太阳行度几何迟速及他种种议论,种种见解是书皆未及言,俱各有本论及立成井井胪列。俟翻译后开卷一目便已了然。〈以上原本卷上〉
月食为地影所隔第一

问月食必在于望,因日月相对之,故其说明矣。至谓地影隔之而食窃有疑焉。曰月对日而受其光,苟日月之间非有不通光之实体,为之障蔽则必不能阻。日光之照月体,无论空中之火、空中之气与夫天体,不能掩月。即金水二星虽居日月之间,其影俱不及地,况能过地而及月乎。则知能掩日者,惟有地体一面受光,一面射影,而月体为借光之物入此影中,安得不食。而半进则半食,全进则全食矣。
月体当食尚有光色第二

问无光之月一入地影,遂全失其借光也。然食时尚有依稀可见之光。天文家每视食月之色,预言食之徵验。若人以目切墙屋,掩其未食之光体,而独视其既食之乌体,其光尚明于星也。盖物之可见必借外光,不独能见物体,且更能发越物色也。月既在地影,即失借光,安得尚有色乎。曰月体虽食,尚有微光。今直以影为明者,误也。以影为暗者,亦误也。称影为明暗之中者,庶为近之。盖日所正照为最光明,有物隔之而四傍之气映射。或对面之光反照,虽无最光明,亦有次光明也。如一室之外为最光明,一室之内为次光明也。云之上为最光明,云之下为次光明也。直至所隔愈深,去光愈远。并次光明亦渐微,微而又微以至丝毫无光,乃为暗耳。夫人与地近日与地远,人居地此面,日在地彼面。至夜子初人在地影,至浓之中近物尚能别识,何况月在地影至锐之处。次光明正盛,其有光色又何疑乎。且人在极暗,则月光虽微,视之反觉明也。
日食在朔月体掩之第三

问前言月在日前,能掩日光,是已金水二星亦皆在日前,又皆实体,且水星虽小,而金星则大于月也。何独以食属月乎。曰:二星于人甚远,不能掩日百分之一二。而日光甚盛,即亏百分之一二人亦不觉。且二星去日甚近,去地甚远,所出锐角之影亦甚短,决不能及地面也。若夫月体,虽不及太白之大,然去地近去日远一指足蔽泰山,又何疑乎。由此言之,求一实体之能全掩日,又从西而东过之甚疾,唯月为能。盖月之右旋比诸天更速,且必至合朔方有食,则日食于月决然之理也。
因食知月体不通光第四

问月体受光而反照之,必不通光如铜铁镜。盖通光,则不能受日光,而反照他物亦不能掩日而生影也。曰镜之设,譬似矣而尚未尽。夫镜之照物而反生之象,其大小远近心与物体相当,然后可以镜喻月。今观镜之面有突如球,有平如案,有洼如釜。惟平者所生之象乃与物体相当。若如釜者,所生物象必倍于物体。如球者,所生物象必小于物体矣。试以球镜照远物,而人又从远视之,则物象必倍小。尝持球镜照太阳之体,其小如星。倘月体如球,镜欲其反生,太阳之象乌可得乎。又问合朔后月之下半未受日光,而月体微光比诸星更显。若不通明则此光又从何生。且观其掩日而日全食时,月之边际觉稍明于月之中心,似中间厚处难通,而薄处稍可通透乎。曰前既言月在地影最中处,乃天光映照之明若合朔时,则有光之天与月体最为切近。而日光上照月体,约有大半,四边岂得无光。或言月既非极通光如玻璃,或半通光如玉石,特因在后之物,其体质不明,故不能映见在后之物乎。曰试观日食甚之时,天光尽黑,星体亦现尔。时太阳在后,体质最为明显,何以不能映见丝毫。可知月体绝不通光也。或言在月后之物,必更坚密于月者,然后能照见。若较月更通彻即不能见乎。曰:若。然日体在月后,坚密不亚于月而亦不能见可,言日体为通彻乎。又凡目所注必须有色,及所照之光。此二者必不通彻之体,乃能受之,则月体从可推矣。
月食时人目不及见月受光之面第五

上言日光照月体大半,则知日比月体至大。然日食甚之时人目所见之面,何故绝无丝毫之光。曰:凡人


视圆球,止见小半。盖球有大圜,有小圜。若以两线切大圜,其线必为平行。今目所注视之线,既不能平行则不切至大圜,可知而目亦仅能及小圜矣。
详见几何一卷二十八题
又望后三日,虽月每日行十三度有奇,而月边尚似


圆环。可见人目正及,其小圜也。或曰:望日所见月体之面,即月所受光之面,其光为大半。则二三日其光尚在大半之内,则晦后月轮稍移,便宜见光。而光今竟不即见,何也。曰:月掩日之时,一则人所注之圜与
图缺日光照月之圜为平行,一则日食时不过一两刻,则两线亦不能相切至望,则不同矣。又望时日光照月少于他时,盖晦日日与月止隔金水二星,天而甚近,故所照亦多。于望日望日与月隔金水,二天及月本天之体而甚远,故所照亦

少于他日。然晦日所照虽多于望日,而人目所及止见小圜,而月光不即见,职由此矣。
日月每月不食第六

夫月不恒食之故有二:一则日体常丽躔道,则地影亦常对躔道。一则月行常出入躔道,故地影不及。盖凡光照物必直射而作直线,今日在躔道,其光自平面而直通至地,则反影亦反射至天,如日光之射地。其日光绕地一周,则影亦绕天一周。其地影至月天,阔不过一度半。躔道平分地影,每边有四分之三。又望日月轮不在龙头、龙尾近处,故月体与地影不得相遇,故不食。此前篇言每月食,三体必在一直线也。或曰:日食应有多次,为其不论月之实所,但论月之似所。若论似所,则南北所差甚多。如此则人住两极近处者,视月远于躔道,亦能食日矣。曰:人居在北极下,而似所与实所相距不过一度。譬如月在地平东西,差亦不过一度。可见日欲食时,月不能离躔道一度强,故日食亦少也。但论一处,则日月之食不等。概论天下,日食应多于月食也。
因月食徵地圆如球第七

