总目录 当前:算法

钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百九卷目录

 算法部汇考一
  礼记〈内则〉
  周礼订义〈地官〉
  周髀算经〈卷上一〉

历法典第一百九卷

算法部汇考一

《礼记》内则

六年,教之数与方名。〈又〉九年,教之数日。十年,出就外傅,居宿于外,学书计。
〈注〉数谓一十百千万,方名东西南北也。九年,教之数日。知朔望与六甲也。书谓六书,计谓九数。

《周礼订义》地官

保氏,掌谏王恶,而养国子以道。乃教之六艺:一曰五礼,二曰六乐,三曰五射,四曰五驭,五曰六书,六曰九数。
〈注〉郑司农曰:九数,方田粟米,差分少,广商功,均输方程,赢不足旁。要今有重差、夕桀、句股。贾氏曰:皆依九章算术而言。云今有重差、夕桀、句股者,此汉法增之。

《周髀算经》〈汉赵君卿注〉卷上一

昔者,周公问于商高曰:窃闻乎大夫善数也。〈唐寅曰经文也〉
周公姓姬,名旦,武王之弟。商高,周时贤大夫,善算者也。周公位居冢宰,德则至高,尚自卑己以自牧,下学而上达。况其凡乎。〈唐寅曰此赵注也〉

请问:古者包牺立周天历度。
包牺,三皇之一,始画八卦,以商高善数,能通乎微妙,达乎无方,无大不综,无幽不显。闻包牺立周天历度,运章蔀之法。《易》曰:古者,包牺氏之王天下也,仰则观象于天,俯则观法于地。此之谓也。

夫天不可阶而升,地不可将尺寸而度。
邈乎悬广,无阶可升,荡乎遐远,无度可量。

请问:数从安出。
心昧其机,请问其目。

商高曰:数之法,出于圆方。
圆径一而周三,方径一而匝四。伸圆之周而为句,展方之匝而为股,共结一角,邪适弦五。政圆方邪径相通之率。故曰数之法,出于圆方。圆方者,天地之形,阴阳之数。然则周公之所问天地也,是以商高陈圆方之形以见其象,因奇耦之数以制其法,所谓言约旨远,微妙幽通矣。

圆出于方,方出于矩。
圆规之数,理之以方,方周匝也。方正之物,出之以矩,矩广长也。

矩出于九九八十一。
推圆方之率,通广长之数,当须乘除以计之。九九者,乘除之原也。

故折矩。
故者,申事之辞也。将为句股之率,故曰折矩也。

以为句广三。
广圆之周横者,谓之广句,亦广。广,短也。

股修四。
应方之匝从者,谓之修股,亦修。修,长也。

径隅五。
自然相应之率,径直隅角也,亦谓之弦。

既方之外,半其一矩。
句股之法:先知二数,然后推一见句股,然后求弦。先各自乘成其实,实成势化,外乃变通。故曰:既方其外,或并句股之实,以求弦,实之中乃求句股之分。并实不正等,更相取与,互有所得,故曰半其一矩。其术:句股各自乘三三如九,四四一十六,并为弦,自乘之实二十五,减句于弦为股之实一十六,减股于弦,为句之实九。

