总目录 当前:算法

钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百九卷目录

 算法部汇考一
  礼记〈内则〉
  周礼订义〈地官〉
  周髀算经〈卷上一〉

历法典第一百九卷

算法部汇考一

《礼记》内则

六年,教之数与方名。〈又〉九年,教之数日。十年,出就外傅,居宿于外,学书计。
〈注〉数谓一十百千万,方名东西南北也。九年,教之数日。知朔望与六甲也。书谓六书,计谓九数。

《周礼订义》地官

保氏,掌谏王恶,而养国子以道。乃教之六艺:一曰五礼,二曰六乐,三曰五射,四曰五驭,五曰六书,六曰九数。
〈注〉郑司农曰:九数,方田粟米,差分少,广商功,均输方程,赢不足旁。要今有重差、夕桀、句股。贾氏曰:皆依九章算术而言。云今有重差、夕桀、句股者,此汉法增之。

《周髀算经》〈汉赵君卿注〉卷上一

昔者,周公问于商高曰:窃闻乎大夫善数也。〈唐寅曰经文也〉
周公姓姬,名旦,武王之弟。商高,周时贤大夫,善算者也。周公位居冢宰,德则至高,尚自卑己以自牧,下学而上达。况其凡乎。〈唐寅曰此赵注也〉

请问:古者包牺立周天历度。
包牺,三皇之一,始画八卦,以商高善数,能通乎微妙,达乎无方,无大不综,无幽不显。闻包牺立周天历度,运章蔀之法。《易》曰:古者,包牺氏之王天下也,仰则观象于天,俯则观法于地。此之谓也。

夫天不可阶而升,地不可将尺寸而度。
邈乎悬广,无阶可升,荡乎遐远,无度可量。

请问:数从安出。
心昧其机,请问其目。

商高曰:数之法,出于圆方。
圆径一而周三,方径一而匝四。伸圆之周而为句,展方之匝而为股,共结一角,邪适弦五。政圆方邪径相通之率。故曰数之法,出于圆方。圆方者,天地之形,阴阳之数。然则周公之所问天地也,是以商高陈圆方之形以见其象,因奇耦之数以制其法,所谓言约旨远,微妙幽通矣。

圆出于方,方出于矩。
圆规之数,理之以方,方周匝也。方正之物,出之以矩,矩广长也。

矩出于九九八十一。
推圆方之率,通广长之数,当须乘除以计之。九九者,乘除之原也。

故折矩。
故者,申事之辞也。将为句股之率,故曰折矩也。

以为句广三。
广圆之周横者,谓之广句,亦广。广,短也。

股修四。
应方之匝从者,谓之修股,亦修。修,长也。

径隅五。
自然相应之率,径直隅角也,亦谓之弦。

既方之外,半其一矩。
句股之法:先知二数,然后推一见句股,然后求弦。先各自乘成其实,实成势化,外乃变通。故曰:既方其外,或并句股之实,以求弦,实之中乃求句股之分。并实不正等,更相取与,互有所得,故曰半其一矩。其术:句股各自乘三三如九,四四一十六,并为弦,自乘之实二十五,减句于弦为股之实一十六,减股于弦,为句之实九。

环而共盘,得成三四五。
盘,读如盘桓之盘言取而并,减之积环屈而共盘之谓开方,除之其一面,故曰得成三四五也。

两矩共长二十有五,是谓积矩。
两矩者,句股各自乘之实。共长者,并实之数。将以施于万事,而此先陈其率也。

故禹之所以治天下者,此数之所生也。
禹治洪水,决流江河,望山川之形,定高下之势,除滔天之灾,释昏垫之厄。使东注于海而无浸溺,乃句股之所由生也。
左图

弦图弦图

右图缺句股方圆图注右图弦图右图

缺句股方圆图注缺句股方圆图注
赵君卿曰:句股各自乘并之为弦实,开方除之即弦也。案弦图,又可以句股相乘为朱实,二倍之为朱实四。以句股之差自相乘为中黄实,加差实亦成弦实。以差实减弦实,半其馀,以差为从法开方除之,复得句矣。加差于句即股,凡并句股之实即成弦实。或矩于内,或方于外,形诡而量均,体殊而数齐。句实之矩,以股弦差为广,股弦并为袤而股实方其里。减矩句之实于弦实,开其馀即股倍。股在两边为从法开矩句之角,即股弦差,加股为弦,以差除句实得股弦并,以并除句实亦得股弦差。令并自乘与句实,为实倍并,为法所得亦弦句实。减并自乘,如法为股。股实之矩,以句股差为广。句弦并为袤,而句实方其里。减矩股之实于弦实,开其馀即句倍。句在两边为从法开矩股之角即句弦差,加句为弦,以差除股实得句弦并。以并除股实得句弦差。令并自乘,与股实为实倍并为法,所得亦弦股实。减并自乘,如法为句。两差相乘倍而开之,所得以股弦差增之,为句。以句弦差增之为股,两差增之为弦倍。弦实列句股差实见弦实者,以图考之,倍弦实满外大方,而多黄实。黄实之多即句股差实。以差实减之,开其馀得外大方。大方之面即句股并也。令并自乘,倍弦实乃减之,开其馀得中黄方。黄方之面,即句股差。以差减并而半之为句,加差于并而半之为股,其倍弦为广袤合。令句股见者,自乘为其实,四实以减之,开其馀所得为差,以差减合半其馀为广,减广于弦即所求也。观其迭相规矩,其为反覆,互与通分,各有所得。然则统叙群伦,弘纪众理,贯幽入微,钩深致远。故曰其裁制万物,唯所为之也。
释圆方句股注
按君卿注曰:句股各自乘并之为弦,实开方除之即弦。
臣鸾曰:假令句三自乘得九,股四自乘得十六,并之得二十五,开方除之,得五,为弦也。〈寅曰:五五二十五弦实四面之一也〉
注云:按弦图,又可以句股相乘为朱实,二倍之为朱实四。以句股之差自相乘为中黄实。〈寅曰:句股相乘其数一十二也〉
臣鸾曰:以句弦差二倍之为四,自乘得一十六,为左图中黄实也。〈寅曰:甄氏止注以句股十二字之义〉臣淳风等谨按注云:以句股之差自乘为中黄实,鸾云:倍句弦差自乘者,苟求异端。虽合其数,于率不通。〈寅曰:句股之差,其数一也。自乘得一一如一〉注云:加差实亦成弦实。
臣鸾曰:加差实一,并外矩青八,得九;并中黄十六,得二十五,亦成弦实也。
臣淳风等谨按注云:加差实一亦成弦实。鸾曰:加差实并外矩及中黄者,虽合其数,于率不通。〈寅曰:加差实之,一于前文所言,朱实四之,上朱实之四为二十四,加一为弦实二十五也〉注云:以差实减弦实,半其馀以差为从法,开方除之复得句矣。
臣鸾曰:以差实九减弦实二十五,馀十六。半之得八,以差一加之得九,开之,得句三也。
臣淳风等谨按注宜云:以差实一减弦实二十五,馀二十四。半之为十二。以差一从开方除之得句三。鸾云:以差实九减弦实者,虽合其数,于率不通。〈顾应祥曰:以差实一减弦实二十五〉
注云:加差于句,即股。
臣鸾曰:加差一于句三,得股四也。
注云:凡并句股之实,即成弦实。
臣鸾曰:句实九股实十六并之,得二十五也。注云:或矩于内,或方于外,形诡而量均,体殊而数齐。句实之矩,以股弦差为广,股弦并为袤。
臣鸾曰:以股弦差一为广,股四并弦五得九为袤。左图外青也。
注云:而股实方其里。
臣鸾曰:为左图中黄十六。
注云:减矩句之实于弦实,开其馀即股。
臣鸾曰:减矩句之实九,于弦实二十五,馀一十六。开之得四,股也。
注云:倍股在两边为从,法开矩句之角,即股弦差。臣鸾曰:倍股四得八,在圆两边。以为从法,开矩句之角九得一也。
注云:加股为弦。
臣鸾曰:加差一于股四,则弦五也。
注云:以差除句实,得股弦并。
臣鸾曰:以差一除句实九得九,即股四弦五并为九也。
注云:出并除句实,亦得股弦差。
臣鸾曰:以九除句实九,得股弦差一。
注云:令并自乘,与句实为实。
臣鸾曰:令并股弦得九,自乘为八十一。又与句实九加之,得九十为实。
注云:倍并为法。
臣鸾曰:倍股弦并九得十八者,为法。
注云:所得亦弦。
臣鸾曰:除之得五为弦。〈寅曰:以法十八除实九十〉注云:句实减并自乘,如法为股。
臣鸾曰:以句实九减并自乘八十一,馀七十二。以法十八除之,得四,为股也。
注云:股实之矩以句弦,差为广。句弦并为袤。臣鸾曰:股实之矩以句弦差二为广,句弦并八为袤。
注云:而句实方其裹,减矩股之实于弦实,开其馀即句。
臣鸾曰:句实有九,方在右图里。以减矩股之实十六,于弦实二十五,馀九,开之,得三,句也。
注云:倍句在两边。
臣鸾曰:各三也。〈寅曰:倍之得六〉
注云:为从法开矩股之角,即句股差,加句为弦。臣鸾曰:加差二于句三,则弦五也。
注云:以差除股实得句弦并。
臣鸾曰:以差二除股实十六得八,句三弦五并为八也。
注云:以并除股实,亦得句弦差。
臣鸾曰:以并除股实十六,得句弦差二。
注云:令并自乘与股实为实。
臣鸾曰:令并八自乘得六十四,与股实十六加之,得八十为实。
注云:倍并为法。
臣鸾曰:倍句弦并八,得十六为法。
注云:所得亦弦。
臣鸾曰:除之得弦五也。
注云:股实减并自乘,如法为句。
臣鸾曰:以股实十六减并自乘六十四,馀四十八。以法十六除之,得三,为句也。
注云:两差相乘,倍而开之,所得增股弦差为句。臣鸾曰:以股弦差一乘句弦差二得二,倍之为四,开之得二。以股弦差一增之,得三,句也。
注云:以句弦差增之为股。
臣鸾曰:以弦差二增之,得四,股也。
注云:两差增之为弦。
臣鸾曰:以股弦差一,句弦差二,增之,得五,弦也。注云:倍弦实,列句股差实。见弦实者,以图考之,倍弦实满外大方。而多黄实。黄实之多即句股差实。臣鸾曰:倍弦实二十五得五十,满外大方七七四十九,而多黄实。黄实之多,即句股差实也。
注云:以差实减之,开其馀得外大方。大方之面即句股并。
臣鸾曰:以差实一减五十,馀四十九,开之即大方之面,七也,亦是句股并也。
注云:令并自乘,倍弦实乃减之,开其馀得中黄方。黄方之面,即句股差。
臣鸾曰:并七自乘得四十九,倍弦实二十五得五
十。以减之馀即中黄方,差实一也。故开之即句股差一也。
注云:以差减并而半之为句。
臣鸾曰:以差一减并七馀六,半之得三,句也。注云:加差于并而半之为股。
臣鸾曰:以差一加并七得八,而半之得四,股也。注云:其倍弦,为广袤合。
臣鸾曰:倍弦二十五为五十,为广袤合。
臣淳风等谨按:列广袤术,宜云倍弦五,得十为广袤合。今鸾云:倍弦二十五者,错也。〈寅曰:句广一袤九,股广二袤八〉注云:而令句股见者,自乘为其实四,实以减之开其馀,所得为差。
臣鸾曰:令自乘者,以七七自乘得四十九。四实大方,句股之中有四方,一方之中有方十二。四实有四十八,减上四十九馀一也,开之得一即句股差一。
臣淳风等谨按注:意令自乘者十,自乘得一百四实者,大方广袤之中有四方。若㨿句实而言,一方之中有实九。四实有三十六,减上一百馀六十四,开之得八,即广袤差。此是股弦差减股弦并馀数。若据股实而言之,一方之中有实十六。四实有六十四,减上一百,馀三十六,开之得六,即广袤差。此是句股差减句弦,并馀数也。鸾云:令自乘者,以七七自乘得四十九,四实者,大方。句股之中有四方,一方之中有方十二四实者,四十八减上四十九馀一也,开之得一,即句股差一者,错也。〈寅曰:大方之中有四弦实,故四其句,实得三十六,减之,馀六十四,开其馀,得八,为句之广袤差。四其股,实得六十四,减之馀三十六,开得六,为股之广袤差。所谓广袤差者,句广一而袤九,股广二而袤八,广袤相减之馀也〉注云:以差减合,半其馀,为广。
臣鸾曰:以差一减合七,馀六,半之得三,广也。臣淳风等谨按注:意以差八六各减合十,馀二四。半之得一二。一即股弦差,二即句弦差。以差减弦即各袤广也。鸾云:以差一减合七,馀六,半之得三,广者,错也。〈寅曰:以句之广袤差八,减广袤合十,馀二,半之为句之广。以股袤差六,减广袤合十,馀四,半之为股之广。二注皆未莹〉
注云:减广于弦,即所求也。
臣鸾曰:以广三减弦五,即所求差二也。
臣淳风等谨按:注意,以广一二各减弦五,即所求股四,句三也。鸾云:以广三减弦五,即所求差二者,此错也。〈寅曰:甄鸾述说终此〉

周公曰:大哉。言数。〈唐寅曰:此经文也〉
心达数术之意,故发大哉之叹。〈唐寅曰:此赵注也〉

请问:用矩之道。
谓用表之宜,测望之法。

商高曰:平矩以正绳。
以求绳之正,定平悬之体。将欲慎毫釐之差,防千里之失。

偃矩以望高,覆矩以测深,卧矩以知远。
言施用无方,曲从其事。术在九章。

环矩以为圆,合矩以为方。
既以追寻情理,又可造制圆方。言矩之于物,无所不至。

方属地,圆属天,天圆地方。
物有圆方,数有奇耦。天动为圆,其数奇。地静为方,其数耦。此配阴阳之义,非实天地之体也。天不可穷而见,地不可尽而观,岂能定其圆方乎。又曰:北极之下高,人所居六万里。滂沲四隤而下,天之中央亦高,四旁六万里,是为形状。同归而不殊涂,隆高齐耽而易以陈。故曰天似盖笠,地法覆槃。

方数为典,以方出圆。
夫体方则度影正,形圆则审实难。盖方者有常,而圆者多变。故当制法而理之。理之法者,半周半径相乘,则得方矣。又可周径相乘四而一,又可径自乘三之四而一,又可周自乘十二而一。故圆出于方。〈典实也〉

笠以写天。
笠亦如盖,其形正圆,戴之所以象天,写犹象也。言笠之体,象天之形。《诗》云:何蓑何笠,此之义也。

天青黑,地黄赤。天数之为笠也。青黑为表,丹黄为里,以象天地之位。
既象其形,又法其位,言相方类,不亦似乎。

是故知地者智,知天者圣。
言天之高大,地之广远,自非圣智。其孰能与于此乎。

智出于句。
句,亦影也。察句之损益,加物之高远,故曰智出于句。

句出于矩。
矩谓之表,表不移亦为句。为句将正。故曰:句出于矩焉。

夫矩之于数,其裁制万物,唯所为耳。
言包含几微,转通旋环也。

周公曰:善哉。
善哉,言明晓之意,所谓问一事而万事达。

昔者,荣方问于陈子。
荣方、陈子是周公之后人。非《周髀》之本文。然此二人共相解释。后之学者,谓之章句。因从其类,列于事。下又欲尊而远之。故云:昔者。时世官号未之前闻。

曰:今者,窃闻夫子之道。
荣方问陈子能述商高之旨,明周公之道。

知日之高大。
日去地与圆径之术。

光之所照,
日旁照之所及也。

一日所行,
日行天之度也。

远近之数。
冬至夏至,去人之远近也。

人所望见,
人目之所极也。

四极之穷,
日光之所远也。

列星之宿,
二十八宿之度也。

天地之广袤。
袤长也,东西南北谓之广长。

夫子之道,皆能知之,其信有之乎。
能明察之,故不昧不疑。

陈子曰:然。
言可知也。

荣方曰:方虽不省,愿夫子幸而说之。
欲以不省之情,而观大雅之法。

今若方者,可教此道邪。
不能自料,访之贤者。

陈子曰:然。
言可教也。

此皆算术之所及。
《周髀》之法,出于算术之妙也。

子之于算,足以知此矣。若诚累思之。
累,重也。言若诚能重累思之,则达至微之理。

于是荣方归而思之,数日不能得。
虽潜心驰思,而才单智竭。

复见陈子曰:方思之不能得,敢请问之。陈子曰:思之未熟。
熟犹善也。

此亦望远起高之术,而子不能得,则子之于数,未能通类。
定高远者,立两表望悬邈者,施累矩言未能通类。求句股之意。

是智有所不及,而神有所穷。
言不能通类,是情智有所不及,而神思有所穷滞。

夫道术言约而用博者,智类之明。
夫道术,圣人之所以极深而研。几唯深也,故能通天下之志。唯几也,故能成天下之务。是以其言约其旨远,故曰智类之明也。

问一类而万事达者,谓之知道。
引而伸之,触类而长之,天下之能事毕矣,故谓之知道也。

今子所学,
欲知天地之数

算数之术,是用智矣。而尚有所难,是子之智类单。
算术所包,尚以为难,是子智类单尽。

夫道术所以难通者,既学矣,患其不博。
不能广博,

既博矣,患其不习。
不能究习,

既习矣,患其不能知。
不能知类

故同术相学,
术教同者,则当学通类之意。

同事相观。
事类同者,观其旨趣之类。

此列士之愚智,
列,犹别也。言视其术,鉴其学,则愚智者别矣。

贤不肖之所分。
贤者,达于事物之理。不肖者,闇于照察之情。至于役神驰思,聪明殊别矣。

是故能类以合类。此贤者业精习智之质也。
学其伦类,观其指归。唯贤智精习者能之也。

夫学同业而不能入神者,此不肖。无智而业不能精习。
俱学道术明,不察不能以类。合类而长之,此心游目荡,义不入神也。

是故算不能精习,吾岂以道隐子哉。固复熟思之。
凡教之道,不愤不启,不悱不发。愤而悱之,然后启发。既不精思,又不学习,故言吾无隐也。尔固复熟思之,举一隅,使反之以三也。

荣方复归思之,数日不能得。复见陈子曰:方思之以精熟矣。智有所不及,而神有所穷。知不能得,愿终请说之。
自知不敏,避席而请说之。

陈子曰:复坐,吾语汝。于是荣方复坐,而请陈子说之。曰:夏至南万六千里,冬至南十三万五千里,日中立竿测影。
臣鸾曰:南戴日,下立八尺表。表影千里而差一寸。是则天上一寸,地下千里。今夏至影有一尺六寸,故其万六千里。冬至影一丈三尺五寸,则知其十三万五千里。

此一者,天道之数。
言天道数,一悉以如此。

周髀长八尺,夏至之日晷一尺六寸。
晷,影也。此数望之从周城之南千里也。而周官测影尺有六寸,盖出周城南千里也。记云:神州之土方五千里,虽差一寸,不出畿地之分。先王知之,是故建王国。

髀者,股也。正晷者,句也。
以髀为股,以影为句,股定。然后可以度日之高远。正晷者,日中之时节也。

正南千里,句一尺五寸。正北千里,句一尺七寸。
候其影,使表相去二千里,影差二寸。将求日之高远,故先见其表影之率。

日益表南晷,日益长候句六尺。
候其影,使长六尺者,欲令句股相应,句三股四弦五,句六股八弦十。

即取竹空径一寸,长八尺,捕影而视之,空正掩日。
以径寸之空视日之影,髀长则大,矩短则小,正满八尺也。捕,犹索也。掩,犹覆也。

而日应空之孔。
掩若重规更言八尺者,举其定也。又曰近则大远则小以影六尺为正。

由此观之,率八十寸而得径一寸。
以此为日髀之率。

故以句为首,以髀为股。
首,犹始也。股,犹末也。句能制物之率,股能制句之正。欲以为总见之数,立精理之,本明可以周万事。智可以达无方,所谓智出于句,句出于矩也。

从髀至日下六万里,而髀无影。从此以上至日,则八万里。


臣鸾曰:求从髀至日下六万里者,先置南表晷六尺上十之为六十寸,以两表相去二千里乘得十二万里为实,以影差二寸。为法除之得日底地去表六万里,求从髀至日八万里者,先置表高八尺,上十之为八十寸,以两表相去二千里乘之得十六万为实,以影差二寸,为法除之得从表端上至日八万里也。

若求邪至日者,以日下为句,日高为股。句股各自乘并而开方除之得邪至日。从髀所旁至日所十万里,
旁此古邪宇,求其数之术曰:以表南至日下六万里为句,以日高八万里为股,为之求弦句股各自乘并而开方除之,即邪至日之所也。
臣鸾曰:求从髀邪至日所法:先置南至日底六万里为句,重张自乘得三十六亿为句实,更置日高八万里为股重张,自乘得六十四亿为股实。并句股实得一百亿为弦实,开方除之得从王城至日十万里。今有十万里,问径几何。曰:一千二百五十里八十寸而得径一寸。以一寸乘十万里为实,八
十寸为法即得。

以率率之八十里,得径一里十万里得径千二百五十里。
法当以空径为句率,竹长为股率,日去人为大股。大股之句即日径也。其术以句率乘大股股率,而一此以八十里为法,十万里为实。实如法而一,即得日径。

故曰日晷径千二百五十里。
臣鸾曰:求以率八十里得径一里十万里,得径千二百五十里法:先置竹孔径一寸为十里为句,更置邪去日十万里为股,以句十里乘股十万里得一亿为实。更置日去地八万里为法,除实得日晷径千二百五十里,故云日晷径也。
臣淳风等谨按:夏至王城望日立两表,相去二十里。表高八尺,影去前表一尺五寸,去后表一尺七寸。旧术以前后影差二寸为法,以前影寸数乘表间为实。实如法得万五千里为日下去南表里。又以表高八十寸乘表间为实,实如法得八万里,为表上去日里。仍以表寸为日高,影寸为日下。待日渐高,候日影六尺用之为句,以表为股,为之求弦得十万里为邪表数目。取管圆孔径一寸长八尺,望日满筒以为率,长八十寸为一邪。去日十万里日径即千二百五十里,以理推之,法云:天之处心高于外衡六万里者,此乃语与术违。句六尺、股八尺、弦十尺,角隅正方,自然之数盖。依绳水之定,施之于表矩。然则天无别,体用日以为高下。术既随手而迁高下,从何而出。语术相违,是为大失。又按二表下地,依水平法定。其高下若北表。地高则以为勾,以间为弦,置其高数其影乘之其表,除之所得益股为定间。若北表下者,亦置所下以法乘除,所得以减股为定间。又以高下之数与间相约,为地高远之率。求远者,影乘定间差法而一,所得加表日之高也。求邪去地者,弦乘定间差法而一,所得加弦日邪,去地此三等至。皆以日为正,求日下地。高下者,置戴日之远近,地高下率。乘之如间率而一,所得为日下地。高下形势,隆杀与表间同,可依此率。若形势不等,非代所知率日径,求日大小者,径率乘间如法而一,得日径。此径当即得。不待影长六尺。凡度日者,先须定二矩。水平者,影南北立勾齐高四尺,相去一丈。以二弦候牵于勾,上并率。二则拟为候影。勾上立表,弦下望日。前一则上畔,后一则下畔。引则就影,合与表日参直二至前后三四日间影不移处,即是当以候表并望。人取一影亦可日径影端表头为则。然地有高下,表望不同,后六术乃穷其实。
第一后高前下术:高为句,表间为弦,后复影为所求率表。为有所率以句为所有数所得益,股为定间。
第二后下术:以其所下为句,表间为弦,置其所下。以影乘表,除所得,减股馀为定间。
第三邪下术:依其北高之率,高其句影,令与地势隆杀相似,馀同平法。假令髀邪下,而南其邪亦同。不须别望,但弦短与句股,不得相应。其南里数亦随地势,不得校乎。平则促,若用此术,但得南望。若北望者,即用句。照南下之术,当北高之地。
第四邪上术:依其后下之率,下其句影,此谓回望北极。以为高远者,望去取差亦同。南望此术,弦长亦与句股不得相应。唯得北望不得南望。若南望者,即用句影北高之术。
第五平术,不论高下。周髀度日,用此平术,故东西南北四望皆通。远近一差,不须别术。
第六术者,是外衡。其径云四十七万六千里,半之得二十三万八千里者,是外衡去天心之处。心高于外衡六万里为率,南行二十三万八千里。下校六万里约之,得南行一百一十九里。下校三十里一百一十九步差下三十步。〈阙〉三十步大强差下十步,以此为准,则不合有平地。地既平而用术尤乖理验且自古论晷影差变每有不同今略其梗概,取其推步之要。尚书考灵曜云:日永影尺五寸,日短一十三尺,日正南千里而减一寸。张衡灵宪云:悬天之晷,薄地之仪,皆移千里而差一寸。郑元注《周礼》云:凡日影于地千里而差一寸。王蕃姜岌因此为说。按前诸说,是数并同。其言更出书非直有此以事,考量恐非实矣。谨按宋元嘉十九年岁在壬午,遣使往交州度日影。夏至之日影在表南三寸二分。太康地理志交趾去洛阳一万一千里,阳城去洛阳一百八十里。交趾西南望阳城,洛阳在其东南。较而言之,令阳城去交趾近于洛阳去交趾一百八十里。则交趾去阳城一万八百二十里,而影差尺有八寸二分,是六百里而影差一寸也。况复人路迂回,羊肠曲折。方于鸟道所较弥多。
以事验之,又未盈五百里。而差一寸明矣。千里之言,固非实也。何承天又云:诏以土圭测影,考校二至〈阙〉三日有馀。从来积岁及交州所上,验其增减,亦相符合,此则影差之验也。《周礼》:大司徒职曰:夏至之影尺有五寸。马融以为洛阳,郑元以为阳城。《尚书·考灵曜》:日永影一尺五寸,郑元以为阳城。日短十三尺,易纬通卦验,夏至影尺有四寸八分,冬至一丈三尺。刘向《洪范传》夏至影一尺五寸八分,是时汉都长安而向不言测影处所。若在长安,则非晷影之正也。夏至影长一尺五寸八分,冬至一丈三尺一寸四分。向又云:春秋分长七尺三寸六分,此即总是虚妄。《后汉历志》:夏至影一尺五寸。后汉洛阳冬至一丈三尺,自梁天监已前,并同此数。魏景初夏至影一尺五寸。魏初都许昌与颍川相近,后都洛阳又在地中之数。但《易纬》因汉历旧影似不别。影之冬至一丈三尺。晋姜岌影一尺五寸。宋都建康在江表,验影之数,遥取阳城冬至一丈三尺。宋大明祖冲之历夏至影一尺五寸。宋都秣陵遥取影同前,冬至一丈三尺。后魏信都芳注《周髀四术》云:按永平元年戊子,是梁天监之七年也。见洛阳测影,又见公孙崇集。诸朝士共观,秘书影同。是夏至之日,以八尺之表测日中影,皆长一尺五寸八分。虽无六尺近六寸。梁武帝大同十年,太史令虞邝以九尺表于江左。建康测夏至日中影长一尺三寸二分,以八尺表测之影长一尺一寸七分强。冬至一丈三尺七分,八尺表影长一丈一尺六寸二分弱。隋开皇元年,冬至影长一丈二尺七寸二分。开皇二年夏至影一尺四寸八分,冬至长安测夏至,洛阳测及王邵。隋灵感志冬至一丈二尺七寸二分,长安测也。开皇四年,夏至一尺四寸八分,洛阳测也。冬至一丈二尺八寸八分,洛阳测也。大唐贞观二年,己丑五月二十三日癸亥,夏至中影一尺四寸六分,长安测也。十一月二十九丙寅冬至中影一丈二尺六寸三分,长安测也。按汉魏及隋所记夏至中影,或长短齐其盈缩之中,则夏至之影尺有五寸为近定实矣。以周官推之,洛阳为所交会,则冬至一丈二尺五寸,亦为近矣。按梁武帝都金陵,云洛阳南北大较千里以尺表令其有九尺影则大同十年,江左八尺表夏至中影长一尺一寸七分,若是为夏至。八尺表千里而差一寸弱矣。由此推验,即是夏至影差降升不同,南北远近数亦有异。若以一等,永定恐皆乖理之实。
日高图

日高图注
赵君卿曰:黄甲与黄乙,其实正等,以表高乘两表相去为黄甲之实,以影差为黄甲之广而一,所得则变。得黄甲之袤上,与日齐。按图当加表高。今言八万里者,从表以上复加之青丙与青己,其实亦等。黄甲与青丙相连,黄乙与青己相连,其实亦等。皆以影差为广。
臣鸾曰:求日高法,先置表高八尺,为八万里为袤以相两表。相去二千里为广,乘袤八万里得一亿
六千万里为黄甲之实。以影差二寸为二千里,为法除之,得黄乙之袤八万里,即上与日齐。此言王城去天名曰甲日底地,上至日名曰乙。上天名青丙,下地名青戊。㨿影六尺王城上,天南至日六万里。王城南至日底地亦六万里,是上下等数。日夏至南万六千里者,立表八尺于王城,影一尺六寸,影寸千里。故王城去夏至日,底地万六千里也。

法曰:周髀长八尺,句之损益寸千里。
句,谓影也。言悬天之影,薄地之仪,皆千里而差一寸。

故曰:极者,天广袤也。
言极之远近有定则,天广长可知。

今立表高八尺以望极,其句一丈三寸。由此观之,则从周北十万三千里而至极下。
谓冬至日加卯酉之时,若春秋分之夜半。极南两旁与天中齐,故以为周去天中之数。

荣方曰:《周髀》者,何陈子曰:古时,天子治周。
古时天子谓周成王。时以治周,居王城,故曰昔先王之经邑奄观九隩。靡地不营土圭测影,不缩不盈当风雨之所交。然后可以建王城,此之谓也。

此数望之从周,故曰《周髀》
言周都河南为四方之中,故以为望主也。

髀者,表也。
用其行事,故曰髀。由此捕望,故曰表影为句,故曰句股也。

日夏至南万六千里,日冬至南十三万五千里。日中无影,以此观之,从南至夏至之日中,十一万九千里。
诸言极者,斥天之中极去周十万三千里,亦谓极与天中齐。时更加南万六千里,是也。

北至其夜半,亦然。
日极在极北,正等也。

凡径二十三万八千里,
并南北之数也。

此夏至日道之径也。
其径者圆中之直者也。

其周七十一万四千里,
周,匝也。谓天戴日行,其数以三乘径。
臣鸾曰:求夏至日道径法列:夏至日去天中心十一万九千里,夏至夜一日。亦去天中心十一万九千里,并之得夏至日道径二十三万八千里,三乘径得周七十一万四千里也。

从夏至之日中至冬至之日中,十一万九千里。
冬至日中去周十三万五千里,除夏至日中去周一万六千里,是也。

北至极下亦然。则从极南至冬至之日中二十三万八千里,从极北至其夜半亦然。凡径四十七万六千里,此冬至日道径也。其周百四十二万八千里,从春秋分之日中北至极下十七万八千五百里。
春秋之日影七尺五寸五分,加望极之句一丈三寸。
臣鸾曰:求冬至日道径法列:夏至去冬至日中十一万九千里,从夏至日道北径亦十一万九千里,并之得冬至日中北极下二十三万八千里。从极至夜半亦二十三万八千里,并之得冬至道径四十七万六千里。以三乘径即冬至日道周一百四十二万八千里。

从极下北至其夜半亦然。凡径三十五万七千里,周一百七万一千里,故日月之道常缘宿,日道亦与宿正。
内衡之南,外衡之北,圆而成规,以为黄道二十八宿列焉。日之行也,一出一入,或表或里。五月二十三分月之二十一道,一交谓之合朔交会,及月蚀相去之数,故曰缘宿也。日行黄道以宿为正,故曰宿正于中衡之数,与黄道等。
臣鸾曰:求春秋分日道法列:春秋分日中北至极下十七万八千五百里,从北极北至其夜半亦然。并之得春秋分日道径三十五万七千里,以三乘径,即日道周一百七万一千里。求黄道径法列:从北极南至夏至日中一十一万九千里,以从极北去冬至夜半二十三万八千里,并之得黄道三十五万七千里。从极南至冬至日、北至夏至日夜半,亦黄道径也。以三乘径周,得一百七万一千里也。

南至夏至之日中,北至冬至之夜半,南至冬至之日中,北至夏至之夜半,亦径三十五万七千里,周一百七万一千里。
此皆黄道之数与中衡等。




钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百十卷目录

 算法部汇考二
  周髀算经〈卷上二〉

历法典第一百十卷

算法部汇考二

《周髀算经》卷上二

春分之日夜分,以至秋分之日夜分,极下常有日光。
春秋分者,昼夜等。春分至秋分,日内近极,故日光照及也。

秋分之日夜分,以至春分之日夜分,极下常无日光。
秋分至春分,日外远极,故日光照不及也。

故春秋分之日夜分之时,日所照适至极,阴阳之分等也。冬至夏至者,日道发敛之所生也,至昼夜长短之所极。
发,犹往也。敛,犹还也。极,终也。

春秋分者,阴阳之修,昼夜之象。
修长也,言阴阳长短之等。

昼者阳,夜者阴。
以明暗之差为阴阳之象。

春分以至秋分,昼之象。
北极下见日光也,日永主物生,故象昼也。

秋分至春分,夜之象。
北极下不见日光也,日短主物死,故象夜也。

故春秋分之日中,光之所照北极下。夜半日光之所照,亦南至极,此日夜分之时也。故曰日照四旁,各十六万七千里。
至极者,谓璇玑之际,为阳绝阴障,以日之时而日光有所不逮。故知日旁照十六万七千里,不及天中一万一千五百里也。