格物家悉言,地圆如球,验之洵不得不然也。盖凡物之性重者,势必就下。若一无所阻,必径就天心。天心者,最下处也。故大地四旁皆欲就下,其势不得不结为圆。然则虽山岳之高,湖海之深,亦无损于地体之圆也。今以地面论之,日月星之出入东西异,则时刻亦异。试观同此月食。欧逻巴见于丑正,亚细亚见于寅正,是可见日之没也。先没于亚细亚之东,后没于欧逻巴之西也。非圆如球者,必不然矣。大率从西而东七千五百里,则应天三十度,而先八刻见食。设地体如案,则天下见食共在一时,无有彼此后先矣。若地体如碗,则远于月之处先得见食,近于月之处反后得见食矣。至若地体如觚,而四方或八棱,则凡在一面者,见食皆同矣,何故。有时刻先后之异乎。非圆而何也。又问地固圆矣,但日月初出,半露地上,圜体切之宜若弧状,今但如弦,何也。曰地球掩日月之半,实自如弧。今见如弦者,因地形掩日月处较全圜甚短,人目视之如直,而实圆也。今设一圜线,其长寻丈
图缺若。截取分寸之长,则不见其曲矣。问地既为圆球,吾措足之地在球面,则所见四旁之地宜皆低也。今见近处觉低,远处反觉高,何也。曰:凡人视物之远近,皆从一直线来入吾目,而人之内司从外司亿之,故视远物出线,似过高于近物


出线。
如图甲为人目,乙为远处,丙丁为近处,俱属一平线。乙远出线来甲目似高于丙丁近出者也。如人立长廊中,或长瓮道廊,道两头平正如一,而自此视彼只见其高矣。夫视近尚尔,况地面之远乎。惟据实理察

得之,则知外司之似误矣。
因食徵地海并为圆球第八

航海者,远望他舟之来,未见其舟,先见桅端,须臾渐两相近,则帆樯、头尾、全舟毕见矣。设海面为平,则此舟全体可见,何乃有先后、见不见之殊乎。
几何家正之云:从一点出线至一界,若其线长短若一,则所至界必为圜界之形。今从地心出线至海面,如此则海面果成肖圜界明矣。若弗允其说而谓线有长短,长者,其界更远。而远于心点。短者,其界更近


而近于心点。如此则地心出线有长有短,长处之水,独能居高而不下也,岂不逆水之性乎。如上图甲为地心,乙丙丁为水平面。丙近地心而为水低面,丁乙远地心而为水高面。则乙丁之水逆其性而居高,若居己庚处,则更高乎乙丁
水边也。观此可知地与海为圆之證,而其明白显现
者,无过于月食。敝国有人自依西巴尼亚国至墨,是谷国验月食之时刻,则先于依西巴尼亚国两地时刻俱一一较准,故知食有后先。而地与海为圆球,又食时,月内乌影不拘何地,其影必作圆形。而光体未受食处若半规。然以接其乌影,若影为方为扁,则月之乌影安得如圆形哉。若言影圆,而其生影之体为四方八角。种种异形,此犹不通之甚矣。说更详于视法诸书。其言乌影悉随其生影之体而肖之也。问谓影之圆应地体之圆,是已若夫水乃通明之物,不能并地而生影,亦不能并地而为圆形。如何曰:水离地之重浊能有几何,即不同体,宁非连体乎。既水与地为连体,则重浊搅混,岂得通明。而况加以深厚,孰谓水之通明全体而不能生影乎。盖月之食影惟系地影,则海中有岛如瓜哇老冷苏门之等星罗棋布在在有之有,则皆能生种种之影,则射于月体何处分别是水乎。是地乎。
因食知大山不损地圆第九

问客从欧逻巴航海,来于西海,首见分子午之福,岛其邻地有山。说者云:从千五十里之远以见其山脊,或言天下高山,此其首矣。又利未亚中一山名亚兰得其高视之若际天,故名天柱。又额勒济亚中一山名百峦,说者云:其高出于云表此数处有山之高,如此则天下各国岂无有类是者,然大地有此种种。高山则未免有凹凸之状,今言其形若球,不易信也。曰地海并为圆体,其形如球者,非实圆如天球,通光滑泽不洼不突者也。特谓其类天球而少异焉。尔额罗斯德逆尝云:地形如球者,大都肖球之圆,非如工匠车旋器物之浑圆,而毫无凹凸处也。否则山之高谷之深将安所置顿哉。然山谷在地面圆球之上,不过为球面之一点尘埃耳。今视山谷在地面,虽不齐而视月食乌影未尝不圆。若谓山谷与月相望之,一面不能生影,则地球与月相切之一边,岂不能生山谷之影而灭地球圆尖之影哉。今俱不见其圆可知矣。几何家用通光测量等器测亚兰,得百峦二山垂线之高只得千二百五十步,况雨雪时。天下诸高山顶处处皆有积雪,则较之彼所称天柱者,所差又多矣。曾何足损地之圆乎。
今测大地之围九万里矣,则其径应三万里也。以二山之高步化为里数,而以较地之全径,仅为五千七百二十七之一耳。今三倍其高,亦仅为一千七百零八之一。是山谷之高深较地全体之大,直九牛一毛耳。球上些须之点乌,能损大地之圆乎。
因食徵地球在天心第十

前论地球居天中心者,理势不得不然也。盖四行之重浊下坠者,惟地重浊。之反而轻清上凝者,惟天性之两相反而两相去。去之至远者,其惟天心乎。故地之上下四傍,面面皆生民所居,首俱戴天,足俱履地。其首上足下攒,聚皆不离斯是。知地面上之屋宇楼台,地面中之江河湖海,千古安于就下之性。初未尝见其起离地面,而超越于天也。
问天之四傍,恐未必皆是。九十度之高人视四傍之天似下垂而近乎地,又似相接而比乎地矣。且朝暮日月之出没,若出没于地平之近处,则近地平之天。
图缺未必九十度如天顶也。曰欲释此疑,盍验诸月食。夫日月不相望于一直长线之末,则终古不能食也。设地不居天中,而偏近于黄道之上下东西,则食不居半圜黄道之一百八十度矣。如上图甲乙丙丁为黄道,若地不居中心戊而居
图缺己,则日居甲而月至庚即食。然此日月非正居直长线之末相对相望处,其甲丁庚之长未足半圜。与古来测验之准的不易之常法大相背戾矣。若言地居黄道极,但去极不必相等,是又迂阔之甚,盖地影近黄道极,则地影不能与月

相对而掩其光。而月体亦终古不能离黄道而受地影,其能服天下高明之耳目乎。
夫人视地之四边若与天近,与天相接者,尚自有说。盖人从此处以目视,彼远物之界悉凭乎。中间有实体与否,如于地面视天,所见只有天、有地,以中间浑无实体以问之也。则地面之四边与天若近若比此其故矣。今试观林中竹木,或城上旗竿,鱼贯而列,若侧而视之在远者,若相近在近者。反似相远而远近恍惚之不定也。又河之两岸,各有人立。倘在远处视此二人,似觉并立而无远近,亦不能料二人中间尚有河隔。足徵从远视物易于淆乱,而视天何独不然。
因食而知黄道六宫恒在上六宫恒在下第十一