环而共盘,得成三四五。
盘,读如盘桓之盘言取而并,减之积环屈而共盘之谓开方,除之其一面,故曰得成三四五也。

两矩共长二十有五,是谓积矩。
两矩者,句股各自乘之实。共长者,并实之数。将以施于万事,而此先陈其率也。

故禹之所以治天下者,此数之所生也。
禹治洪水,决流江河,望山川之形,定高下之势,除滔天之灾,释昏垫之厄。使东注于海而无浸溺,乃句股之所由生也。
左图

弦图弦图

右图缺句股方圆图注右图弦图右图

缺句股方圆图注缺句股方圆图注
赵君卿曰:句股各自乘并之为弦实,开方除之即弦也。案弦图,又可以句股相乘为朱实,二倍之为朱实四。以句股之差自相乘为中黄实,加差实亦成弦实。以差实减弦实,半其馀,以差为从法开方除之,复得句矣。加差于句即股,凡并句股之实即成弦实。或矩于内,或方于外,形诡而量均,体殊而数齐。句实之矩,以股弦差为广,股弦并为袤而股实方其里。减矩句之实于弦实,开其馀即股倍。股在两边为从法开矩句之角,即股弦差,加股为弦,以差除句实得股弦并,以并除句实亦得股弦差。令并自乘与句实,为实倍并,为法所得亦弦句实。减并自乘,如法为股。股实之矩,以句股差为广。句弦并为袤,而句实方其里。减矩股之实于弦实,开其馀即句倍。句在两边为从法开矩股之角即句弦差,加句为弦,以差除股实得句弦并。以并除股实得句弦差。令并自乘,与股实为实倍并为法,所得亦弦股实。减并自乘,如法为句。两差相乘倍而开之,所得以股弦差增之,为句。以句弦差增之为股,两差增之为弦倍。弦实列句股差实见弦实者,以图考之,倍弦实满外大方,而多黄实。黄实之多即句股差实。以差实减之,开其馀得外大方。大方之面即句股并也。令并自乘,倍弦实乃减之,开其馀得中黄方。黄方之面,即句股差。以差减并而半之为句,加差于并而半之为股,其倍弦为广袤合。令句股见者,自乘为其实,四实以减之,开其馀所得为差,以差减合半其馀为广,减广于弦即所求也。观其迭相规矩,其为反覆,互与通分,各有所得。然则统叙群伦,弘纪众理,贯幽入微,钩深致远。故曰其裁制万物,唯所为之也。
释圆方句股注
按君卿注曰:句股各自乘并之为弦,实开方除之即弦。
臣鸾曰:假令句三自乘得九,股四自乘得十六,并之得二十五,开方除之,得五,为弦也。〈寅曰:五五二十五弦实四面之一也〉
注云:按弦图,又可以句股相乘为朱实,二倍之为朱实四。以句股之差自相乘为中黄实。〈寅曰:句股相乘其数一十二也〉
臣鸾曰:以句弦差二倍之为四,自乘得一十六,为左图中黄实也。〈寅曰:甄氏止注以句股十二字之义〉臣淳风等谨按注云:以句股之差自乘为中黄实,鸾云:倍句弦差自乘者,苟求异端。虽合其数,于率不通。〈寅曰:句股之差,其数一也。自乘得一一如一〉注云:加差实亦成弦实。
臣鸾曰:加差实一,并外矩青八,得九;并中黄十六,得二十五,亦成弦实也。
臣淳风等谨按注云:加差实一亦成弦实。鸾曰:加差实并外矩及中黄者,虽合其数,于率不通。〈寅曰:加差实之,一于前文所言,朱实四之,上朱实之四为二十四,加一为弦实二十五也〉注云:以差实减弦实,半其馀以差为从法,开方除之复得句矣。
臣鸾曰:以差实九减弦实二十五,馀十六。半之得八,以差一加之得九,开之,得句三也。
臣淳风等谨按注宜云:以差实一减弦实二十五,馀二十四。半之为十二。以差一从开方除之得句三。鸾云:以差实九减弦实者,虽合其数,于率不通。〈顾应祥曰:以差实一减弦实二十五〉
注云:加差于句,即股。
臣鸾曰:加差一于句三,得股四也。
注云:凡并句股之实,即成弦实。
臣鸾曰:句实九股实十六并之,得二十五也。注云:或矩于内,或方于外,形诡而量均,体殊而数齐。句实之矩,以股弦差为广,股弦并为袤。
臣鸾曰:以股弦差一为广,股四并弦五得九为袤。左图外青也。
注云:而股实方其里。
臣鸾曰:为左图中黄十六。
注云:减矩句之实于弦实,开其馀即股。
臣鸾曰:减矩句之实九,于弦实二十五,馀一十六。开之得四,股也。
注云:倍股在两边为从,法开矩句之角,即股弦差。臣鸾曰:倍股四得八,在圆两边。以为从法,开矩句之角九得一也。
注云:加股为弦。
臣鸾曰:加差一于股四,则弦五也。
注云:以差除句实,得股弦并。
臣鸾曰:以差一除句实九得九,即股四弦五并为九也。
注云:出并除句实,亦得股弦差。
臣鸾曰:以九除句实九,得股弦差一。