人望所见远近,宜如日光所照。
日近我一十六万七千里之内及我,我自见日,故为日出。日远我十六万七千里之外,日则不见我,我亦不见日,故为日入。是为日与目见于十六万七千里之中,故曰远近,宜如日光之所照也。

从周所望见,北过极,六万四千里。
自此以下诸言减者,皆置日光之所照。若人目之所见十六万七千里以除之,此除极至周十万三千里。
臣鸾曰:求从周所望见,北过极六万四千里。法列人目所极十六万七千里。以王城周去极十万三千里,减之馀六万四千里,即人望过极之数也。

南过冬至之日,三万二千里。
除冬至日中去周十三万五千里。
臣鸾曰:求冬至日中三万二千里法列:人目所极十六万七千里,以冬至日中去王城十三万五千里,减之馀即过冬至日中三万二千里也。

夏至之日中光,南过冬至之日中光,四万八千里。
除冬至之日中,相去十一万九千里。
臣鸾曰:求夏至日中光南过冬至日中光四万八千里法列:日高照十六万七千里,以冬夏至日中相去一十一万九千里,减之馀即南过冬至之日中光四万八千里。

南过,人所望见,一万六千里。
夏至日中去周,万六千里。
臣鸾曰:求夏至日中光南过,人所望见万六千里法列:王城去夏至日中光南过,人所望见万六千里,加日光所及十六万七千里,得十八万三千里。以人目所极十六万七千里减之,馀即南过人目所望见一万六千里也。

北过周十五万一千里。
除周夏至之日中,一万六千里。
臣鸾曰:求夏至日中光北过周十五万一千里法列:日光所及十六万七千里,以王城去夏至日中一万六千里减之,馀即北过周十五万一千里。

北过极四万八千里。
除极去夏至之日,十一万九千里。
臣鸾曰:求夏至日中光北过极四万八千里法列:日光所及十六万七千里,以北极去夏至夜半十一万九千里减之,馀即北过极四万八千里也。

冬至之夜半,日光南不至人所见,七千里。
倍日光所照里数,以减冬至日道径四十七万六千里,又除冬至日中去周十三万五千里。
臣鸾曰:求冬至夜半日光南不至人目所见七千里法:列日光十六万七千里,倍之得三十三万四
千里,以减冬至日道径四十七万六千里,馀十四万二千里。复以冬至日中去周十三万五千里减之,馀即不至人目所见七千里。

不至极下,七万一千里。
从极至夜半除所照,十六万七千里。
臣鸾曰:求冬至日光不至极下七万一千里法列:冬至夜半去极二十三万八千里,以日光一十六万七千里减之,馀即不至极下七万一千里。

夏至之日中与夜半,日光九万六千里,过极相接。
倍日光所照,以夏至日道径减之,馀即相接之数。臣鸾曰:求夏至日中日光与夜半相接九万六千里法:列倍日光所照十六万七千里,得径三十三万四千里。以夏至日过径二十三万八千里减之,馀即日光相接九万六千里也。

冬至之日中与夜半日光,不相及十四万二千里,不至极下七万一千里。
倍日光所照,以减冬至日道径,馀即不相及之数,半之即各不至极下。
臣鸾曰:求冬至日光与夜半日不及十四万二千里,不至极下七万一千里法:列冬至日道径四十七万六千里以倍,日光所照三十三万四千里减之,馀即日光不相及十四万二千里,半之即不至极下七万一千里也。

夏至之日正东西望,直周东西日下,至周五万九千五百九十八里半。
求之术:以夏至日道径二十三万八千里为弦,倍极去周十万三千里,得二十万六千里为股。为之求勾。以股自乘,减弦自乘,其馀开方除之得勾一十一万九千一百九十七里有奇,半之各得周半数。
臣鸾曰:求夏至日正东西去周法:列夏至道径二十三万八千里为弦,自相乘得五百六十六亿四千四百万为弦实更置,极去周十万三千里。倍之为二十万六千里为股。重张自相乘得四百二十四亿三千六百万为股实,以减弦实,馀一百四十二亿八百万,即勾实。以开方除之得正东西去周一十一万九千一百九十七里二十三万八千三百九十五分里之七万五千一百九十一。半之即周东西各五万九千五百九十八里,半经曰奇者,分也。若求分者,倍分母得四十七万六千七百九十,即一方得五万九千五百九十八里半四十七万六千七百九十分里之七万五千一百九十一。本经无所馀算之次因而演之也。

冬至之日,正东西方不见日。
正东西方者,周之卯酉日,在十六万七千里之外不见日。

以算求之,日下至周二十一万四千五百五十七里半。
求之术:以冬至日道径四十七万六千里为弦,倍极之去周十万三千里,得二十万六千里为勾,为之求股。勾自乘减弦之自乘,其馀开方除之,得四十二万九千一百一十五里有奇,半之各得东西数。
臣鸾曰:求冬至正东西方不见日法:列冬至日道径四十七万六千里为弦,重张相乘得二千二百六十五亿七千六百万里为弦实。更列极去周十万三千里倍之得二十万六千里为勾,重张相乘得四百二十四亿三千六百万,以减弦实,馀一千八百四十一亿四十万。即股实开方除之得周直东西四十二万九千一百一十五里八十五万八千二百三十一分里之三十一万六千七百七十五,半即周一方去日二十一万四千五百五十七里半,亦倍分母得一百七十一万六千四百六十二分里之三十一万六千七百七十五。

凡此数者,日道之发敛。
凡此上周径之数者,日道往还之所至,昼夜长短之所极。

冬至夏至,观律之数,听钟之音。
观律数之生,听钟音之变,知寒暑之极,明代序之化也。

冬至昼,夏至夜。
冬至昼夜日道径,半之,得夏至昼夜日道径法:置冬至日道径四十七万六千半之,得夏至日中去夏至夜半二十三万八千里,以四极之里也。

差数及日光所还观之。
以差数之所及,日光所还。以此观之,则四极之穷也。

四极径八十一万里。
从极南至冬至日中二十三万八千里。又日光所照十六万七千里,凡径四十万五千里,北至其夜半亦然。故日径八十一万里。八十一者,阳数之终,
日之所极。
臣鸾曰:求四极径八十一万里法列:冬至日中去极二十三万八千里,复加冬至日光所极十六万七千里,得四十万五千里。北至其夜半亦然,并南北即是大径八十一万里。

周二百四十三万里。
三乘径即周。
臣鸾曰:以三乘八十一万里,得周二百四十三万。自此以外,日所不及也。

从周至南,日照处三十万二千里。
半径除周,去极十万三千里。
臣鸾曰:求周南三十万二千里法列:半径四十万五千,以王城去极十万三千里减之,馀即周南至日照处三十万二千里。

周北至日照处,五十万八千里。
半径加周,去极十万三千里。
臣鸾曰:求周去冬至夜半,日北极照处五十万八千里法:列半道径四十万五千里,加周夜半去极十万三千里,得冬至夜半北极照去周五十万八千里。

东西各三十九万一千六百八十三里半。
求之术:以径八十一万里为弦,倍去周十万三千里得二十万六千里为勾,为之求股得七十八万三千三百六十七里有奇,半之各得东西之数。臣鸾曰:求东西各三十九万一千六百八十三里半法列:径八十一万里,重张自乘得六千五百六十一亿为弦实更置。倍周去北极二十万六千里为勾,重张自乘得四百二十四亿三千六百万。以减弦实馀六千一百三十六亿六千四百万,即股实。以开方除之得股七十八万三千三百六十七里,一百五十六万六千七百三十五分里之十四万三千三百一十一。半之即得去周三十九万一千六百八十三里半,分母亦倍之得三百一十三万三千四百七十分里之十四万三千三百一十一也。

周在天中南十万三千里,故东西短中径二万六千六百三十二里有奇。
求矩中径二万六千六百三十二里有奇法:列八十一万里以周东西七十八万三千三百六十七里有奇,减之馀即矩中径之数。
臣鸾曰:求矩中径二万六千六百三十二里有奇法:列八十一万里以周东西七十八万三千三百六十七里有奇,减之馀二万六千六百三十三里。取一里破为一百五十六万六千七百三十五分,减一十四万三千三百一十一馀一百四十二万三千四百二十四,即径东西矩二万六千六百三十二里一百五十六万六千七百三十五分里之一百四十二万三千四百二十四。

周北五十万八千里,冬至日十三万五千里,冬至日道径四十七万六千里,周一百四十二万八千里。日光四极,当周东西各三十九万一千六百八十三里有奇。
此方圆之法。
此言求圆于方之法。
方圆图


万物周事而圆方用焉,大匠造制而规矩设焉。或毁方而为圆,或破圆而为方。方中为圆者,谓之圆方。圆中为方者,谓之方圆也。
七衡图

七衡图注
赵君卿曰:青图画者,天地合际,人目所远者也。天至高,地至卑,非合也,人目极观而天地合也。日入青图画内谓之日出,出青图画外谓之日入。青图画之内外皆天也。北辰正居天中之央,人所谓东西南北者,非有常处,各以日出之处为东,日中为南,日入为西,日没为北。北辰之下,六月见日,六月不见日。从春分至秋分,六月常见日。从秋分至春分,六月常不见日。见日为昼,不见日为夜。所谓一岁者,即北辰之下一书一夜。黄图画者,黄道也。二十八宿列焉,日月星辰躔焉。使青图在上,不动贯其极而转之即交矣。我之所在,北辰之南,非天地之中也。我之卯酉,非天地之卯酉内。第一夏至日道也出,第四春秋分日道也外,第七冬至日道也皆随黄道日。冬至在牵牛,春分在娄,夏至在东井,秋分在角。冬至从南而北,夏至从北而南,终而复始也。

凡为此图,以丈为尺,以尺为寸,以寸为分。分一千里凡用缯方八尺一寸,今用缯方四尺五分。分为二千里。
方为四极之图,尽七衡之意。

吕氏曰:凡四海之内,东西二万八千里,南北二万六千里。
吕氏秦相吕不韦,作《吕氏春秋》,此之义在有始。第一篇非《周髀》本文。《尔雅》云:九夷、八狄、七戎、六蛮谓之四海,言东西南北之数者,将以明车辙马迹之所至。《河图·括地象》云而有君长之州。九阻中国之文德,及而不治。又云:八极之广,东西二亿二万三千五百里,南北二亿三万三千五百里。《淮南子·地形训》云:禹使大章步,自东极至于西极。孺亥步自北极至于南极,而数皆然。或以广阔将焉可步矣。亦后学之徒,未之或知也。夫言亿者,十万曰亿也。

凡为日月运行之圆周。
春秋分,冬夏至,璿玑之运也。

七衡周,而六间以当六月节。六月为百八十二日八分日之五。
节六月者,从冬至至夏至日,百八十二日八分日之五,为半岁。六月节者,谓中气也,不尽其日也。此日周天通四分一之倍法,四以除之即得也。臣鸾曰:求七衡周,而六间以当六月节。六月为一百八十二日,八分日之五此为半岁也。列周天三百六十五日,四分日之一通分内子得一千四百六十一为实,倍分母四为八,除实得半岁一百八十二日,八分日之五也。

故日夏至在东井,极内衡日。冬至在牵牛,极外衡也。
东井、牵牛为长短之限,内外之极也。

衡复更终冬至。
冬至日从外衡还黄道一周年,复于故衡,终于冬至。

故曰一岁三百六十五日,四分日之一一岁,一内极,一外极。
从冬至一内极及一外极,度终于星月穷于。次是为一岁。

三十日十六分日之七月,一外极,一内极。
欲分一岁为十二,月一衡间当一月,此举中相去之日数。以此言之,月行二十九日九百四十分日之四百九十九,则过周天一日而与月合宿。论其入内外之极,六归粗通,未心得也。日光言内极,月光言外极。日阳从冬至起,月阴从夏至起。往来之始,《易》曰日往则月来,月往则日来。此之谓也。此数置一百八十二日八分日之五,通分内子五以六间乘分母以除之,得三十以三,约法得十六约馀得七。
臣鸾曰:求三十日十六分日之七法:列半岁一百八十二日八分日之五,通分内子得一千四百六十一为实。以六间乘分母八得四十八,除实得三十日不尽。二十一更置法:实求等,数平于三,即以约法得十六约馀得七,即是从中气相去三十日十六分日之七也。

是故一衡之间,万九千八百三十三里三分里之一,即为百步。
此数夏至冬至相去十一万九千里,以六间除之得矣。法与馀分皆半之。
臣鸾曰:求一衡之间一万九千八百三十三里三分里之一。法置冬至夏至相去十一万九千里,以六间除之,即得法与馀分半之得也。

欲知次衡径,倍而增内衡之径。
倍一衡间数,以增内衡。

二之以增内衡径。
二乘所倍一衡之间数,以增内衡径,即得三衡径,

次衡放此。
次至皆如数。

内一衡径二十三万八千里,周七十一万四千里。分为三百六十五度四分度之一度,得一千九百五十四里二百四十七步千四百六十一分步之九百三十三。
通周天四分之一为法,又以四乘衡周为实,实如法得一百步,不满法者,十之如法,得十步。不满法者,十之如法得一步。不满者,以法命之至七衡,皆如此。
臣鸾曰:求内衡度法:置夏至径二十三万八千里以三乘之,得内外衡。周七十一万四千里,以周天分母四乘内衡周得二百八十五万六千里为实。以周天分一千四百六十一为法除之,得一千九百五十四里,不尽一千二百六,即而三之为三千六百十八,以法除之得二百步不尽。六百九十六步上十之如法,而得四十步,不尽一千一百一十六复上十之如法,而一得七步,不尽九百三十三,即是一千九百五十四里二百四十七步一千四百六十一分步之九百三十三。

次二衡径二十七万七千六百六十六里二百步,周八十三万三千里。分里为度,度得二千二百八十里百八十八步千四百六十一分步之千三百三十二。
通周天四分之一为法,四乘衡周为实,实如法得里数,不满者求步数,不尽者命分。
臣鸾曰:求第二衡法列:一衡间一万九千八百三十三里少半里,倍之得三万九千六百六十六里太半里。增内衡径二十三万八千里得第二衡径二十七万七千六百六十六里二百步是三分里之二。又以三乘之,步满三百成一里,得二衡周八十三万三千里。以周天分母四乘周得三百三十三万二千为实更置。周天三百六十五度四分度之一通分,内子得一千四百六十一,为法除之得二千二百八十里,不尽九百二十。以三百乘之得二十七万六千,复以前法除之得一百八十八步,不尽一千三百三十二,即是度得二千二百八十里一百八十八步一千四百六十一分步之一千三百三十二。

次三衡径三十一万七千三百三十三里一百步,周九十五万二千里。分为度,度得二千六百六里百三十步千四百六十一分步之二百七十。
通周天四分之一为法,四乘衡周为实,实如法得里数,不满法者求步数,不尽者命分。
臣鸾曰:求第三衡法列:倍一衡间得三万九千六百六十六里三分里之二,增第二衡径二十七万七千里六百六十六里二百步即三分里之二,得第三衡径三十一万七千三百三十三里一百步。以三乘径步,步满三百成里,得周九十五万二千里。又以分母四乘周得三百八十万八千为实。以周天分一千四百六十一为法,以除实得二千六百六里,不尽六百三十四。以三百乘之,以法除之得一百三十步,不尽二百七十即是度得二千六百六里一百三十步一千四百六十一分步之二百七十。

次四衡径三十五万七千里,周一百七万一千里。分为度,度得二千九百三十二里七十一步千四百一十分步之六百六十九。
通周天四分之一为法:四乘衡周为实,实如法得里数,不满法者求步数,不尽者命分。
臣鸾曰:求第四衡法列:倍一衡间三万九千六百六十六里三分里之二,增第三衡径三十一万七千三百三十三里一百步。步满三百成里,得径三十五万七千里。以三乘之得周一百七万一千里。以分母乘之得四百二十八万四千里为实,以周天分一千四百六十一除之,得二千九百三十二里,不尽三百四十八。以三百乘之,以法除之得七十一步,不尽六百六十九,即是度得二千九百三十二里七十一步一千四百六十一分步之六百六十九。

次五衡径三十九万六千六百六十六里二百步,周一百一十九万里。分为度,度得三千二百五十八里十二步千四百六十一分步之千六十八。
通周天四分之一为法,四乘衡周为实,实如法得里数。不满法者求步数,不尽者命分。
臣鸾曰:求第五衡法列:倍第一衡间三万九千六百六十六里三分里之二,增第四衡径三十五万七千里。满三百成里,得第五衡径三十九万六千六百六十六里二百步。以三分乘径得周一百一十九万里,又以分母四乘周得四百七十六万为实。以周天分一千四百六十一为法除之,得三千二百五十八里,不尽六十二。以三百乘之,以法除之得十二步,不尽一千六十八,即是度得三千二
百五十八里十二步一千四百六十一分步之一千六十八。

次六衡径四十三万六千三百三十三里一百步,周一百三十万九千里分为度度得三千五百八十三里二百五十四步千四百六十一分步之六。
通周天四分之一为法,四乘衡周为实。实如法得一里。不满法者求步,不尽者命分。
臣鸾曰:求第六衡法列:倍第一衡间三万九千六百六十六里三分里之二,以增第五衡径三十九万六千六百六十六里一百步。又三乘径得周一百三十万九千里,又以分母四乘周得五百二十三万六千为实。以周天分一千四百六十一为法除之,得三千五百八十三里,不尽一千二百三十七。以三百乘之,以法除之得二百五十四步,不尽六即是度得三千五百八十三里二百五十四步一千四百六十一分步之六。

次七衡径四十七万六千里,周一百四十二万八千里。分为度得三千九百九里一百九十五步千四百六十一分步之四百五。
通周天四分之一为法,四乘衡周为实。实如法得里数。不满法者求步数,不尽者命分。
臣鸾曰:求第七衡法列:倍第一衡间三万九千六百六十六里三分里之二,增第六衡径四十三万六千三百三十三里一百步,得第七衡径四十七万六千里。以三乘之得周一百四十二万八千里,以分母四乘之得五百七十一万二千为实。以周天分一千四百六十一为法除之,得三千九百九里,不尽九百五十一。又以三百乘之,所得以法一千四百六十一除之,得一百九十五步,不尽四百五,即是度得三千九百九里一百九十五步一千四百六十一分步之四百五。

其次曰:冬至所北照,过北衡十六万七千里。
冬至十一月,日在牵牛,径在北方。因其在北,故言照过北衡。

为径八十一万里。
倍所照增七衡径。

周二百四十三万里。
三乘倍增七衡周。

分为三百六十五度四分度之一度,得六千六百五十二里二百九十三步千四百六十一分步之三百二十七。过此而往者,未之或知。
过八十一万里之外。

或知者,或疑其可知,或疑其难。知此言,上圣不学而知之。
上圣者,智无不至,明无不见。考灵曜曰微式出冥唯审其形,此之谓也。

故冬至日晷丈三尺五寸,夏至日晷尺六寸,冬至日晷长,夏至日晷短。日晷损益,寸差千里。故冬至夏至之日,南北游十一万九千里,四极径八十一万里,周二百四十三万里。分为度,度得六千六百五十二里二百九十三步千四百六十一分步之三百二十七。此度之相去也。
臣鸾曰:求冬至日所北照十六万七千里,并南北日光得三十三万四千里。增冬至日道径四十七万六千里,得八十一万里。三之得周二百四十三万。以周天分母四乘之,得九百七十二万里为实。以周天分一千四百六十一为法除之,得六千六百五十二里,不尽一千四百二十八。以三百乘之得四十三万八千四百,复以法除之得二百九十三步,不尽三百二十七,即是度得六千六百五十二里二百九十三步一千四百六十一分步之三百二十七。

其南北游,日六百五十一里一百八十二步一千四百六十一分步之七百九十八。
术曰:置十一万九千里为实,以半岁一百八十二日八分日之五为法。
半岁考从外衡,去内衡以为法:除相去之数,得一日所行也。

而通之。
通之者,数不合齐。以法等,得相通入,以八乘也。

得九十五万二千为实。
通十一万九千里。

所得一千四百六十一为法除之。
通百八十二日八分日之五也。

实如法得一里,不满法者三之,如法得百步。
一里三百步,当以三百乘。而言之三之者,不欲转法,便以一位为百实。故从一位命为百。

不满法者十之,如法得十步。
上下用三百乘,故此十之便。以位为十实,故从一位命为十。

不满法者十之,如法得一步。
复十之者,但以一位为实,故从一位命为一。

不满法者,以法命之。
位尽于一步,故以法命其馀,分为残步。
臣鸾曰:求南北游法置冬至十一万九千里以半岁日分母八乘之得九十五万二千,为实通半岁一百八十二日。八分日之五得一千四百六十一,以除得六百五十一里,不尽八百八十九。以三百乘之得二十六万六千七百。复以法除之得一百八十二步,不尽七百九十八,即得日南北游,日六百五十一里一百八十二步一千四百六十一分步之七百九十八。




钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百十一卷目录

 算法部汇考三
  周髀算经〈卷下〉

历法典第一百十一卷

算法部汇考三

《周髀算经》卷下

凡日月运行,四极之道。
谓外衡也,日月周行四方至外衡而还,故曰四极。

极下者,其地高人所居。六万里滂沲四隤而下。
从外衡主极,下乃高六万里四,隤而下,如覆槃。

天之中央亦高四旁,六万里。
四旁犹四极也,随地穹窿而高,如盖笠。

故日光外所照径八十一万里,周二百四十三万里。
日至外衡而还出其光十六万七千里。故曰照。

故日运行,处极北,北方日中南方夜半。日在极东,东方日中,西方夜半。日在极南,南方日中,北方夜半。日在极西,西方日中,东方夜半。凡此四方者,天地四极。四和。
子午卯酉得东西南北之中,天地所合,四时所交,故曰四和。

昼夜易处。
南方为昼,北方为夜。

加四时相及。
南方日中,北方夜半。

然其阴阳所终,冬至。所极,皆若一也。
阴阳之数齐冬夏之节,同寒暑之气,均长短之晷等。周回无差,运变不二。

天象盖笠,地法覆槃。
见乃谓之象,形乃谓之法,在上故准,盖在下故拟。槃象法,义同盖。槃形等,互文异器以别尊卑,仰象俯法名号殊矣。

天离地八万里。
然其隆高相从,其相去八万里。

冬至之日虽在外衡,常出极下,地上二万里。
天地隆高,高列外衡六万里。冬至之日虽在外衡,其相望为平地直,常出地北极下,地上二万里。言日月不相障蔽,故能扬光于昼,纳明于夜。

故日兆月。
日者阳之精,譬犹火光;月者阴之精,譬犹水光。月含影,故月光生于日之所照,魄生于日之所蔽。当日,即光盈;就日,即明尽。月禀日光而成形兆,故云日兆月也。

月光乃出,故成明月。
待日然后能舒其光,以成其明。

星辰乃得行列。
《灵宪》曰:众星被曜,因水火转光。故能成其行列。

是故秋分以往到冬至,三光之精微,以成其道还。
日从中衡往,至外衡。其径日远,以其相远,故光微。不言从冬至到春分者,俱在中衡之外,其同,可知

此天地阴阳之性自然也。
自然如此,故曰性也。

欲知北极枢,璿周四极。
极中不动,璿玑也。言北极璿玑周旋四至极,至也。

常以夏至夜半时,北极南游所极。
游在枢南之所至。

冬至夜半时,北游所极。
游在枢北之所至。

冬至日加酉之时,西游所极。
游在枢西之所至。

日加卯之时,东游所极。
游在枢东之所至。

此北极璿玑四游。
北极游常近冬至而言夏至,夜半者极见冬至,夜半极不见也。

正北极璿玑之中,正北天之中,正极之所游。
极处璿玑之中,天心之正,故曰璿玑也。

冬至日加酉之时,立八尺表以绳,系表颠希,望北极中,大星引绳致地而识之。
颠首希,仰致至也,识之者,所望大星,表首及绳至地,参相直而识之也。

又到旦明日加卯之时,复引绳希,望之首及绳致地而识其端,相去二尺三寸。
日加卯酉之时,望至地之相去子也。

故东西极二万三千里。
影寸千里,故为东西所致之里数也。

其两端相去正东西。
以绳至地所谓两端,相直为东西之正也。

中折之以指表正南北。
所识两端之中,与表为南北之正。

加此时者皆以漏揆度之,此东西南北之时。
冬至日加卯酉者,北极之正。东西日不见矣。以漏度之者,一日一夜百刻,从半夜至日中,从日中至夜半,无冬夏常,各五十刻,中分之得二十五刻,加极卯酉之时,揆亦度也。

其绳致地所识,去表丈三寸故,天之中去周十万三千里。
北极东西之时,与天中齐,故以所望表勾,为天之去周之里数。

何以知其南北极之时,以冬至夜半北游所极也。北过天中,万一千五百里。以夏至南游所极不及天中,万一千五百里。此皆以绳系表颠而希望之北极。至地所识丈一尺四寸半。故去周十二万四千五百里。过天中万一千五百里。其南极至地所识九尺一寸半,故去周九万一千五百里。其南不及天中,万一千五百里。此璿玑四极,南北过不及之法,东西南北之正勾。
以表为股,以影为勾,绳至地所亦加矩,中径二万六千六百三十二里。有奇法,列八十一万里,以周,东西七十八万三千三百六十七里。有奇,减之,馀二万六千六百三十三里。取一里破为一百五十六万六千七百三十五分,减一十四万三千三百一十一,馀一百四十二万三千四百二十四,即径东西二万六千六百三十二里一百五十六万六千七百三十五分里之一百四十二万三千四百二十四。

周去极十万三千里。日去人十六万七千里。夏至去周一万六千里。夏至日道径二十三万八千里,周七十一万四千里。春秋分,日道径三十五万七千里,周一百七万一千里。冬至,日道径四十七万六千里,周一百四十二万八千里。日光四极,八十一万里,周二百四十三万里。从周南三十万二千里。
影言正勾者,四方之影皆正而定也。

璿玑径二万三千里,周六万九千里。此阳绝阴彰,故不生万物。
春秋分谓之阴阳之中,而日光所照,适至璿玑之径,为阳绝阴彰,故万物不复生也。

其术曰:立正勾定之。
正四方之法也。

以日始出立表而识其晷,日入复识其晷,晷之两端相直者,正东西也,中折之,指表者,正南北也。极下不生万物何以知之。
以何法知之也。

冬至之日去夏至十一万九千里,万物尽死。夏至之日去北极十一万九千里。是以知极下不生万物。北极左右夏有不释之冰。
冰冻不解是以推之夏至之日外衡之下为冬矣。万物当死此日,远近为冬,夏非阴阳之气爽或疑焉。

春分秋分,日在中衡。春分以往日益北,五万九千五百里。而夏至秋分以往,日益南,五万九千五百里而冬至。
并冬至夏至相去十一万九千里。以往,日益北,近中衡以往,日益南,远中衡。

中衡去周七万五千五百里。
影七尺五寸五分。

中衡左右冬有不死之草,夏长之类。
此欲以内衡之外,外衡之内常为夏也,然其修广爽未之前闻。

此阳彰阴微,故万物不死,五谷一岁再熟。
近日阳多,农再熟。

凡北极之左右物有朝生暮获。
获疑作穫,谓葶苈荠麦,冬生之类。北极之下,从春分至秋分为昼,从秋分至春分为夜,物有朝生暮获者,亦有春刍而秋熟,然其所育皆是周地冬生之类,荠麦之属。言左右者,不在璿玑二万三千里之内也,此阳微阴彰,故无夏长之类。

立二十八宿,以周天历度之法。
以用也,列二十八宿之度用周天。

术曰倍正南方。
倍犹背也。正南方者,二极之正南北也。

以正勾定之。
正勾之法,日出入识其晷,晷两端相直者,正东西中折之,以指表正南北。

即平地径二十一步,周六十三步令其平矩以水正。
如定水之平,故曰平矩,以水正也。
则位径一百二十一尺七寸五分,因而三之,为三百
六十五尺四分尺之一。
径一百二十一尺七寸五分,周三百六十五尺二寸五分者,四分之一而。或言一百二十尺,举其全数。

以应周天三百六十五度四分度之一,审定分之,无令有纤微。
所分平地周一尺为一度二寸五分,为四分度之一,其令审定不欲使有细小之差也,纤微细分也。臣鸾曰:求一百二十一尺七寸五分,因而三之,为三百六十五度四分度之一。法列径一百二十一尺七寸五分,以三乘,得三百六十五尺二寸五分二寸五分者,即四分之一,此即周天三百六十五度四分度之一。

分度以定,则正督经纬,而四分之一合各九十一度十六分度之五。
南北为经,东西为纬。督亦通尺,周天四分之一又以四乘,分母以法除之。
臣鸾曰:求分度以定四分之一,合各九十一度十六分,度之五法列,周天三百六十五度以四分,度之一而通分,内之五法,千四百六十一为实,更以四乘分母得十六为法,除之,得九十一,不尽五,即是各九十一度十六分度之五也。

于是圆定而正。
分所圆为天度,又四分之,皆定而正。

则立表正南北之中央,以绳系颠希,望牵牛中央星之中。
引绳至经纬之交,以望之星与表绳参,相直也,

则复望须女之星先至者。
复候须女中则当以绳望之。

如复以表绳希望须女先至定中。
须女之先至者,又复如上,引绳至经纬之交,以望之。

即以一游仪希望牵牛中央,星出中正,表西几何度。
游仪亦表也,游仪移望星为正,知星出中正之表西几何度,故曰游仪。

各如游仪所至之尺为度数。
所游分圆周一尺,应天一度,故以游仪所至尺数为度。

游在于八尺之上,故知牵牛八度。
须女中而望牵牛,游在八尺之上,故牵牛为八度。

其次星,放此以尽二十八宿,度则之矣。
皆如此上法定。

立周度者。
周天之度。

各以其所先至,游仪度上。
二十八宿不以一星为体,皆以先至之星为正之度。

东辐引绳就中央之正,以为毂则正矣。
以经纬之交为毂,以圆度为辐,知一宿得几何度,则引绳如辐凑毂。为正望星定度,皆以方为正南。知二十八宿为几何度,然后环而布之也。

日所以入亦以周定之。
亦同望星之周。

欲知日之出入。
出入二十八宿东西南北面之宿,列置各应其方。立表望之知日出入何宿,从出入径几何度。

即以三百六十五度四分度之一而各置二十八宿。
以二十八宿列置地所圆周之度,使四面之宿各应其方。

以东井夜半中,牵牛之初临子之中。
东井牵牛相对之宿也,东井临午则牵牛临于子也。

东井出中正,表西三十度十六分度之七,而临未之中,牵牛初亦当临丑之中。
分周天之度为十二位,而十二辰各当其一,所应十二月从午至未三十度十六分度之七,未与丑相对,而东井牵牛之所居分之法巳陈于上矣。臣鸾曰:求东井出中正,表西三十度十六分度之七法,先通周天得一千四百六十一为实,以位法十二乘周天分母,以得四十八,为法除,实得三十度,不尽二十一,更副置法实等数平于三,约不尽二十一,得七,约法四十八,得十六,即位三十度一十六分度之七。

于是天与地协。
协合也,置东井牵牛使居丑未相对,则天之列宿与地所为圆周相应合,得之矣。

乃以置周二十八宿。
从东井牵牛所居以置十二位焉。

置以定乃复置周度之中央立正表。
置周度之中央者,经纬之交也。
以冬至夏至之日以望,日始出也,立一游仪于度上,
以望中央表之晷。
从日所出度上立一游仪皆望,中表之晷所以然者,当曜不复当日,得以觇之也。

晷参正则日所出之宿度。
游仪与中央表及晷参相直,游仪之下即所出合宿度。

日入放此。
此日出法求之。

牵牛去北极百一十五度,千六百九十五里二十一步千四百六十一分步之八百一十九。
牵牛冬至日所在之宿于外衡者,与极相去之度数。

术曰:置外衡去北极枢二十三万八千里,除璿玑万一千五百里。
北极常近牵牛为枢,过极万一千五百里,此求去极故以除之。

其不除者二十二万六千五百里以为实。
以三百乘里为步,以周天分一千四百六十一乘步,分内衡之度。以周天分为法,法有分,故以周天乘,实齐同之得九百九十二亿七千四百九十五万。