凡习浑仪之说者,即当知黄道之居仪上。随宗动天以运,旋第就黄道之随动。而言固有正斜迟速之不等,所以然者,因其随宗动天之极。而极与黄道之十二宫远近不同故也。又当知黄道之在仪,不拘何度次、何节气,其黄道宫从地面而升,则其所相对之宫由地面而没焉。夫地平与黄道两圜在仪为大圜,凡圜交错分为十字者,实为半圜而举黄道全圜。则半在地面上,半在地面下也。右所言不必胶执一定。即据浑仪审验,亦可窥见月食之大凡。而其故瞭如指掌矣。但食居东西两面方为相当,又见地海全球半居地平上,半居地平下。盖食在东则日居西,食在西则日居东。而日月实相对望于至长、至平线之末,则见日月出线,正当穿过地心,又见日月至地平上,则地球之面居地平之上矣。又见日居东,月居西,正当半乌影。设当此时以通光耳。测器平对日月,则日光正射月体,如此岂不昭然。见日月实居地平线之末,而贯地球于平线之中乎。又见日月及地心并贯于一平直线,如此则自通光耳。窍测影处以去地心,非如一小点乎。且凡有月食,无拘冬夏。天文家正测以日月相去黄道六宫,则明见六宫居上,六宫居下。是又不待食,而然四时恒若此也。第其宫当从地平游移上下,而至于原处地平也。
据月食即知其实本位所第十二

据子午高处,欲求星宿之偏居。原不属地心距度者,即因其偏居处求之,而知其居于黄道之处所,甚易易也。故天文家欲求其准的,详制若干仪象以测验焉。然仪象之巧妙,全在通光之窍。使其射光处有准的,不移动不更改,则是器之用不惟能测地面,足迹所不能至之处,即山岳楼台之高,江湖之阔,地里之远,井谷之深。凡诸种种,悉能测之,极而能测量天之星宿与天之彗孛也。第今用是器以求月之高度,因而知其在黄道之实,本位所惟除地方二十三度内。如广东广西等处不特难,之难且无准的可据,更难于推算也。盖月之始出其高度少则差度多,高度多则差度少。由是则时刻之所在,其差度恒不一。〈阙二字〉以仪象测月要,当取地心之所,方为不谬。今势不能得,不为虚器乎。但器虽有短,心灵无尽,故多罗某及。诸天文各家言细测月食,在于月行。本道进影时不居似处而居实处。则在食甚时,不得不准对乎。日既知其的确处所,则知其本动之行、本行之异。知其顺往则知其逆来,而食之时刻、食之大小、食之方所毕知之矣。
因食而知月有小轮第十三

问月有小轮,何所据乎。抑因其食而證其有乎。曰:天文家究心殚思屡经测验,月食悉见。夫食屡居本圜之极,远其日屡。居本圜一处,则生影不得不尽一也。然食时之分数有多有寡,多则月居影厚处,寡则月居影薄处,必有小轮焉。月体居之因其极,而动时居轮上则去地面,远时居轮下则去地面。近如后图所载。云:问月既有小轮如五星者,则其停居顺行退行
图缺亦宜,若五星然。今独未见,何也。曰夫月行随其本圜之疾,故不言其停居退行。只言其行速行迟也。速者,因其居小轮下,随本圜之动自西而东。迟者因其居小轮上,随其自动自东而西,逆本圜之自西而东故也。

问月体既居小轮,随轮而动,则无本动。若论其体之圆,则宜自能动,何如。曰:有谓月中影象,是地体厚处所映者,谓月体通光处。日光射而达之不得返照者,又谓月体中。自有高卑如山谷者,种种异说。然此影象恒俯对地面,而人恒仰见之不侧不移,则月体有本动明矣。其动因乎本极而逆乎小轮,行之迅速与小轮并速也。影象之明恒下垂之,安得谓月轮无本动乎。
因食而知日有不同心圜第十四
图缺问日食有或全食,经候多而见食多处者;或全食而经候不多而食不在多方者,其故何也。曰:天文家正㨿此以验日,有不同心圜,不然何其食同而经候不同。掩地面之广狭不同也。可见日月俱有不同心圜,而居不同心圜之上下,则
为去地之远近,生影之大小也。今有一光明之体照
一不通光之小物,两体相近则明体照。物体之大分而生影小,两体相远则明体照。实体之小分而生影大,此见日食全而大者,则日体必远乎。月体日食全而小者,日体必近乎。月体明矣,倘日月无不同心,圜之极而以地心为心。则其东西行动,必规随夫地心,何有远近之殊耶。丁先生者,大西高明之士,尤长于天学。亲见两日食之异,其一于耶稣降生一千五百六十年,在哥应巴府见月掩日,白昼如夜,星宿照然。其一于一千五百六十七年,居罗玛都。时见月居日前,当中掩之而未全,蔽月边四围,皆有日光,即此二食知日月去地面有远近,而日必有不同心圜也。
因食而知日月地大小之别第十五

问日体甚大于月与地,何徵。曰:昔有人叹世人止凭肉眼,不求物理。尝设喻曰:日出地时,设有骏马疾驰从日始,露至全现。亦可驰四里,纵令日行与马等速,则四里而仅见其全,则全体之径亦必四里矣。今骏马一昼夜所驰于地几何。最速不过全围百分之一也。而太阳日一周焉,则其行之疾莫拟也。是则马之四里日之行,几千万里矣。日体之大即此微可知也。且日月体之大小,即食可辨。盖凡物之有形象者,若空中无所障碍,则其体之全体之分,无不出其本象。于一直线而至乎界之一点,此凡物皆然。不拘方圆棱角等形,如有物体,于此其基址,即物体也。其界点则线之,锐角所至,而入人目者也。凡实体出锐角影者,照体必大乎。实体否,则其光不能照实体之全面。而使对面锐影之尽处,仍聚合而有光也。今欲验日大乎月,可视日食。月居日前,而掩其光,是时日边尚有光,是日体在外。而其象之入人目,非近来自月体,乃远来自日体也。其线既为角形,则从月体至日体更为广大,是其角形之锐从日来。目为一点,而中间能包月体有馀,则日体之大于月体,复奚疑哉。今欲知日体大乎地者,观诸月食可知月之食地居日前。而生角影掩月体也。当月食时,月体近乎地,则入阔影远乎地,则入锐影愈远愈锐。以聚于一点,若此者孰不信日体之大于地体也。设谓日体与地体均,则地影大小均,为无穷尽之等影。若言地体大乎日体,则地影必益远益大,为无穷尽之大影。其影既远,不独食诸天之星,必且食诸星之天矣。则每遇望时,月体讵能逸于大影之外乎。由此益信月体之小乎地球也。盖地影益远益锐,而月食居此影或有全而久者,则月径更小于影。而影小于地,故月体地球之大小从可知矣。
因食而知各地之子午第十六