注云:令并自乘,与句实为实。
臣鸾曰:令并股弦得九,自乘为八十一。又与句实九加之,得九十为实。
注云:倍并为法。
臣鸾曰:倍股弦并九得十八者,为法。
注云:所得亦弦。
臣鸾曰:除之得五为弦。〈寅曰:以法十八除实九十〉注云:句实减并自乘,如法为股。
臣鸾曰:以句实九减并自乘八十一,馀七十二。以法十八除之,得四,为股也。
注云:股实之矩以句弦,差为广。句弦并为袤。臣鸾曰:股实之矩以句弦差二为广,句弦并八为袤。
注云:而句实方其裹,减矩股之实于弦实,开其馀即句。
臣鸾曰:句实有九,方在右图里。以减矩股之实十六,于弦实二十五,馀九,开之,得三,句也。
注云:倍句在两边。
臣鸾曰:各三也。〈寅曰:倍之得六〉
注云:为从法开矩股之角,即句股差,加句为弦。臣鸾曰:加差二于句三,则弦五也。
注云:以差除股实得句弦并。
臣鸾曰:以差二除股实十六得八,句三弦五并为八也。
注云:以并除股实,亦得句弦差。
臣鸾曰:以并除股实十六,得句弦差二。
注云:令并自乘与股实为实。
臣鸾曰:令并八自乘得六十四,与股实十六加之,得八十为实。
注云:倍并为法。
臣鸾曰:倍句弦并八,得十六为法。
注云:所得亦弦。
臣鸾曰:除之得弦五也。
注云:股实减并自乘,如法为句。
臣鸾曰:以股实十六减并自乘六十四,馀四十八。以法十六除之,得三,为句也。
注云:两差相乘,倍而开之,所得增股弦差为句。臣鸾曰:以股弦差一乘句弦差二得二,倍之为四,开之得二。以股弦差一增之,得三,句也。
注云:以句弦差增之为股。
臣鸾曰:以弦差二增之,得四,股也。
注云:两差增之为弦。
臣鸾曰:以股弦差一,句弦差二,增之,得五,弦也。注云:倍弦实,列句股差实。见弦实者,以图考之,倍弦实满外大方。而多黄实。黄实之多即句股差实。臣鸾曰:倍弦实二十五得五十,满外大方七七四十九,而多黄实。黄实之多,即句股差实也。
注云:以差实减之,开其馀得外大方。大方之面即句股并。
臣鸾曰:以差实一减五十,馀四十九,开之即大方之面,七也,亦是句股并也。
注云:令并自乘,倍弦实乃减之,开其馀得中黄方。黄方之面,即句股差。
臣鸾曰:并七自乘得四十九,倍弦实二十五得五
十。以减之馀即中黄方,差实一也。故开之即句股差一也。
注云:以差减并而半之为句。
臣鸾曰:以差一减并七馀六,半之得三,句也。注云:加差于并而半之为股。
臣鸾曰:以差一加并七得八,而半之得四,股也。注云:其倍弦,为广袤合。
臣鸾曰:倍弦二十五为五十,为广袤合。
臣淳风等谨按:列广袤术,宜云倍弦五,得十为广袤合。今鸾云:倍弦二十五者,错也。〈寅曰:句广一袤九,股广二袤八〉注云:而令句股见者,自乘为其实四,实以减之开其馀,所得为差。
臣鸾曰:令自乘者,以七七自乘得四十九。四实大方,句股之中有四方,一方之中有方十二。四实有四十八,减上四十九馀一也,开之得一即句股差一。
臣淳风等谨按注:意令自乘者十,自乘得一百四实者,大方广袤之中有四方。若㨿句实而言,一方之中有实九。四实有三十六,减上一百馀六十四,开之得八,即广袤差。此是股弦差减股弦并馀数。若据股实而言之,一方之中有实十六。四实有六十四,减上一百,馀三十六,开之得六,即广袤差。此是句股差减句弦,并馀数也。鸾云:令自乘者,以七七自乘得四十九,四实者,大方。句股之中有四方,一方之中有方十二四实者,四十八减上四十九馀一也,开之得一,即句股差一者,错也。〈寅曰:大方之中有四弦实,故四其句,实得三十六,减之,馀六十四,开其馀,得八,为句之广袤差。四其股,实得六十四,减之馀三十六,开得六,为股之广袤差。所谓广袤差者,句广一而袤九,股广二而袤八,广袤相减之馀也〉注云:以差减合,半其馀,为广。
臣鸾曰:以差一减合七,馀六,半之得三,广也。臣淳风等谨按注:意以差八六各减合十,馀二四。半之得一二。一即股弦差,二即句弦差。以差减弦即各袤广也。鸾云:以差一减合七,馀六,半之得三,广者,错也。〈寅曰:以句之广袤差八,减广袤合十,馀二,半之为句之广。以股袤差六,减广袤合十,馀四,半之为股之广。二注皆未莹〉
注云:减广于弦,即所求也。
臣鸾曰:以广三减弦五,即所求差二也。
臣淳风等谨按:注意,以广一二各减弦五,即所求股四,句三也。鸾云:以广三减弦五,即所求差二者,此错也。〈寅曰:甄鸾述说终此〉