以内衡一度数千九百五十四里二百四十七步千四百六十一分步之九百三十三以为法。
如上乘内步,步为通分内子,得八亿五千六百八十万。

实如法得一度。
以八亿五千六百八十万为一度法。

不满法求里步。
上求度故以此次求里次求步。

约之合三百得一以为实。
上以三百乘里为步,而求里故以三百约馀分为里之实。

以千四百六十一分为法得一里。
里步皆以周天之分为母,求度当齐同法实等,故乘以散之,度以定当,次求故还为法。

不满法者三之如法得百步。
上以三百约之为里之实,此当以三乘之为步之实,而言之者,不欲转法更以一位为百实,故从一位命为百也。

不满法者又上十之如法得一步。
又复上之者,便以一位为一实,故从一实为一。

不满法者以法命之。
位尽于一步,故以其法命馀为残分。

次放此。
次娄与角及东井皆如此也。
臣鸾曰:求牵牛星去极法,先列衡去极枢二十三万八千里减极去枢心一万一千五百里,馀二十二万六千五百里,以三百乘里,得六千七百九十五万步,又以周天分一千四百六十一,乘之得九百九十二亿七千四百九十五万步为实。更副置内衡一度,数一千九百五十四里二百四十七步一千四百六十一分步之九百三十三,亦以三百乘。一千九百五十四里为步,内二百四十七步得五十八万六千四百四十七步,又以周天分母千四百六十一乘步内子九百三十三,得八亿五千六百八十万。为法以除实,得一百一十五度不尽。七亿四千二百九十五万去下法不用,更以三百约,馀分七亿四千二百九十五万得二百四十七万六千五百为实,更以周天分千四百六十一,除之得一千六百九十五里不尽一百五。以三百乘之得三万一千五百。复以前法除之,得二十一步不尽八百一十九,即牵牛去北极一百二十五度千六百九十五里二十一步千四百六十一分步之八百一十九。

娄与角去北极九十一度六百一十里二百六十四步千四百六十一分步之千二百九十六。
娄,春分日所在之宿也。角,秋分日所在之宿也,为中衡也。

术曰置中衡去北极枢十七万八千五百里以为实。
不言加除者,娄与角准北极,在枢两旁正与枢齐。以娄角无差故,便以去枢之数为实,如上乘里为步,步为分得七百八十二亿三千六百五十五万。

以内衡一度数为法实,如法得一度不满法者求里,步不满法者以法命之。
臣鸾曰:求娄与角去极法,列中衡去极枢十七万八千五百里,以三百乘之得五千三百五十五万步,又以周天分千四百六十一分,乘之得七百八十二亿三千六百五十五万为实。以内衡一度数千九百五十四里二百四十七步千四百六十一分步之九百三十三,亦以三百乘里内步二百四
十七,得五十八万六千四百四十七步。又以分母千四百六十一分乘之,内子得八亿五千六百八十万为法,以除实得九十一度不尽。二亿六千七百七十五万,以三百约之,得八十九万二千五百。下法不用,以周天分千四百六十一除之,得六百一十里不尽千二百九十以三百。乘之得三十八万七千。如前法除之,得二百六十四步不尽一千二百九十六。即是娄与角去极九十一度六百一十里二百六十四步千四百六十一分步之千二百九十六。

东井去北极六十六度千四百八十一里一百五十五步千四百六十一分步之千二百四十五。
东井,夏至日所在之宿,为内衡。

术曰:置内衡去北极枢十一万九千里加璿玑万一千五百里。
北极游常近东井为枢,不及极万一千五百里。此求去极,故加之。

得十三万五百里以为实。
如上乘里为步,步为分,得五百七十一亿九千八百一十五万分。

以内衡一度数为法,实如法得一度,不满法者求里。步不满者以法命之。
臣鸾曰:求东井去极法,列内衡去极枢十一万九千里加璿玑万一千五百里,得十三万五百里,以三百乘里,为步。复以分母千四百六十一乘之,得五百七十一亿九千八百一十五万为实,通分内衡一度数为步,步为分,得八亿五千六百八十万为法。以除实得六十六度不尽六亿四千九百三十五万,以三百约之,得二百一十六万四千五百。下法不用。更以周天千四百六十一为法除之,得千四百八十一里不尽七百五十九,以三百乘之得二十二万七千七百,复以周天分除之,得一百五十五步不尽一千二百四十五即是东井去北极六十六度千四百八十一里一百五十五步千四百六十一分步之一千二百四十五。

凡八节二十四气,气损益九寸九分六分分之一。冬至晷长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺六寸。问次节损益寸数长短各几何。
冬至晷长一丈三尺五寸。
小寒丈二尺五寸〈小分五〉
大寒丈一尺五寸一分〈小分四〉
立春丈五寸二分〈小分三〉
雨水九尺五寸二分〈小分二〉
启蛰八尺五寸四分〈小分一〉
春分七尺五寸五分。
清明六尺五寸五分〈小分五〉
谷雨五尺五寸六分〈小分四〉
立夏四尺五寸七分〈小分三〉
小满三尺五寸八分〈小分二〉
芒种二尺五寸九分〈小分一〉
夏至一尺六寸。
小暑二尺五寸九分〈小分一〉
大暑二尺五寸八分〈小分二〉
立秋四尺五寸七分〈小分三〉
处暑五尺五寸六分〈小分四〉
白露六尺五寸五分〈小分五〉
秋分七尺五寸五分。
寒露八尺五寸四分〈小分一〉
霜降九尺五寸三分〈小分二〉
立冬丈五寸二分〈小分三〉
小雪丈一尺五寸一分〈小分四〉
大雪丈二尺五寸〈小分五〉
凡为八节二十四气。
二至者,寒暑之极。二分者,阴阳之和。四立者,生长收藏之始。是为八节,节三气,三而八之故为二十四。

气损益九寸九分六分分之一。
损者,减也,破一分为六分,然后减之。益者,加也,以小分满六得一从分。

冬至夏至为损益之始。
冬至晷长极当反短,故为损之始。夏至晷短极当反长,故为益之始。此爽之新术。

术曰:置冬至晷,以夏至晷减之馀。为实。以十二为法。
十二者,半岁十二气也。为法者,一节益之法。

实如法得一寸,不满法者,十之。以法除之,得一分。
求分故十之也。

不满法者以法命之。
法与馀分皆半之也。旧晷之术于理未当,谓春秋分者阴阳晷等各七尺五寸五分,故中衡去周七万五千五百里。按春分之影七尺五寸七百二十三分,秋分之影七尺四寸二百六十二分,差一寸
四百六十一分。以此推之是为不等,冬至至小寒多半日之影,夏至至小暑少半日之影,芒种至夏至多二日之影,大雪至冬至多三日之影,又半岁一百八十二日八分日之五,而此用四分日之二率,故一日得七百三十分寸之四百七十六,非也。节候不正,十五日有二十二分日之七,以一日之率,十五日为一节,至令差错不通尤甚。易曰:旧井无禽,时舍也。言法三十日实当改而舍之。于是爽更为新术以一气率之,使言约法易上下相通,周而复始,以除纰缪。
臣鸾曰:求二十四气损益之法,先置冬至影长丈三尺五寸,以夏至影一尺六寸减之,馀一丈一尺九寸,上十之为实,以半岁十二为法除之,得九寸不尽十一,复上十之如法,而一得九分不尽二,与法十二皆半之,得六分之一,即是气损益法,先置冬至影长丈三尺五寸,以气损益九寸九分六分分之一,其破一分以为六分。减其馀即是小寒,影长丈二尺五寸小分五馀,悉依此法。求益法,置夏至影一尺六寸,以九寸九分六分分之一增之。小分满六从大分一即是小暑,二尺五寸九分小分。一次气仿此。
臣淳风等谨按:此术本及赵君卿注,求二十四气影,例损益九寸九分六分分之一,以为定率,检勘术注有所未通,又按《宋书·历志》所载,何承天元嘉历影,冬至一丈三尺,小寒一丈二尺四寸八分,大寒一丈一尺三寸四分,立春九尺九寸一分,雨水八尺二寸八分,启蛰六尺七寸二分,春分五尺三寸九分,清明四尺二寸五分,谷雨三尺二寸五分,立夏二尺五寸,小满一尺九寸七分,芒种一尺九寸九分,夏至一尺五寸,小暑一尺六寸九分,大暑一尺九寸七分,立秋二尺五寸,处暑三尺三寸五分,白露四尺二寸五分,秋分五尺三寸九分,寒露六尺七寸二分,霜降八尺二寸八分,立冬九尺九寸一分,小雪一丈一尺三寸四分,大雪一丈二尺四寸八分,司马《续汉志》所载四分历,影亦与此相近,至如祖冲之历,宋大明历,影与何承天虽有小差,皆是量天实数,雠校三历,足验君卿所立率虚诞,且《周髀》本文外衡下于天中六万里,而二十四气率乃足平迁,所以知者,按望影之法,日近影短,日远影长,又以高下言之,日高影短,日卑影长,夏至之日最近北,又最高,其影尺有五寸。自此以后,日行渐远,向南天体又渐向下,以及冬至,冬至之日最近,南居于外衡,日最近下,故日影一丈三尺。此当每岁差降有别,不可均为一概,设其升降之理,今此又自冬至,毕于芒种,自夏至毕于大雪,均差。每气损九寸有奇,是为天体正平无高卑之异,而日但南北均行,又无升降之殊,即无内衡高于外衡六万里自相矛楯。又按《尚书·考灵曜》所陈,格上格下里数及郑注升降远近,虽有成规,亦未臻理。实欲求至,当皆依天体高下远近修短以定差数。自霜降毕于,立春升降差多,南北差少,自雨水毕于寒露,南北差多升降差少。依此推步,乃得其实,然事涉浑仪与盖天相返。

月后天十三度十九分度之七,
月后天者,月东行也。此见日月与天俱西南游,一日一夜,天一周而月在昨宿之东,故曰后天,又曰章。岁除章月加日,周一日作率,以一日所行为一度,周天之日为天度。

术曰:置章月二百三十五,以章岁十九除之,加日行一度,得十三度十九分度之七。此月一日行之数即后天之度及分。
臣鸾曰:月后天十三度十九分度之七,法列章月二百三十五,以章岁十九除之得十二度,加日行一度,得十三度,馀十九分度之七,即月后天之度分。

小岁月不及,故舍三百五十四度万七千八百六十分度之六千六百一十二。
小岁者,十二月为一岁。一岁之月十二月则有馀,十三月复不足,而言大小岁通闰月为不及,故舍亦犹后天也。假令十一月朔旦,冬至日月俱起牵牛之初而月十二,与日会此数,月发牵牛所行之度也。

术曰:置小岁三百五十四日九百四十分,日之三百四十八。
小岁者,除经岁十九分,月之七以七乘,周天分千四百六十一得万二百二十七。以减经岁之积分。馀三十三万三千一百八。则小岁之积分也,以九百四十分除之,即得小岁之积日及分。

以月后天十三度十九分度之七乘之为实。
通分内子为二百五十四乘之者,乘小岁积分也。

又以度分母乘日分母为法,实如法得积,后天四千七百三十七度万,七千八百六十分度之六千六百一十三。
以月后天分,乘小岁积分,得八千四百六十万九千四百三十二。则积后天分也,以度分母十九乘日分母九百四十得万七千八百六十,除之即得。

以周天三百六十五度万七千八百六十分度之四千四百六十五除之。
此犹四分之一也,约之即得,当于齐同故细言之。通分内子为六百五十二万三千三百六十五。除积后天分得十二周天,即去之。

其不足除者。
不足除者不及,故舍之,六百三十二万九千五十二是也。〈寅曰:三百五十四度万七千八百六十分度之六千六百一十二以万七千八百六十除不及故舍之分得此分矣〉

此月不及,故舍之,分度数他皆放此。
次至经月皆如此。
臣鸾曰:求小岁月,不及,故舍。法列经岁三百六十五日九百四十分日之二百三十五,通分内子得三十四万三千三百三十五,是为经岁之积分以十九分,月之七以七乘,周天分一千四百六十一得万二百二十七,以减经岁积分不尽三十三万三千一百八。小岁积分也,以九百四十除之得三百五十四日不尽三百四十八,还通分内子复得本积分三十三万三千一百八,更置月后天十三度十九分度之七,通分内子得二百五十四以乘本积分得积,后天分八千四百六十万九千四百三十二为实。更列月后天分母十九以乘日分母九百四十得万七千八百六十为法,除之得积后天四千七百三十七度不尽六千六百一十二即是,得四千七百三十七度万七千八百六十分度之六千六百一十二。还通分内子得本分八千四百六十万九千四百三十二为实,更列周天三百六十五度万七千八百六十分度之四千四百六十五,即通分内子得六百五十二万三千三百六十五以除,实得十二。下法不用,馀分即不及,故舍之,分六百三十二万九千五十二。更以日月分母相乘得万七千八百六十,为法除分不及,故舍之。分六百三十二万九千五十二得三百五十四度不尽六千六百一十二,即不及,故舍三百五十四度万七千八百六十分度之六千六百一十二。

大岁月不及,故舍十八度万七千八百六十分度之万一千六百二十八。
大岁者,十三月为一岁也。

术曰:置大岁三百八十三日九百四十分日之八百四十七。
大岁者,加经岁十九分月之十二,以十二乘周天分千四百六十一得万七千五百三十二,以加经岁积分得三十六万八百六十七,则大岁之积分也,以七百四十除之,即得。

以月后天十三度十九分度之七乘之为实,又以度分母乘日分母为法,实如法得积。后天五千一百三十二度万七千八百六十分度之二千六百九十八。
以月后天分乘大岁积分得九千一百六十六万二百一十八,则积后天分也。

以周天除之。
除积后天分得十四周天即去之。

其不足除者
不足除者三十三万三千一百八是也。

此月不及,故舍之,分度数。
臣鸾曰:求大岁月不及,故舍,法列经岁三百六十五日九百四十分日之二百三十五,通分内子得经积分三十四万三千三百三十五,更以十九分月之十二乘周天分千四百六十一得一万七千五百三十二。以经岁积分加大岁积分得三十六万八百六十七为实,以九百四十除之得大岁三百八十三日九百四十分日之八百四十七。还通分内子本分三十六万八百六十七,更列月后天十三度十九分度之七,通分内子得二百五十四,以乘本分得积后天分九千一百六十六万二百一十八为实,以万七千八百六十为法,除之得积后天度五千一百三十二不尽二千六百九十八。即命分还通内子得本积后天分九千一百六十六万二百一十八为实,以周天分六百五十二万三千三百六十五为法,除实得十四周天之数馀以日月分母万七千八百六十除之得大岁,不及,故舍十八度不尽万一千六百二十八,即以命分也。

经岁月不及,故舍百三十四度万七千八百六十分度之万一百里。
经常也,即十二月十九分月之七也。

术曰:置经岁三百六十五日九百四十分日之二百三十五。
经岁者通十二月十九分月之七为二百三十五,乘周天千四百六十一得三十四万三千三百三十五,则经岁之积分,又以周天分母四乘二百三十五得九百四十为法,除之即得。

以月后天十三度十九分度之七乘之,为实又以度分母乘日分母为法,实如法得积后天四千八百八十二度万七千八百六十分度之万四千五百七十。
以月后天分乘经岁积分得八千七百二十万七千九十,则积后天之分。

以周天除之。
除积后天分得十三周天即去之。

其不足除者,
不足除者,二百四十万三千三百四十五是也。

此月不及,故舍之分度数。
臣鸾曰:求经岁月不及,故舍。法列十二月十九分月之七,通分内子得二百三十五,以乘周天分千四百六十一得三十四万三千三百三十五,即经岁分也。以日分母四乘二百三十五得九百四十为法,以除得经岁,三百六十五日不尽二百三十五,即命分还,通分内子即复本岁,分三十四万三千三百三十五更列通月,后天度分二百五十四以乘经岁分得积后大分八千七百二十万七千九十为实,更列万七千八百六十除,实得积。后天度四千八百八十二不尽万四千五百七十,即命分还,通分内子复本积后天分为实,以周天分六百五十二万三千三百六十五除实得十三周天即去之,馀分三百四十万三千三百四十五,以万七千八百六十除之,得不及,故舍百三十四度,不尽万一百五,即以命分也。

小月不及,故舍二十二度万七千八百六十分度之七千七百三十五。
小月者二十九日为一月,一月之二十九日则有馀,三十日复不足,而言大小者,通其馀分。

术曰:置小月二十九日,
小月者,减经月之积分四百九十九馀二万七千二百六十则小月之积也,以九百四十除之,即得。

以月后天十三度十九分度之七乘之为实,又以度分母乘日分母为法,实如法得积,后天三百八十七度万七千八百六十分度之万二千二百二十。
以月后天乘小月积分,得六百九十二万四千四十则积后天之分也。

以周天分除之。
除积后天分,得一周天而去之。

其不足除者,
不足除者,四十万六百七十五。

此月不及,故舍之分度数。
臣鸾曰:求小月不及,故舍法,置二十九日以九百四十乘之,得二万七千二百六十。则小月之分也。更列月后天十三度十九分度之七。通分内子得二百五十四,以乘小月分得六百九十二万四千四十为实,以万七千八百六十为法,除实得三百八十七度不尽万二千二百二十,以命分还通分内子得本实,更列周天分六百五十二万三千三百六十五除本,实得一周天不尽四十万六百七十五,即不及,故舍之。分又以万九千八百六十除,不及,故舍之,分得二十二度,不尽七千七百三十五,即以命分。

大月不及,故舍三十五度万七千八百六十分度之万四千三百三十五。
大月者三十日为一月也。

术曰置大月三十日。
大月加经积分四百四十一,得二万八千二百。则大月之积分也。以九百四十除之即得。

以月后天十三度十九分度之七乘之为实。又以度分母乘日分母为法。实如法得积。后天四百一度万七千八百六十分度之九百四十。
以月后天分乘大月,积分七百一十六万二千八百,则积后天之分也。

以周天除之。
除积后天分得一周天,即去之。

其不足除者,
不足除者六十三万九千四百三十五是也。

此月不及,故舍之分度数。
臣鸾曰:求大月不及,故舍法,置三十日以九百四十乘之,得二万八千二百。以后天分二百五十四乘之,得七百一十六万二千八百为实。以万七千八百六十为法,以除实,得四百一度不尽九百四十。即以命分还通分内子复本实,更以周天六百五十二万三千三百六十五为法,除本,实得一周。馀不足,除积六十三万九千四百三十五分。以万
七千八百六十为法,以除,实得大月不及,故舍三十五度不尽万四千三百三十五,即命分也。

经月不及,故舍二十九度万七千八百六十分度之九千四百八十一。
经常也,常月者,一月,月与日合数。

术曰:置经月二十九日九百四十分日之四百九十九。
经月者,以十九乘周天,分一千四百六十一得二万七千七百五十九,则经月之积以九百四十除之即得。

以月后天十三度十九分度之七乘之,为实,又以度分母乘日分母为法,实如法得积。后天三百九十四度万七千八百六十分度之万三千九百四十六。
以月后天分乘经月积分得七百五万七百八十六,则积后天之分。

以周天除之。
除积后天分得一周天即去之。

其不足除者,
不足除者,五十二万七千四百二十一是也。

此月不及,故舍之分度数。
臣鸾曰求经月不及,故舍法以十九乘周天分千四百六十一得二万七千七百五十九,即经月积分以九百四十除积分得经月二十九日九百四十分日之四百九十九。还通分内子得本经月积分,以后天分乘本积分,得七百五万七百八十六,即后天之积分。更以万七千八百六十除之,得积。后天三百九十四度不尽万三千九百四十六,即以命分还通分内子得本后天积分为实,以周天六百五十二万三千三百六十五除之,得一周馀分五十二万七千四百二十一,即不及,故舍之。分以一万七千八百六十除之,得经月。不及,故舍二十九度不尽九千四百八十一即以命分。

冬至昼极短,日出辰而入申。
如上日之分入何宿,法分十二辰于地。所圆之周舍相去三十度十六分度之七,子午居南北,卯酉居东西。日出入时,立一游仪以望,中央表之晷游仪之下即日出入。

阳照三,不覆九。
阳,日也;覆,犹遍也。照三者,南三辰巳午未。

东西相当,正南方。
日出入相当,不覆三辰为正南方。

夏至昼极长,日出寅而入戌,阳照九不覆三。
不覆三者,北方三辰,亥子丑。冬至日出入之三辰属昼,昼夜互见,是出入三辰分为昼夜各半明矣。《考灵曜》曰:分周天为三十六头,头有十度九十六分度之十四,长日分于寅,行二十四头入于戌,行十二头短日,分于辰行十二头,入于申行二十四头,此之谓也。

东西相当,正北方。
出入相当,不覆三,辰为北方。

日出左而入右,南北行。
圣人南面而治天下,故以东为左,西为右。日冬至从南而北,夏至从北而南,故曰南北行。

故冬至从坎,阳在子,日出巽而入坤,见日光少故曰寒。
冬至十一月,斗建子位在北方,故曰从坎,坎亦北也。阳气所始,故曰在子。巽东南,坤西南,日见少,晷阳照三,不覆九也。

夏至从离阴在午,日出艮,而入乾,见日光多,故曰暑。
夏至五月斗建午位,在南方,故曰在午,艮东北乾西北日见多,晷阳照九,不覆三也。

日月失度,而寒暑相奸。
《考灵曜》曰:在璿玑玉衡,以齐七政,璿玑未中,而星中,是急。急则日过其度,不及其宿。璿玑玉衡中,而星未中,是舒。舒则日不及其度,夜月过其宿。璿玑中而星中,是周。周则风雨时,风雨时则草木蕃盛而百谷熟。故《书》曰:急常寒若舒,常燠若急,舒不调,是失度,寒暑不时,即相奸。

往者诎,来者信也。故屈信相感。
从夏至南往,日益短,故曰诎。从冬至北来,日益长,故曰信。言来往相推,诎信相感,更衰代盛。此天之常道。《易》曰:日往则月来,月往则日来。日月相推而明生焉。寒往则暑来,暑往则寒来,寒暑相推而岁成焉。往者诎也,来者信也,诎信相感而利生焉。此之谓也。

故冬至之后,日右行。夏至之后,日左行。左者往,右者来。
冬至日出,从辰来北,故曰右行。夏至日出,从寅往南,故曰左行。

故月与日合为一月。
从合至合则为一月。
日复日为一日。从旦至旦则为一日。

日复星为一岁。
冬至日出在牵牛,从牵牛。周牵牛,则为一岁也。

外衡冬至。
日在牵牛。

内衡夏至。
日在东井。

六气复返,皆谓中气。
中气月中也,言日月往来,中气各六。《传》曰:先王之正时,履端于始,举正于中。归馀于终,谓中气也。

阴阳之数,日月之法。
谓阴阳之度数,日月之法。

十九岁为一章。
章,条也。言闰馀尽为法。章,条也。《乾象》曰:辰为岁中,以御朔之月而纳焉。朔为章中,除朔为章。月月差为闰。
臣鸾曰:岁中,除章中为章岁。求馀法置中气相去三十日十六分日之七,通分内子得四百八十七。又置从朔至朔一月之日二十九九百四十分日之四百九十九,通之得二万七千七百五十九二者,法异当同之者,以中气分母十六乘朔分得四十四万四千一百四十四,变为中气积分也,以朔分母九百四十乘中气分得四十五万七千七百八十为朔日,积分以少减多求等数平之,得一千九百四十八为法,除中气积得二百二十八即章中也。更以一千九百四十八除朔积分得二百三十五即章月也。章月与章中差七,即一章之闰。更置二百二十八以岁中十二除之,得十九为章岁也。更置章月二百三十五以章岁十九除之,得十二月十九分月之七,即一年之月也。

四章为一蔀,七十六岁。
蔀之言齐同日月之分为一蔀也。一岁之月十二月十九分月之七,通分内子得二百三十五,一岁之日三百六十五日四分日之一,通之得一千四百六十一,分母不同则子不齐,当互乘之以齐同之者,以日分母四乘月分得九百四十,即一蔀之月。以月分母十九乘日分得二万七千七百五十九,即一蔀之日。以日月分母相乘得七十六,得一蔀之岁。以一岁之月除蔀月得七十六岁,又以一岁之日除蔀日亦得七十六矣。岁月馀既终日分又尽众残齐合群数毕满,故谓之蔀。
臣鸾曰:求蔀法,列章岁十九以四乘之,得一蔀七十六岁。求一蔀之月法,十二月十九分月之七通分内子得二百三十五即月分也。更列一岁三百六十五日四分日之一,通分内子得一千四百六十一。以日分母四乘月分得九百四十,即一蔀之月。以月分母十九乘日分得二万七千七百五十九即一蔀之日。以日分母四乘月分母十九得七十六,即一蔀之岁。更以月分母十九乘蔀月九百四十得万七千八百六十为实,以十二月十九分月之七通分内子得二百三十五为法,以除实,得七十六,亦一蔀之岁也。更列一蔀之日二万七千七百五十九以分母四乘之,得十一万一千三十六为实,以周天分千四百六十一除之得一蔀之岁,七十六也。

二十蔀为一遂,遂千五百二十岁。
遂者,竟也。言五行之德,一终竟极,日月辰终也。乾凿度曰:至德之数,先立金木水火土五凡各三百四岁,五德运行日月开辟,甲子为蔀首,七十六岁次得癸卯蔀,七十六岁次壬午蔀,七十六岁次辛酉蔀,七十六岁凡三百四岁木德也,主春生。次庚子蔀七十六岁,次己卯蔀七十六岁,次戊午蔀七十六岁,次丁酉蔀七十六岁,凡三百四岁金德也,主秋成。次丙子蔀七十六岁,次乙卯蔀七十六岁,次甲午蔀七十六岁,次癸酉蔀七十六岁,凡三百四岁火德也,主夏长。次壬子蔀七十六岁,次辛卯蔀七十六岁,次庚午蔀七十六岁,次己酉蔀七十六岁,凡三百四岁,水德也,主冬藏。次戊子蔀七十六岁,次丁卯蔀七十六岁,次丙午蔀七十六岁,次乙酉蔀七十六岁,凡三百四岁,土德也,主致养。其德四,正子午卯酉而朝四时,焉凡一千五百二十岁,终一纪复甲子,故谓之遂也。求五德日,名之法。置一蔀者七十六岁,德四蔀,因而四之为三百四岁,以一岁三百六十五日四分日之一乘之为十一万一千三十六以六十,去之馀三十六。命甲子算外得庚子,金德也。求次德,加三十六,去之,命如前,则次德日也。求算蔀名,置一章岁数以周天分乘之,得二万七千七百五十九。以六十去之,馀三十九,命以甲子,算外得癸卯蔀,求蔀,加三十九满六十去之,命如前得次蔀。
臣鸾曰:求遂法:列一蔀七十六岁,以二十乘之得千五百二十岁,即以遂之岁求五德,金木水火土法,列一蔀七十六岁,以周天分千四百六十一乘之得十一万一千三十六,即以六十除之,馀三十六。命从甲子算外得庚子凡三百四岁,主秋成,金德也。加三十六,得七十二。以六十除之,馀十二,命从甲子算外得丙子凡三百四岁,火德,主夏长。次放此求蔀名,列一章十九岁以周天分一千四百六十一岁乘之,得二万七千七百五十九,以六十去之,馀三十九。命从甲子算外得癸卯蔀七十六岁复加三十九亦六十,去之馀十八,命亦起甲子算外次得壬午蔀,次放此至,甲子即止之。

三遂为一首,首四千五百六十岁。
首,始也。言日月五星终而复始也。考灵曜曰:日月首,甲子冬至日月五星俱起,牵牛初,日月若合璧,五星如联珠,青龙甲寅摄提格并四千五百六十岁,积及初妆谓首也。
臣鸾曰:求一首法,列遂一千五百二十岁三之得一首四千五百六十岁也。

七首为一极,极三万一千九百二十岁。生数皆终万物复始。
极,终也。言日月星辰弦望晦朔寒暑推移万物生育皆复始,故谓之极。
臣鸾曰:求极,先列一首四千五百六十,以七乘之得一极三万一千九百二十岁也。

天以更元作纪历。
元始作,为七纪。法天数,更始复为法述之。

何以知天三百六十五度四分度之一而日行一度,而月后天十三度十九分度之七,二十九日九百四十分日之四百九十九为一月,十二月十九分月之七为一岁。
《周髀》本文,盖人问师之辞,其欲知度之所分法,术之所生耳。

周天除之。
除积后天分,得一周,即弃之。

其不足除者,如合朔古者,包牺神农制作为历,度元之始见三光,未如其则。
三光,日月星,则法也。

日月列星,未有分度。
列星之初列,谓二十八宿也。

日主昼,月主夜,昼夜为一日。日月俱起建星。
建六星在斗上也,日月起建星谓十一月朔旦,冬至日也。为历术者,度起牵牛前五度则建星其近也。

月度疾,日度迟。
度日月所行之度也。

日月相逐于二十九日、三十日间。
言日月二十九日则未合三十日复相过。

而日行天,二十九度馀。
如九百四十分日之四百九十九。

未有定分。
未知馀分定几何也。

于是三百六十五日南极影长,明日反短。以岁终日影反长,故知之三百六十五日者三,三百六十六日者一。
影四岁而后,知差一日是为四岁,共一日故岁得四分日之一。

故知一岁三百六十五日四分日之一,岁终也。月积后天十三周又与百三十四度馀。
经数月后天之周,故度求之,馀者未知也。言欲求之也。

无虑后天十三度十九分度之七,未有定。
无虑者,粗计也,此已得月后天数而言未有者,求之意未有见故也。

于是日行天七十六周月。行天千一十六周及合于建星。
月行一月,则行过一周而与日合七十六岁九百四十周天所过,复九百四十日七十六周并之得一千一十六,为一月,后天率分尽度终复还及初也。
臣鸾曰:求于是,日行天七十六周,日行天千一十六周,及合于建星。法以九百四十周并七十六周得一千一十六周,则日月气朔合于建星。

置月行后天之数以日后天之数除之,得一十三度十九分度之七,则月一日行天之度。
以日度行率除月行率,一日得月度几何。置月行率一千一十六为实,日行率七十六为法,实如法而一法,及馀分皆四约之,与乾象同归而殊途,义等而法异也。

复置七十六岁之积月。
置章岁之月二百三十五,以四乘之,得九百四十
则蔀之积月也。

以七十六岁除之,得十二月十九分月之七,则一岁之月。
亦以四约,法除分蔀,岁除月,与章岁除章月同。

置周天度数,以十二月十九分月之七除之,得二十九日九百四十分日之四百九十九,则一月日之数。
通周天四分日之一为千四百六十一,通十二月十九分月之七为二百三十五。分母不同,则子不齐,当互乘以同齐之。以十九乘千四百六十一为二万七千七百五十九,以四乘二百三十五为九百四十,及以除之,则月与日合之数。
臣鸾曰:求日行一度法还置前一千一十六,以七十六岁除之,得十三度不尽二十八,以求等,平于四,以四约馀得七,约分得十九,是十三度十九分度之七。更列一章岁,积月二百三十五,以周天分母四乘之,即一蔀月九百四十。亦以七十六岁除之,得一岁之十二月十九分月之七,馀分及法并以四约,更通周天,得千四百六十一。复通十二月十九分月之七,得二百三十五,分母不同互乘之。以月分母十九,乘日分得二万七千七百五十九。以日分母四乘月分,得九百四十。除之二万七千七百五十九,得二十九日九百四十分日之四百九十九,而月与日合此其数也。




钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百十二卷目录

 算法部汇考四
  汉徐岳数术记遗〈数术〉
  宋谢察微算经〈大数 小数 度 量 衡 亩 九章名义 用字例义〉
  梦溪笔谈〈算法〉

历法典第一百十二卷

算法部汇考四

汉徐岳《数术记遗》数术

余以天门金虎,呼吸精泉。
《星经》云:昴者,西方白虎之宿。太白者,金之精也。太白入昴,金虎相薄,法有兵乱。周宣王时,有人采薪于郊间,歌曰:金虎入门,呼长精,吸元泉。时人莫能知其义。老君曰:太白入昴,兵其乱。徐氏,名岳东莱人,盖以汉室版荡,又谲诡见于天,将访名山,自求多福也。

羽檄星驰,郊多走马。
按:汉徵天下兵,必露檄插羽也。老君曰:天下有道,却走马以粪,天下无道,戎马生于郊也。

遂负帙游山,蹠迹志道。
蹠迹者,两足共蹑一足迹也。汉文帝河上公蹠迹为士。

备历丘岳,林壑必过。乃于太山见刘会稽,博识多闻,遍于数术。余因受业,颇稔所由。余时问曰:数有穷乎。会稽曰:吾曾游天目山中。
会稽官号,汉中人也。按《历志》:称灵帝光和中,谷城守门候太山刘洪造乾象历,又制月行迟疾阴阳历,自洪始也,方于太初四分转精密矣。洪后为会稽太守,刘洪付乾象于东莱,徐岳又授吴中书令阚泽,泽甚重焉,为注解。今案《地记》:天目山在吴兴之界。

见有隐者,世莫知其名,号曰天目先生。余亦以此意问之。先生曰:世人言三不能比两。乃云:捐闷与四维。
《艺经》云:捐闷者,周公作也。先本位以十二时相从,其文曰:周有文章,虎不如龙,豕者何为,来入兔宫。王孙出卜乃,造黄钟犬,就马厩,非类相从,羊奔蛇穴,牛入鸡笼。徐援称捐闷乃是奇两之术,发首即奇,一后乃奇两者,即为疑,更调曰大猪东行,遁虎坑兔。子欲宿入马厩,羊来入村,狗所屯。大牛何知。乘龙上蛇,往西方入猴乡,鸡鸣不止夜〈阙二字〉。其言三不能比两者,孔子所造也,布十干于其方,戊己在西南维,其文曰:火为木生,甲呼丁。夫妇义重,己随壬。贵遗则统领。辛参南丙,妻则须守乙后。火戊子,天癸就庚四维,东莱子所造也,布十二时,四维之一,其文曰:天行星纪,石随龙渊,风吹羊圈,天门地连,兔居蛇穴,马到猴边,鸡飞猪乡,鼠入虎廛,挚亦有四维之戏,与此异焉。