多罗某者,天文家之宗匠也。其所定子午法,诸子皆宗之当时。欲定各国各府之子午以便测验,乃先定福岛以为西极。而此外因海弗论也。职方氏谓心亿不如足至多,罗某生平足履虽未遍地,而垂法之妙足踰百家矣。厥后,诸天文家自涉多方,目测多食,益精其遗法之妙而职方图志,益广其传焉。今欲求经度之准的,东西之远近,法莫善乎。考两地之月食,以此方之时刻与彼方之时刻相较,视所差几何即知两地相去几何度矣。假如癸亥年九月望应月食京师及邻近地,初食在酉初二十七分,食甚在戌,初五分,复圆在戌正四十三分,此中国之食,候也。若在西洋,则初食在巳正四十二分,食甚在午正十五分,复圆在未初四十八分,其差得三时零二刻半。则知中国去西洋之度,东西相距一百一度十五分。可见凡两处月食之先后,即能测两处道里之远近矣。然既确识东西之经度,即以西洋所定测算立成。举而按之,用力省而获便多矣。前癸亥九月望月食,若望承命以西洋法测算,是岁若望初来都中未尝测本地之食,莫得其经度,不敢轻任嗣。后复蒙严督因以先寓广东时,所测一次月食之经度。又用诸仪器较量知京师更东,凡三度强,于时刻应先十二分。离西洋中心勿尼济亚国,东西一百一度十五分。据法推算分秒时刻幸不少爽,甲子二月望,及本年八月望两度月食,承命推算,幸亦无爽。今乙丑岁又当月食,复蒙命推算,敢不祇承。谨据西法测验,一一条列于左,倘有讹谬,则拙算之未至,非成法之有讹也。诸食图具后
癸亥九月月食图缺
初食,月距躔道四十分强。
食甚距躔道三十六分,复
圆距躔道三十一分半,初
食酉初二十七分食,甚戌
初五分复圆戌正四十三
分,初食至复圆共一时五
刻,食甚入影四十分八秒
甲子三月月食图缺
初食月,距躔道六分强,食
甚距躔道十二分弱。复圆
距躔道十七分半,初食子
初三刻六分食尽子正三
刻十三分食,甚丑初三刻
三分,初复丑正二刻九分,
复圆寅初三刻,食全不见
月光共六刻十分。初食至
复圆共一时七刻九分食
甚入影十八分。
初食月距躔北十六秒,食甚距
躔道南五分二十六秒。复圆距
躔道九分二十八秒,初食丑初
二刻六分二十七秒,食尽丑正
甲子八月月食图缺
二刻十分二十七秒。食甚寅初
二刻四分三十九秒,初复寅正
一刻十三分五十一秒,复圆卯
初二刻二分五十一秒,初食至
复圆共一时七刻十一分二十
四秒,食甚入影二十分二十秒
乙丑八月月食图缺
初食月距躔道四十五分
五十五秒,食甚距躔道四
十八分二十二秒,复圆距
躔道五十三分三十一秒。
初食酉初四分三十六秒,
食甚酉正二十分二十秒,
复圆戌初三十六分四秒。
初食至复圆共十刻一分
二十八秒,食甚入影五分
二十二秒。
此图黑圜面,是地影圜面。东西过心一直线,是躔道甲乙线,是月行道甲圜,是月初食丙圜,是月食甚乙圜,是月复圆。然当知天体浑圆,而图为平面画图终不能得天之似,故玩图必须仰观,而以南北字面一一对如其方向,则甲月自西来,入地影肖厥天象矣。
食不言徵应第十七

前数则不过粗言其要而已。每有叩,若望以徵应者,因喻之曰星宿各有情好也。若性情之乾热者,相聚地必暑寒,湿者相聚地必冷。彗星,彩霞火属也。而相值荧惑之星,则地之乾燥也亦必矣。若此之类,理势必然。推验不谬者,岂有日月之食,宫次不一而毫无所徵应乎。第人过信其必然之理,遂泥其己然之迹。不事探求其所谓自然者,又不精求其所以使之自然者,其道未易言也。故先师多罗,某精于斯业尝曰:斯业之言,非一定之法。可永守而不变者,若望晚学也。法师以不言为言,而妄言徵应能无骇乎。〈以上原本卷下〉

皇清

《新法历引》测太阳

诸曜森罗太阳,其宗主也。或推或测,必首太阳。顾其应测之行,不外三种:一曰盈缩之限,一曰盈缩细行。一曰盈初,缩末之所,中历之测,太阳未尝及此三行,即所测止冬夏二至,犹未尽善也。其法立八尺表,用景符器于冬至前后三四日,测定三景。因以三景之较数,求太阳到冬至时刻,其法未尝不是。所以为未尽善者,盖表景短长乃太阳行南行北所生。论其近二至之候、南北之行极微,计一日所行,天度有分半者,有一分者,有半分者,乃于冬至近期建表寻丈,而其所得二景差为一分二釐。〈量度则云分秒量景则云丈尺分釐〉釐为八刻,而此一二釐间相差甚微。彼景符曷能定之,况景符。光线恒占数釐,或更稍为进退,其失弥甚是,恒差数十刻也。若测夏至,则倍难矣。今新法用八线表法查古所遗之数,以用于推步,庶称密近耳。然又不但用表,亦时用别法以相济也。比如春秋二分,太阳之南北行较大。日行天度二十四分,乃于其前后数日先测极出地度,得赤道高。次用象限仪测日轨高,不免相差一分。而其于本算,日轨入交点时刻则约差四刻耳。较之以寻丈,表测冬至差釐数而乖违。数十刻者,岂不大相远哉。且新法于太阳实躔宫度分秒,逐日可测。而旧法于二至外推步,遂穷何也。又新法本测曰:太阳从春分底立夏行黄道四十五度,历四十六日十刻十分。又从立秋底秋分亦四十五度,而所历则四十六日三十八刻十分。是逐日刻数不等,所谓春行盈、秋行缩也。故定此盈缩,初末之界非在二至点也,乃在二至之后六度,〈古今不同〉若如旧法谓:恒在二至,则是前后行度等也。何为所历之期日刻数不等乎。此率古称盈末缩初,新法称为最高因有此最高,遂晰太阳之行为一不同心规也。其行迟者,在最高行疾者,在最高之冲。此最高
本行亦犹太阴之有月孛云。

测恒星

测星之法不一,大要以太阳为主,而以太阴或太白或岁星为中次。任取某星为界,互相测度即得其度法。于太阳将入之时,测月或太白、或岁星,其距太阳度分若干。日既没,再测月或太白、或岁星,其与某星相距度分若干。合两测即得太阳与此星之距。然后查太阳本日躔某宫度,则知此星所在宫度矣。测一星之经度如此,他星可以类推于是。又测此星出地平之最高,即其距极,距赤道之纬度,并可得也。然而恒星之经纬度分有二:其一以黄极为枢,每岁东行五十一秒有奇,而其距本极之纬度,则亘古无变。其一则因赤道以算,其经纬南北星位古今大异。如尧时,外屏星全座在赤道南,今则在北角宿古在北者,今亦在南星纬变易类多。如此至以赤道论,各宿距度亦有异者,如觜宿距星上古为三度。历代递减今,且侵入参宿二十四分。他宿互有损益,距度各各不同。因知赤极非恒星之极,而其经纬之度,亦非赤道之经纬度分也。由是观之,象数精微,弥测弥明。彼自画者,流辄谓循古已足,岂其然哉。