周公曰:大哉。言数。〈唐寅曰:此经文也〉
心达数术之意,故发大哉之叹。〈唐寅曰:此赵注也〉

请问:用矩之道。
谓用表之宜,测望之法。

商高曰:平矩以正绳。
以求绳之正,定平悬之体。将欲慎毫釐之差,防千里之失。

偃矩以望高,覆矩以测深,卧矩以知远。
言施用无方,曲从其事。术在九章。

环矩以为圆,合矩以为方。
既以追寻情理,又可造制圆方。言矩之于物,无所不至。

方属地,圆属天,天圆地方。
物有圆方,数有奇耦。天动为圆,其数奇。地静为方,其数耦。此配阴阳之义,非实天地之体也。天不可穷而见,地不可尽而观,岂能定其圆方乎。又曰:北极之下高,人所居六万里。滂沲四隤而下,天之中央亦高,四旁六万里,是为形状。同归而不殊涂,隆高齐耽而易以陈。故曰天似盖笠,地法覆槃。

方数为典,以方出圆。
夫体方则度影正,形圆则审实难。盖方者有常,而圆者多变。故当制法而理之。理之法者,半周半径相乘,则得方矣。又可周径相乘四而一,又可径自乘三之四而一,又可周自乘十二而一。故圆出于方。〈典实也〉

笠以写天。
笠亦如盖,其形正圆,戴之所以象天,写犹象也。言笠之体,象天之形。《诗》云:何蓑何笠,此之义也。

天青黑,地黄赤。天数之为笠也。青黑为表,丹黄为里,以象天地之位。
既象其形,又法其位,言相方类,不亦似乎。

是故知地者智,知天者圣。
言天之高大,地之广远,自非圣智。其孰能与于此乎。

智出于句。
句,亦影也。察句之损益,加物之高远,故曰智出于句。

句出于矩。
矩谓之表,表不移亦为句。为句将正。故曰:句出于矩焉。

夫矩之于数,其裁制万物,唯所为耳。
言包含几微,转通旋环也。

周公曰:善哉。
善哉,言明晓之意,所谓问一事而万事达。

昔者,荣方问于陈子。
荣方、陈子是周公之后人。非《周髀》之本文。然此二人共相解释。后之学者,谓之章句。因从其类,列于事。下又欲尊而远之。故云:昔者。时世官号未之前闻。