数不识三,妄谈知十。
三者,上中下也。十数,昴一数也。于先之意非止十等之名。将关大衍之旨事一也。

犹川人事迷其指归,乃恨司方之手爽。
司方者,指南车也。《狐疑论》称黄帝将见大隗于具茨之山。至襄城之野,川谷之山,率多斜曲。川人曰:积数之常,乃固以之,非指南车之为爽。乃指谓〈阙〉。擢司方所指者,乃为我等之西也。然则指南岂其谬也。乃行数里,川人又曰:司方所指,我等之东也。众共论之为疑,笑于时。容成子怪而问之。川人以其状白对。容成曰:在此望之具茨之山,于汝住所,复在何方。川人又曰:在我之东。容成曰:汝向言在西,今更在东,何言不常也。此非山川之移,川曲之斜,人心之惑耳。川人乃请于斜曲之中,定东西南北之术。容成曰:当竖一木为表,以索系之,表引索绕表画地为规,日初出影长则出圆规之,外向中影渐短,入规之中,候西北隅影初入规之处。则记之,乃过中影渐长,出规之外,候东北隅影初出规之处,又记之。取二记之所,即正东西也。折半以指表,则正南北也。川人志之,以为知方之术。

未识刹那之赊促,安知麻姑之桑田。
《楞伽经》云:称量长短者,积刹那数,以成日夜。刹
那量者,壮夫一弹,日指过顷遥六十四。刹那二百四。刹那名一恒,刹那三十恒,刹那名一婆罗,三十婆罗名一摩睺罗,多三十摩睺罗多子为一日一夜。其一日一夜有六百四十八万刹那,《神仙传》称麻姑谓王方平:曰自接待以来见东海为桑田向到蓬莱水乃浅于往者略半也,岂复将为陵陆乎。方平乃曰:东海行,复扬尘耳。

不辨积微之为量,钜晓百亿与大千。
《楞伽经》云:积微成一阿耨,七阿耨为一铜上尘,七铜上尘为一水上尘,七水上尘为兔毫上尘,七兔毫上尘为一羊毛上尘,七羊毛上尘为一牛毛上尘,七牛毛上尘为一向中由尘,七向中由尘成一虮,七虮成一虱,七虱成一麦,横七麦横成一指节,二十四指节为一肘,四肘为一弓,去肘五百弓为阿兰惹据若,摩竭国人一拘卢舍为五里八拘。卢舍为一由旬,一由旬计之为四十里也,及以算校之正得一十七里。何者,计二尺为一肘,四肘为一弓,弓长八尺也。计五百弓有四千尺也。八拘卢舍则有三万二千尺,除之得五千三百三十三步。以里法三百步除之,得一十七里馀二百三十三步。《华严经》云:四天下共一日月为一世界,有千世界,有一小铁围山,绕之名曰:小千世界。有一小千世界,有中铁围山,绕之名曰中千世界。有中千世界。有大铁围,山绕之名曰大千世界,此三千大千世界。之中有百亿须弥山,乃今校之世有十亿日月十亿须弥山,何者。置小千世界之中,有一千日月以一千乘之得一百万,即中千世界中日月数也。置中千世界日月之数,以一千乘之,得即大千世界日月之数也。又云四天下者,须弥山南曰:阎浮提山,北曰郁丹越山,东曰〈阙〉提山,西曰俱瞿耶尼山,其日月一日一夜照四天下,山南日中,山北夜半,山东日中,山西夜半。及以成事验之,则有疑矣,何者。按阎浮提人,在须弥山南,及至二月八月春秋分昼夜停,以漏刻度之,则昼夜各五十刻也。然则日初出时。东向视日之当我之东,即漏刻及其日,浸当我之西五十刻。其一日一夜之中绕三天下而来,所以至晓亦得五十刻也。胡以十万为亿,有百倍日月四天下等事,有所未详也。

黄帝为法数有十等,及其用也,乃有三焉。十等者,亿兆京垓秭壤沟涧正载。三等者,谓上中下也,其下数者十十变之,若言十万,曰亿。十亿,曰兆。十兆,曰京也。中数者,万万变之,若言万万曰亿;万万亿曰兆;万万兆曰京也。上数者数穷则变,若言万万曰亿;亿亿曰兆;兆兆曰京也。
《诗》云:胡取禾三百亿兮。毛注曰:万万曰亿,此即中数也。郑注云:十万曰亿,此即下数也。徐援受记云:亿亿曰兆;兆兆曰京也;此即上数也;郑注以数为多故合而言之。

从亿至载,终于大衍。
《易经》:大衍之数五十,其用四十有九。又云天一地二天三地四天五地六天七地八天九地十。天数五地数五,天数二十有五,地数三十。凡天地之数五十有五也。

下数浅短计事则不尽,上数宏廓世不可用,故其传业,惟以中数耳。余时问曰:先生之言,上数者数穷则变,既云终于大衍,大衍有限,此何得穷。先生笑曰:盖未之思耳,数之为用,言重则变,以小兼大,又加循环,循环之理岂有穷乎。
小兼大者,备加董氏三等术数,加更载为烦,故略焉。

余又问曰:为算之体,皆以积为名为复,更有他法乎。先生曰:隶首注术,乃有多种。及余遗忘,记忆数事而已。
其一积等 其一太乙 其一两仪 其一三才其一五行 其一八卦 其一九宫 其一运算其一了知 其一成数 其一把头 其一龟算其一珠算 其一计算
此等诸法,随须更位,惟有九宫守一不移位,依行色并应无穷。
从积以来至珠算,从一至于百千已上位更不变。改位依行色者,位依五行之色,北方水,色黑,数一。南方火,色赤,数二。东方木,色青,数三。西方金,色白,数四。中央土,色黄,数五。言位依行色各一位,第一用元珠,十位。第二用赤珠,百位。第三用青珠,千位。第四用白珠,万位。第五用黄珠,千万位。以白綖系黄珠,万万位,曰亿。以黄綖系黄珠,自馀诸位,唯兼之故,曰并应无穷也。

余慕其术,虑恐遗忘,故与好事后生记之云耳。积算,
今之常算者也,以竹为之,长四寸以效四时,方三分以象三才,言算法是包括天地以烛人情,数始四时,终于大衍,犹如循环,故曰今之常算是也。

太一算,太一之行,去来九道。
刻板横为九道,竖以为柱,柱上一珠,数从下始故曰去来九道也。

两仪算天气下通,地禀四时。
刻板横为五道,竖为位一位,两珠色青,下珠色黄,上珠其青珠,自上而下第一刻,主五。第二刻,主六。第三刻,主七。第四刻,主八。第五刻,主九。其黄珠自下而上第一刻,主一。第二刻,主二。第三刻,主三。第
四刻,主四而已。故曰天气下通地禀四时也。

三才算天地和同,随物变通。
刻板横为三道,上刻为天,中刻为地,下刻为人。竖为算位有三珠,青珠属天,黄珠属地,白球属人,又其三珠通行三道,若天珠在天,为九,在地,主六。在人主三,其地珠在天为八,在地主五,在人主二。人珠在天主七,在地主四,在人主一。故曰天地和同,随物变通也。况〈阙〉三元上元甲子一七四,中元甲子二八五,下元甲子三六九。随物变通也。

五行算以生兼生,生变无穷。
五行之法,水元生数一,火赤生数二,木青生数三,金白生数四,土黄生数五,今为五行,算色别九枚。以五行色数相配为算之位,假令九亿八千七百六十五万四千三百二十一者,则以白算配黄为九亿,以青算配黄为八千,以赤算配黄为七百,以元算配黄算为六十,以一黄算为五万,以一白算为四千,以一青算为三百,以一赤算为二十,以元算为一也,故曰以生兼生,生变无穷。

八卦算针刺八方,位阙从天。
算为之法位,用一针锋所指以定算位数,一从离起,指正南离为一,西南坤为二,正西兑为三,西北乾为四,正北坎为五,东北艮为六,正东震为七,东南巽为八,至九位阙即在中央竖而指天,故曰位阙从天也。

九宫算五行参数,犹如循环。
九宫者,即二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央。五行参数者,设位之法,依五行已注于上是也。

运筹算小往大来,运于指掌。
此法位别须算筹一枚,各长五寸至一筹,上各为五刻,上头一刻近一头刻之,其下四刻迭相去一寸,令去下头亦一寸,入手取四指三间,间有三节。初食指上节间为一位,第二节间为十位,第三节间为百位,至中指上节间为千位,中节间为万位,下节间为十万位,无名指上节间为百万位,中为千万位,下为亿也。它皆仿此。至算刻近头者一刻主五,其远头者一刻之别,从下而起主一、主二、主三、主四,若一二三四头,则向下于掌中,中若具五,则回取上头,向掌中,故曰:小往大来也,回游于手掌之间,故曰运于指掌也。

了知算首唯秉五,腹背两兼。
了算之法一位为一。了字其了有三曲,其下股之末,内主一外主九,下次第一曲内主二外主八,当第二曲内主三外主七,其第三曲内主四外主六。当了字之首则主五,故曰首唯秉五,腹背两兼也。

成数算春夏生养,秋收冬成。
算之法位,别须五色算一枚,其一算之象头,各以黄色为本,以生数也。馀色为首,其五行各配土为成数也,水元生数一,成数六。火赤生数二,成数七。木青生数三,成数八。金白生数四,成数九。若以首向东及南为生数,向西及北为成数,假令有九亿八千七百六十五万四千三百二十一者,则以白算首向北为九亿,以青算首向西为八千,以赤算首向北为七百,以元算首向西为六十,以黄算一枚竖为五万,以白算首向东为四千,以青算首向南为三百,以赤算首向东为二十,以元算首向南为一也。故首向东向南为生数,向西向北为成数。故云春夏生养,秋收冬成也。

把头算以身当五,目视四方。
把头之法,别须算二枚,一漫一齿者一面刻为一,其一面为二,一面为三,其一面为四也,漫者为把为犹,即当五算生齿者。为把头一目当一算故曰以身当五目视四方也。

龟算春夏秋成,遇冬则停。
为算之法,位别一龟,龟之四面为十二时以龟首指寅为一,指卯为二,指辰为三,指巳为四,指午为五,指未为六,指申为七,指酉为八,指戌为九,指亥为十,龟头指不以为数,故去遇冬则停也。

珠算控带四时,经纬三才。
刻板为三,分其上下二分,以停游珠中间一分,以定算位,位各五珠,上一珠与下四珠色别,其上别色之珠当其下四珠,珠各当一至下四珠所领故云控带四时,其珠游于三方之中,故云经纬三才也。

计数既舍,数术宜从心计。
言舍数术者,谓不用算筹宜以心计之,或问曰:今有大水不知广狭,欲不用算筹度而知之,假令于水北度之者,在水北置三表令南北相直,各相去一丈,人在中表之,北平直相望,北水岸令三相直即记,南表相望相直之处其中表人目望处亦记之,又从中相望处直望水南岸三相直,看南表相
直之处亦记之,取南表二记之处高下以等,北表点记之还从中表前望之所,北望之北表下设三相直之北,即河北岸也,又望上记三相直之处,即河北岸中间则水广狭也,或曰:今有长竿一枚,不知高下既不用筹算云,何计而知之。答曰:取竿之影,任其长短。画地记之,假令手中有三尺之物,亦竖之取杖下之影长短以量竿影得矣。或问曰:今有深坑,在上看之,可知尺数几否。答曰:以一丈极意长短,假令以一丈之杖掷著,坑中人在岸上手提之,一杖舒手,望坑中之杖遥量,知其寸数,即令一人于平地捉一丈之杖,渐令却行,以前者遥望坑中寸量之,与望坑中数等者,即得。或问曰:令甲乙,各驱羊一群,人各问多少。而甲曰:更得乙一口即加五多于甲。问各几何。答曰:甲九口,乙十一口。或问曰:甲乙各驱羊行,人问其多少。甲曰:我得乙一口即与乙等,乙曰我得甲一口则倍多于甲,问各几何。答曰:甲二,乙四。或问曰:今有鸡翁一只,直五文,鸡母一只直四文,鸡儿一文。得四只,合有钱一百文,买鸡大小一百只,问各几何。答曰:鸡翁十五只,鸡母一只,鸡儿八十四只。各大小一百只。计数多少。略举其例。或问曰:今有鸡翁一只直四文,鸡母一只直三文,鸡儿三只直一文,合有钱一百文。还买鸡大小一百只,问各几何。答曰:鸡翁八只,鸡母十四只,鸡儿七十八只,合一百只。

或问鸾曰:世人乃云算位者,算子则竖,信有之乎。鸾答之曰:依如针算,则以针锋,指八卦之位,一从离起左行周匝至巽,八位既合,及其至九无位可指,是以在中竖而指天,故曰有位合算子,竖之名也。又问鸾曰:昔有吴人赵达,用一等之法头乘尾除。其有此术乎。鸾答之曰:此乃传之失实,犹公获夔一足,丁氏穿井而获一人也。何者,按乘之法,重张其位,以上呼一置得于中,置所除之数于下,又置得于上亦三重张位,然则乘之与除法用不同,欲以一算上下当六重之身,增损为众位之实,若其神也。则藉一算之功如其凡也,理不可尔。问者又曰:若如来指为妄矣,此言何从而至。鸾答之曰:此亦传之过实也,何者积一算者盖一位用一算也。头乘尾除者欲使乘别位乘时以针锋指之,除时则用针尾撝之,故有头乘尾除之名也。
宋谢《察微算经》大数
〈大数之始也〉    十〈十个一为十〉        百〈十个十为百〉 千〈十个百为千〉〈十千为万数之成也〉 十万              百万       千万亿〈万万曰亿〉     十亿              百亿       千亿万亿          十万亿             百万亿      千万亿兆〈万万亿〉      京〈万万兆〉          垓〈万万京〉   秭〈万万垓〉

小数

〈十釐为分〉     釐〈十毫〉           毫〈十丝〉    丝〈十忽〉    忽〈十微〉〈十纤〉       纤〈十沙〉           沙〈十尘〉    尘〈埃渺〉

〈十尺〉       尺〈十寸〉           寸〈十分〉    分〈十釐〉釐           毫               丝        忽〈已上同前〉〈四丈今无定制〉   端〈五丈今亦不一〉

〈十斗〉       斗〈十升〉           升〈十合〉    合〈十勺〉〈十抄〉       抄〈十撮〉           撮〈十圭〉    圭〈六粟〉〈即一粒之粟也〉   斛〈古一石今五斗或二斗五升〉  釜〈六斗四升〉〈十六斗〉      秉〈十六斛〉

〈十六两〉      两〈二十四铢〉         铢〈十累〉    累〈十黍〉〈禾方得而有准〉   秤〈原十五斤今二十斤或三十斤〉 钧〈二秤〉〈四钧〉       引〈二百斤〉
今两之下惟用钱分,釐毫丝忽也。

〈横一步直二百四十步即阔一丈长六十丈也〉

若以自方五尺计之,积六千尺也。

〈方五尺也〉     分〈五寸〉           釐〈半寸〉    毫丝           忽               里〈三百六十步〉
计一百八十丈约人行一千步。

〈今以百亩为顷〉
顷亩者,乃积税之总也,二十四步为一分,十分为亩,亩之以下曰釐、毫、丝、忽。

〈一亩分为四角每角六十步也〉

九章名义

一曰方田〈以御田畴界域〉二曰粟布〈以御交质变易〉三曰衰分〈以御贵贱廪税〉四曰少广〈以御积幂方圆〉五曰商功〈以御功程积实〉六曰均输〈以御远近劳费〉七曰盈朒〈以御隐杂互见〉八曰方程〈以御杂揉正负〉九曰句股〈以御高深广远〉

用字例义

〈样数也〉        实〈本数也〉           因〈法之单位者又由也〉     归〈入己之数也〉〈增添也〉        减〈除少也〉           乘〈法之多位也〉        归〈先归后除合名也〉〈减少也〉        积〈乘成之数也〉         乘〈法实合变数也〉       如〈九数用此下一位也〉〈本位也〉        则〈法也〉            左〈上边大位也〉        右〈下边小位也〉〈直长也〉        横〈广阔也〉           广〈横阔也〉          阔〈横广也〉〈长也〉         面〈方面也〉           高〈立起也〉          深〈陷下也〉〈加上本数也〉      并〈二数相合也〉         截〈割断也〉          分〈拨开也〉〈初数也〉        差〈多少不同数也〉        通〈会同其数〉         变〈改换其数〉〈量度也〉        中〈算盘之中〉          进〈移上前一位〉        逢〈遇有数而言逢〉〈脊梁之上又位之左〉   下〈脊梁之下又位之右〉      挨〈随身变数也〉        退〈移下后一位〉〈短也〉         股〈长也〉            弦〈句股斜去日弦弧矢亦有弦也〉〈两隅相去又不正也〉   隅〈曲角也〉           长〈直也〉           周〈外围也〉〈相减馀也〉       廉〈方直也〉           方〈四面同数〉         径〈周中之弦〉〈盘中横梁隔木〉     列位〈各置位次〉         折半〈减去一半〉        还原〈复旧数也〉商除〈心与意商量而除之也〉 相乘〈长阔或银货等〉       自乘〈法实数自相乘〉再乘〈自乘之而又乘〉    遍乘〈先以一法遍乘诸数〉     商总〈合用商开之法于盘中〉          开方〈即自乘还原也〉       开立〈即自乘再乘之还原也〉中实〈即商总也〉      并率〈如一二三四五并得十五数也〉 得令〈斤两贯个石等类也〉           得术〈乃法首位每下该得之名〉   互乘〈如四处数目上下斜角相乘〉        相较〈如二数以少减多馀曰较〉   合得〈算数定夺〉维乘〈四处顾创相乘〉    若干〈一为数始十为数终未算难定〉 几何〈与若干相同〉

《梦溪笔谈》算法

审方面势覆量,高深远近算家谓之专术,专之文象形如绳木所用墨㪷也,求星辰之行步,气朔消长谓之缀术谓不可以,形察但以算数缀之,而已北齐祖暅有缀术二卷。算术求积尺之法,如刍萌刍童;方池冥谷堑堵鳖臑圆锥阳马之类,物形备矣,独未有隙积一术古法凡算方积之,物有立方,谓六幂,皆方者,其法再自乘则得之,有堑堵,谓如土墙,者两边杀,两头齐其法并上下广,折半以为之。广以直高乘之,又以直高为句以上广减下广馀者为股,句股,乘弦,以为斜,高有刍童,谓如覆㪷者。四面皆杀,其法倍上长加入,下长以上广乘之倍下,长加入上长以下广乘之并,二位法以高乘之六,而二隙积者谓积之有隙者,如累棋层坛及酒家积罂之类,虽似覆㪷四面皆杀,缘有刻缺及虚隙之处。用刍童法求之,常失于数少予思,而得之用刍童,法为上行下行别列下广,以上广减之,馀者以高乘之六,而一并入上行。
假令积罂最上行,纵横各二罂,最下行各十二罂行,行相次先止以上行,相次率至十二,当十一行也以刍童法求之,以上行二倍之得四,并入下长十二得十六,以上广二乘之,得三十二又倍下长得二十四,以上广二并,入共得二十六,以下广十二乘之,得三百一十二,以十六与二相乘所得之。三十二并之,共得三百四十四,以高十一乘之得三千七百八十四为实,重列下广十二以上广二减之,馀十以高十一乘之,得一百一十并入实,内共三千八百九十四以六归之,得六百四十九此为罂数也。刍童求见实方之积隙,积求见合角不尽盖出羡积也。

履亩之法方圆曲直尽矣,未有会圆之术,凡圆田既能折之,须使会之复圆古法惟以中破圆法,折之其失有及三倍者,予别为折会之术置圆田。径半之以为弦,又以半径减去所割数,馀者为股,各自乘以股,除弦馀者,开方除为句倍之为割田之直径。以所割之数自乘,退一位倍之。又以圆径除所得加入直径为割田之弧,再割亦如之,减去已割之,数则再割之数也。
假令有圆田径十步,欲割二步以半径为弦五步。自乘得二十五又以半径减去所割二步馀三步为股。自乘得九,用减弦外有十六开平方除得四步,为句,倍之为所割直径,以所割之数二步自乘为四倍之得为八,退上一倍为四尺,以圆径除今圆径十,已是盈数无可除,只用四尺加入直径为所割之弧,凡得圆径八步四尺也。再割亦依此法如圆径二十步求弧数,则当折半,乃所谓以圆径除之也。

此二类皆造微之术。古书所不到者。漫志于此。




钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百十三卷目录

 算法部汇考五
  算法统宗一〈序目 算义总 算义总一〉

历法典第一百十三卷

算法部汇考五

《算法统宗一》〈明程大位著〉序目
夫算非小技也,有熊氏命隶首创焉。周官则置保氏,教国子以六艺,而数居其一。惟是数,以俟夫算,算以成夫数,固二而一者也。藉令算为小技,何古先哲王用意勤笃如是哉。乃今隶首远矣,保氏之职废,精其理者代不数人。程汝思氏怅然有恫于衷,爰辑《算法统宗》若干卷。汝思少游吴楚,历大泽名山,老憩丘园。举平生师友之所讲,求咨询之所独得者,提纲挈要,缕析支分,著是编而迪来学傥。其中有前贤未及者,而汝思悉为阐明之。汝思谓余曰:大位悦孙武子兵家言而感其通于事理也。曰:多算胜,少算不胜。而况于无算乎。迄今畴为隶首,而吾几其徒耶。畴为保氏,而吾几其副耶。匪汝思自任所事,思之自得者耳。汝思之书,具在一寓目,而千古所谓方田以下,旁要以上,九数云者,靡不了了于胸臆间。始知汝思之称说不迂矣。余谓汝思不佞于此道,未见一斑。第尝读汉记至安定嵩真,元元理,一能自算其年寿,一能为友人算囷米,举所食著十馀转不差,圭合其术。后相授受,得其分数而失元妙焉。不佞未尝不欣慕而抱愿见之思。今观汝思,骎骎乎跂,元妙之归,无让嵩真元理,当吾世而获觏其人,一何快哉。吴继绶著。
算义总总说           河图         洛书伏羲则图作易〈四图〉   洛书释数
九宫八卦图        洛书易换数黄钟万事根本图      先贤格言算法提纲         九章名义算学节要         乘除用字释用字凡例         数〈附暗马式〉    大数  小数度 量 衡 亩      诸物轻重数钱钞名数         定算盘位次实左法右论九九八十一        九九合数九归歌          因乘论九归论          商除论加法论          减法论约分法论         通分法论异乘同除论        异乘同乘论异除同除论        开平方法论开立方法论        倍法论折半法论         定位总歌〈凡三〉直指定位诀        定法实诀归除法实〈凡四〉总诀
初学盘式图        九因〈八问〉九归〈九问〉       乘法〈八问〉
归除〈歌一十问〉     〈撞归法 起一还原法〉加法〈四问〉       减法〈三问〉
商除〈二问〉       约分〈四问〉
乘分〈一问〉       课分〈一问〉
通分〈七问〉       差分〈七问〉
异乘同除〈一图五问〉   同乘异除〈一问〉异乘同乘〈一问〉     异除同除〈一问〉同乘同除〈一问〉     倾煎论色〈六问〉
方田章第一
丈量田地总歌〈凡二〉   丈量步车图〈并制释〉
方圆定则九图        各种田形图〈凡七十一二十八问〉
方围方束图解       田亩演段根源图解方圆论说〈附图〉     方圆环总图说带分母用约分法〈六问〉  休邑科则〈凡二〉亩法论          古今折步粟布章第二
粟布〈诸数率数八问〉   官粮带耗〈三问〉盘量仓窖〈一十六问〉
各处盐场散堆量算引法〈一问〉
衡法〈二十四问〉     炼镕铜铁矿〈三问〉度法〈九问〉       就物抽分〈三问〉
衰分章第三
合率差分〈十问〉     四六差分〈五问〉二八差分〈三问〉     三七差分〈四问〉折半差分〈三问〉     递减挨次差分〈十问〉
带分母子差分〈四问〉   互和减半差分〈八问〉匿价差分〈四问〉     贵贱差分〈三问〉仙人换影〈六问〉     物不知总〈三问〉
少广章第四
开平方法         开平求廉率作法本源图方廉隅图〈五问〉     一方四廉两隅演段图〈一问〉归除开平方〈二问〉    归除平方带纵〈一问〉带纵开平方〈四问〉    长阔相和〈一问〉长阔相差〈一问〉     平圆〈三问〉
开平方通分法〈二问〉   方圆三棱图〈三图七问〉演段根源开方解〈附图〉  带纵平方图〈一问〉长阔相差求和图〈二问〉  减纵开方图〈一问〉减纵翻积图        方圆求径图〈一问〉减积带纵开平方〈又名锁方一问〉 〈附图〉大小三方总一图〈一问〉  开立方法〈四问〉立圆法〈二问〉      归除开立方法〈二问〉开立方带纵法〈三问〉   三乘方法〈一问〉开立方廉隅图〈一问〉   求米仓窖盛贮〈九问〉分田截积法〈十一图十五问〉圭田截积法〈四图四问〉梯田截积法〈二图二问〉  环田截积法〈二图二问〉圆田截积法〈一图二问〉  弧矢法〈三图三问〉
商功章第五
坚河渠濠〈四问〉     筑台〈五问〉
筑墙〈五问〉       筑方锥〈三问〉筑方圆台〈三问〉     筑堤〈一问〉
开渠〈一问附杂问七〉   堆垛〈九问〉
挑土计方〈一问〉     量木梱〈三问〉
均输章第六
问答〈凡二十七〉
盈朒章第七
盈不足〈六问〉      两盈两不足〈四问〉盈适足不足适足〈六问〉  取钱买物法〈三歌五问〉
方程章第八
二色歌〈二问〉      三色歌〈五问〉四色歌〈二问〉
句股章第九
句股名义〈一十三〉    句股论说释义求弦求股求句容方容圆等图〈二十九问〉求高求远法〈四图七问〉  难题〈附亦分列九章〉
算义总一总说

数何肇,其肇自图书乎。伏羲得之以画卦,大禹得之以序畴,列圣得之以开物成务。凡天官地员,律历兵赋,以及纤悉秒忽,莫不有数,则莫不本于易范。故今推明直指算法,辄揭《河图》《洛书》于首,见数有原本云。
河图河图

《河图》者,伏羲氏王天下,龙马负图出河,遂则其文,以画八卦。
《河图》以相生为序,故右行自北,而东而南,而中而西,复始于北。

〈天数〉一三五七九〈积二十五〉
〈地数〉二四六八十〈积三十〉
共积五十五数此所以成变化而行。

求积法曰置天一,地十并得十一,以十乘之得一百一十,折半得五十五为天地之数也。
洛书洛书

《洛书》者,禹治水时,神龟负文列于背,有数至九,禹遂因而第之,以成九畴。
《洛书》以相克为序,故右转自北,而西而南,而东而中,复始于北。

盖取龟象,故其数戴九,履一左三右七。二四为肩,六八为足。
洛书易换数

洛书释数洛书释数

洛书释数

求积法曰:并上下数,一九共十,以九乘之,得九十,折半得积四十五,为实。以三行为法,除之,得纵横斜角皆十五数也。
黄钟万事根本图

先贤格言〈改调西江月〉

智慧童蒙易晓,愚顽皓首难闻。世间六艺任纷纷,算乃人之根本。知书不知算法,如临暗室昏昏。谩同高手细评论,数彻无萦方寸。
算法提纲〈习学之法〉

一要先熟读九歌,二要诵归除歌法,三要知加减定位,四要知度量衡亩,五要知诸分母子,六要知长阔堆积,七要知盈朒互隐,八要知正负行例,九要知句股弦数,十要知开方各色。
九章名义

数学从来有九归,方田粟布易推详。衰分辨别贵和贱,少广开除圆与方。商度功税术最妙,均平输运法最良。盈朒得互须列位,方圆正负要排行。若算高深并广远,好将句股细思量。
一曰方田〈以御田畴界域〉二曰粟布〈以御交质变易〉三曰衰分〈以御贵贱廪税〉四曰少广〈以御积幂方圆〉五曰商功〈以御功程积实〉六曰均输〈以御远近劳费〉七曰盈朒〈以御隐杂互见〉八曰方程〈以御杂据正负〉九曰句股〈以御高深广远〉
算学节要

学算之人须努力,先将九数时时习。呼如下位算为先,变其身数呼求十。观其法门果何如,仔细斟量分法实。若然法实既能知,次求定位是为急。再考九归及归除,又将减法细寻绎。有能致意用工夫,算学虽深可尽识。
乘除用字释

以者,用也。置者,列也。为者,数未定也。得者,数已成也。呼者,呼唤其数也。命者,言也。首者,第一位也。尾者,末位也。身者,本位也。率者,齐数也。实者,所问之物也。法者,所求之价也。乘之者,九字相生之数也。除之者,谓九归归除商除之类。
用字凡例

〈样数也〉           实〈本数也〉           因〈法之单位者又由也〉 归〈入己之数也〉〈增添也〉           减〈除少也〉           乘〈法之多位者〉    归〈先归后除合名也〉〈减少也〉           积〈乘成之数也〉         乘〈法实合变数也〉   如〈九数用此下一位也〉〈本位也〉           则〈法也〉            左〈上边大位也〉    右〈下边小位也〉〈直长也〉           横                广〈俱阔也〉      阔〈横广也〉〈长也〉            面〈方面也〉           高〈立起也〉      深〈陷下也〉〈加上本数也〉         并〈二数相合也〉         截〈割断也〉      分〈拨开也〉〈初数也〉           差〈多少不同数也〉        通〈合同其数〉     变〈改换其数〉〈量度也〉           中〈算盘之中〉          进〈移上前一位〉    逢〈遇有数而言逢〉〈脊梁之上又位之左〉      下〈脊梁之下又位之右〉      挨〈隋身变数也〉    退〈移下后一位〉〈阔也〉            股〈长也〉            斜〈两隅相去又不正也〉 弦〈句股斜曰弦弧矢亦有弦〉              隅〈曲角也〉           长〈直也〉 周〈外围也〉〈相减馀也〉          廉〈方直也〉           方〈四面同数〉     径〈周中之弦〉〈盘中横梁隔木〉        列位〈各置位次〉         折半〈减去一半〉    还原〈复旧数也〉商除〈心与意商量而除之〉     相乘〈长阔银货等类〉       自乘〈法实数自相乘〉再乘〈自乘之而又乘〉       遍乘〈先以一法遍乘诸数〉     商总〈合用商开之法于盘中〉             开方〈即自乘还原也〉       开立〈即自乘再乘之还原也〉中实〈即商总也〉         并率〈如一二三四五并得十五数也〉 得令〈斤两贯个石等类也〉              得术〈乃法首位每下该得之名〉   互乘〈如四处数目颠倒相乘〉             相较〈如二数以少减多馀曰较〉   合得〈算数定夺〉若干〈一为数始十为数终未算难定〉 几何〈与若干相同〉
〈附暗马式〉

〔参考页面〕
右大圈,九字配合,相生而成,法也。大圈之下,小圈乃暗子马数,惟一二三,不拘横直正位数,配合得宜,不乱为式。

假如十一数作,二十二作,三十三作,四十四作,五十七作,六十九作
大数

〈数之始〉      十〈十个一为十〉 百〈十十为百〉 千〈十百为千〉〈十千为万数之成也〉 十万       百万      千万亿〈万万曰亿〉     十亿       百亿      千亿万亿          十万亿      百万亿     千万亿兆〈万万亿〉      京〈万万兆〉   垓〈万万京〉  秭〈万万垓〉穰           沟        涧       正载           极        恒河沙     阿僧秪那由他         不可思议     无量数
自京垓,以后世之罕用,姑存之。又按万万曰亿,万万亿曰兆,孟子注其丽不亿,解为十万,误也。
小数

〈十釐为分〉 釐〈十毫〉   毫〈十丝〉  丝〈十忽〉〈十微〉   微〈十纤〉   纤〈十沙〉  沙〈十尘〉尘       埃       渺      漠模糊      逡巡      须臾     瞬息弹指      刹那      六德     虚空清净
模糊以下,虽有此名,虚而无实,公私亦不用。
〈所以分别长短之法〉

〈十尺〉    尺〈十寸〉       寸〈十分〉       分〈十釐〉釐毫丝忽同前   疋〈四丈今无定则〉〈五丈今亦不一〉
〈所以分别多寡之法〉

〈十斗〉    斗〈十升〉       升〈十合〉       合〈十勺〉〈十抄〉    抄〈十撮〉       撮〈十圭〉       圭〈十粟〉〈即一粒之粟〉 斛〈古一石今五斗或二斗五升〉〈六斗四升〉  庾〈十六斗〉      秉〈十六斛〉
〈所以分别轻重之法〉