测太阴

太阴行度所当测定者五:一迟疾之限,一迟疾初末一月孛行,一每日细行,一交行,五测有一不详。月离之违合难齐矣。又月有气差、时差。〈即地半径所生〉所测之经纬度分,于正度分复有相较。以此测月于七政,中为最难。旧历用表于午正,测定三景以求之。越四载而得一次,测验之时九载而复推定,疑太拙矣。新法用三会食,推算其法:以食甚正对太阳得月经度,以食甚分秒得距交若干,以各食中积,时日刻数不等,并得天上所行不等,度分于是用本法以求。月天之孛或最高。〈即极迟之行〉亦遂得平视二行相较之度,以简御繁,法莫善于此矣。其测上下二弦经度亦有本法。盖弦乃太阴,实距太阳或东或西九十度,即周天四分之一也。先以本仪测定某限次,用法算其平行,因其加分恒于所测差二度馀,赖有二三均数测算乃合。又弦时去离南北所测与算亦较天度差四分之一。缘白道斜交黄道,相距度分各广狭不同故也。至太阴之掩恒星测其出入,亦可以知月离度分,但须先以地半径差均之。

测五纬

上三星为土木火,与太阳相冲会。然于冲会之二时各无岁,行加减分缘其会,太阳即在岁行圈之最高,而冲之即在其最卑,于实行为合故也。须知实行与平行不同,平行百千万年维均,各星本天各有迟疾。〈即最高最卑〉然而星合太阳无从可测每于其冲测之。〈测其对太阳用恒星各经度或太阳跨度推算〉得此冲经度,即有中积天度日数。及本星随日数之平行,而后用此三率以求各星,本天最高之所于是。又得其盈缩大差,因并得冲时各星以平行距冬至之界若干矣。下二星为金水,以其不能冲太阳也,测之较难。法先于或晨、或昏,求其与太阳距度者数次,然后依法测算,即可得其本天诸情也。凡岁行之测以二留,为本二留之限各星不同,即所躔天度亦不同。然而星在二留非冲太阳,乃折中之度。故本之以测岁行也,下三星亦然。又二留之际,因无岁圈纬度,故可得其本天之纬。其或在日之冲,距纬极远,又可得岁圈之本纬矣。五星之天皆斜交黄道,与白道同。但其相距之纬各多寡不等。又白道交行右旋,而五星左旋,此其异也。
时晷凡日月交食,会合五星凌历,犯守其时刻。所由取准者,赖有时晷也。然而大地之广时,非合一古法不分。方土第用时,牌揆景以定者,非也。新法制晷,但须预定。本方北极出地之度,随在随处。虽垣墙正侧,皆可制造能于一晷之面,视太阳所躔节气宫次,度分及定日之高度。并黄道各时,出没其称最者,则地平晷立。晷百游晷通光晷数种他,若柱晷瓦、晷碗、晷十字、晷等不下。数十馀种,而此外又有星晷与测月之器以为夜中测时之需云:若遇阴雨,则又有自鸣钟沙水等漏之,制水漏与古壶漏异。古或以〈阙四字〉时箭浮新制,以水出壶而时牌转壶,体并不开孔似为胜之。

《新法表异》测算异古

天气浑圆,其面与诸道相割,所生三弧形不一
而足。乃古法测天,惟以句股为本,用平立定三差,总是平形,岂能测圆又句与股交为直角。一遇斜角,其法立穷。新法测以天弧,三角形算以割圆八线表,是为以圆齐圆,遇直遇斜,无往不合。且其用甚大,其法甚简,弧矢诸线乘除一次即得。非若句股,必须展转商求,累时方成一率也。

测算皆依黄道

日行由黄道中线,月与五星亦皆出入黄道内外,不行赤道。历家测天,若但用赤道仪所得经度,宿次尚非本曜在天之宫次。新法就其所得,又通以黄赤通率表,乃与天行密合。且月星之距赤极古今不同,而其距黄极,则皆终古如一。以此新法,日月五星皆依黄道起算,即恒星亦从黄极,以定岁差。

表测二分

旧以圭表测冬至,非法之善也。盖表景长短之差,上应太阳南北之行,显则俱显,微则俱微。二至前后三日内,太阳一日南北行为天度六十分之一。设表长一丈,冬至两日之景约差一分三十秒,准此细求之,应差一秒为六刻七分。然而圭上一秒之差,人目不能无误。且景符之光线较阔,不止数秒。一秒得六刻有奇,如差三秒即为二十刻矣。又安所得准也。新法独用春秋二分,盖是时太阳一日,南北行二十四分,景差一寸二分。纵令测差一二秒,算不满刻所差无几,较二至为最密。

五星测法

测五星须用恒星为准,测时用黄道仪或弧矢等仪。将所测纬星视距,二恒星若干度分,依法布算。乃得本星真经纬度分,又或绘圈,亦可免算。




钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百八卷目录

 测量部总论
  大学衍义补〈历象之法〉
 测量部艺文一
  请立表测验表       魏崔光
  测景台赋         唐范荣
  测景台赋          阙名
  测极议          宋沈括
  高表铭          元杨桓
  重修测景台碑记     明伦文叙
  与万思节主事书      唐顺之
 测量部艺文二〈诗〉
  测景台         明伦文叙
 测量部选句
 测量部纪事
 测量部杂录

历法典第一百八卷

测量部总论

《大学衍义补》历象之法

《周礼》:大司徒以土圭之法测土深,正日景,以求地中。日南则景短多暑,日北则景长多寒,日东则景夕多风,日西则景朝多阴。日至之景,尺有五寸,谓之地中。
臣按:大司徒以土圭之法测土深以正日景,专以求地中也。而冯相氏致日以辨四时之叙,始专以考天象焉。大抵天道运行,如环无端。治历者苟不即其阴消阳息之际,以为立法之始,则何从而见其消息之机乎。惟于其日晷进退之际而候之,则其机将有不可遁者矣。候之之法,在植表测景,以究其气之始至,而用以合其所布之算。两无差异,则历之本立矣。夫自周立表于阳城,汉人造历,必先定东西、立晷仪。唐诏太史测天下之晷凡十三处,宋测景则于浚仪之岳台,元人测景之所二十有七。旧说表八尺长,夏至之景尺有五寸,千里而差一寸。唐一行已尝駮议八尺之表,表卑景促,古今承用,未之或革。元郭守敬所谓表五倍其旧,悬施横梁每至日中,以符窍夹测,横梁之景折取中数,又随所至之处而立表测景,考北极出地高下。夏至晷景长短,昼夜刻数多寡,然后用之以推验,其法可谓精密矣。