曰:今者,窃闻夫子之道。
荣方问陈子能述商高之旨,明周公之道。

知日之高大。
日去地与圆径之术。

光之所照,
日旁照之所及也。

一日所行,
日行天之度也。

远近之数。
冬至夏至,去人之远近也。

人所望见,
人目之所极也。

四极之穷,
日光之所远也。

列星之宿,
二十八宿之度也。

天地之广袤。
袤长也,东西南北谓之广长。

夫子之道,皆能知之,其信有之乎。
能明察之,故不昧不疑。

陈子曰:然。
言可知也。

荣方曰:方虽不省,愿夫子幸而说之。
欲以不省之情,而观大雅之法。

今若方者,可教此道邪。
不能自料,访之贤者。

陈子曰:然。
言可教也。

此皆算术之所及。
《周髀》之法,出于算术之妙也。

子之于算,足以知此矣。若诚累思之。
累,重也。言若诚能重累思之,则达至微之理。

于是荣方归而思之,数日不能得。
虽潜心驰思,而才单智竭。

复见陈子曰:方思之不能得,敢请问之。陈子曰:思之未熟。
熟犹善也。

此亦望远起高之术,而子不能得,则子之于数,未能通类。
定高远者,立两表望悬邈者,施累矩言未能通类。求句股之意。

是智有所不及,而神有所穷。
言不能通类,是情智有所不及,而神思有所穷滞。

夫道术言约而用博者,智类之明。
夫道术,圣人之所以极深而研。几唯深也,故能通天下之志。唯几也,故能成天下之务。是以其言约其旨远,故曰智类之明也。

问一类而万事达者,谓之知道。
引而伸之,触类而长之,天下之能事毕矣,故谓之知道也。

今子所学,
欲知天地之数

算数之术,是用智矣。而尚有所难,是子之智类单。
算术所包,尚以为难,是子智类单尽。

夫道术所以难通者,既学矣,患其不博。
不能广博,

既博矣,患其不习。
不能究习,

既习矣,患其不能知。
不能知类

故同术相学,
术教同者,则当学通类之意。

同事相观。
事类同者,观其旨趣之类。

此列士之愚智,
列,犹别也。言视其术,鉴其学,则愚智者别矣。

贤不肖之所分。
贤者,达于事物之理。不肖者,闇于照察之情。至于役神驰思,聪明殊别矣。

是故能类以合类。此贤者业精习智之质也。
学其伦类,观其指归。唯贤智精习者能之也。

夫学同业而不能入神者,此不肖。无智而业不能精习。
俱学道术明,不察不能以类。合类而长之,此心游目荡,义不入神也。

是故算不能精习,吾岂以道隐子哉。固复熟思之。
凡教之道,不愤不启,不悱不发。愤而悱之,然后启发。既不精思,又不学习,故言吾无隐也。尔固复熟思之,举一隅,使反之以三也。

荣方复归思之,数日不能得。复见陈子曰:方思之以精熟矣。智有所不及,而神有所穷。知不能得,愿终请说之。
自知不敏,避席而请说之。

陈子曰:复坐,吾语汝。于是荣方复坐,而请陈子说之。曰:夏至南万六千里,冬至南十三万五千里,日中立竿测影。
臣鸾曰:南戴日,下立八尺表。表影千里而差一寸。是则天上一寸,地下千里。今夏至影有一尺六寸,故其万六千里。冬至影一丈三尺五寸,则知其十三万五千里。

此一者,天道之数。
言天道数,一悉以如此。

周髀长八尺,夏至之日晷一尺六寸。
晷,影也。此数望之从周城之南千里也。而周官测影尺有六寸,盖出周城南千里也。记云:神州之土方五千里,虽差一寸,不出畿地之分。先王知之,是故建王国。

髀者,股也。正晷者,句也。
以髀为股,以影为句,股定。然后可以度日之高远。正晷者,日中之时节也。

正南千里,句一尺五寸。正北千里,句一尺七寸。
候其影,使表相去二千里,影差二寸。将求日之高远,故先见其表影之率。

日益表南晷,日益长候句六尺。
候其影,使长六尺者,欲令句股相应,句三股四弦五,句六股八弦十。

即取竹空径一寸,长八尺,捕影而视之,空正掩日。
以径寸之空视日之影,髀长则大,矩短则小,正满八尺也。捕,犹索也。掩,犹覆也。

而日应空之孔。
掩若重规更言八尺者,举其定也。又曰近则大远则小以影六尺为正。

由此观之,率八十寸而得径一寸。
以此为日髀之率。

故以句为首,以髀为股。
首,犹始也。股,犹末也。句能制物之率,股能制句之正。欲以为总见之数,立精理之,本明可以周万事。智可以达无方,所谓智出于句,句出于矩也。

从髀至日下六万里,而髀无影。从此以上至日,则八万里。


臣鸾曰:求从髀至日下六万里者,先置南表晷六尺上十之为六十寸,以两表相去二千里乘得十二万里为实,以影差二寸。为法除之得日底地去表六万里,求从髀至日八万里者,先置表高八尺,上十之为八十寸,以两表相去二千里乘之得十六万为实,以影差二寸,为法除之得从表端上至日八万里也。