〈十六两〉   两〈二十四铢〉     铢〈十累〉       累〈十黍〉〈禾方得而有准 以上是自斤而下者,然今两之下惟用钱分釐毫丝忽,其铢累黍等俱不用。〉〈原十五斤今二十斤或三十斤〉      钧〈二秤即三十斤〉 石〈四钧〉〈二百斤 以上是自斤而上者〉
〈所以分别田阔狭远近之法〉

〈方五尺也〉  分〈五寸一尺为二分也〉 釐〈半寸一寸为二釐也〉 毫丝忽同亩〈横一步直二百四十步为一亩;每步止五尺。若以丈计即横一丈长六十丈,以尺计长横计积六千尺。〉
〈二十四步为一分,十分为一亩。分之下亦有釐毫丝忽。然上是步之分釐毫丝忽分,是步十分之一此是,亩之釐毫丝忽分是亩十分之一。〉
〈百亩为顷〉  角〈一亩分为四角每角六十步〉〈三百六十步为一里计一百八十丈约人行一千步〉
诸物轻重数〈谓长阔高,皆方一寸为则。〉

〈重十六两〉  银〈重十四两〉    玉〈重十二两〉      铅〈重九两五钱〉〈重七两五钱〉 铁〈重六两〉     青石〈重三两〉
〈按轻重数不知。所本西法比例铅次于金,而重于银与此不同。〉钱钞名数

钱钞之法谓之文,一文之上有十文,十十为百文,十百文为千,文千文为一贯,五贯为一锭。一文之下亦有分釐毫丝忽之数。
定算盘位次实左法右论

《洛书》数曰:左三右七,则右者第一之行位也,左者第二之行位也。又按《大学章句》曰:别为序次,如左则左者以后之事也,又曰:右传之某章,则右者,以前之事也。今当以初行为右,次行为左。以理而推之,法当从右实当在左,此乃不易之位也。
九九八十一

〈一遍〉 一上一  二上二  三上三  四上四
五上五  六上六  七上七  八上八九上九

〈二遍〉 一上一  二上二  三下五除二
四下五除一     五起五成一十六上一起五成一十  七上二起五成一十八退二成一十    九退一成一十

〈三遍〉 一上一  二下五除三  三上三
四起六成一十    五上五  六上六七退三成一十    八退二成一十九退一成一十

〈四遍〉 一上一  二上二  三起七成一十
四下五除一     五起五成一十六退四成一十    七退三成一十八上三起五成一十  九退一成一十

〈五遍〉 一下五除四     二起八成一十
三下五除二     四起六成一十五上五       六上一起五成一十  七上七八退二成一十    九退一成一十

〈六遍〉 一上一       二上二       三起七成一十
四下五除一     五起五成一十六上六       七退三成一十八退二成一十    九上四起五成一十

〈七遍〉 一上一       二下五除三     三上三
四退六成一十    五上五六退四成一十    七上二起五成一十八退二成一十    九退一成一十

〈八遍〉 一上一       二上二       三下五除二
四下五除一     五起五成一十六上一起五成一十  七退三成一十八退二成十     九退一成一十

〈九遍〉 一上一       二上二       三上三  四上四
五上五       六上六       七上七  八上八九退一成一十
九九合数〈乘除加减,皆呼此数,故呼小数在上,大数在下。〉

一一如一
一二如二 二二如四
一三如三 二三如六 三三如九
一四如四 二四如八 三四一十二 四四一十六
一五如五 二五得一十 三五一十五 四五得二十 五五二十五
一六如六 二六一十二 三六一十八 四六二十四 五六得三十 六六三十六
一七如七 二七一十四 三七二十一 四七二十八 五七三十五 六七四十二 七七四十九一八如八 二八一十六 三八二十四 四八三十二 五八得四十 六八四十八 七八五十六
八八六十四

一九如九 二九一十八 三九二十七 四九三十六 五九四十五 六九五十四 七九六十三
八九七十二 九九八十一
右法遇十,挨身上逢,如下位加 谓句内有十字之数,就本身之位上之,若句内有如字之数,下一位上之也。
九归歌〈呼大数在上小数在下〉

〈一归〉 一归不须归〈一者原数不必归也〉 其法故不立〈二归〉 二一添作五 逢二进一十 逢四进二十
逢六进三十 逢八进四十

〈三归〉 三一三十一 三二六十二 逢三进一十
逢六进二十 逢九进三十

〈四归〉 四一二十二 四二添作五 四三七十二
逢四进一十 逢八进二十

〈五归〉 五一倍作二 五二倍作四 五三倍作六
五四倍作八 逢五进一十

〈六归〉 六一下加四 六二三十二 六三添作五
六四六十四 六五八十二 逢六进一十

〈七归〉 七一下加三 七二下加六 七三四十二
七四五十五 七五七十一 七六八十四逢七进一十

〈八归〉 八一下加二 八二下加四 八三下加六
八四添作五 八五六十二 八六七十四八七八十六 逢八进一十

〈九归〉 九归随身下 逢九进一十
右法与九九合数相混。但记句法惟辨多数在先,少数在次,即九归之句。如八六七十四是归,六八四十八是因之类。已上句法,并后各样歌诀,皆学者所当熟记。〈按一归不须归者,为单一数言耳,若除法自两位三位以上,其法首或为一十或为一百一千则仍有逢一进一,至逢九进九之用。九归歌有法有实有得数有馀,实如云二一添作五者,则二是法,一是实,五是得数。其意是两人分一数,则各得其半,如分一两各得五钱也。又此所分不能成一整数,故不言进而。但于本位添一作五故谓之添作也。其云逢二者,二即实也,进一十者,得数也。两人分二数则各得其一也。所得既为整一,故进前一位而谓之进一。十逢二上,宜有二字,为法数。今不言者,省文也。馀仿此其云三一三十一者三为法一为实三十为得数末一字,则馀实也。其意如三人分一两,各得三钱,仍馀一钱也。此三十即本位而馀实一,则置于丁位以待再分也,馀仿此,其五归倍作云者,皆得数在本位倍之,与添作五同,其云六一下加四者,六为法,一为实,又为得数下加四者,馀实也,假如六人分一两,各得一钱,而仍馀四钱,以待再分也。因得数在本位,与实数同为一故不用添倍,即借原数为得数,而但于下位加馀实四,即得之矣。馀仿此。〉

因乘法者,单位曰因,位数多曰乘,通而言之乘也,置所有物为实,以所求价,为法皆从末位而起,如法乘之,呼九字相生之数,次第乘之,呼如须次位,言十在本身,升积谓之乘其数,虽升而位,反降矣,必须用定位之法而治之。详见于后。
九归归除法者,单位者,曰归。位数多者,曰归除。通而言之,曰归除。置所出率为实,以所求率为法,皆从实首位而起,以法之首位用归,以次之位皆用除之,故曰归。除归者,呼九归之歌,除者呼九字相生之数。次第除之,降积谓之除,其数虽降而位反升矣,须详定位诀而求之,以法为母,以实为子,实如法而一。法实相反失之千里,必须用心详玩。直指定位法实诀于后,或有畸零之不尽者,设有约分,之法而命之。商除法者,商量法实多寡而除之,古法未有归除,故用之不如归除最是捷径之法也。然开方法用之。加法者,随母留身增添谓之加,谓如正米每斗带耗七合者,留身以七合隔位加之,又如每银一两加利三钱不破本身,以三增之,故谓之加法,或用乘法而代之,如每斗加七合,就以一斗零七合乘之,得正耗之数也。
减法者,即曰定身除法约存原本之数,而除之,故谓之减。假有正耗米共九斗,只约正米八斗呼七八减去五升六合之类。又如本利银四两,每两减去三钱。只呼三三除减九钱得本银三两有零之类。或用归除而代之,如正耗米为实,就以一斗零七合为法归除之,得正米之数也。
约分法者,凡用除法多有畸零数之不尽,位数多者以法约之,则简假如九百四十分之二百三十五,以法约之得四分之一何也。曰分母九百四十分乃是四个二百三十五故谓四分之一也。去其繁而截其约之故耳。
通分法者,谓法实带有畸零之数,若不设法通之则何由而置位乎。假如畸零四分之一者,就以一分之数变作四分加入零,一分可用乘除而算之,故曰通母凡公私皆不用之。今但有畸零者,至于毫忽以五收之,以四去之,算家若不精微岂可合得数乎。异乘同除者,谓先应用除法而后用乘法者,其除法多有畸零不尽之数,则何出而用乘法乎。故变法而先用乘法然后用归除,虽有畸零数之不尽者,而可命之,故曰异乘同除。至于精奥其变通之大术矣。异乘同乘者,谓如用四,乘之又,用五乘之,再以七乘之者,就变法以四乘五得二十。再以七乘之得一百四十。就以一百四十为法乘之,以代三次相乘而数不差矣。
异除同除者,谓用四归之又用五归之,再用十二归之者,就变法以四乘五得二十再以一十二乘之得二百四十,就以二归四除以代三次除,也已上皆言算法变通之理。
开平方法者,谓如平地四面皆然也,如长十步阔十步自乘得积一百步,开者以积求方面之数也。此法别是一种有实而,无法则商约而除之,所以最难之法也。今新增归除开平方而法之便矣。
开立方法者,立者,立起之方也。如长十尺阔十尺自乘得一百尺,再以高十尺乘之得积一千尺。开者以积求立方每面之数也,有实而无法,则商约而除之,所以更难也。今新增归除开立方而法又便矣。倍法者,加一倍是也。法当用二,因而位反降矣。今变用五归而位不降矣。
折半法者,谓减去一半是也。法当用二归而位反升矣,今变用五因而位不升矣。
定位总歌

数家定位法为奇,因乘俱向下位推。加减只须认本位,归与归除上位施。法多原实逆上法,位前得令须下宜,法少原实降下数,法前得令逆上知。
又十二字诀

乘从每下得术,归从法前得令。
定位秘诀

凡定位俱从实上原首位数起,至遇法首位。〈乘则每数即斤两贯个石等类除则不拘斤两,贯个石等类。〉则止。乘从每下得术。
术者,乃法首位每下该得之名也。从实上原首位起往后顺数至法首位,每数则止于下位,得法首每该之名是钱,呼钱是石,呼石是两,呼两已。上十百千万已下釐毫合勺回向前数,则升依数呼之。

归从法前得令。
令,者斤两贯钧石等类,亦从实上原首位起,实多法少者,往后顺数至法首之数则止。转向前一位得令往前逐位升之合得。实少法多者亦从实上原首位数起往前逆数,顺至法首之数则止。再进前一位,得令回则往后降起。
直指定位诀

用因乘定位诀曰:预先以算盘上写定万千百十或顷亩石斗两钱之类,因乘完毕得数莫动,或云每亩科粮四升但以亩之下位得升,以亩变斗以十变石以百亩变十石之类是也,馀物仿此。
用归除定位诀有二条曰:预先以算盘上写定石斗或两钱顷亩步分之类。假如有米四百馀石,每银一两籴米三石,问共该银若干,法曰:置米为实,以银每两籴米三石为法除之,得数莫动,定位诀曰:此是实多法少,先从实首位起,数原实百顺下至石,遇法首位是石则止,前一位得令是两,又前一位是十两,又前一位是百两,此是逆上。
假如麦四百五十石,卖银三十二两四钱,问每石该银若干,法曰:置银为实,以麦为法,归除之得数莫动。定位诀曰:此是法多实少,先从实首位起,数原实十逆上至百遇法首位是百,则止前一位得令,是两。降下顺数至实是七分,次位即二釐也。
但用因乘法实,后定位故云乘法虽升而位反降矣。但用归除法,实前定位,故云除法虽降而位反升矣。
定法实诀

诀曰:凡因乘不必拘于法实,或以法乘实,或以实乘法,皆可也。惟归除不可颠倒错乱,详理而用之。
归除法实

假如有银若干买物若干,或几人分,或几人出以银物为实,以人分为法。
假如有银若干,买货若干问银,每两该货若干,以货为实,以总银为法。若问货价则以银为实,以货为法。假如有银若干,每货价若干,问共该买货若干,以总银为实,以货价为法。
假如有货若干,每两卖货若干,问共该银若干,以总货为实,以每两之货为法。
总诀

一曰以所有总数为实,以所求每数为法,除之。一曰有总物而又有总价,或问每物,则以物为法,以价为实。或问每价即以价为法,以物为实。馀仿此。
分别法实左右图

九因

凡二至九单位者,用此置物为实,以价为法,呼九九合数,言十就身。言如隔位从末位算起,用九归还原。
因法歌

合数九因须记熟,起手先从末位推。言十就身如隔位,若要还原用九归。
归因总歌

归从头上起,因从足下生。逢如须隔位,言十在本身。假如今有银一百二十三两四钱,每银一两籴米二石,问共该米若干。
答曰:二百四十六石八斗。
法曰:置银于左,为实,以每银籴米二石于右,为法,因之合问。定位法只认两下位〈即钱之位〉定石逆上〈即两之位〉定十石再上位〈十两之位〉定百石合得。
此所谓因乘俱向下位推,先数左首原实百位起顺下至两,遇右法首位每两二石,则止下位得术是石,回向前逐位逆数升上合得也。今列布算之法于后。


还原〈用二归法详后〉

逢二进一十 逢四进二十 逢六进三十 进八进四十
假如今有米二百三十四石五斗,每石卖银三钱。问共该银若干。
答曰:共该七十两零三钱五分。
法曰:置所有米为实,以每石银三钱为法,因之合问。
定位先数原实百起,顺下至石止。下一位得术是

钱,回向前逆数升上合得。
图缺图缺还原〈用三归法详后〉

逢六进二十 三一三十一 三一三十一 逢三进一十 三一三十一 逢六进二十
假如有人借去本银二百五十八两二钱,每年加四还利。问该利银若干。
答曰:该利一百零三两二钱八分。
法曰置本银为实,以利四钱为法,因之合问,定位同前。
图缺还原〈用四归法详后〉

四一二十二 四二添作五 四三七十二 逢四进一十 逢八进二十
假如今有谷二百四十六石九斗,每石碾米五斗。问该白米若干。
答曰一百二十三石四斗五升。
法曰:置谷为实,以每石碾米五斗为法,因之合问。
图缺还原〈用五归法详后〉

五一倍作二 五二倍作四 五三倍作六 五四倍作八 逢五进一十
假如今有杉木二万三千五百六十九根,每根价银六分。问共该银若干。
答曰:一千四百一十四两一钱四分。
法曰:置木为实,以每根价银六分为法,因之合问。
图缺还原〈用六归法详后〉

六一下加四 逢六进一十 六二三十二 六三添作五 六四六十四 六五八十二 逢六进一十
假如秋粮米二万三千四百五十七石九斗,每石科银七钱。问共该银若干。
答曰:一万六千四百二十两零五钱三分。
法曰:置粮米为实,以每石七钱为法,因之合问。
图缺还原〈用七归法详后〉

七一下加三 逢七进一十 七二下加六 逢七进一十 七三四十二 七四五十五 七五七十一 七六八十四 逢七进一十
假如今有军人一百三十四万五千六百七十九名,每名给米八斗。问共该米若干。
答曰:一百零七万六千五百四十三石二斗。
法曰:置军人为实,以每名给米八斗为法,因之合问。
图缺还原〈用八归法详后〉

八一下加二 八二下加四〈四下五除一〉 逢八进一十 八三下加六 逢八进一十 八四添作五
八五六十二 八六七十四 八七八十六 逢

八进一十
假如湿谷一千二百三十四石五斗六升七合九勺,每石晒得乾谷九斗。问该乾谷若干。
答曰:一千一百一十一石一斗一升一合一勺一抄。法曰:置湿谷为实,以晒乾九斗为法,因之合问。
图缺还原〈用九归法详后〉
九一下加一 九二下加二 九三下加三 九四

下加四 九五下加五 九六下加六 九七下加七 九八下加八 逢九进一十
九归

凡二至九单位者,用此置物为实,以价或分物者为法,呼九归之歌或进或倍,从实首位算起,用因法还原。
歌曰

九归之法乃分平,凑数从来有现成。数若有多归作十,归如不尽搭添行。
又歌

学者如何算九归,先从实上左头推。逢进起身须进上,下加次位以施为。
假如今有米四百八十六石二斗,每银一两籴米二石。问共该银若干。
答曰:二百四十三两一钱。
法曰:置总米数为实,以每两籴米二石为法,归之合问。定位法只认石上前一位,〈即十之位〉定两逆上,〈即百之位〉定十两再升,上一位定百两合得。
此所谓归与归除上位施 先数,原实百起,顺下至石遇法首位是每两二石,则止转向前一位得令是两逐,位逆数升上合得也今列布算于后。
图缺还原〈用二因〉

一二如二 二三如六 二四如八 二二如四假如今有银八百三十五两八钱,每银三两籴米一石。问该米若干。
答曰:二百七十八石六斗。
法曰:置总银为实,以每石银三两为法,归之合问。定位法只认两,前一位是石,逆上依次,升之合得。
图缺还原〈用三因〉

三六一十八 三八二十四 三七二十一 二三如六
假如今有苧麻七百三十五斤,每苧四斤卖银一钱。问该银若干。
答曰:一十八两三钱七分五釐。
法曰:置总苧麻为实,以每钱卖苧麻四斤为法归之合问。定位法只认斤前一位定钱依次逆升合得。
图缺还原〈用四因〉

四五得二十 四七二十八 三四一十二 四八三十二 一四如四
假如今有银一百二十三两四钱五分,每银五两换金一两。问该金若干。
答曰:二十四两六钱九分。
法曰:置总银为实,以每银五两为法,归之合问。定位法只认银两,上前一位是金,两数逆升合得。
图缺还原〈用五因〉

五九四十五 五六得三十 四五得二十 二五得一十
假如今有米二十石,五万人分之。问每人该米若干。答曰:四勺。
法曰:置米为实,以人五万为法,归之合问。定位法多实少,先从实首原位数起逆上,至遇法首位是万则止,向前一位得令,是石也,顺数降一合得。
图缺还原〈用五因〉

四五得二十
假如今有银二百六十五两三钱二分,作六人分之。问每人该银若干。
答曰:四十四两二钱二分。
法曰:置银为实,以六人为法归之合问。定位法从原实数百降下,次位几十,又次位几人,遇法是人则止,前一位得令是两,逆上升之合得。
图缺还原〈用六因〉

二六一十二 二六一十二 四六二十四 四六二十四
假如今有银七十两,籴大麦七百五十五石一斗六升。问每银一两该麦若干。
答曰:一十石零七斗八升八合。
法曰:置麦为实,以总银七十为法归之合问。定位同前。
图缺还原〈用七因〉

七八五十六 七八五十六 七七四十九 一七如七
假如今有银九十八两九钱二分,买羊八十只。问每只该银若干。
答曰:一两二钱三分六釐五毫。
法曰:置银为实,以羊八十为法,归之合问。
图缺还原〈用八因〉

五八得四十 六八四十八 三八二十四 二八一十六 一八如八
假如今有银二百六十五两三钱二分,买椒每斤价银九分。问共该椒若干。
答曰:二千九百四十八斤。
法曰:置总银为实,以每斤椒价九分为法,归之合问。
图缺还原〈用九因〉

八九七十二 四九三十六 九九八十一 二九一十八




钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百十四卷目录

 算法部汇考六
  算法统宗二〈算义总二〉

历法典第一百十四卷

算法部汇考六

《算法统宗二》算义总二乘法〈留头乘〉

按:因与乘一也。单位者,谓之因。位数多者,谓之乘。特以此而异其名耳。
原有破头乘,掉尾乘,隔位乘,总不如留头乘之妙,故皆不录。
歌曰

下乘之法此为真,起手先将得二因。三四五来乘遍了,却将本位破其身。
用留头乘法,若依盘式小九数位次先后不一,难以挨次。今将暗马数以别先后,庶不乱矣。〈暗马式附前,用字凡例中。〉假如今有布四百二十五疋,每疋价银二钱五分。问共该银若干。
答曰:一百零六两二钱五分。
法曰:置布为实。以每疋价银二钱五分为法,乘之合问。定位法只认疋下一位,定钱依次逆数,升上合得也,此所谓因乘俱向下位推。
图缺还原〈用归除法详后〉

二一添作五〈无除〉 起一下还二 四五除二十逢四进二十 二五除一十 二一添作五 五五除二十五
假如今有豆二十八石六斗,每斗价银三分四釐五毫。问共该银若干。
答曰:九两八钱六分七釐。
法曰:置豆为实,以每斗三分四釐五毫为法,乘之合问,定位同前。
图缺还原〈用归除法详后〉

逢六进二十 二四如除八 二五除一十 三二六十二 逢六进二十 四八除三十二 五八除四十 三二六十二 四六除二十四 五六除三十
假如今有银三十五两八钱,每银一两籴米二石四斗六升八合。问该米若干。
答曰:八十八石三斗五升四合四勺。
法曰:置总银为实,以每两籴米数为法,乘之合问。定位同前。
图缺还原〈用归除法详后〉

逢六进三十 三四除一十二 三六除一十八三八除二十四 二一添作五 四五除二十 五六除三十 五八除四十 二一添作五 逢六进三十 四八除三十二 六八除四十八 八八除六十四
假如今有米三百四十五石,每石价银四钱,外牙用三釐。问该银若干。
答曰:一百三十九两零三分五釐。
法曰:置总米为实,以每石价并牙用共四钱零三釐为法,乘之合问。定位同前。
图缺还原〈用归除法详后〉

四一二十二 逢四进一十 三三如除九 四一二十二 逢八进二十 三四除一十二 四二添作五 三五除一十五
假如今有田二千三百四十五亩,每亩科粮一斗八升七合。问该粮米若干。
答曰:四百三十八石五斗一升五合。
法曰:置总田为实,以每亩科米一斗八升七合为法,乘之合问。
图缺还原〈用归除法详后〉

逢二进二十 二八除一十六 二七除一十四逢三进三十 三八除二十四 三七除二十一逢四进四十 四八除三十二 四七除二十八逢五进五十 五八除四十  五七除三十五假如今有直田长三十六步三分,阔七步四分。问该田积若干。
答曰:二百六十八步六分二釐。
法曰:置长为实,以阔七步四分为法,乘之合问。定位法只认步下一位是法首步,数逆上合得也。
图缺还原〈用归除法详后〉

七二下加六 逢七进一十 三四除一十二 七四五十五 逢七进一十 四六除二十四 七二下加六 逢七进一十 三四除一十二
假如今有田长七十五步,阔三十二步。问该积步若干。
答曰:二千四百步。
法曰:置长为实,以阔为法,乘之合问。定位法只认原实步下一位,定法首位十逆升合得。
图缺
假如今有方田长阔各一百二十六步。问该积步若干。
答曰:一万五千八百七十六步。
法曰:置方面一百二十六步为实,亦置一百二十六步为法,即自乘之合问。
图缺还原〈用归除法详后〉

逢一进一十 一二如除二  一六如除六  逢二进二十   二二如除四  二六除一十二 逢六进六     二六除一十二 六六除三十六
归除

凡二至九位数多者,用此。置物为实,以价或分者为法,先将法首对实首,呼九归歌,或进或倍后将法次位对所归数,呼九九数除之,用乘法还原。
歌曰

惟有归除法更奇,〈算学中惟归除最妙〉将身归了次除之〈先将本位呼归法,归之其次不拘几位俱呼小九数除之。〉有归若是无除数〈若本位有子可归,次位无子可除也。〉起一还将原数施〈如一归本位起,一下位还一,如二归本位起,一下位还二,馀仿此。〉或遇本归归不得{{Annotation|如一归只一子,二归只二子,因下位无子,可除,故不能归也。馀仿此。}}撞归之法莫教迟〈如一归见一,无除加八,撞凑作九下位加一,如撞归讫,除数不足,照前用起一还原法。〉若人识得其中意〈如学者,晓得归除中间之理,深奥也。〉算学虽深可尽知〈云算者,用心习学,可以尽识者矣。〉
撞归法

〈一归〉见一〈原实〉无除作九〈得数〉〈馀数后仿此〉〈二归〉见二无除作九二 〈三归〉见三无除作九三〈四归〉见四无除作九四 〈五归〉见五无除作九五〈六归〉见六无除作九六 〈七归〉见七无除作九七〈八归〉见八无除作九八 〈九归〉见九无除作九九已有归而无除用起一还原法〈即是起一还将原数施也〉〈一归〉起一〈得数〉下还一〈原实〉〈本位起一下位还一,若二归起一则下位还二,馀仿此。〉〈二归〉起一下还二  〈三归〉起一下还三
〈四归〉起一下还四  〈五归〉起一下还五
〈六归〉起一下还六  〈七归〉起一下还七
〈八归〉起一下还八  〈九归〉起一下还九
撞归者,有归而无除之谓也,予以法实盈亏进退之理推之,盈则有归,照法首之数进于上位,成十亏则无除,起一退于下位,照法首之数还原。先哲有云:见一无除作九,一之类,此正谓有归无除之秘法,知此可与论制算纂法之深奥矣。
假如今有银二百四十三两,籴米每斗价银五分四釐。问共该米若干。
答曰:四百五十石。
法曰:置总银为实,以每斗价五分四釐为法,归除之合问。定位法只认实上原首位起往后顺数至分。遇法首位是每斗三分则止,前一位得令是斗,逆数升上合得后仿此。
图缺还原〈用乘法〉

四五得二十 五五二十五 四四一十六 四五得二十
假如今有银二百六十五两三钱二分,作十二人分之。问每人该银若干。
答曰:二十二两一钱一分。
法曰:置银为实以十二人为法,归除之合问。定位与前归法同。
图缺还原〈用乘法〉

一二如二 一一如一 一二如二 一一如一二二如四 一二如二 二二如四 一二如二假如今有米一百二十九石九斗六升,作一十九人分之。问每人该米若干。
答曰:六石八斗四升。
法曰:置米为实,以一十九人为法,除之合问。
图缺还原〈用乘法〉

四九三十六 一四如四 八九七十二 一八如八 六九五十四 一六如六
假如今有银二十六两六钱,买猪二十八只。问每只该银若干。
答曰:九钱五分。
法曰:置银为实,以猪二十八只为法。除之合问。
图缺还原〈用乘法〉

五八得四十 二五得一十 八九七十二 二九一十八
假如今有金二两八钱三分五釐,作四百零五人分之。问每人该金若干。
答曰:七釐。
法曰:置金为实,以人数为法,除之合问。定位法多实少,先从原实首位起往前逐位逆,数升上至呼遇法首位百则止,向前一位得令,是两。降下合得。
图缺还原〈用乘法〉

五七三十五 四七二十八
假如今有米二十二石五斗二升,作五千六百三十人分。问每人该米若干。
答曰:四合。
法曰:置米为实,以人数为法,除之合问。定位法多实少同前。
图缺还原〈用乘法〉

四六二十四 三四一十二 四五得二十
假如今有银一千零九十七两二钱五分,作五百七十人分之。问每人该银若干。
答曰:一两九钱二分五釐。
法曰:置银为实,以人数为法,除之合问,定位法先数原实千顺下至法首百前,位定两合得。
图缺还原〈用乘法〉

五七三十五 五五二十五 二七一十四 二五得一十 七九六十三 五九四十五 一七如七
一五如五

假如今有银四钱八分,每银七分五釐换赤金一分。问该金若干。
答曰:六分四釐。
法曰:置总银为实,以七分五釐为法,除之合问。
图缺还原〈用乘法〉

四五得二十 四七二十八 五六得三十 六七四十二
假如今有钱五千六百四十文,买梨一万六千九百二十枚。问每钱一文买梨若干。
答曰:三枚。
法曰:置梨为实,以钱数为法除之合问。
图缺还原〈用乘法〉

三六一十八 三四一十二 三五一十五
假如今有银五万五千三百八十五两,作一千零七人分之。问每人该银若干。
答曰:五十五两。
法曰:置银为实,以人数为法,除之合问。
图缺还原〈隔二位乘〉
五七三十五 一五如五 五七三十五 一五如

加法

凡乘法首位有一数者用此,置所有物为实,以所求价为法,加之。然加法不用首位一数,只以次位馀数加之,言十就身,加十言如次位加,如亦从末位算起用减法还原。
歌曰

加法仍从下位先,如因位数或多焉。十归本位零居次,一外添加法更元。
假如今有珍珠二百六十八颗,每颗价银一两一钱。问该银若干。
答曰:二百九十四两八钱。
法曰:置珠为实,以每颗价除价首一两,只以次价一钱为法从末位加起,次第而上。定位只认颗本位,定两十颗上,定十两百颗,上定百两。所谓加减只须认本位也馀仿此。
图缺还原〈用减法即定身除也〉

一二减去二〈九去二存七〉 一六减去六〈除六下还四〉 一八减去八〈恰尽〉
假如今有绢九丈八尺,每尺价一钱三分五釐。问共该银若干。
答曰:一十三两二钱三分。
法曰:置绢为实,以每尺除价首一钱只以三分五釐为法,加之,定位只认尺本位,定钱丈上定两,十丈定十两,合得。
图缺
假如今有罗二百四十六疋,每疋价银一两二钱七分五釐。问该银若干。
答曰:三百一十三两六钱五分。
法曰:置罗为实,以每疋除价首一两只以二钱七分五釐为法,加之。定位只认疋位上定两依次逆升合得。
六七加四十二 五六加三十 二六加一十二四七加二十八 四五加二十 二四如加八 二七加一十四 二五加一十 二二如加四
假如今有米四万六千七百五十一石,每石加耗七升。问共该米若干。
答曰:正耗共该五万零零二十三石五斗七升。法曰:置正米为实,以耗米七升为法,隔位加之合问。一七加七〈先从石上起,呼于隔位升上。〉 五七加三十五〈石上加三斗下位加五〉 七七加四十九〈十位加四,下位加九,九退一,成一十。〉 六七加四十二〈百位加四,四下五,除一下位加二,二起八成一十。〉 四七加二十八〈千位加二下位加八〉
按因乘加三法,其名虽殊而理则一,但加法须记实位,不动本身学者宜当详审不致差误也。
减法

凡归除遇法首位有一数者用此,所谓定身除者,先定本身之位,而后减除也。置所有物为实,以所求价为法,与身数相呼,九九之数,言十就身,言如隔位次第如法减而除之。〈先从实首位起,用加法还原〉定位法因实位本身减去,而无逢进比归除而降一位。今将法首一数除而不用,亦可以抵逢进升位也。
歌曰

减法须知先定身,得其身数始为真。法中有一何曾用,身外除零妙入神。
假如今有银二百九十四两八钱,买绢每疋价银一两一钱。问该绢若干。
答曰:二百六十八疋。
法曰:置总银为实,以每疋除价首一两不用,只以次位一钱为法,定身减而除之合问。定位此是求总之法,数原实顺下至钱则止,前一位是疋也,逆数升上合得。
图缺
假如今有米一千零三十八石,作一百七十三人分之。问每人该米若干。
答曰:六石。
法曰:置米为实,以人数除首位百不用,只以七十三人为法,定身除之合问。定位此是求零之法,先数原实起顺下至遇法首十数则止,前一位得令,是石也。
图缺
假如今有金八十九两三钱八分,令金户一百零九人办纳。问每人各该若干。
答曰:八钱二分。
法曰:置金为实,以金户除百不用只以九人为法,隔位定身除之合问。
图缺求一乘除法

按古有之,大位因考其法,用倍折之,繁难不如归除之简易,故今于此而废之,使学者专心于乘除加减之法,而无他岐之惑焉。
商除

商除者,商量而除之也。如定商太过,则总数不足,而无除如定商不及,则总数有馀务要酌量彀除方,可然此一术亦兼归除,归除既通,不必学此,但开方之法必用商除,演此而为梯阶,其法不可废也。
歌曰

数中有术。号商除,商总分排两位推,惟有开方,须用此续商,不尽命其馀。
假如今有军士六百名,分粮三百九十四石二斗。问每名该若干。
答曰:六斗五升七合。
法曰:置粮米于盘中为实,以军士六百名于右为法,商除之初商六十于左位,就以左右相呼,六六除实三百六十石,馀实三十四石二斗次商五升于左位。六斗之次就以次商五升对,右六相呼,五六除实三十石,馀实四石二斗,再商七合于左位五升之下,就以左七对右六相呼,六七除实四斗二升,恰尽。今列布算式于后。
商除式样

学者但看初商,即看初除,又看次商,又看次除,复看再商。复看再除,挨次位数则不乱矣。
图缺
假如今有芝麻六十七石,榨得油三千零一十五斤。问每石该油若干。
答曰:四十五斤。
法曰:置油数于盘中为实,以麻六十七石于右为商,除法初商四十斤于左,就以左右相呼,四六除实二千四百,又呼四七除二百八十斤馀实三百三十五斤,次商五斤于初商四十之下位,就以五斤对右六相呼,五六除,三百又呼五七,除三十五斤,恰尽合得。
约分法

约以分子通以分母也,法曰可半者,半之不可,半者以少减多,更相减损。求其有等,以等约之,若数如四分两之一者二。钱五分也,此为有尽,若数如三分两之一者三钱三分三釐三毫有零也。此所谓不尽必须约分之法。
解曰:约分者,谓用除法,多有畸零数之不尽,带有几千百分者以约去其繁,而就其简也,或有不可约者。

法曰:数多为母,数少为子,子母之数两列互相减损,至同就以此数为法,各以法除子母,原数却无畸零。所谓齐不齐而致其齐也,如人分银以至数之不能尽者,亦有物之不可分者,不能呼数,必以法而约之。
歌曰