测量部艺文一

请立表测验表       魏崔光

《易》称君子以治历明时,《书》云历象日月星辰,乃同律度量衡。孔子陈后王之法曰:谨权量、审法度,春秋举先王之正时也,履端于始。又言天子有日官,是以昔在轩辕容成作历,逮乎帝唐。羲和察影,皆所以审农时而重民事也。太和十一年,臣自博士迁著作泰司载述。时旧钟律郎张明豫,推步历法治己丑元,草刱未备。及迁中京转为太史令,未几丧亡,所造致废。臣中修史。景明初,奏求奉车都尉领太史令赵樊生、著作佐郎张洪、给事中领太乐令公孙崇等造历,功未及讫,而樊生又丧。洪出除泾州长史,唯崇独专其任。暨永平初,亦已略举。时洪府解停京又奏,令重修前事,更取太史令赵胜、太庙令庞灵扶、明豫子龙祥共集秘书,与崇等详验推建密历。然天道幽远,测步理深,候观迁延,岁月滋久,而崇及胜前后并丧。洪所造历为甲午、甲戌二元,又除豫州司马灵扶,亦除蒲阴令洪至豫州续造甲子、己亥二元。唯龙祥在京独修前事,以皇魏运水德为甲子元,兼校书郎李业兴。本虽不预,亦知造历为戊、子、元三家之术,并未、申用,故贞静处士。李谧私立历法,言合纪。次求就其兄玚追,取与洪等所造递相参考,以知精粗。臣以仰测晷度实难审正,又求更取诸能算术兼解经义者,前司徒司马高绰、驸马都尉卢道虔、前冀州镇东长史祖莹前、并州秀才王延业、谒者仆射常景,一日集秘书与史官同检疏密,并朝贵十五日一临推验得失。择其善者奏闻施用,限至岁终,但世代推移,轨宪时改上元,今古考准或异。故三代课步,始卒各别。臣职预其事,而朽堕已甚,既谢运筹之能,弥愧意算之艺,由是多历年世,兹业弗成,公私负责,俯仰惭腼。灵太后令曰可如所请。延昌四年冬,太傅清河王怿司空尚书令任城王澄、散骑常侍尚书仆射元恽、侍中领军江阳王继奏天道至远,非人情可量,历数幽微,岂以意辄度。而议者纷纭,竞起端绪,争指虚远难可求,衷自非建标准影,无以验其真伪。顷永平中虽有考察之例,而不累岁穷究,遂不知影之至否,差失少多。臣等参详谓宜,今年至日更立表,木明伺晷度,三载之中,足知当否。令是非有归争者息竞,然后采其长者,更议所从。

测景台赋          唐范荣

大圣崇业,万象潜通。㨿河洛之要,创造化之功。建以黄壤,亘以紫宫,右辅伊阙,左连轘嵩。银台比而可拟,瀛壶方而讵同。掩扶桑于日域,包蓬莱于海濛。式均霜露之气,以分天地之中。于是仰元穹之文,俯黄壤之理。下压坤德,上罗乾纬。垂形象物,既不假于银衡;司刻探元,何必邀于铜史。其细也难究,其妙也若此。斯岂光阴而若易徙,且夫圣不可测。道实兼致天地,与能幽灵必契。囊括众巧,网罗群艺,自然而来,畴能比计。今来古往,时移道替。滋岁月以成朽,觉风尘之渐异。人有代兮俗没,地有形兮无制。零落空阶,莓苔古砌,颓墉逦迤,但觉萧条,高阜荒凉,寒城芜翳。攀圣迹而难企,感吾徒而流涕。猗欤成周,系圣纂极。君少臣政,流言更逼。自陜卜洛,其仪不忒。公敷其化,人尽其力。惠而不费,功成事息。钦圣德之微奥,岂赋者之能识。

测景台赋〈以设在天中端景垂则为韵〉 阙名

瞻彼古台,揆日爰设。载徵经始之旨,将测运行之节。天地之心可见,风雨之交既别。玉律匪先,土圭是揭。以徵阴阳之短长,以察浮骖之晷辙。不然者,焉可以酌其数于高空,建天中而有截。详厥周典,询诸日官。以寒暑为候,以阴阳为端。且俯接神州,迥当嵩岭。凭累土之增构,运孤标之直影。矧因高以垂范,异寻虚而捕景。分至有度,知王者之迎长;盈缩不𠍴,念志士之思永。𡾰嵼霄耸,昭明有融。九层一验,万㝢攸同。彰宣精而示下,表无私而得中。况复圭植于台,日生于海。常呈象以委照,必澄霞而赋彩。两童之辩犹惑,太史之占斯在。上千里而是驰,下寸晷而未改。嗟夫悠也,久也,元之又元。升大明而赫矣,顾崇址而岿然。是以分北陆,识南躔。审以作程,定此而会期。率土中以举正,因兹而仰辨。均天唯彼,元德我后。是则普观端景,知立表于天中。潜则末光,思劳躬于日昃。至若视朔兴纪,书云立规,浮箭司辰。且于室内建木,灭影或在天垂。岂比夫兹台之特立,平四气而正两仪。

测极议          宋沈括

天文家有浑仪测天之器,设于崇台,以候垂象者,则古玑衡是也。浑象符天之器,以水激之,或以水银转之,置于密室,与天行相符。张衡、陆绩所为。及开元中置于武成殿者,皆此器也。皇祐中,礼部试玑衡正天文之器赋,举人皆杂用浑象事,试官亦自不晓,第为高等。汉以前皆以北辰居天中,故谓之极星。自祖暅以玑衡考验,天极不动处,乃在极星之末,犹一度有馀。熙宁中,予受诏典领历官,杂考星历,以玑衡求极星,初夜在窥管中,少时复出。以此知窥管小,不能容极星。游转乃稍稍展窥管候之。凡历三月,极星方游于窥管之内,常见不隐,然后知天极不动处远极星犹三度有馀。每极星入窥管,别画为一图,图为一圆规,乃画极星于规中,具初夜、中夜、后夜,所见各图之凡为二百馀图,极星方常循圆规之内,夜夜不差。予于熙宁历奏议中叙之甚详。