若求邪至日者,以日下为句,日高为股。句股各自乘并而开方除之得邪至日。从髀所旁至日所十万里,
旁此古邪宇,求其数之术曰:以表南至日下六万里为句,以日高八万里为股,为之求弦句股各自乘并而开方除之,即邪至日之所也。
臣鸾曰:求从髀邪至日所法:先置南至日底六万里为句,重张自乘得三十六亿为句实,更置日高八万里为股重张,自乘得六十四亿为股实。并句股实得一百亿为弦实,开方除之得从王城至日十万里。今有十万里,问径几何。曰:一千二百五十里八十寸而得径一寸。以一寸乘十万里为实,八
十寸为法即得。

以率率之八十里,得径一里十万里得径千二百五十里。
法当以空径为句率,竹长为股率,日去人为大股。大股之句即日径也。其术以句率乘大股股率,而一此以八十里为法,十万里为实。实如法而一,即得日径。

故曰日晷径千二百五十里。
臣鸾曰:求以率八十里得径一里十万里,得径千二百五十里法:先置竹孔径一寸为十里为句,更置邪去日十万里为股,以句十里乘股十万里得一亿为实。更置日去地八万里为法,除实得日晷径千二百五十里,故云日晷径也。
臣淳风等谨按:夏至王城望日立两表,相去二十里。表高八尺,影去前表一尺五寸,去后表一尺七寸。旧术以前后影差二寸为法,以前影寸数乘表间为实。实如法得万五千里为日下去南表里。又以表高八十寸乘表间为实,实如法得八万里,为表上去日里。仍以表寸为日高,影寸为日下。待日渐高,候日影六尺用之为句,以表为股,为之求弦得十万里为邪表数目。取管圆孔径一寸长八尺,望日满筒以为率,长八十寸为一邪。去日十万里日径即千二百五十里,以理推之,法云:天之处心高于外衡六万里者,此乃语与术违。句六尺、股八尺、弦十尺,角隅正方,自然之数盖。依绳水之定,施之于表矩。然则天无别,体用日以为高下。术既随手而迁高下,从何而出。语术相违,是为大失。又按二表下地,依水平法定。其高下若北表。地高则以为勾,以间为弦,置其高数其影乘之其表,除之所得益股为定间。若北表下者,亦置所下以法乘除,所得以减股为定间。又以高下之数与间相约,为地高远之率。求远者,影乘定间差法而一,所得加表日之高也。求邪去地者,弦乘定间差法而一,所得加弦日邪,去地此三等至。皆以日为正,求日下地。高下者,置戴日之远近,地高下率。乘之如间率而一,所得为日下地。高下形势,隆杀与表间同,可依此率。若形势不等,非代所知率日径,求日大小者,径率乘间如法而一,得日径。此径当即得。不待影长六尺。凡度日者,先须定二矩。水平者,影南北立勾齐高四尺,相去一丈。以二弦候牵于勾,上并率。二则拟为候影。勾上立表,弦下望日。前一则上畔,后一则下畔。引则就影,合与表日参直二至前后三四日间影不移处,即是当以候表并望。人取一影亦可日径影端表头为则。然地有高下,表望不同,后六术乃穷其实。
第一后高前下术:高为句,表间为弦,后复影为所求率表。为有所率以句为所有数所得益,股为定间。
第二后下术:以其所下为句,表间为弦,置其所下。以影乘表,除所得,减股馀为定间。
第三邪下术:依其北高之率,高其句影,令与地势隆杀相似,馀同平法。假令髀邪下,而南其邪亦同。不须别望,但弦短与句股,不得相应。其南里数亦随地势,不得校乎。平则促,若用此术,但得南望。若北望者,即用句。照南下之术,当北高之地。
第四邪上术:依其后下之率,下其句影,此谓回望北极。以为高远者,望去取差亦同。南望此术,弦长亦与句股不得相应。唯得北望不得南望。若南望者,即用句影北高之术。