数有参差不可齐,须凭约法命分之,法为分母实为子,不与差分一例推。
又歌

约分须分子母名,更相减损至同成。就把其同为法则,除来各数自无零。
假如今有物九十八,除了四十二。问约得若干。答曰:七分之三。法曰:数多为母,数少为子,置母九十八内减去二个四十二,馀一十四,另置子四十二减去二个一十四亦馀一十四,谓之子母相同,就以十四为法,除母九十八,是七个一十四,另以十四为法,除子四十二是三个一十四,故曰七分中除三。馀仿此。
假如今有二十一分之一十四。问约得若干。
答曰:三分之二。
法曰:置母二十一,减去子一十四,馀七另置子一十四减去七,亦馀七。就以七为法,除母二十一,得三,又以法七,除子一十四,得二合问。
假如今有丝二百五十二斤,卖过一百四十四斤。问约得若干。
答曰:七分斤之四。
法曰:置母二百五十二,减去子一百四十四,馀母一百零八,反将原子一百四十四减去馀母一百零八馀子三十六,又将馀母一百零八减去馀子二个三十六馀母亦三十六,为之更相减损,就以母子同数。为法以除原母原子各得分数。
假如今有鸭七十二只,生子六十三个。问约得若干。答曰:八分个之七。〈即是八只鸭生七个子也。〉
法曰:列子母数更相减损,置母七十二减去子六十三,馀母九。反将子六十三内减去六个馀母九子亦馀九,就以九为法除原母七十二得八个九,又以法九除原子六十三得七个九,故命之曰八分之七也。
乘分

假如今有一百九十人,支银一两十九分两之一。问该银若干。
答曰:二百两。
法曰:置银一两,以分母十九通之,加分子一,共得二十,又以人一百九十乘得三千八百,为实,却以支银一两以分母十九通之,得十九两为法,除之合问。
解题曰十九分两之一,每人即一两零五分二釐六毫有零。
课分。

假如今有布二疋九分疋之五,用过一疋六分疋之一。问尚馀若干。
答曰:馀一疋又十八分疋之七。
法曰:置用过布一疋以分母六通之,加分子一共得七,又以原布分母九通之,得六十三。另置原布二疋以分母九通之,加分子五,共得二十三疋。又以用过布分母六通之,得一百三十八,内减去前六十三馀七十五为实,以两分母九六相乘得五十四为法,除之得一疋馀实二十一,法实皆三约之合问。
通分

通分者,通以分母约以分子也。夫数之有尽者,不必通也,若畸零之不尽者,使不通之则何以置位而算之乎。此通分之法所由立也,假如四分两之一者则二钱五分也,此所谓数之有尽者也,若三分两之一者三钱三分三釐以至于三三之无穷,此所谓数之不尽者也,必须以分通之,乃可算也。不然则畸零之不尽终无可置位矣。
假如今有布四十五疋,每疋价三分两之二。问共该银若干。
答曰:三十两。
法曰:置布四十五疋,以分之二,因之得九十两为实却以分母三为法,归之合问。
解题曰:三分两之二即每疋六钱六分六釐而不能尽,故用约分之法也。

假如今有米三分石之二,每斗价银七分二釐。问共该银若干。
答曰:四钱八分。
法曰:置银七分二釐,以每石十斗因之,得七钱二分。又以分子之二因之,得一两四钱四分为实,却以分母三为法归之合问。〈按此法即异乘同除也。〉
假如今有商夥论本分物,俱得八分之七,至银百两。问该若干。
答曰:八十七两五钱。
法曰:置银一百两以子之七因之,如故仍以分母八为法归之合得。
假如今有罗六十六疋九分疋之六,每疋价二两五钱。问该银若干。
答曰:一百六十六两六钱三分钱之二。
法曰:置六十六疋以分母九通之,得五百九十四,加分子六共六百,以二两五钱因之,得一千五百,以分母九为法归之,得一百六十六两六钱三分钱之二。假如今有米六分石之二,每斗价四分钱之三。问该银若干。
答曰:二钱五分。
法曰:置分子石之二钱之三因之,得六两为实,以分母六分四分相乘得二十四两,为法除之得二钱五分合问。〈按此法即异乘同除也。〉假如今有缎四十五疋,每疋价四两三分两之二。问该银若干。
答曰:二百一十两。
法曰:置每疋价四两,以分母三两因之,得一十二两。加入分子二两,共得一十四两,以乘总缎四十五,得六百三十两,为实,以分母三两为法,除之合问。假如今有豆九石六斗六分斗之四,每石价银二钱三分钱之一。问该银若干。
答曰:二两二钱五分九分钱之五。
法曰:先置每石价二钱以分母三因之,得六,加纳子之一共得七钱,另置豆九石六斗以分母六因之,得五七六加纳子之四,共得五十八以七钱因之,得四十两零六钱为实,却以分母六分三分相因,得一十八为法,除之不尽之数,一法实皆折半而命之。
差分〈衰分意同〉

差分之法,并来分须要分数一分成,将此一分为之实以乘各数自均平。
假如今有东西二邻共织丝绢,东邻四斤六两,西邻三斤二两,共丝七斤八两,织绢二十一丈八尺。问各该若干。
答曰:东邻一十二丈七尺一寸六分六釐,西邻九丈零八寸三分三釐。
法曰:置总绢二十一丈八尺为实,以共丝七斤八两。先将八两变化为五,就以七斤五为法,除之得二丈九尺,零六分六釐六毫六丝为法,另以东西各丝斤数不动,将两减六,东六两变作三七五,西二两变作一二五,并原斤为实乘之合问。
假如今有元亨利贞四人合本经营,元出本银二十两,亨出本银三十两,利出本银四十两,贞出本银五十两,共本一百四十两,至年终共得利银七十两。问各该利银若干。
答曰:元该利一十两,亨该利一十五两,利该利二十两,贞该利二十五两。
法曰:置利银七十两为实,以四人共本一百四十两为法,除之得五钱为每两之利,就以此为法以乘各人原本合问。
假如今有甲乙丙三人合夥同商,因各人本银不齐,前后付出。甲于正月付出本七十两,乙于四月付出本八十两,丙于七月付出本九十两,三人共本二百四十两,至年终得利七十两。问各该利银若干。答曰:甲该利二十八两,乙该利二十四两。丙该利一十八两。
法曰:置利银七十两为实,另置甲本七十两以十二个月通之得八百四十两,又置乙本八十两,以九个月通之得七百二十两,再置丙本九十两以六个月通之,得五百四十两。三共并得二千一百两为法除实得三钱三分三釐三毫三丝,此乃是每月每两之利也。就以此又为法以乘,甲通八百四十月得利二十八两,又乘乙通七百二十月得利二十四两,再乘丙通五百四十两得利一十八两合问。
此是差分乘而相并除,而又乘之法也。

假如今有人借去银二百六十两,每年加三起息,今有十个月二十四日。问该利银若干。
答曰:七十两零二钱。
法曰:先将二十四日用三归,得八数在十月,隔空一位之下,再以十二月除之,得九数。如年以乘原本得二百三十四两为实,以每年加三为法,因之合问。
解曰:凡算年月日期即与两求斤法减六同理。每斤一十六两减六,只作一数。每年十二月每月三十日,故先用三归,如月并月后用十二除月,如年以乘各人原本合得馀皆仿此。图式具左。
定盘算日月为年式。
图缺
假如今有赵钱孙李四人同商,前后付出本银赵一于甲子年正月初九日付出本银三十两,钱二于乙丑年四月十五日付出本银五十两,孙三于丙寅年八月十八日付出本银七十两,李四于丁卯年十月二十七日付出本银九十两,四共得本银二百四十两,至戊长年终共得利银一百二十两。问各该得利银若干。
答曰:赵一该得利二十九两五钱五分。○○一丝,钱二该得利三十六两七钱一分一釐,孙三该得利三十二两八钱○○三毫,李四该得利二十两零九钱三分七釐五毫。
法曰:置利银一百二十两为实,另置各人年月日数,照依前式,归日如月,除月如年,次位之零并年以乘原本合问。赵一计四年十一个月二十一日,先归日后除月又原本通得一百四十九两二钱五分。钱二计三年零八个月一十五日。先归日后除月,又原本通得一百八十五两四钱一分六釐五毫。孙三计二年零四个月一十二日,先归日后除月又原本通得一百六十五两六钱六分六釐六毫。李四计一年零二个月零三日,先归日,后除月,又原本通得一百零五两七钱五分。
将四人年月日通得之数共并得六百零六两零八分三釐三毫为法,除实得一钱九分七釐九毫九丝即是每年每两之利也,就以此又为法以乘各人通得之数合问。
假如人借去银每年每两加利二钱七分,今有一年零三个月二十日收还银三百六十二两四钱七分。问本利各得若干。
答曰:本二百六十八两,利九十四两四钱七分。法曰:置还本利共银为实,另置年月日数照依前式用三归二十日得六六六六于三月之下位,并月再以十二除之得三月零五五五于一年之下位,另以每年利二钱七分乘之,得每两利三钱五分二釐五毫,加原本一两二共为法,除实得原本银二百六十八两,再以每两利三钱五分二釐五毫乘之,得利九十四两四钱七分合问。
假如原借本银一十五两,每月加利二分五釐,今有六个月,已还过银九两,除作本及利。问本利各该若干。仍存原本若干。
答曰:除原本七两八钱二分六釐,该利-两一钱七分四釐,仍存原本银七两一钱七分四釐,仍以原日起利。
法曰:置还银九两为实,另置六个月以月利二分五釐通之,得一钱五分加原本一两本利共一两一钱五分为法,除实得除本银七两八钱二分六釐,又以通利一钱五分乘之,得利银一两一钱七分四釐,本利共合九两之数,另将原本一十五两除还原本七两八钱二分六釐,馀者仍存数也。
异乘同除

此法虽易知之术,其意至奥,或人用先除后乘之法。若除之不尽将何以乘之乎。此异乘同除,实为通变之法也。
歌曰

异乘同除法何如,物卖钱来作例推。先下原钱乘这物,却将原物法除之。将钱买物互乘取,百里千斤以类推。算者留心能善用,一丝一忽不差池。
假如原有米五石八斗四升,卖银四两三钱八分,今只有米一石七斗二升。问该银若干。
答曰:一两二钱九分。
法曰:置今有米一石七斗二升,以原卖银四两三钱八分乘之,得七两五钱三分三釐六毫为实,却以原有米五石八斗四升为法,除之合问。
一法先用除而后乘,先置原价四两三钱八分,以原米五石八斗四升为法除之,得每石价银七钱五分,又为法以乘,今米一石七斗二升亦得。
此法虽易知之,恐愚拙者法则难于取价。须用先乘后除其法捷妙。
异乘同除互换捷用法图

歌曰

此法有四隅,内有一隅空。异名斜乘了,同名兑位除。
详此歌则知异名乘同名除也。

假如原有小麦八斗六升磨面六十四斤八两,今有小麦三十五石四斗八升。问该面若干。答曰:二千六百六十一斤。
法曰:置今麦三十五石四斗八升,以磨面六十四斤半乘之,得二万二千八百八十四斤六为实,以原麦八斗六升为法除之合问。
假如今有夏布四十五疋,欲换棉布,只云夏布三疋共价二钱,棉布七疋共价七钱五分。问该换棉布若干。
答曰:棉布二十八疋。
法曰:先置今有夏布四十五疋,以原夏布价二钱因之,得九两,又以棉布七疋因之得六十三疋,为实。以夏布三疋因棉布价七钱五分,得二两二钱五分为法,除之得棉布二十八疋合问。
假如原有麦三斗五升磨面二十五斤,今欲用面一百七十五斤。问该麦若干。
答曰:二石四斗五升。
法曰:置原麦乘今用面为实,以磨面二十五斤为法,除之合问。假如今有绫一百六十一疋,每七疋价银五两。问共该银若干。
答曰:一百一十五两。
法曰:置总绫以五两因之,为实,以七疋为法归之合问。
同乘异除歌
此法买宝石珍珠大小块颗价用此,果品亦同。

同乘异除法可识,原物价相乘为实,今物除实求今价,今价除实求今物。
假如原有小珍珠五十颗重一两,价银一十二两今有大珍珠三十颗重一两。问该银若干。
答曰:二十两。
法曰:置原珠五十以原价十二乘,得六百两为实,以今珠三十颗除之合问。
异乘同乘法

假如原每人一日织锦八尺二寸五分,今有五十六人共织二十七日。问织锦若干。
答曰:一千二百四十七丈四尺。
法曰:置五十六人乘二十七日得一千五百一十二工,再以日织八尺二寸五分乘之,得一万二千四百七十四尺合问。
异除同除法理

假如今有客一十五人住一十二日,共用米三石六斗。问一客每日用米若干。
答曰:每日二升。
法曰:置米三石六斗为实,另以一十五人乘一十二日得一百八十人为法,除实得二升合问。
同乘同除法理

假如原有鹅八只,换鸡二十只,每鸡三十只换鸭九十只,每鸭六十只换羊二只,今却有羊五只换鹅。问该若干。
答曰:该鹅二十只。
法曰:用异乘同乘之法,置原鹅八只以乘原鸡三十只得二百四十只,又以原鸭六十只乘之得鹅一万四千四百只,再以今有羊五只乘之得七万二千只为实。又用异除同除之法以所换鸡二十只乘换鸭九十只得一千八百只,又以所换羊二只因之得羊三千六百只为法,除实得鹅二十只合问。
指曰:法应一除一乘,多有不尽之数。今变法总乘为实,总除为法,此术极妙。
倾煎论色

假如今有九二成色银七两四钱八分,倾销足色银。问该若干。
答曰:足色银六两八钱八分一釐六毫。
法曰:置银为实以九二色为法乘之合问。
假如今有足色纹银一十五两二钱,换九五色银。问该若干。
答曰:九五色银一十六两。
法曰:置纹银十五两二钱为实,以九五色为法,除之即得。
假如今有八五色银五两六钱,换九五色银。问该若干。
答曰:该九五色银五两零一分零五毫。
法曰:置银五两六钱以八五乘之,得四两七钱六分为实,以九五为法,除之合问。
假如今有足色纹银七两六钱五分,倾出成色银九两。问色几何。
答曰:八五色。
法曰:置纹银为实,以倾出色银九两为法,归之合问。假如今有足色纹银三十五两二钱,欲倾八八色银。问用铜若干。
答曰:铜四两八钱。
法曰:置纹银为实,以八八色为法除之得色银四十两。内减原银馀四两八钱,是铜数也合问。
假如有铜七钱五分,今煎作八八色银。问纹银若干。答曰:纹银五两五钱。
法曰:置铜为实,以每两用铜一钱二分为法除之,得八八色银六两二钱五分,于内减去原铜七钱五分馀得纹银合问。




钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百十五卷目录

 算法部汇考七
  算法统宗三〈方田章第一〉

历法典第一百十五卷

算法部汇考七

《算法统宗三》方田章第一

此章以田畴界域之形状,求亩步之积实。以广纵而求方、直、圭、梭、梯、斜等形。以周径而求圆田、碗田、环田等形。按田之形状甚多,具载难尽,学者不必执泥,在于临时机变。必须截盈、补虚、俾小、减大,以合规式。但田中央先取出方、直、勾、股、圭、梭等形,另积旁馀并而于一,然后用法乘、除之,用少广章开平等法还原,始为精密之术焉。
丈量田地总歌

古者,量田较阔长,全凭绳尺以牵量。一形虽有一般法,惟有方田法易详。若见喎斜并凹曲,直须俾补取其方。却将乘实为田积,二四除之亩数明。
又歌

方自乘之积步明,直田长阔互相乘。勾股圭梭乘折半,圆田周径折半乘。周自乘之十二约,径自乘之七五乘。周径相乘四归是,碗田丘田同上乘。环田内外周相并,折半须将径步乘。梯斜两头相并折,长乘便见积分明。三广倍中加二阔,四归得步以长乘。弧矢弦长并矢步,半之又用矢相乘。牛角眉田长步并,折半还将半径乘。二不等并东西步,折半仍将阔步乘。蛇船三阔同相并,三归得步以长乘。四不等田分两段,一为勾股一斜形。田形不一须推类,二四除之亩数明。
新制丈量步车图新制丈量步车图

前图下段作车三式,总合于一以完成车样。于上外套似无。盖底墨匣两旁木比十字。木空长存作两头。横木插角合栒。内空仅容十字转动。下横木凿一匾眼,后高前低,出篾。上可钉环,下钉钻脚。十字中心如墨斗搅转之心。作曲尺,样三折装在十字中心。内者方而不动,外者俱圆活动。以便收放,即似纺车之形。套匣上头,横木之下,凿一眼。其十字四头各开一口。但遇一头凑著,匣眼用拴拴之,置锁其篾,择嫩竹竹节平直者。接头处用铜丝扎住。篾上逐寸写字。每寸为二釐。二寸为四,三寸为六,四寸为八,不必釐字。五寸为一分。自一分至九分俱用分字。五寸为一步,依次而增至三十步。以上或四十步,以下可止。篾上用明油油之,虽污泥可洗。
又后制一式,只用十字内中开槽留头,不通中。用木圆饼转篾。篾虽不散,但转其篾尽,皆挨擦损坏甚速,总不如前制车式。篾在十字,十字转动,其篾安静,故难坏也。
丈量之法以五尺为一步。每步自方五尺计积二十五尺也。以五尺计之,步下五寸为一分。一寸为二釐积步。问亩,用二四归除亩。问积步,用二四乘法。〈今惟休邑新立亩法。〉
方圆定则九图

假如今有方田一丘,长阔各五十步。问:积、税各若干。
答曰:积二千五百步,税十亩零四分一釐六毫六丝。
方田

法曰:置长五十步,以阔亦五十步乘之,得积二千五百步为实。以亩法二四除之。定位法先从原实首位数几十起,顺下至几步止。下一位定法,首十数逆数升上至实首位,合得二千顺下,即是五百也。馀皆仿此。

假如方田斜量东南角至西北角,西南角至东北角,
方形斜量

各斜七十步。问:积、税各若干。答曰:积二千四百五十步,税十亩零二分零八毫。
法曰:置斜弦七十步自乘,得四千九百步。折半,得二千四百五十步为实。

以亩法二四除之,合问。定位同前。
假如直田南北各长六十步,东西各阔三十二步。问:积、税各若干。
直田

答曰:积一千九百二十步,税八亩。法曰:置长六十步,以阔三十二步乘之,得积一千九百二十步为实。以亩法二四除之,合问。

假如今有圆田径五十六步,周一百六十八步。问:积
圆田

步若干。
答曰:二千三百五十二步。法曰:以径问积,置径五十六步自乘,得三千一百三十六步。又以七五乘

之,得积二千三百五十二步。若周径问积步,置周一百六十八步,以径五十六步乘之。再以四归之,亦得。若周问积步,以周自乘,用十二除之,亦得。
假如覆月田弦长五十六步,矢阔二十八步。问:积步
覆月形

若干。
答曰:一千一百七十六步。法曰:置弦五十六步并矢二十八步共八十四步,折半,得四十二步。又以矢二十八步乘之,得积。

一法以弦矢相乘,另以矢自乘,并之,折半,亦得。假如弧矢田弦长四十步,矢阔八步。问:积步共该若
弧矢形

干。
答曰:一百九十二步。
法曰:置弦矢相并得四十八步,折半得二十四步。又以矢八步乘之,得积合问。

又考如前圆田内除方田一丘。方四十步,占积一千六百步,四边四弧矢占积七百六十八步,共合圆田
考矢量圆图

积,却多一十六步。其多者,何也。是弦自乘得一千六百步。每百步中多一步,该十六步也。或每弧矢内减去四步,只该一百八十八步。又考弧矢田居直田四分之三。

假如孤矢田弦长四十步,矢阔八步。问:圆中径该若干。〈又设此问以辨前大小二弧矢虚实之数。〉
答曰:今改正得径五十六步。
法曰:置弦长折半得二十步。自乘得四百步。以矢八步除之得五十步。加矢八步共得五十八步。却比前图径多二步。今减去是也。
今改其数乃是细半个。圆田因弦长而矢短,故虚数差,不准。
今减二步者,何也。是弦长折半得二十步,是十步中多一步,故减二步也。或云弦长四十步,矢二十步。问圆径者。置弦四十步折半得二十步。自乘得四百步。以矢二十步除之,得二十步。加矢二十步,即得。此乃是平半圆田,则数再无差矣。
假如圭田中正长六十步,下阔三十二步。问:该积若干。
答曰:九百六十步。
圭田 即半梭

法曰:置中长六十步,以下阔三十二步乘之,得一千九百二十步。折半得积九百六十步。合问。圭形乃直田之半,故用折半之法。梭形则是二圭合一也。

假如三角田每面一十四步。问:该积若干。
答曰:八十四步。
法曰:置十四步以六因之,得八十四步。以七归之,得
三角形

中长十二步。另以每面十四步折半,得七步。因之,合问。三角即圭也,以半阔乘中长十二步亦得。〈按三角田用六因七归得中长十二步。其数有差。今以句弦求股法校之,得十二步一分〉
有零之数。


假如梭田中长五十二步,中广一十二步。问:积若干。答曰:三百一十二步。
梭形

法曰:置长五十二步,以广十二步乘之,得六百二十四步。折半得积三百一十二步。合问。勾、股、圭、梭、乘,折半。田形虽异,理一同。

假如斜圭田长三十步,阔一十六步。问:该积若干。
斜圭形

答曰:二百四十步。〈计税一亩。〉法曰:置长三十步,以阔十六步乘之,得四百八十步。折半得积二百四十步。合问。

假如梯田上广二十步,下广三十步,中长四十五步。问:该积若干。
答曰:一千一百二十五步。
梯田

法曰:置上下二广并之得五十步。折半得二十五步。以中长四十五步乘之,得积。合问。
一法并二广以乘长,折半亦得。

假如斜田南广三十步,北广四十二步,纵六十四步。问:该积若干。
斜形田

答曰:二千三百零四步。法曰:置南北二广并得七十二步。折半得三十六步。以纵六十四步乘之,得积。合问。

假如眉田上周四十步,下周三十步,径八步。问:积若
眉形田

干。
答曰:一百四十步。法曰:置上下二周相并得七十步。折半得三十五步。另以径八步折半得

四步。乘之得积。合问。
假如牛角田中依湾长十七步五分,阔八步。问:该积若干。
牛角形如眉之半

答曰:七十步。
法曰:置中长一十七步五分,以广八步折半,得四步乘之,得积。合问。或量内外湾并之,折半。另以半径乘之亦得。

假如榄形中长四十步,阔一十六步。问:该积若干。
榄形如圆弧矢合一

答曰:三百八十四步。法曰:置长四十步如弧弦,以半阔八步如矢并得四十八步。折半得二十四步。又以矢八步乘之,得一百九十二步,即一弧矢之积。倍得榄积。合问。

假如三广田南广二十六步,北广五十四步,中广一十八步,正长八十六步。问:积若干。
答曰:二千四百九十四步。
法曰:并南北二广折半,得四十步。加中广共五十八
三广形即倒顺二梯

步。以长乘之,得四千九百八十八步。折半得积。合问。
一法倍中广,并南北二广,共一百一十六步。以四归之得二十九步。以长乘之亦得。按三广田乃是二段梯

田之并,必其三广相去,俱停乃可。以三广法算,或上段长,下段短;或上段短,下段长。并不可用。三广法当以二梯算而并之,乃为无弊。又按鼓田杖鼓田,又有箭箬、箭翎田亦要三广相去俱停,可用三广法。若不停者,亦可以二梯或以二斜算而并之是也。
假如勾股田股长六十步,勾阔三十二步。问:积若干。
勾股形

答曰:九百六十步。法曰:置股长六十步,以勾阔三十二步乘之,得一千九百二十步。折半得九百六十步。合问。

假如直田广纵相和九十二步,两隅斜去六十八步。问:积若干。
答曰:一千九百二十步。〈若折半如句股积。〉
直如句股和

法曰:置斜六十八步自乘得四千六百二十四步。另以相和九十二步自乘得八千四百六十四步。以少减多馀三千八百四十步。折半得积一千九百二十步。合问。

假如直田纵长六十步,广斜相和一百步。问:积步若干。
答曰:一千九百二十步。〈若折半如句股积。〉
法曰:置广斜百步自乘得一万步。另以纵六十步
直如句弦和股弦和同

自乘得三千六百步。以少减多馀六千四百步。折半得三千二百步为实。以广斜一百步为法除之,得广三十二步。以纵六十步乘之,得积一千九百二十步。合问。〈按句弦和以股〉自乘。以句弦和除之得较较。加和折半得弦。弦减较即得句。再以股乘之见积。

假如直田两隅斜去六十八步,只云纵多广二十八步。问:积若干。
答曰:一千九百二十步。〈若折半如句股积。〉
直如句股相差

法曰:置斜六十八步自乘,得四千六百二十四步。另以纵多广二十八步自乘,得七百八十四步。以少减多馀三千八百四十步,折半得积。合问。

假如直田广三十二步,只云斜多纵八步。问:积若干。
直如股弦差

答曰:一千九百二十步。〈若折半如句股积。〉法曰:置广三十二步自乘得一千零二十四步。另以多八步自乘得六十四步。以少减多馀九百六十步为实。

倍多八步作一十六步。为法除之得纵长六十步。以广三十二步乘之得积。合问。
假如直田纵六十步,只云斜多广三十六步。问:积若干。
答曰:一千九百二十步。〈若折半如句股积。〉
直如句弦差

法曰:置纵六十步自乘得三千六百步。另以多广三十六步自乘得一千二百九十六步。以少减多馀二千三百零四步为实。倍多三十六步作

七十二步。为法除实得广三十二步。以纵六十步乘之得积。合问。
假如四不等田一丘截作三段。量之,一段直田长四十步,阔二十八步。南边句股一段股长三十二步,句
四不等形斜形正量

阔十步。东边句股一段股长四十步,句阔四步。问:共积若干。答曰:三段共积一千三百六十步。法曰:先置所截直田长四十步,以阔二十八步乘之,得直积一千一

百二十步。又置南句股一段股三十二步,以句十步乘之,折半得积一百六十步。再置东向股一段股四十步,以句阔四步乘之,折半得积八十步。三共并积一千三百六十步。〈此乃准数毫忽无差。〉若依古法南边依斜弦量比股多一步五分二釐,东边依斜弦量比股多二分。总合积多地二十七步二分七釐。今考较当以截法皆得其当,以见前古法。有差使学者易晓此理也。但遇歪斜不等,必有斜步。岂可作正步相乘。若截之,庶无误矣。
假如五不等田一丘,截作二段量之,四角斜长三十六步,上径十五步,二分下径十二步八分,三角长二十二步,径一十二步。问:积若干。
五不等形

答曰:共积六百三十六步。法曰:先置四角二径并得二十八步,折半得一十四步。以乘长三十六步,得积五百零四步。又置三角长二十二步,以径十二步乘之,折半得积一百三十二步。二共并得积六百三

十六步。合问。
倒顺二圭

其形截作二圭量之,倒下圭中长二十二步,阔八步。向上顺圭中长一十二步,阔六步。问:共积若干。答曰:二共积一百二十四步。法曰:置倒圭中长数,以半阔四步乘

之得积八十八步。又以顺圭中长数,以半阔三步乘之得积三十六步。二数相并,共得积一百二十四步。合问。
三圭形

其形截作三圭形量之,东西二圭形同。中弦长二十六步,东径八步,西径十二步。又北半梭之弦十四步,径五步。问:共积若干。答曰:二百九十五步。法曰:置东西所共中弦长数,以二

径并之。折半、乘得二百六十步。又以北弦十四步,以径五步乘之。折半得三十五步。二共并得积二百九十五步。合问。
假如中段四角,中弦十六步,以东西二径共一十四
六角形

步折半乘之,得积一百一十二步。南尖三角,弦十步。以半径二步乘之,得积二十步。西弧矢弦十三步,以半径二步乘之,得积二十六步。东北三角弦十二步,以半

径二步乘之得积二十四步。四共计积一百八十二步。合问。
假如东北弦八步,以半径三步乘之,得积二十四步。
八角形

又正东三角弦六步,以半径二步乘之得积一十二步。又弦十八步,以半径四步乘之得积七十二步。又南弧矢弦八步加矢折半,以矢乘得积十步。
又西三角弦二十四步,以半径六步乘之得积一

百四十四步。又西北弧矢弦十四步加矢折半,以矢乘得十六步。六共计积二百七十八步。
凡图形内用点断节,以为绳索。耕形定式之辨。
图图

右。量田地之法举此数条,已见大意。若截作几段凑形以例,其馀如蛇、碗、丘、扇、辋、盆、瓜、罄、欹侧者,形状极多,难以一一尽述。考究校之数,无准积,恐误学者。故尽删去不录。今纂集直指图形,具之于前,以为通变之术。若平地而无碍者,或作几段定形立法,只以句股、圭、梭、梯、斜弧矢、牛角之类,截而量之。或并或减以求实积。倘遇基地有房屋者,难用此法,必须取其方直。或借别地以凑方直。算积内减除,还则形可穷而数。可尽学者详玩,形势理何异焉。
方图实

凡量田地切不可以周围步数算,而计积。其谬已甚。今举方直二形较之,其方
直图虚

田每面三步,计积九步。其直田长四步,阔二步,计积八步。论周围俱各一十二步。二者小数较之,而差一步,何况于大者乎。
解曰:方者内中藏一步,
而无周直者,外周而无藏隐也。

假如钱田外周二十七步,径三步,内钱眼方周一十二步。问:该积若干。
答曰:五十一步四分步之三。〈步之三即是七分五釐也。〉原法曰:置外周二十七步自乘得七百二十九步。以圆法十二除之,得六十步零七分五釐。以减内方周十二步,自乘得一百四十四步。以方周法十六除之,得内方积九步,馀积五十一步七分五釐。
孤峰马杰断曰:钱塘算师吴信民编集比类,世罕闻。孤峰裁改鹤坡校钱田之法,有差争。
又论:此钱眼方周一十二步,中间明有迹一十六步,何云九步。已知圆三、径一,得径九步。除方四步、外径一面,岂有三步哉。
又增比意驻云飞,比意钱田题法难明不足观。非俺自誇羡,改正珍宝鉴〈嗏〉二十七步圆眼中,间十二方周改法精制,算图样明名天下传。答曰:改正得四十四步七分五釐。
又改正法置钱周二十七步自乘,得七百二十九步。以圆法十二除之,得六十步零七分五釐为实。另以钱眼方周一十二加八,得二十步。与一十二步相乘得二百四十步为实。以方周法一十六除之,得一十五步。加一步共一十六步。以减前实六十步零七分五釐,馀四十四步七分五釐。合问。大位因杰辨吴氏之非,故立图考校前法。每一步自方五尺横直相乘,得积二十五尺。乃是本身连根,其理甚明。
假如钱内方周每面三步,四围共合为十二。得积九步无差。
据杰用方束之法反正为邪,不免有差殊。不知束积皆是论个、论只之物。而无零者宜当除根不辩,自明矣。求束法具载少广章。
大位歌曰:孤峰改正吴氏法,未得真传奇妙诀。丈量之法要分明,方自乘之为何说。方周摺角数连根,岂可除根用束法。今立图形考校明,例依吴氏为定决。


缺田亩演段根源图解

方求积法:置方十步自乘,得积一百步。合问。
方演段图

张丘建方求斜法:置方十步,用五归,得二是两个。方五却用七因得斜十四步。故曰方五斜七。若依方五求斜,则斜有馀。若依斜七求方,则方不足。

假如方田隅斜一十四步。问:积步并方面各若干。答曰:积一百步,〈实只有九十八步。〉方面十步。〈实只有九步九分。〉
斜演段图

张丘建法:置斜十四步,用七归得二,乃是二个。斜七却用五,因得方面十步,是两个。方五就以方十步自乘,得积一百步。有斜必有方,只以方求积,无差。

杨辉方求斜法:置方步自乘,得一百步,是一个小方积。倍之,得二百步,是两小方积。用开平方法除之,得斜十四步。却有不尽,馀实四步。斜求积法:置斜步如大方面自乘,得积一百九十六步,如两个斜方积。折半,得九十八步,如一个斜方积。却比前方积步中少二步。斜求方面,斜自乘折半得积九十八步,如
个斜方积。以开平方法除之,得方面九步九分。
方斜演段图

此论大方一个,方面一十四步,内容斜方一个。〈即小方也。〉斜亦一十四步,自乘得一百九十六步。是两个斜方积。内小方斜积一个,九十八步。外四角用句股求弦法得弦九步九分,即如小方面自乘,亦得九十

八步。将四角总合,亦为一小方。每角正方二十一步。斜方七步,折半得三步五分。并得二十四步五分。以四角因之,得九十八步,亦为一斜方积也。此合大方
方斜黑白演段图

求积,毫忽无差。〈杨辉用开平求方,求斜理明以合方积。张建丘用方五斜七,难以合数。〉 又论大方面十四步。内容小方斜十四,自乘得一百九十六步,是两个斜方积。乃黑白四段,以上下斜白配合为一方。又以左右斜黑配合,为一方。故
周三径一图