高表铭          元杨桓

圣人修政,惟农是本。农之所见,时则为准。过与不及,民安究之,动措由中,圣人授之。时在于天,术何以得。制器求之,乃见天则。日月周运,闰馀岁成。盈虚消息,在表斯徵。分至既辨,气序乃会。朔晦一定,弦望由对。爰衍斯历,用诏民时。百工允治,庶绩用熙。表中以正,圭平以直。不言而喻,与时偕极。天德芒芒,参以明焉。民生皞皞,振以兴焉。惟昔八尺,景促分密。为用虽可,每艰辨析。圣皇御极,百度维新。乃五其音,其用益神。表高之法,先哲匪惮。其颠景虚取的,是患表梁。上陈景符,下依符窍。得梁景辰,精微揆月。有方窥几,是映几限,容光圭表。交应器术之密,推步之精,历古于今,斯毕其能。上天之载,无声无臭。圣皇仪型,在其左右。仁民育物,以对天祐。眉寿万年,宝兹悠久。

重修测景台碑记     明伦文叙

嵩高之南,今为登封县。去治城东南三十里许,实古阳城地。有石一区,方可仞馀,耸立盈丈。上植石表八尺,刻其右方曰周公测景台。距北二十馀步,则为观星台,亦时漏刻以求景者,遗址尤广峻。按《周礼疏》曰:周公欲求土中营王城,乃立五表,以土圭测日景,颍川阳城为中表。《隋志》亦曰:周公测景于阳城,以参考历纪。则台建于周公无疑矣。但当时皆置于臬,今则非是。㨿《地理志》:唐开元中,曾诏太史监南宫说刻石表焉,意或然也。自是以降,若晷仪中晷法司天,台景表率,于是乎取则以为历法准验,信非圣人之制,不足以及此。然典瑞土圭以致四时,日月封国则以土地,顾其为用,止于宅中明时而已耶。后世形胜立国既罔,即乎天地四时之交,风雨阴阳之会,洎太初乾元诸历之作,亦因时。苟就委差于象纬而已,尚望其能推而用之,以大而裁,成辅相之功,使万物各职其职也哉。无怪乎置新台于榛莽,刓敝剥落,自列乎铜驼翁仲而莫之注意也。弘治戊午,今巡抚辽阳张公用和,时为汴臬宪副行部。至其地,见台中泐而欹,四旁芜秽不治。乃慨然曰:使圣人万古之制,日就堕蚀,庸非守土者之过欤。亟命属吏合而正之,仍拓土若干亩缭,以周垣而后门卫森然,人知为周公作处,更欲建祠二台间,用妥周公之灵。会遭丧去位,弗果。既而东嘉陈侯文德来守是邦,乃踵而成之共其事者,县令邝君廷用也。廷用惧无以诏,后谋立石记之。爰以文请夫周公德业在诗书,经制在六典,不系一台之兴废较然矣。慨惟治法莫备于成周,皆周公精思妙契之馀,以为天下后世要典。夫何人政不齐,落落数千载间。苟存什一于千百者,亦其器数名物之迹耳。然实因名存幸其迹之不泯,后世有如周公者,作得以依凭考验,庶几精微之意犹或可复,则世道之升降未可知也。若并与其迹而亡之,是虽近代疏略之规,犹不能以自立,况欲拟躅于三代之盛乎。予故嘉诸君子之志,既为之叙,又从而诗之。

与万思节主事书      唐顺之

来书谓赵大洲主测候,吾主布算,此说未之尽也。布算未有不始于测候,测候未有不寄之布算。而可以造历者,两者相须,如足与目。但测候之法,元史所载简、仰二仪,今畴人子弟亦稍能用之而学,士大夫亦有晓者。及赵缘督革象书,测经度、测纬度之法尤更分晓。吾是以略而不言,且吾前书所引史记历书中语,太初历既已测定,而姓与都等不能为算。自古造历,亦每病布算之难,此一行、守敬所以独擅专长。司马公是星历专家,其史记历书是说自家屋里说话。细读其叙,作太初历,始末其意可识也。虽然使人皆输班,自可以目定方圆,而不必规矩,使人皆羲和,自可随时测候,而不必布算以成历。故布算以成历者,令后可继也。此尧典中亦自了了。其旸谷四段,则测候也。其闰月成岁数语,则布算虚盈以造历也。但古文简约不详,今浑天仪象自汉相传,以为羲和之遗,则测候之器尚在,而布算之法独不传。窃意其法,若传比之一行、守敬,当更简易密致,盖古人心学精微,范围天地与后世术家自别。今所传周髀经,托之周公,虽真赝不可知,岂亦有羲和布算之遗乎。而后世晓了者亦少矣。

测量部艺文二〈诗〉

测景台         明伦文叙


天地之中,土圭可测。阳城之地,表景斯得。周公肇建,以占洛极。王城既成,百度交式。更汉历唐,以宪以则。虽小厥用,遗规孔饬。神灵守护,靡有薄蚀。迤于近代,莫之保啬。弃置榛莽,震撼歊刻。方围外欹,中径潜泐。有美张公,见之太息。釐复旧规,拓土披棘。守令克贤,继踵葺饰。门壁神祠,如翚矫翼。过辄耸瞻,居民诫敕。后人有作,噫畴之德。

测量部选句

宋鲍照诗:景移风度改,日至晷迁换。
梁王僧《孺中寺碑》:夫玉律追天,故躔次之期不变;缇宝候影,则发敛之气罔踰。
萧子云《岁暮直庐赋》:日临圭而易落,晷中杙而南傃。南齐祖冲之上新法表:臣亲量圭尺,躬察仪漏,目尽毫釐,心穷筹策。
陈沈炯《太极殿铭》:大壮显其全模,土圭测其正影。《宋景文笔记》:植表挺挺,下无曲影;善声之唱,应无丑响。