第五平术,不论高下。周髀度日,用此平术,故东西南北四望皆通。远近一差,不须别术。
第六术者,是外衡。其径云四十七万六千里,半之得二十三万八千里者,是外衡去天心之处。心高于外衡六万里为率,南行二十三万八千里。下校六万里约之,得南行一百一十九里。下校三十里一百一十九步差下三十步。〈阙〉三十步大强差下十步,以此为准,则不合有平地。地既平而用术尤乖理验且自古论晷影差变每有不同今略其梗概,取其推步之要。尚书考灵曜云:日永影尺五寸,日短一十三尺,日正南千里而减一寸。张衡灵宪云:悬天之晷,薄地之仪,皆移千里而差一寸。郑元注《周礼》云:凡日影于地千里而差一寸。王蕃姜岌因此为说。按前诸说,是数并同。其言更出书非直有此以事,考量恐非实矣。谨按宋元嘉十九年岁在壬午,遣使往交州度日影。夏至之日影在表南三寸二分。太康地理志交趾去洛阳一万一千里,阳城去洛阳一百八十里。交趾西南望阳城,洛阳在其东南。较而言之,令阳城去交趾近于洛阳去交趾一百八十里。则交趾去阳城一万八百二十里,而影差尺有八寸二分,是六百里而影差一寸也。况复人路迂回,羊肠曲折。方于鸟道所较弥多。
以事验之,又未盈五百里。而差一寸明矣。千里之言,固非实也。何承天又云:诏以土圭测影,考校二至〈阙〉三日有馀。从来积岁及交州所上,验其增减,亦相符合,此则影差之验也。《周礼》:大司徒职曰:夏至之影尺有五寸。马融以为洛阳,郑元以为阳城。《尚书·考灵曜》:日永影一尺五寸,郑元以为阳城。日短十三尺,易纬通卦验,夏至影尺有四寸八分,冬至一丈三尺。刘向《洪范传》夏至影一尺五寸八分,是时汉都长安而向不言测影处所。若在长安,则非晷影之正也。夏至影长一尺五寸八分,冬至一丈三尺一寸四分。向又云:春秋分长七尺三寸六分,此即总是虚妄。《后汉历志》:夏至影一尺五寸。后汉洛阳冬至一丈三尺,自梁天监已前,并同此数。魏景初夏至影一尺五寸。魏初都许昌与颍川相近,后都洛阳又在地中之数。但《易纬》因汉历旧影似不别。影之冬至一丈三尺。晋姜岌影一尺五寸。宋都建康在江表,验影之数,遥取阳城冬至一丈三尺。宋大明祖冲之历夏至影一尺五寸。宋都秣陵遥取影同前,冬至一丈三尺。后魏信都芳注《周髀四术》云:按永平元年戊子,是梁天监之七年也。见洛阳测影,又见公孙崇集。诸朝士共观,秘书影同。是夏至之日,以八尺之表测日中影,皆长一尺五寸八分。虽无六尺近六寸。梁武帝大同十年,太史令虞邝以九尺表于江左。建康测夏至日中影长一尺三寸二分,以八尺表测之影长一尺一寸七分强。冬至一丈三尺七分,八尺表影长一丈一尺六寸二分弱。隋开皇元年,冬至影长一丈二尺七寸二分。开皇二年夏至影一尺四寸八分,冬至长安测夏至,洛阳测及王邵。隋灵感志冬至一丈二尺七寸二分,长安测也。开皇四年,夏至一尺四寸八分,洛阳测也。冬至一丈二尺八寸八分,洛阳测也。大唐贞观二年,己丑五月二十三日癸亥,夏至中影一尺四寸六分,长安测也。十一月二十九丙寅冬至中影一丈二尺六寸三分,长安测也。按汉魏及隋所记夏至中影,或长短齐其盈缩之中,则夏至之影尺有五寸为近定实矣。以周官推之,洛阳为所交会,则冬至一丈二尺五寸,亦为近矣。按梁武帝都金陵,云洛阳南北大较千里以尺表令其有九尺影则大同十年,江左八尺表夏至中影长一尺一寸七分,若是为夏至。八尺表千里而差一寸弱矣。由此推验,即是夏至影差降升不同,南北远近数亦有异。若以一等,永定恐皆乖理之实。
日高图