用折半得一个斜方积九十八步。古法:周围三尺,圆径一尺。假如圆径三十二尺,以周三因之,得九十六尺,而四尺闲矣。

徽术:周百尺、径三十一尺四寸。
密术:周二十二尺、径七尺。
智术:圆径三十二尺、周有百尺。
术曰:圆径即方径。若求圆积四分之三,不必立法。惟以圆求方,其法不一,姑录于此。盖圆径一则,周不止于三。所谓周三径一者,举其大概耳。
方五斜七者,言其大略耳。内方五尺,外方七尺有奇。
方五斜七图

方面求弦法曰:以方面自乘,倍之为实。以开平方法除之,得七步。○七一故曰斜七有奇。以此自乘折半得积二十五步。若以七步自乘折半得积二十四步。半校之得积,不全矣。

假如圆田径六步,周十八步。问:积若干。
答曰:二十七步。
圆演段图

径六步是一个六,周十八步是三个六。故曰周三径一也。其方积三十六步是四个九,其圆积二十七步是三个九。其圆外剩九,是一个九。故曰圆居方四分之三也。〈圆三象天,方四象地。〉

径求积法:置径六步如方面自乘,得方积三十六步。用三因得一百零八步,是三个方积,合四个圆积。故用四归之,得一个圆积二十七步。
周求积法:置周十八步如大方面自乘得三百二十四步,是九个小方积。每积三十六步,正合十二个圆田积。故用十二除之,得一个圆积二十七步。
周径求积法:置径六步是一个六,与周十八是三个六,相乘得数,即如前径自乘,以三因数同。故仍用四归得积二十七步。
半周求积法:置半周九步自乘,得八十一步,如三个圆田积。故用三归之,得圆积亦二十七步。
半径求积法:置半径三步自乘,得九步如方田积四分之一,即圆三分之一,故用三因之得圆积。
半周半径求积法:置半周九步,以半径三步相乘,得圆积二十七步,如方积四分之三,正合圆田之积。若问圆田外四角剩积法:置一角长阔各三步,折半得一步半。自乘得一角,剩二步二分五釐。以四因得四角,剩积共九步也。〈已上求积六法皆合周三径一。已后二术惧有不尽非良法也。〉徽术周求径:以五十因周,再以一百五十七除之,得径。径求周:以一百五十七乘径,用五十归之,得周。密术周求径:以七因周,再以二十一除之,得径。径求周:以二十二乘径,用七归之,得周。
虚隅图说


方圆论说方圆论说

世之习算者咸以方五、斜七、围三、径一为准,殊不知方五则斜七有奇,径一则围三有奇。故古人立法有句三、股四、弦五之论,而不能使方斜为一定之法。有割圆矢弦之论,而不能使方圆为一定之法。试以句股法求之,句股各自乘,并为弦实。平方开之,此施之于长,直方则可若一整方。句五股五各自乘,并得五十。平方开之,得七而又多一算矣。割圆之法求矢、求弦,固是至于求弧背,则恐未尽也。何以知之。试以平圆径十寸者例之。中心割开矢阔五寸,自乘得二十五寸。以径除之,得二寸五分为半背弦差。倍之得五寸。以加弦得一十五寸。与围三径一之论正合。然径一则围三有奇,奇数则不能尽矣。以是知弧背之说犹未尽也,不特是也。凡平圆一十二,立圆三十六,皆不过取其大较耳。或曰密率径七,则围二十二。徽率径五十则围一百五十七。何不取二术酌之,以立一定之法。曰:二术以圆为方,以方为圆,非不可。但其还原与原数不合,数多则散漫难收。故算历者止用径一、围三,亦势之不得已也。曰历家以径一、围三、立法,则其数似犹未精然。郭守敬之历至今行之无弊,何也。曰历家以万分为度,秒以下皆不录。纵有小差不出于一度之中,况所谓黄赤道、弧背度乃测验而得止,以径一、围三定其平差,立差耳。虽然,行之日久,安保其不差也。窃尝思之,天地之道阴阳而已。方圆,天地也。方象法,地静而有质,故可以象数求之。圆象法,天动而无形,故不可以象数求之。方体本静,而中斜者乃动而生阳者也。圆体本动,而中心之径乃静而根阴者也。天外阳而内阴,地外阴而内阳。阴阳交错而万物化生。其机正合于畸零不齐之处,上智不能测巧历,不能尽者也。向使天地之道,俱可以限量求之,则化机有尽而不能生万物矣。余因论方圆之法而并著其理如此。
又述直圭、梯斜、句股、弧矢等形图于左。
今有直田长一十二步,阔九步。问:田积并斜弦各若干。
答曰:积一百零八步,该斜弦一十五步。
直演段图

求积法曰:置长阔相乘得一百零八步。若问斜者,如句股求弦。以长自乘,又以阔自乘,并二数得二百二十五步为实。以开平方法除之,得弦十五步。若以斜问积置斜十五步自

乘,折半,得一百一十二步。半却比直积多四步。半其多者何也。是长多阔三步。自乘折半得四步半也。假如斜若干,只云广纵相和若干。问积。以斜自乘,另以相和自乘,二数相减,馀折半得积。
假如有广若干,只云纵斜相差若干。问积。以广自乘,另以相差自乘,二数相减,馀折半为实。以相差为法除之,得纵。以广乘之,得积。
纵斜相和者,仿此。广斜相和、相差,及广纵相差,与前广纵相和者俱同。

假如今有圭形田广八步,纵一十二步。问:该田积若干。
答曰:积四十八步。
法曰:置广纵相乘折半得积四十八步。合问。
句股相乘折半图

半纵乘广图半纵乘广图

句股演段图半句乘股图长阔相乘折半图半广乘纵图斜形折广图梯形演段图并上下广乘半长图梯形折广图并上下广折半乘长图并上下广乘长折半图句股演段图半纵乘广图句股演段图

半句乘股图长阔相乘折半图半广乘纵图斜形折广图梯形演段图并上下广乘半长图梯形折广图并上下广折半乘长图并上下广乘长折半图半句乘股图半纵乘广图句股演段图半句乘股图

长阔相乘折半图半广乘纵图斜形折广图梯形演段图并上下广乘半长图梯形折广图并上下广折半乘长图并上下广乘长折半图长阔相乘折半图半纵乘广图句股演段图半句乘股图长阔相乘折半图

半广乘纵图斜形折广图梯形演段图并上下广乘半长图梯形折广图并上下广折半乘长图并上下广乘长折半图半广乘纵图半纵乘广图句股演段图半句乘股图长阔相乘折半图半广乘纵图

斜形折广图梯形演段图并上下广乘半长图梯形折广图并上下广折半乘长图并上下广乘长折半图半纵乘广图句股演段图半句乘股图长阔相乘折半图半广乘纵图

斜形折广图梯形演段图并上下广乘半长图梯形折广图并上下广折半乘长图并上下广乘长折半图斜形折广图半纵乘广图句股演段图半句乘股图长阔相乘折半图半广乘纵图斜形折广图

梯形演段图并上下广乘半长图梯形折广图并上下广折半乘长图并上下广乘长折半图梯形演段图半纵乘广图句股演段图半句乘股图长阔相乘折半图半广乘纵图斜形折广图梯形演段图

并上下广乘半长图梯形折广图并上下广折半乘长图并上下广乘长折半图并上下广乘半长图半纵乘广图句股演段图半句乘股图长阔相乘折半图半广乘纵图斜形折广图梯形演段图并上下广乘半长图

梯形折广图并上下广折半乘长图并上下广乘长折半图梯形折广图半纵乘广图句股演段图半句乘股图长阔相乘折半图半广乘纵图斜形折广图梯形演段图并上下广乘半长图梯形折广图

并上下广折半乘长图并上下广乘长折半图并上下广折半乘长图半纵乘广图句股演段图半句乘股图长阔相乘折半图半广乘纵图斜形折广图梯形演段图并上下广乘半长图梯形折广图并上下广折半乘长图

并上下广乘长折半图并上下广乘长折半图半纵乘广图句股演段图半句乘股图长阔相乘折半图半广乘纵图斜形折广图梯形演段图并上下广乘半长图梯形折广图并上下广折半乘长图并上下广乘长折半图

半纵乘广图句股演段图半句乘股图长阔相乘折半图半广乘纵图斜形折广图梯形演段图并上下广乘半长图梯形折广图并上下广折半乘长图并上下广乘长折半图

今有直田长一十四步,阔七步,计积九十八步。问:内容弧矢田一段,占积并二角。馀积各若干。
答曰:弧矢积七十三步半,二角积二十四步半。法曰:置长一十四步为弧弦,以阔七步为矢,相并得
直内容弧矢图

二十一步。折半得十步零五分。又以矢七步乘之,得弧矢占积七十三步五分。以减直积九十八步,馀二十四步五分,是二角馀积。

今有直田长二十步,阔十八步,计积三百六十步。内容六角田一段,每角面十步。问:六角占田积并馀积各若干。
答曰:六角积二百七十步,角外馀积九十步。
法曰:置中长二十步减去半面阔五步,馀长一十五步。以通阔一十八步乘之,得六角占积二百七十步。
直容六角图

另以角外之馀长九步,以馀阔五步折半得二步五分。乘之得一角。馀二十二步五分以四因之,得四角馀积九十步。并入六角,占积二百七十步。共合直田之总积也。

假如方田一段面方十七步,计积二百八十九步,内容八角田一段。每角面阔七步,问:八角占积并外馀
方容八角图

若干。
答曰:八角占积二百三十九步,角外馀积五十步。
法曰:方七步是上下斜角面。如斜求方,以五因七归得五。倍之得十步,是上下二段长。加中一段面七步,

共十七步。自乘得方面总积二百八十九步。另以一角长五步自乘,得二十五步。倍之得外馀积五十步。以减上积馀得八角。占积二百三十九步。合问。假如圆田径十四,计积一百四十七步,内容锭田占积并两腰,外馀积如榄形田。二段长十步,阔四步。问:各该积若干。
答曰:锭占积一百步,两腰外馀积四十八步。
法曰:圆径即锭长十四步,又如圆内方之斜也。以方五斜七之法置十四步,以七归五因得方十步。自乘
方内容锭图

得锭占积一百步。另置两腰外如榄田,长十步加半阔二步,共十二步。以阔四步乘得馀积四十八步。加入锭占积共合圆田。总多一步者是榄。长十步自乘得百步,内多一步。
旧法以锭长自乘、折半得九十八步。却少二步。其锭

长如方田斜求积,则百步中少二步,可用九八归除,即一百步。
一法:截上下有馀补两腰不足,作方十步自乘,得一百步。锭田还原以积,用开平方法除得十步。却以五归七因得斜长十四步也。
方圆环总图说

平方求积法曰:以方面十六步自乘得二百五十六步。平圆求积法曰:以外周四十八步自乘得二千三百零四步,再以十二除之,得全积一百九十二步。
方内容圆圆内减图为环图

四旁馀积六十四步,另以内周二十四步自乘得五百七十六步。再以十二除之,得内圆积四十八步。圆环求积法曰:以大圆积内减小圆积,馀一百四十四步,即是环积也。
又法以环径四步,以三因之,得一十二步。以减外周,

馀得三十六步为长。以径四步乘之,得环积一百四十四步。环田者如圆田中间有圆池也。若圆池不在中而偏者,只以圆田算之,得全积。却减去圆田积,馀为本田实积也。
法以外周自乘,又以内周自乘,二数相减馀数以十二除之,得环积。若以内周外周问径者,置外周减内周,馀数以六除之,得径。若以内周并径问外周者,置径以六因之,得数并入内周数,即是外周。若以外周并径问内周者,置径以六因之,得数减外周
方内容圆圆内容方图

数,馀为内周。
先论方内容圆。外方十四步自乘,计积一百九十六步。问:容圆并四旁庇积若干。
答曰:圆积一百四十七步,
四旁庇积四十九步。
法曰:置方径十四〈即圆径。〉自乘,再以七五乘之,得圆积

也。若问四庇积,以二五乘方积〈四庇居方四分之一〉是也。方积四分取三为圆积。故法用七五乘之,或用三因四归亦得圆积。
后论圆内容方。圆径〈即方斜。〉十四步计积一百四十七步。问:容方并四旁幂积若干。
答曰:圆内容方每面十步计积一百步,四旁幂积四十七步。
右明方圆之理

方环者,谓如方田中央有方池。方环求积法曰:以外
平方环积之图

方自乘,得全积。另以内方自乘,得内积。以减全积馀得方环积。又法以外方并入内方,倍之为长。以径阔乘之,得方环积。
解曰:非言田也,皆言托物比兴,算家穷理尽性致知格物,以明方圆句股之理,至于天地高广乎。
带分母用约分法

今有直田,广二步二十分,步之九纵。九十七步四十九分,步之四十七。问:该积若干。
答曰:一亩。
法曰:置广二步,以分母二十乘之,得四十。加分子九共四十九。另以纵九十七步,以分母四十九乘之。加分子四十七,共四千八百。以乘纵四十九得二十三万五千二百为实。又以分母二十乘四十九得九百八十。为法除之,得二百四十步。以亩法除之,合问。今有圭田,广五步二分,步之一纵。八步三分,步之二。问:该积若干。
答曰:二十三步六分步之五。
法曰:置广五步,以分母二通之,加分子一共十一。另置纵八步,以分母三通之,加分子二,共二十六。与广十一相乘,得二百八十六,折半得一百四十三为实。以分母二分、三分相乘,得六分。为法除之得二十三步。馀实五以法命之,得六分之五。
今有圆田,径六步十三分,步之十二。周围二十步四十一分,步之三十二。问:该积若干。
答曰:三十六步。
法曰:径求积。置径六步,以分母十三通之,加分子十二共九十,自乘得八千一百。又以分母十三减分子十二馀一,以乘分子十二,并前共得八千一百一十二。以三因四归之,得六千零八十四为实。以分母十三自乘,得一百六十九,为法除之合问。若以周求积。置周二十步,以分母四十一通之,加分子三十二共八百五十二。自乘得七十二万五千九百零四。又以分母四十一减分子三十二馀九,以乘分子三十二得二百八十八。并入前数共七十二万六千一百九十二。以圆法十二除之,得六万零五百一十六为实。以分母四十一自乘,得一千六百八十一为法除之。合问。
今有环田,内周六十二步四分,步之三。外周一百一十三步二分,步之一。径十二步三分,步之二。问:该积若干。
答曰:四亩六分五釐四分步之一。法曰:并内外周共一百七十五步。以内周之三乘外周二分,得六分。另以外周之一乘内周四分,得四。并之得十。却以分母二分四分相乘,得八。为法除十得一步二分五釐。并前共得一百七十六步二分五釐。折半得八十八步一分二釐五毫为实。却以径十二步,分母三通之,加分子二共三十八,为法乘之得三千三百四十八步七分五釐。又以分母三除之,得一千一百一十六步二分五釐。以亩法除之得四亩六分五釐,不尽步下二分五釐,以法约之,得四分步之一。合问。
今有方田一丘,面方十二步四分,步之二。问:该积若干。
答曰:一百五十六步五分。
法曰:置十二步,以分母四通之得四十八步。加分子二共得五十步。自乘得二千五百步。另以分母四减分子二,馀二。以乘分子二得四。并前积共得二千五百零四步为实。另以分母四自乘,得一十六。为法除之。〈此合开方不尽之法。已上皆双分母子法。〉
今有直田长一十五步,阔三步五分,步之四。问:该积若干。
答曰:五十七步。
法曰:置阔三步,以分母五通之,得十五。加分子四共十九。另置长十五步,以分母五通之,得七十五。将此二数相乘,得一千四百二十五为实。另以分母五自乘得二十五为法除之。合问。〈此是单分母子法。〉
休宁县科则〈附辨亩法论〉

休宁县于万历九年清丈有粮里,编号二百一十一里。带管无粮里三十四里半。〈以千字文编号,自在城东北隅天字一号。起至三十三都八图建字号止。〉
田亩起科等则〈每斗加耗七合,地山同。〉

田每一亩,古科米带耗共五升三合五勺。麦带耗共二升一合四勺。
地每一亩古科米带耗共三升二合一勺。麦带耗共二升一合四勺。新制米带耗共三升八合七勺。一抄三撮麦带耗共一升九合八勺七抄。
比古米增而麦减,何也。盖谓古有官庄产土租米重而租麦轻。又紫阳书院田府县学田有米无麦。今变总归于一,则丈出亩步摊派租米租麦各亩步不同等,而田山塘等起科不废。古法惟地扣合米麦总数之故云。
山按原额计亩,〈新丈不计步数。〉每亩米带耗共一升零七勺,麦数同。
塘池潭堨〈同田则〉 园圃洲堤〈同地则〉
坟茔境迹〈多作上地〉开垦陇野〈以作荒地三百为亩入山境〉
亩法论

愚按前贤亩法,率二百四十步为一亩。万历九年遵诏清之休邑总书,擅变亩法。田分四等。上则一百九十步,中则二百二十步,下则二百六十步,下下则三百步。地亦四等。上则二百步,中则二百五十步,下则三百五十步,下下则五百步。在城基地有等,正之名一等正三十步,二等正四十步,三等正五十步,四等正六十步。与前贤二百四十步一亩大相缪戾,借曰土地有肥硗,徵役有轻重,亦宜就土田高下别米麦之多寡。不得轻变亩法第。总书开其弊窦,举邑业已遵行,何容置喙。姑记于此以见作聪明乱旧章之自云。
古今折步

原用古弓每步五尺,今以钞弓校之,只有四尺八寸。问:古弓百步该钞弓若干。
答曰:九十二步一分六釐。
法曰:置四尺八寸倍之,得九分六釐。自乘得九分二釐一毫六丝,乃古弓一步今折得钞弓数也。自此升上合问。若钞弓步数每百步用八十五步,加之以合原古弓步之数。
其方直田形截积具载少广章中。




钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百十六卷目录

 算法部汇考八
  算法统宗四〈粟布章第二〉

历法典第一百十六卷

算法部汇考八

《算法统宗四》粟布章第二

粟,米也;布,钱也。以粟稻等率,求米之精、粗;以斛斗,求粮之多寡;以丈尺,求帛之长短;以斤两,求物之轻重。以御变易。
粟布歌

谷为糙米要须知,法实分明莫乱题。米为实数谷为法,以法除之更不疑。若言糙米为白米,糙法白实以除之。要将易换贵求贱,乘来除去不差池。
诸数率数
比若粟换稻,置粟以稻率乘之为实。以粟率为法除之得稻。今率不一,姑记之。馀仿此。

粟率〈五十〉 稻率〈六十〉  粝率〈三十〉  粝饭〈七十五〉粺米〈二十七〉御米〈二十一〉 御饭〈四十二〉 粺饭大面〈各五十四〉    小面〈十三半〉 糳米〈二十四〉 鼓〈六十三〉麻麦菽〈各四十五〉
今有谷八百六十八石五斗,砻为糙米四百一十六石八斗八升。问:每谷一石,砻糙米若干。
答曰:糙米四斗八升。
法曰:置糙米为实,以谷数为法除之即得。
今有糙米四百一十六石八斗八升,舂作白米三百三十三石五斗零四合。问:糙米每石,得白米若干。答曰:白米八斗。
法曰:置白米数为实,以糙米数为法除之,即得。今有糯米二百一十六石,每糯米一石,换粳米一石五斗。问:该粳米若干。
答曰:三百二十四石。
法曰:置糯米为实,以每石加五为法加之,或用十五乘法,亦得。
今有粳米三百二十四石,每米一石五斗,换糯米一石。问:该糯米若干。
答曰:二百一十六石。
法曰:置粳米为实,以每石减五为法,定身除之,或用十五除,亦得。
原借人小麦四百五十六石,今将白米照依时价估折还之。其麦每石价四钱五分,白米每石价七钱五分。问:该还白米若干。
答曰:二百七十三石六斗。
法曰:置麦数,以麦价四钱五分乘之,得二百零五两二钱为实。却以米价七钱五分为法除之,即得。今有芝麻四百五十六石,易换米豆,只云芝麻三斗换米五斗米五斗,换豆七斗。问:米豆各若干。
答曰:米七百六十石,豆一千零六十四石。
法曰:置麻为实,以三斗归之得一百五十二石。以米五斗因之得米七百六十石。若换豆即以米用五归之,仍得一百五十二石。以豆七斗因之得豆一千零六十四石。合问。
今有人原借九色金五十两,今还八色金。问:该若干。答曰:八色金五十六两二钱五分。
法曰:置借九色金五十两以九因之,得赤金四十五两为实。却以今还八色除之,即得。
今有八色金五十两,用价银二百两。今又换九色金四十两。问:该银若干。
答曰:银一百八十两。
法曰:置九色金四十两,以九因之得赤金三十六两。以价二百两因之得七千二百两为实。另置八色金五十两,以八因之得赤金四十两。为法除之,即得。
官粮带耗歌

官粮带耗在其中,一石例加七升同。要见正米减去七,隔位除之法更隆。
今有正米二百一十二石,每石加耗七升。问:该耗米若干。
答曰:一十四石八斗四升。
法曰:置正米为实,以耗米七升为法因之即得。今有耗米一十四石八斗四升,每石耗米七升。问:该正米若干。
答曰:二百一十二石。
法曰:置总耗米为实,以每石耗米七升为法除之,即得。
今有官粮二千七百六十五石九斗五升,每正米一石,带耗米七升。问:正米、耗米各若干。
答曰:正米二千五百八十五石,耗米一百八十石零九斗五升。
法曰:置正耗粮为实,以耗米七升并正米一石,共一石零七升。为法除之,得正米二千五百八十五石为实。以耗七升因之得耗米。合问。若要见正耗共米,隔位加七即得。
盘量仓窖歌

方仓长用阔相乘,惟有圆仓周自行。各再以高乘见积,围圆十二一中分。尖堆法用三十六,倚壁须分十八停。内角聚时如九一,外角三九甚分明。若还方窖兼圆窖,上下周方各自乘。乘了另将上乘下,并三为一再乘深。如三而一为方积,三十六弓圆积成。斛法却将除见数,一升一合数皆明。
古斛法以积方二尺五寸为一石。谓长一尺、阔一尺,高二尺五寸是也。
解曰:斛有大小,尺有长短,古之度量与今不同,不可为定则也。
直指曰:若较今时斛法,可将棹四张横头竖地以为井字样式,内用今尺横直各量一尺,上下皆同,四旁用物挤住不动,将米一石倾放其内,米上以平为度,却用尺量高若干定为斛法,除之得积米之数也。
此乃本处斛斗之积。若别处斛斗大小不同,但较一石大者多若干,并石,为法除之。如斛斗小者,就以不足之数除之,即得彼处之积也。

今有方仓,方一十五尺,高一十五尺。问:积米若干。答曰:一千三百五十石。
法曰:置方一十五尺自乘得二百二十五尺。再以高一十五尺乘之,得三千三百七十五尺为实。以斛法二尺五寸除之。合问。
乘法定位,从实首原数,顺数降下,至尺止。下一位得术定法,首是十逆上,逐位升之,即得之数为实。又定位斛法除之,先数原实千顺降下至遇法首。每石二尺五寸遇尺即止,前一位得令是石逆数升上,即得一千三百五十石。馀仿此。
今有长仓,长二十八尺,阔一十八尺,高一十二尺。问:积米若干。
答曰:二千四百一十九石二斗。
法曰:置长二十八尺,以阔一十八尺乘之,得五百零四尺。又以高一十二尺乘之,得六千零四十八尺为实。以斛法除之。合问。
今有圆仓,周三十六尺,高八尺。问:积米若干。答曰:三百四十五石六斗。
法曰:置周三十六尺自乘得一千二百九十六尺。以高八尺乘之得一万零三百六十八尺。以圆法十二除之得积八百六十四尺为实。以斛法除之即得。今有平地尖堆米,下周二丈四尺,高九尺。问:积米若干。
答曰:五十七石六斗。
法曰:置下周二丈四尺自乘得五百七十六尺。以高九尺乘之,得五千一百八十四尺。却以尖堆积三十六除之,得一百四十四尺为实。以斛法除之,得数。合问。
今有倚壁堆米,下周六十尺,高一十二尺。问:积米若干。
答曰:九百六十石。
法曰:置下周六十尺自乘得三千六百尺。又以高十二尺乘之,得四万三千二百尺。用倚壁率十八除之,得积二千四百尺为实。以斛法除之。合问。
今有倚壁内角堆米,下周三十尺,高十二尺。问:积米若干。
答曰:四百八十石。
法曰:置下周三十尺自乘得九百尺。又以高一十二尺乘之,得一万零八百尺。用内角率九除之,得一千二百尺为实。以斛法除之。合问。
今有倚壁外角堆米,下周九十尺,高十二尺。问:积米若干。
答曰:一千四百四十石。
法曰:置下周九十尺自乘得八千一百尺。又以高十二尺乘之,得九万七千二百尺。用外角率二十七除之,得三千六百尺为实。以斛法除之。合问。
其平地尖堆倚壁,堆内、角外、角堆,古法皆以量高而算。后乐氏不用其高。假如平地尖堆亦以下周十而取一为高,其倚壁堆乃尖堆之半。以五除下周为高,其内角堆乃尖堆四分之一。以二五除下周为高,其外角堆乃尖堆四分之三。以七五除下周为高。〈按:算堆积,仍用量高为是。〉

一法:圆仓等五条并率数斛法总算。
假如原法圆仓以周自乘,又以高乘,再用圆率十二除之为实。又以斛法二尺五寸除之,得积。今并圆率斛法总作三十,除之即得。〈按此法虽捷,但各处斛法不同,须临时较定不
必皆。二尺五寸为一石也仍依前法为是。

解曰:以圆率十二恰用斛法二尺五寸乘,得三十数。凡馀仿此。
平地尖堆并圆窖,俱并斛法九十尺。
倚壁堆并斛法四十五尺。
内角堆并斛法二十二尺五寸。
外角堆并斛法六十七尺五寸。
今有方窖上方六尺,下方八尺,深一十二尺。问:积米若干。
答曰:二百三十六石八斗。
法曰:置上方六尺自乘得三十六尺。另置下方八尺自乘得六十四尺。又以上方六尺乘下方八尺得四十八尺。并三位共得一百四十八尺。以深一十二尺乘之,得一千七百七十六尺。用三除之得五百九十二尺为实。以斛法除之。合问。
今有圆窖上周一十八尺,下周二十四尺,深一十二尺。问:积米若干。
答曰:一百七十七石六斗。
法曰:置上周一十八尺自乘得三百二十四尺。另置下周二十四尺自乘得五百七十六尺。又以上周一十八尺乘下周二十四尺,得四百三十二尺。并三位共得一千三百三十二尺。以深一十二尺乘之,得一万五千九百八十四尺。用圆率三十六除之,得四百四十四尺为实。以斛法除之。合问。
今有船仓,南头面广六尺,腰广六尺五寸,底广五尺。北头面广七尺,腰广七尺五寸,底广六尺,深二尺四寸,长九尺。问:积米若干。
答曰:五十六石一斗六升。
法曰:以南头腰广倍之,并入面广、底广共二十四尺。以四归之得六尺。另以北头腰广倍之,并入面广、底广共二十八尺。以四归之得七尺。并二数共一十三尺。折半得六尺五寸。以深二尺四寸乘,得一十五尺六寸。以长乘得一百四十尺零四寸为实。以斛法除之。合问。
今有芦席二领,长阔相同。先以席一领作囤较之,盛米二石五斗。问:席二领为一囤,盛米若干。
答曰:盛米十石。
法曰:置席二领自乘得四领为实。以较囤米二石五斗为法乘之。合问。
今有席三领作一囤。亦用一席较数同前。问:盛米若干。
答曰:二十二石五斗。
法曰:置席三领自乘得九领,以较米二石五斗乘之。合问。
今有席四领作一囤。照前一席较数相同。问:盛米若干。
答曰:四十石。
法曰:置席四领自乘得一十六领,以较米二石五斗乘之。合问。〈若五六七领俱仿前例,自乘,再以较数乘之,即得。〉今有米十石,欲用芦席囤盛之。先以一席作囤,较数盛米二石五斗。问:该用席若干。
答曰:二领。
法曰:置米十石,以较米二石五斗除之,得四领为实。以平方开之得二领作囤。合问。
今有米二十二石五斗,欲用席囤盛之,亦以一席较数同前。该用席若干。
答曰:三领。
法曰:置总米为实,以较米二石五斗为法除之,得九领又为实。以平方开之,得三领。合问。
论曰:席求盛米法:予以席一领且如长四尺作一囤较之,四面各方一尺也。若二领共长八尺,作一大囤。是每面方有二尺,以每面计小囤二,个共该四小囤。故以二席自乘得四。却以一小囤米数乘之是也。馀仿此。〈凡席皆相等,取一领较之,不问盛几石、几斗,就以此为法。〉
各处盐场散堆量算引法歌〈每方一尺积盐四十斤。〉

长阔相乘共一遭,已乘之数又乘高。每方四十乘斤总,三百斤归即引包。〈按每方四十斤,未可为定数。恐轻重不等也。亦须较为妙。〉今有盐一堆,长一丈五尺,阔一丈二尺,高六尺五寸。问:该斤引各若干。
答曰:四万六千八百斤,一百五十六引。
法曰:置长一丈五尺,以阔一丈二尺乘之,得一百八十尺。又以高六尺五寸乘之,得一千一百七十尺。又以每尺四十斤乘之,得盐重四万六千八百斤为实。以每引三百斤为法除之,得一百五十六引。若问包,以包数除之即得。
衡法斤秤歌

斤如求两身加六,减六留身两见斤。论铢三百八十四,六十四分为一斤。二十四铢为一两,三十二两一裹名。一秤斤该一十五,二秤并之为一钧。四钧之数为一石,又名一驮实为真。二百整斤为一引,两下别有毫釐分。
截两为斤歌

一退六二五  二一二五   三一八七五四二五    五三一二五  六三七五七四三七五  八五     九五六二五十六二五   十一六八七五 十二七五十三八一二五 十四八七五  十五九三七五
积两成斤歌〈此谓斤下零两按积,以求斤数。〉

一退十五〈成斤以后同〉二退十四  三退十三四退十二   五退十一   六退十
七退九    八退八    九退七
十退六    十一退五   十二退四十三退三   十四退二   十五退一位尝见算者,遇斤下带两,用法各不相同。有将两数化为一二五者,又有将两隔位叠数而除十六加斤者,俱不合式,难兼归除,甚非意也。予观算盘梁之上二子为十,梁之下五子共有十五两,论一斤该数十六而欠一两。故曰一退十五以成一斤之数。此法极敏捷,馀皆仿此。但货物用秤者,不拘法。实斤下有两数,切不可隔位,必须挨斤之次。设若五斤十二两,就以十二两在五斤之下位,算盘梁之上二子、梁之下二子即十二两也。若兼归除为法为实,就以十二两本身,梁之上除去一子馀七,另以下位加五,即为七五,然后用法乘除之,即不差也。如除毕斤下有零数,必须从尾位起用加六之法逐位逆上加之,至斤下止,切不可加于斤上,学者慎之。
今有金一十二斤半。问:该两若干。
答曰:二百两。
法曰:此是斤求两。置金一十二斤半为实,以六为法加之,或用十六乘法亦同。定位只认原斤位得十两,依次求之,即得。今列布算于后。
〈起〉先呼五六加三   〈不动本身加三为八两。〉   次呼二六加一十二 〈本身加一更于下位,加二两。〉   又次呼一六如加六 〈不动。本身只于下位加六。〉今有银四百三十二两。问:该斤若干。
答曰:二十七斤。
法曰:此是两求斤。置银四百三十二两为实,以截两法通之,定位只认十两上得斤,依次升上。即得。〈起〉 先呼二一二五  〈变本身二为一。更于下位加二。又下位加五,〉    次呼三一八七五 〈变本身三为一。更于下位加八。七五〉    又次呼四二五  〈变本身,四为二,更于下位加五。〉一法或用十六两除之亦得。
今有麝香一百两,乳香一千两,芸香一万两。问:各斤数若干。
答曰:麝香六斤四两,乳香六十二斤八两,芸香六百二十五斤。
法曰:置香各用截两歌一退六二五法。麝香一百两退作六斤二五,斤数不动。二五可用加六之法。先从尾五加起,五六加三作八次,于前位二六加一十二,共得四两,合问。乳香一千两退作六十二斤五,六十二斤不动,五可用加六之法。五六加三作八两,合问。芸香一万两退作六百二十五斤,因无两数不必加也。馀仿此。
还原