测量部纪事

《晋书·鲁胜传》:元康初,著《正天论》云:以冬至之后立晷,测影准度日月星。臣按:日月裁径,百里无千里,星十里不百里,遂表上求下。群公卿士考论,若臣言合理,当得改先代之失,而正天地之纪。如无据验,甘即刑戮以彰虚妄之罪。事遂不报。
《岁时记》曰:晋魏宫中,以红线量日影,冬至后日添长一线。
《隋唐嘉话》:太史令李淳风校新历,成,奏太阳合日蚀,当既于占,不吉。太宗不悦,曰:日或不蚀,卿将何以自处。曰:有如不蚀,则臣请死之。及期,帝候日于庭,谓淳风曰:吾放汝与妻子别。对以尚早一刻,指表影曰:至此蚀矣。如言而蚀,不差毫发。
《大唐新语》:沙门一行,俗姓张名遂,郯公谨之曾孙。年少出家,以聪敏学行见重于代。元宗诏于光文殿,改撰历经。后又移就丽正殿,与学士参校历经。一行乃撰开元大演历一卷,议十卷,历立成十三卷,历书二十四卷。七政长历三卷,凡五部五十卷,未及奏上而卒。张说奏上请令行用。初,一行造黄道游仪以进,御制游仪铭,付太史监,将向灵台上用以测候。分遣太史官、大相元太史驰驿往安南、朗兖等州测候日影。同以二分二至之日正午时量日影,皆数年乃定。安南量极高二十一度六分,冬至日长七尺九寸二分,春、秋二分长二尺九寸三分,夏至影在表南三寸三分。蔚州横野军北极高四十度,冬至日影长一丈五尺八分,春、秋二分长六尺六寸二分,夏至影在表北二尺二寸九分。此二所为中土南北之极,其朗兖太原等州并差牙不同。一行用勾股法算之,云大约南北极相去才八万馀里。修历人陈元景亦善算术,叹曰:古人云以管窥天,以蠡测海,以为不可得而致也。今以丈尺之术而测天地之大,岂可得哉。若依此而言,则天地岂得为大也。其后参校一行历经,并精密,迄今行用。
《元史·历志》:至元十三年平宋,遂诏前中书左丞许衡,太子赞善王恂、都水少监郭守敬同改治新历。衡等以为金虽改历,止以宋纪,元历微加增益,实未尝测验于天。乃与南北日官陈鼎臣、邓元麟、毛鹏翼、刘巨渊、王素、岳铉、高敬等参改累代历法,复测候日月星辰、消息运行之变,参别同异,酌取中数以为历本。《王恂传》:帝以国朝承用金大明历,岁久浸疏,欲釐正之。知恂精于算术,遂以命之。恂荐许衡能明历之理,诏驿召赴阙,命领改历事。官属悉听恂。辟置恂与衡及杨恭懿、郭守敬等遍考历书四十馀家,昼夜测验,创立新法,参以古制,推算极为精密。
《农田馀话》:至元中,遣官十四员分道测日影,用四丈之表,南海北极出地一十五度,夏至日在表南一尺一寸五分,昼五十四刻,夜四十六刻。衡岳北极出地二十五度,夏至日在表端无影,北至北海,北极出地六十五度,夏至景长六尺七寸八分,昼八十二刻,夜十八刻,疑即唐太宗时,贞观二十年骨利干遣使入贡来朝,言其国日入后,煮羊脾熟已天明者,此地是也。
《春明梦馀录》:大统历,虽本于郭守敬之授时历,然高皇帝精于观天,而特令刘基召集天下律历名家,赴京详议。复自置观象盘、天文分野诸书,诚可万世以为典要者,自西洋之法入中国。上海徐光启专习之。后汤若望嗣利玛窦之教,而李天经、黄应遴等信奉益坚,进新历书一百四十馀本,日晷、星晷、星球、星屏、窥筒诸器,然其法与旧法稍异。旧法用日法,计日定率;西法用天度,因天立差。旧法用黄道距度;西法用黄道、纬度,各有不同。钦天监官生连数争执,礼部因议另立新法,一科允之。

测量部杂录

《易通卦验》:冬至之日,植八尺之表日中,视其晷,晷如度者,岁美人和,不则岁恶人惑。
《周髀·算经》:日中立竿测影,〈注〉将求日之高远,故先见其表影之率。
《史记·平津侯传》:未有树直表而得曲影者也。
《汉书·王莽传》:青炜登平考景以晷,〈注〉如淳曰:青气之光辉也。晋灼曰:言青阳之气始生,而上以成万物也。春秋分立表以正东西,东日之始出也。故考景以晷属焉。
《后汉书·百官志》:丞一人明堂,及灵台丞一人二百石。本注曰:二丞掌守明堂灵台,灵台掌候守日月星气,皆属太史。〈注〉汉官曰:灵台待诏四十二人,其十四人候星,二人候日,三人候风,十二人候气,三人候晷景,七人候钟律,一人舍人。
《晋书·律历志》:董巴议云:圣人迹太阳于晷景。《玉烛宝典》:十一月建子周之正月,冬至日,极南影极长阴阳十月,万物之始。律当黄钟,其管最长,故有履长之庆。
《玉堂閒话》:上元竖一丈竿,候日午,影至七尺,大稔六尺,小稔九尺,一丈有水,五尺岁旱,三尺大旱。
《唐书·天文志》:原古人所以步圭影之意,将以节宣和气,辅相物宜,不在于辰次之周径。
《梦溪笔谈》:凡立冬晷景与立春之景相若者也。今二景短长不同,则知天正之气偏也。
《宋史·律历志》:乾德中,太常寺和岘上言曰:古圣设法,先立尺寸作为律吕,但尺寸长短后代或不符,西京铜望臬可校古法。即今司天台影表铜臬下石尺是也。影表测于天地,律管可以准绳。古今测验止于岳台,而岳台岂必天地之中。馀杭则东南,相距二千馀里。华夏幅员东西万里,发敛晷刻岂能尽谐。周琮论历曰:宋何承天始悟测景以定气序。〈注〉景极长冬至,景极短夏至。始立八尺之表,连测十馀年,即知旧景,初历冬至常迟天三日,乃造元嘉历,冬至加时比旧退减三日。
《象纬新篇》:诸书言六合道理之数然乎。曰:土圭表景之法近之,盖有所传据者也。古者土圭测日,必置五表,地中置中表,表立八尺之木,以夏至之日测之,其景北一尺五寸,与土圭相等谓之地中。千里而南置南表,表北得影一尺四寸,其地于日为近南而多暑。千里而北置北表,表北得景一尺六寸,其地于日为近北而多寒。千里而东置东表,昼漏未半日景已夕,其地于日为近东而多风。千里而西置西表,昼漏已半日未中央,其地于日为近西而多阴。中表为四方之则四表明中表之正,由是天地之内,四旁上下之道里,四时风雨之和戾,可得而推矣。或曰:地距千里,恐寒暑未必遽尔顿异。曰:独不见河朔相去江南,特千馀里耳。河朔之冬,草木黄落。而江南草卉,凌冬犹青,况千里而南,岂不愈热。千里而北,岂不愈寒。当日南无景之区,而其暑岂不愈炽。阴山瀚海之涯,而其寒岂不愈冽哉。由是观之,愈西愈阴,愈东愈风,其理亦可推矣。安谓其不然乎六合道里之数,信乎。曰:自土圭之法,测之则然。然则天地之广远,孰得而量之。其法每地千里,景差一寸。阳城之景一尺五寸,中南至日南表下无景,是日南去阳城一万五千里矣。立八十为实表之长数也。旁立十五为法土圭之长数也。以勾股算之,得八万一千三百九十四里有奇。此天顶至地之数也。倍之得十六万二千七百八十八里有奇,即天径之数也。以周径之法乘之,得五十一万三千六百八十七里有奇,即周天之数也。观周天径之数,则地四方相距之数可推矣。土圭之法,周公以来相传如此。
《暇日记》:僧崇普说望竿可以度远近、高下,其法用长一尺,横一尺,如丁字,就口边望之。