日高图注
赵君卿曰:黄甲与黄乙,其实正等,以表高乘两表相去为黄甲之实,以影差为黄甲之广而一,所得则变。得黄甲之袤上,与日齐。按图当加表高。今言八万里者,从表以上复加之青丙与青己,其实亦等。黄甲与青丙相连,黄乙与青己相连,其实亦等。皆以影差为广。
臣鸾曰:求日高法,先置表高八尺,为八万里为袤以相两表。相去二千里为广,乘袤八万里得一亿
六千万里为黄甲之实。以影差二寸为二千里,为法除之,得黄乙之袤八万里,即上与日齐。此言王城去天名曰甲日底地,上至日名曰乙。上天名青丙,下地名青戊。㨿影六尺王城上,天南至日六万里。王城南至日底地亦六万里,是上下等数。日夏至南万六千里者,立表八尺于王城,影一尺六寸,影寸千里。故王城去夏至日,底地万六千里也。

法曰:周髀长八尺,句之损益寸千里。
句,谓影也。言悬天之影,薄地之仪,皆千里而差一寸。

故曰:极者,天广袤也。
言极之远近有定则,天广长可知。

今立表高八尺以望极,其句一丈三寸。由此观之,则从周北十万三千里而至极下。
谓冬至日加卯酉之时,若春秋分之夜半。极南两旁与天中齐,故以为周去天中之数。

荣方曰:《周髀》者,何陈子曰:古时,天子治周。
古时天子谓周成王。时以治周,居王城,故曰昔先王之经邑奄观九隩。靡地不营土圭测影,不缩不盈当风雨之所交。然后可以建王城,此之谓也。

此数望之从周,故曰《周髀》
言周都河南为四方之中,故以为望主也。

髀者,表也。
用其行事,故曰髀。由此捕望,故曰表影为句,故曰句股也。

日夏至南万六千里,日冬至南十三万五千里。日中无影,以此观之,从南至夏至之日中,十一万九千里。
诸言极者,斥天之中极去周十万三千里,亦谓极与天中齐。时更加南万六千里,是也。

北至其夜半,亦然。
日极在极北,正等也。

凡径二十三万八千里,
并南北之数也。

此夏至日道之径也。
其径者圆中之直者也。

其周七十一万四千里,
周,匝也。谓天戴日行,其数以三乘径。
臣鸾曰:求夏至日道径法列:夏至日去天中心十一万九千里,夏至夜一日。亦去天中心十一万九千里,并之得夏至日道径二十三万八千里,三乘径得周七十一万四千里也。

从夏至之日中至冬至之日中,十一万九千里。
冬至日中去周十三万五千里,除夏至日中去周一万六千里,是也。

北至极下亦然。则从极南至冬至之日中二十三万八千里,从极北至其夜半亦然。凡径四十七万六千里,此冬至日道径也。其周百四十二万八千里,从春秋分之日中北至极下十七万八千五百里。
春秋之日影七尺五寸五分,加望极之句一丈三寸。
臣鸾曰:求冬至日道径法列:夏至去冬至日中十一万九千里,从夏至日道北径亦十一万九千里,并之得冬至日中北极下二十三万八千里。从极至夜半亦二十三万八千里,并之得冬至道径四十七万六千里。以三乘径即冬至日道周一百四十二万八千里。

从极下北至其夜半亦然。凡径三十五万七千里,周一百七万一千里,故日月之道常缘宿,日道亦与宿正。
内衡之南,外衡之北,圆而成规,以为黄道二十八宿列焉。日之行也,一出一入,或表或里。五月二十三分月之二十一道,一交谓之合朔交会,及月蚀相去之数,故曰缘宿也。日行黄道以宿为正,故曰宿正于中衡之数,与黄道等。
臣鸾曰:求春秋分日道法列:春秋分日中北至极下十七万八千五百里,从北极北至其夜半亦然。并之得春秋分日道径三十五万七千里,以三乘径,即日道周一百七万一千里。求黄道径法列:从北极南至夏至日中一十一万九千里,以从极北去冬至夜半二十三万八千里,并之得黄道三十五万七千里。从极南至冬至日、北至夏至日夜半,亦黄道径也。以三乘径周,得一百七万一千里也。

南至夏至之日中,北至冬至之夜半,南至冬至之日中,北至夏至之夜半,亦径三十五万七千里,周一百七万一千里。
此皆黄道之数与中衡等。