五六加三 二六加一十二 六六加三十六以合万两
今有心红,每斤价银三钱八分。问:每两价若干。答曰:每两价银二分三釐七毫五丝。
法曰:置银三钱八分,以截两为斤法变之,即一退六二五也。或用十六除之,亦同。
〈起〉 八五    〈本身八去三变为五〉    三一八七五 〈变本身三作一,下位挨次加八、七、五。〉今有水银,每两价银一分八釐五毫。问:每斤价若干。答曰:每斤价银二钱九分六釐。
法曰:每斤一十六两,以每两价一分八釐五毫乘之即得。
一法:置每两价一分八釐五毫,以加六法加之五。六加三十六,八加四十八,一六加六亦得。
今有靛花一十八斤,每两价钱一十二文。问:该钱若干。
答曰:三千四百五十六文。
法曰:此是斤问两价。置靛花一十八斤,用加六法得二百八十八两为实。以价钱一十二文为法乘之,合问。
今有黄蜡五百三十五斤七两,每两价八釐九毫。问:该银若干。
答曰:七十六两三钱四分六釐三毫。
法曰:此是斤问两价。置蜡五百三十五斤,用加六法得数,并入零七两,共八千五百六十七两为实。以价八釐九毫为法乘之,合问。
今有大青四百三十二斤一两,每斤价银二两。问:该银若干。
答曰:八百六十四两一钱二分五釐。
法曰:置青四百三十二斤不动,以斤下一两用截两歌通之,将一两退位作六二五,并得四百三十二斤。○六二五为实,以斤价为法乘之。合问。
今有杏仁二百一十八斤四两,每斤价五钱二分。问:该银若干。
答曰:一百一十三两四钱九分。
法曰:置斤以上不动,只将四两化作二五,并入斤共二百一十八斤二五为实。以价五钱二分为法乘之。合问。
今有铜丝四百六十八斤十两,每斤价银二钱四分。问:该银若干。
答曰:一百一十二两四钱七分。
法曰:置铜丝百斤不动,只将十两化作六二五,并斤得四百六十八斤六二五为实。以价二钱四分为法乘之,合问。
今有枣子七十八斤二两,每枣一斤,换栗二斤四两。问:该栗若干。
答曰:一百七十五斤一十二两五钱。
法曰:置枣七十八斤不动,将二两化为一二五,并得七十八斤一二五为实。另以二斤不动,将四两化作二五,并得二斤二五。为法乘之得一百七十五斤七八一二五。却将斤下零七八一二五用加六之法加之,得一十二两五钱。合问。
今有生漆三百七十七斤,每斤晒得熟漆四两。问:该熟漆若干。
答曰:九十四斤四两。
法曰:置生漆为实。以晒熟漆四两化作二五,为法乘之得九十四斤二五。却将二五用加六法得四两。合问。
原买大绿一斤,用价七钱六分五釐。今又买六两。问:该价银若干。
答曰:二钱八分六釐八毫七丝五忽。
法曰:置今买绿六两化为三七五为实。以每斤七钱六分五釐为法乘之。合问。
原有银一钱,买猪肉四斤。今只有银三分五釐。问:该肉若干。
答曰:该肉一斤六两四钱。
法曰:置银三分五釐为实。以每银一钱肉四斤为法乘之,得一斤四,此乃是虚数合斤之数也。其四宜当每两用加六之法。四六加上二两四钱,共得一斤六两四钱。合问。
原有银二钱三分,买白铜一十三两。今欲买五斤二两。问:该银若干。
答曰:一两四钱五分零七毫七丝。
法曰:置今买铜五斤二两,以斤求两法加之。〈只加斤不加两。〉五六加三十,共得八十二两。以原银二钱三分乘之,得一十八两八钱六分为实。以原铜一十三两为法除之,合问。〈此乃异乘同除之法。〉
原有银七钱五分,买墨二斤四两。今有银二钱四分。问:该墨若干。
答曰:一十一两五钱二分。
法曰:置今有银二钱四分,以原买墨二斤四两,可将四两化为二五共二斤二五,为法乘之得五十四两为实。以原银七钱五分为法除之得七二,此乃合斤之两数,可用加六法加之。二六加一十二,六七加四十二,共成一十一两五钱二分是也。〈此亦是异乘同除法。〉今有木香一十二斤,价银四两三钱二分。问:每两价若干。
答曰:二分二釐五毫。
法曰:置银四两三钱二分为实,以木香一十二斤为法除之,每斤得价三钱六分。以两求斤法呼之六三七五三一八七五合问。〈若用十六归除亦得。〉
今有猪肉八十四斤,每银一两四十八斤算。问:该银若干。
答曰:一两七钱五分。
法曰:置肉八十四斤为实。以每两四十八斤为法除之。合问。
今有棉花一百五十七斤半,每花八斤十二两换布一匹。问:该布若干。
答曰:一十八匹。
法曰:置花一百五十七斤半为实。以八斤十二两,先将十二化作七五,共八斤七五,为法除之,即得。今有猪一口,因无大秤,以小秤称之,不及。原秤锤重一斤十两,又加秤锤一斤四两八钱,称得六十七斤。问:该公道实数若干。
答曰:实重一百二十斤九两六钱。
法曰:置原秤锤二十六两,又加锤二十两八钱,共四十六两八钱。以共称猪六十七斤乘之,得三千一百三十五斤六为实。另以原秤锤二十六两为法除之,得一二○六,乃一百二十斤实数。六乃斤下虚数,用加六法加得九两六钱是也。
原秤称物八斤二两,因失去锤,今欲买锤配秤。不知轻重,另将别锤重二斤五两称之原物,只得六斤。问:原锤重若干。
答曰:原锤重一斤十一两三钱有畸。
法曰:置后锤称物六斤,以加六法通之,得九十六两。以后锤三十七两乘之,得三五五二为实。另以原物八斤二两,亦用加六法通之,得一百三十两。为法除之得二十七两三钱有畸。合问。
今有菜子二百五十斤,换油八十八斤。问:百斤、十斤、一斤、一两,各该油若干。
答曰:百斤该油三十五斤三两二钱,十斤该油三斤八两三钱二分,一斤该油五两六钱三分二釐,一两该三钱五分二釐。
法曰:置油八十八斤为实。以菜子二百五十斤为法除之,得数三五二为实。听从活变而用加六之法,遇斤十百以上不可加,但两起以下加之。合问。
今有胡椒六百斤,价银七十五两。问:铢、分、两、裹、秤、钧、石、引及价各若干。
答曰:铢二十三万四百铢,〈每铢价三毫二丝五忽五微二纤。〉
分三万八千四百分,〈每分价一釐九毫五丝三忽一微二纤五沙。〉两九千六百两,〈每两价七釐八毫一丝二忽五微。〉裹三百裹,〈每裹价二钱五分。〉
秤四十秤,〈每秤价一两八钱七分五釐。〉
钧二十钧,〈又曰砠,每钧价三两七钱五分。〉石五石,〈又曰默,每石价一十五两。〉
引三引。〈每引价二十五两。〉

法曰:置椒六百斤为实。以二归之得三百裹。就以七五除之,得四十秤。又以二归之,得二十钧。复以四归之,得五石。再以十二乘之,仍得原六百斤。却以二归之,得三引。又以二乘之,仍得原六百斤。却以六加之,得九千六百两。又以二四乘之,得二十三万零四百铢。另以价银七十五两为实,却以各率数为法除之。合问。
今有铜一千零五十六铢。问:该斤两若干。
答曰:二斤十二两。
法曰:此是铢求斤两。置铜一千零五十六为实。以铢法三百八十四除之,得二斤,尚馀二百八十八铢。另以二十四铢除之,得一十二两。合问。
炼镕铜铁矿

今有铜一经入炉,每十斤得八斤。今三经入炉,得七十五斤一十三两四钱四分。问:原生铜若干。
答曰:一百四十八斤二两。
法曰:置铜七十五斤加六并入零两钱,共得一千二百一十三两四钱四分为实。另置八斤自乘,得六十四。再乘得五百一十二。为法除之,得二千三百七十两。以斤法十六除之,得一百四十八斤一二五。却将一二五加六为二两合问。一法:置铜变作两数,以八归三次亦得。
今有铁一经入炉,每十斤得七斤。今三经入炉,得铁七十九斤一十两零九钱三分一釐。问:原生铁若干。答曰:二百三十二斤五两。
法曰:置铁七十九斤加六并入零两钱,共一千二百七十四两九钱三分一釐为实。另以七斤自乘得四十九。再乘得三百四十三。为法除实得三百七十一两七钱。以斤法除之,得二百三十二斤三一二五。却将三一二五加六为五两。合问。
今有炼矿为银,初次入炉,每三两炼得二两。第二次入炉,每七两炼得五两。第三次入炉,每五两炼得四两。凡三次入炉,炼到足色银一十六两。问:原矿若干。答曰:四十二两。
法曰:以每次炼得二两、五两、四两相乘,得四十两为法。另以入炉三两、七两、五两相乘,得一百零五两。以乘一十六两得一千六百八十两为实。以法除之得原矿四十二两。合问。
度法端匹歌

四十为匠五为端,或减或加尺寸宽。端匹乘来方见尺,尺求端匹法除看。
诸物皆所用度,故首论之今世俗尺度不等,无物可为定则。或云以黍作一分,十分为一寸。又云黄金方寸为一斤。今较古斛法二尺五寸比俗用尺不同,难为准则。
解曰:原以四丈为一匹,五丈为一端。今无定规。或三丈上下亦为匹也。古设端匹之数,今亦长短不一,难以执法,从俗可也。
今有布四百二十五匹,每匹价银二钱五分。问:该银若干。
答曰:一百零六两二钱五分。
法曰:置四百二十五匹为实。以匹价二钱五分为法乘之,合问。今有绢一端长五丈,每尺价钞二百四十文。问:该钞若干。
答曰:一十二贯。
法曰:置绢五十尺为实。以每尺价二百四十文为法乘之。合问。
原有罗二丈四尺,共价一两八钱。今罗一匹长四丈。问:该银若干。
答曰:三两。
法曰:置原银一两八钱,以乘今罗四丈,得七十二为实。以原罗二丈四尺为法除之。合问。
今有纱一十二匹二丈六尺,每匹四丈二尺,卖钞二百六十五贯。问:每尺该钞若干。
答曰:五百文。
法曰:置钞二百六十五贯为实。以纱一十二匹,用匹法四丈二尺乘之,加入零二丈六尺,共得五百三十尺,为法除之。合问。
今有银二十六两五钱,买纱。每匹长四丈二尺,价银五钱。问:该买纱若干。
答曰:五十三匹。
法曰:置银二十六两五钱,以乘每匹四丈二尺,得一千一百一十三匹为实。以匹价五钱为法除之,得二千二百二十六尺。又以匹法四丈二尺除之,得五十三匹。合问。
今有布三匹二丈八尺,每匹价银二钱四分。问:该银若干。
答曰:八钱八分八釐。
法曰:以匹下二丈八尺,用匹法四丈归之,得七分。并入三匹,共三匹七分为实。以价二钱四分为法乘之合问。
原借人布一匹,长四丈,阔二尺。今将狭布阔一尺八寸算还。问:该长若干。
答曰:四丈四尺九分尺之四。
法曰:置布长四丈,以阔二尺乘之,得八十尺为实。以今布一尺八寸为法除之,得四十四尺不尽八。以法实皆折半,命之曰九分尺之四。合问。〈此是借宽还窄法。〉原有银二十三两,买布七十五匹。每匹长四丈,阔二尺。今要狭布阔一尺六寸,长与前同,狭数照前扣减。问:价若干。
答曰:四两六钱。
法曰:置银为实。另置布七十五匹,以每匹四丈通之,得三百丈。以阔二尺乘之,得六千尺。为法除实得每尺价三釐八毫三丝三忽三微三纤。另以阔二尺减去一尺六寸,馀阔四寸。以乘三千尺得一千二百尺,为不及数。以尺价三八三三三三乘之,得退还银四两六钱。合问。
假如原买布共长二百四十八尺,阔二尺一寸。今无原布,却将狭布长二百八十尺。问:折算合还阔若干。答曰:一尺八寸六分。
法曰:置原布长以原阔乘为实。以今长为法除之合问。
就物抽分歌

抽分法就物中抽,脚价乘他都物求。别用脚钱搭物价,以其为法要除周。除来便见脚之总,馀者皆为主合留。算者不须求别诀,只将此法记心头。
今有米三千五百石,每石脚价五分。因无存银,却将原米扣出准还。照原来价,每石六钱五分,扣算还脚。问:主脚各若干。
答曰:主米三千二百五十石,脚米二百五十石。法曰:置米三千五百石,以脚价五分乘之,得一百七十五两,是脚银总数,为实。另将米每石价六钱五分并脚价五分共七钱,为法除实得脚价米二百五十石。以减总米一千五百石,馀三千二百五十石为主米。合问。
今有白罗六十七丈五尺,于内抽一丈七尺五寸,买颜色作染。只染得红罗六丈二尺五寸。问:各该若干。答曰:红罗五十二丈七尺三寸四分三釐七毫五丝,买颜色罗一十四丈七尺六寸五分六釐二毫五丝。法曰:置总罗六十七丈五尺,以染红罗六丈二尺五寸乘之,得四百二十一丈八尺七寸五分为实。以染红罗六丈二尺五寸并入颜色罗一丈七尺五寸,共得八丈。为法除之,得红罗五十二丈七尺三寸四分三釐七毫五丝。以减总罗,馀得颜色罗。合问。
今有丝四十三斤十二两织绢,每匹用丝一斤,与织工丝四两。问:各该若干。
答曰:织成绢三十五匹,织工丝八斤十二两。
法曰:置丝四十三斤不动。斤下十二两化为七五并,共四十三斤七五。以织工丝四两化为二五,乘之得十斤○九三七五为实。另将织绢丝并织工丝共一斤二五,为法除之,得八斤七五。却将七五用加六法加之,为十二两。共八斤十二两为织工丝。以减总丝,馀为织绢丝三十五斤。每匹用丝一斤即三十五匹。合问。
一法:置丝四十三斤十二两,以斤通两共七百两。以织工丝四两乘之,得二千八百两为实。以每匹丝一十六两加入织工丝四两,共二十两。为法除之得织工丝一百四十两,通斤得八斤十二两。以减总丝馀得三十五斤。每匹用一斤,即三十五匹。合问。




钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百十七卷目录

 算法部汇考九
  算法统宗五〈衰分章第三〉

历法典第一百十七卷

算法部汇考九

《算法统宗五》衰分章第三

衰者,等也。物之混者,求其等而分之。以物之多寡,求其出税;以人户等第,求其差徭。以物价,求贵贱高低者也。
衰分歌

衰分法数不相平,须要分数一分成。将此一分为之实,以乘各数自均平。
法曰:各列置衰,排列所求等次之位,副并共若干为法。以所分物总乘未并者〈是前列衰〉,各自为实以法除之,即得所问。
可约者,约分之不尽者,以法命之。

一法:置所分物为实,并各衰,为法除之,得一衰。以乘各衰。
合率差分

今有银一千二百两,买绫绢。议要绢一停,绫二停。其绫每匹价三两六钱,绢每匹价二两四钱。问:二色并价各若干。
答曰:绫二百五十匹价九百两,绢一百二十五匹价三百两。
法曰:置银一千二百两为实。另置绫价,以二因之得七两二钱。并入绢价二两四钱,共九两六钱。为法除之得绢一百二十五匹。倍之得绫一百五十匹。各以原价乘之,合问。
今有银一百二十一两一钱七分五釐,籴米、麦、豆。议要米一分、麦二分、豆三分。其米每斗九分二釐,麦每斗八分五釐,豆每斗三分六釐。问:三色并价各若干。答曰:米三十二石七斗五升价银三十两零一钱三分,麦六十五石五斗价银五十五两六钱七分五釐,豆九十八石二斗五升价银三十五两三钱七分。
法曰:置总银为实。另置麦价以二因之得一钱七分。又置豆价以三因之得一钱零八釐。米价九分二釐。并三价得三钱七分。为法除实得米数。二因得麦数。三因得豆数。各以原价乘之,得各价。合问。
又法:先得米数,倍之得麦数,加五即豆数。
今有鳏、寡、孤、独四贫民,共给米二十四石。其鳏者四分,寡者五分,孤者七分,独者九分。问:四民各该米若干。
答曰:鳏者给米三石八斗四升,寡者给米四石八斗,孤者给米六石七斗二升,独者给米八石六斗四升。
法曰:置米为实。另置鳏四、寡五、孤七、独九并之,共二十五。为法除实得九斗六升,为一衰之数。以各自衰因之。合问。
今有甲、乙、丙、丁四人,各出本银七两五钱。甲银八色,乙银七色,丙银六色,丁银四色,共三十两。入炉倾成一锭。合夥不成,各欲分散。问:各该若干。
答曰:甲银九两六钱,乙银八两四钱,丙银七两二钱,丁银四两八钱。
法曰:并四人各出七两五钱共三十两为法。另以四人各原银折作足色纹银。甲得六两,乙得五两二钱五分,丙得四两五钱,丁得三两。四共并得足色银一十八两七钱五分为实。以法除实得六二五色。就以此为法,以除各人折过足色银得分六二五色银数。合问。
今有张三出本银十九两六钱四分,李四出本银十二两三钱六分。共出本银三十二两。营运折了七两。问:各折若干。
答曰:张三折银四两二钱九分六釐二毫五丝,李四折银二两七钱零三釐七毫五丝。
法曰:置折银七两为实。以共本银三十二两为法除之,得二钱一分八釐七毫五丝乃是一两折数。就以此乘各人原本,合得各折数也。合问〈按此法置张本银李本银列二
位,各以七两乘之,却以三十二两为法,归除之亦得
。〉
今有三色金共二十两。内九色四两、七色七两、五色九两,欲销一处。问:成色若干。
答曰:六五成色。
法曰:置九色四两,以九因得三两六钱。七色七两以七因得四两九钱。五色九两以五因得四两五钱。并三位折赤金一十三两为实。以原金二十两为法除之。合问。
今有一人将桃二百七十五个,一人将梨二百二十个,各欲换西瓜。其瓜每个钱二十七文半,桃每个三文半,其梨每个八文。问:各换瓜若干。
答曰:桃主该换瓜三十五个,梨主该换瓜六十四个。
法曰:置桃数以价三文半乘得九百六十二文半为实。以瓜价为法除之,得桃换瓜数。另置梨数以价八文因之,得一千九百六十文为实。以瓜价为法除之得梨换瓜数。合问。
今有官米七十三石二斗,令三等人户出之。上等二十五户,每户五分。中等四十户,每户三分。下等六十户,每户一分。问:各等户米若干。
答曰:上等每户一石二斗共三十石,中等每户七斗二升共二十八石八斗,下等每户二斗四升共一十四石四斗。
法曰:置总米为实。另置上等二十五户,五因得一百二十五。中等四十户,三因得一百二十。下等六十户,得六十。以三数并之,共得三百零五。为法除之,得二斗四升,是下等一户所出之数。三因得七斗二升,是中等一户所出数。五因得一石二斗,是上等一户所出数。各以户数乘之,得各等共数。合问。
今有军二万五千二百名,共支米、麦、豆三色。只云四人支米三石,七人支豆八石,九人支麦五石。问:各该若干。
答曰:米一万八千九百石,麦一万四千石,豆二万八千八百石。
法曰:置军数列三位。一位以三因得七万五千六百,以四除得米一万八千九百石。一位以五因得一十二万六千,以九除得麦一万四千石。一位以八因得二十万零一千六百,以七除得豆二万八千八百石。合问。
今有官田一顷三十八亩。每亩科正米二斗。今要七分本色米,三分折纳细丝。每米一石折丝一斤。问:各纳若干。
答曰:米一十九石三斗二升,丝八斤四两四钱八分。
法曰:置田数,以正米二斗乘得二十七石六斗,置列二位。一位以七乘得米一十九石三斗二升。一位以三乘得八石二斗八升。以石变斤零二八,用加六得两钱之数。合问。
四六差分

法曰:各以四为首,用加五以求各衰。首位四就身加五得六,又加五得九,又加五得十三衰五分,又加五得二十衰零二分五釐。如位数多者,各加五以生。各衰仿此。
一法:以首位为四,用四归六因以求各衰〈不如加五捷径〉。二位者〈四 六〉,并得十。三位者〈四 六 九〉,并得十九。四位者〈四 六 九 一十三衰半〉,并得三十二衰五分。五位者〈四 六 九 十三衰五 二十衰二分五釐〉,并得五十二衰七分五釐。各副并为法除实,得一衰以乘各衰。合问。
今有金四千两,令二等金户四六纳之。问:各该若干。答曰:上等户该二千四百两,下等户该一千六百两。
法曰:置总金为实。以六因得上户,以四因得下户。合问。
今有米一千五百五十八石。令甲、乙、丙三人四六纳之。问:各该若干。
答曰:甲七百三十八石,乙四百九十二石,丙三百二十八石。
法曰:置米为实。列〈丙四 乙六 甲九〉副并共得十九衰,为法除实得八十二石为一差衰。以乘各人衰数即出纳数也。
今将前米,令甲、乙、丙、丁四等人户,作四六出纳。问:各该若干。
法曰:置米为实。列〈丁四 丙六 乙九 甲十三衰五分〉副并共得三十二衰五分,为法除实得若干,乃为一衰之数。以四因得丁所该纳数。列一衰则以乘各人衰数,合得各人所纳数也。
又将前米令甲、乙、丙、丁、戊五等人户作四六纳之。问:各该若干。
法曰:置米为实。列〈戊四 丁六 丙九 乙十三衰五分 甲二十衰○二分五釐〉副并得五十二衰七分五釐。为法除实得若干为一衰之数。以此为则以乘各人衰数,合得各人出纳数也。
今有米三百八十五石五斗二升,令二等人户从上四六出之。甲上等二十六户,乙下等四十户。问:各户各若干。
答曰:上等每户七石三斗二升共计一百九十石零三斗二升。下等每户四石八斗八升共计一百九十五石二斗。
法曰:置米为实。另以上等二十六户以六因得一百五十六衰。又以下等四十户以四因得一百六十衰。二共并之,得三百一十六衰。为法除实得一石二斗二升为一差衰。以六因得七石三斗二升是上等一户出数。另以一衰数,以四因得四石八斗八升是下等一户所出数。各以户数乘之,合问。
二八差分

法曰:各以二为首,用四因以求各衰。首位二以四因得八衰,又四因得三十二衰,又四因得一百二十八衰,又四因得五百一十二衰。如位数多者,各以四因以生各衰。
一法:以首为二,用二归八因以求各衰〈不如四因捷径〉。二位者〈二 八〉,并得十。三位者〈二 八 三十二〉,三共并得四十二。四位者〈二 八 三十二 一百二十八〉,四共并得一百七十。五位者〈二 八 三十二 一百二十八 五百一十二〉,五共并得六百八十二衰。为法除实得一分衰数。以乘各衰。今有金三千两,令二等人户二八纳之。问:各该若干。答曰:上等户二千四百两,下等户六百两。
法曰:置总金列二位为实。一位以八因得上等户所纳之数,一位以二因得下等户所纳之数,
若令三等人户作二八出之。
法曰:置总金为实。列〈丙二 乙八 甲三十二〉三共并得四十二衰,为法除实得若干为一衰之数以为法则。以二衰因得若干为丙出金之数。又以八衰因得若干为乙出金之数。又以三十二衰乘之,得若干为甲出金之数。合问。
若令四等人户二八出纳,只加上等四衰一百二十八,四共并衰一百七十。为法除实得一衰之数,以乘各衰。即得。
若五等亦只加衰,用法如前。
三七差分

法曰:各以三为首,就以三因,或又三因,再三因,务求得宜为首衰。却用三归七,因以求各衰。
二位者,首位三,次位七,并得十。三位者,首位三就以三因得九为丙衰。却以九用三归七因得二十一为乙衰。再以二十一用三归七因得四十九为甲衰。三位并得七十九衰。四位者,首位三以三因得九。又三因得二十七为丁衰。却以二十七用三归七因得六十三为丙衰。却以六十三用三归七因得一百四十七为乙衰。却以一百四十七用三归七因得三百四十三为甲衰。四并得五百八十。五位者,首位三以三因,又三因,再三因得八十一为戊衰。却以戊衰用三归七因得一百八十九为丁衰。却以丁衰用三归七因得四百四十一为丙衰。却以丙衰用三归七因得一千零二十九为乙衰。却以乙衰用三归七因得二千四百零一为甲衰。五并共得四千一百四十一。各以副并为法除实得一衰数。以乘各衰如位数。多者皆以三因。首位用三归七,因以求下位衰数。今有金三千两,令休、绩二县金行铺户,三七上纳。问:各该若干。
答曰:休宁县二千一百两,绩溪县九百两。
法曰:置金数为实。以七因即休邑纳数。以三因即绩邑纳数。合问。
今有银四百九十七两七钱。令甲、乙、丙三人三七分之。问:各该若干。
答曰:甲三百零八两七钱,乙一百三十二两三钱,
丙五十六两七钱。

法曰:置总银为实,列〈丙九 乙二十一 甲四十九〉副并得七十九衰,为法除实得六两三钱为一衰数。以乘各衰得各人数。合问。
若令四人作三七分之。
法置总银为实,列〈丁二十七 丙六十三 乙一百四十七 甲三百四十三〉副并得五百八十衰,为法除实得若干,为一衰之数。以乘各衰得各人数。
若令五人作三七分之。
法置总银为实。列〈戊衰八十一 丁一百八十九 丙四百四十一 乙一千零二十九 甲二千四百零一〉副并得四千一百四十一衰,为法除实得若干为一衰之数。就以此为法,以乘各衰得数。合问。
折半差分

法曰:以所分物折半为衰。二位者〈一 二〉,并得三。三位者〈一 二 四〉,并得七。四位者〈一 二 四 八〉,并得十五。五位者〈一 二 四 八 十六〉,并得三十一。各副并为法除实〈按此法加一倍法也。首衰倍之得次衰。又倍之得三衰。四、五同〉。今有钱五百九十四文,令甲乙二人折半分之。问:各该若干。
答曰:甲三百九十六文,乙一百九十八文。
法曰:置总钱为实。以〈甲二乙一〉并得三衰。为法归实得一百九十八文,为乙所得数。倍之得三百九十六文,为甲所得数。合问。今有银六百七十二两,令三等人作折半分之。问:各该若干。
答曰:甲三百八十四两,乙一百九十二两,丙九十六两。
法曰:置总银为实。以〈甲四 乙二 丙一〉并得七衰,为法除实得九十六两为丙所得数。以二因得乙数。以四因得甲数。合问。
今有女子善织,初日迟,次日加倍,第三日转速倍增,第四日又倍增。织成绢六丈七尺五寸。问:各日织若干。
答曰:初日织四尺五寸,次日织九尺,第三日织一丈八尺,第四日织三丈六尺。
法曰:置绢为实。列〈一 二 四 八〉并得十五,为法除实得初日织四尺五寸。倍之得次日数。再倍得第三日数。又倍得第四日数。合问。
递减挨次差分

法曰:置所分物者,挨次为衰,各列置衰算之。三位者〈一 二 三〉,并得六。四位者〈一 二 三 四〉,并得十。五位者〈一 二 三 四 五〉,并得十五。六位者〈一 二 三 四 五六〉,并得二十一。各副并,为法除实。
今有绢七百二十匹,令甲、乙、丙三人依等挨次分之。问:各该若干。
答曰:甲三百六十匹,乙二百四十匹,丙一百二十匹。
法曰:置绢为实。以〈甲三 乙二 丙一〉并得六衰,为法除实得一百二十匹为丙所得数。以二因得乙数,以三因得甲数。合问。
今有银九十二两,分散四子,依等挨次分之。问:各该若干。
答曰:长子三十六两八钱,次子二十七两六钱,三子一十八两四钱,四子九两二钱。
法曰:置总银为实〈以长子四 次子二 三子二 四子一〉。副并得十衰。为法除实得九两二钱为四子所得数。自下而上各加九两二钱。合问。
今有金八两一钱,欲挨次造套钟五个。问:各重若干。答曰:大号二两七钱,二号二两一钱六分,三号一两六钱二分,四号一两零八分,五号五钱四分。
法曰:置金为实。以〈五 四 三 二 一〉副并得一十五衰,为法除实得五钱四分,为五号钟重数。自下而上各加五钱四分。合问。
若造礼、乐、射、御、书、数六号杯。
法置总金数为实。以〈六 五 四 三 二 一〉副并得二十一衰。为法除实得数字杯重若干。自下而上各加数字号杯重若干。合问。
今有粮一千一百三十四石,令五等人户挨次上纳。一等二十四户,二等三十三户,三等四十二户,四等五十一户,五等六十户。问:各若干。
答曰:一等每户十石零五斗,共计二百五十二石。二等每户八石四斗,共计二百七十七石二斗。三等每户六石三斗,共计二百六十四石六斗。四等每户四石二斗,共计二百一十四石二斗。五等每户二石一斗,共计一百二十六石。
法曰:置粮为实。第五等户不动,将四等户数以二因得若干。又将三等户数以三因得若干。再将二等户数以四因得若干。又将一等户数以五因得若干。并五等数共得五百四十衰。为法除实得二石一斗。是第五等一户所出数。以二因得四等一户所出数。以三因得二等一户所出数。以四因得三等一户所出数。以五因得一等一户所出数。各以户数乘之。合问〈自五等起递加二石一斗至一等止〉。今有米二百四十石,令甲、乙、丙、丁、戊五人递差分之,要将甲乙二人数,与丙、丁、戊三人数同。问:各该若干。答曰:甲六十四石,乙五十六石,丙四十八石,
丁四十石,戊三十二石。
法置总米为实。列〈甲五 乙四 丙三 丁二 戊一〉又并甲五、乙四得九。又并丙三、丁二、戊一得六,减九馀三。却以前五人衰内各增三,甲得八,乙得七,丙得六,丁得五,戊得四。副并得三十衰,为法除实得八石为一衰数。以乘各人后增衰数,得各人所得数。合问〈戊起递加八数至甲止〉。或七人分者,要将甲、乙、丙三人数与丁、戊、己、庚四人数同者。又云三人分者,要将甲得数与乙丙二人所得数同者,俱仿前法算之。
今有金六十两,令甲、乙、丙三人,依等递差五两。问:各该若干。
答曰:甲二十五两,乙二十两,丙一十五两。
法曰:置金六十两内减差甲多丙十两、乙多丙五两、共一十五两,馀四十五两为实。以三人为法除之得丙金一十五两。加五两得二十两为乙所得。又加五两为甲所得。合问〈按凡算递差者,皆可互和折半。故不必另立互和之法,即以金六十
两用三归之,即得乙数也
。〉今有俸米三百零五石,令五等官依品递差十三石
分之。问:各该若干。
答曰:正一品八十七石,从一品七十四石,正二品六十一石,从二品四十八石,正三品三十五石。
法曰:置五等于上,又列五等减一馀四。以乘五得二十,折半得一十为实。以每等差十三石乘之,得一百三十石。以减总米三百零五石馀一百七十五石。却以五等除之,得三十五石是第五等正三品俸米。加十三石是第四等从二品俸米。又加十三石,是正二品俸米。各品递加十三。合问〈按此法置总银为实,只用五归即得正二品数。
递加则得从一品、正一品数。递减则得从二品、正三品数也
。〉
今有官米二百六十五石,令三等人户出之。上等二十户,每户多中等七斗。中等五十户,每户多下等五斗。下等一百一十户。问:每户所出及逐等各若干。答曰:上等每户二石四斗共四十八石,中等每户一石七斗共八十五石,下等每户一石二斗共一百三十二石。
法曰:置中等五十户。以每户多下等五斗因之,得二十五石。又置上等二十户,以每户多中等七斗,多下等五斗共一石二斗乘之,得二十四石。并二数共四十九石。以减总米馀二百一十六石为实。并三等户数共一百八十。为法除实得一石二斗,是下等一户所出数。加五斗得一石七斗,是中等一户所出数。又加七斗,得二石四斗是上等一户所出数。各以户数乘之。合问。
带分母子差分

今有马军七人,给裤布四十八尺。步军六人,给袄布九十二尺。今共给布一十二万五千八百二十尺。问:各该若干。
答曰:马步军各五千六百七十人,袄布八万六千九百四十尺,裤布三万八千八百八十尺。
法曰:置分母子互乘〈七人六人〉〈四十八 九十二〉,以七人乘九十二尺得六百四十四尺。另以六人乘四十八尺得二百八十八尺。并之得九百三十二尺为法。置布一十二万五千八百二十尺,却以六人、七人相乘,得四十二而乘之,得五百二十八万四千四百四十尺为实。以法除之得军数各五千六百七十人。以四十八乘,又用七归得裤布。又以九十二乘军数,用六归得袄布。合问。
今有昆仲三人,小弟谓长兄曰:我年纪比汝四分之三,次兄年纪比汝六分之五,我多八岁。问:三人岁数各若干。
答曰:长兄九十六岁,次兄八十岁,小弟七十二岁。
法曰:置〈六分四分〉〈之五之三〉以母四互乘子五得二十,为次兄之差。又以母六互乘子三得十八,为小弟之差。又以母四、六相乘得二十四,为长兄之差。另以二十减去十八馀二为法。先置长兄差二十四,以八岁乘之得一百九十二为实。以法二除之,得九十六为长兄之岁。另以次兄差二十,以八岁乘之,得一百六十为实。以法二除之,得八十为次兄之岁。另以小弟十八,亦以八岁乘之,得一百四十四为实。以法二除之得七十二,为小弟岁数。合问。
今有七人,差等均钱。甲乙均七十七文,戊、己、庚均七十五文。问:丙、丁各若干。
答曰:甲四十文,乙三十七文,丙三十四文,丁
三十一文,戊二十八文,己二十五文,庚二十
二文。
法曰:置〈二人三人〉〈七十七文 七十五文〉,令母互乘子,以二人乘七十五文,得一百五十。另以三人乘七十七文,得二百三十一文。以少减多馀八十一,为一差之实。并分母二人、三人得五,折半得二人半。以减总七人馀四人半,却以分母二人、三人乘得六。以乘四人半得二十七,为一差之法。馀实八十一得三文为一差数。置甲乙均七十七文加二文,共八十文。折半得四十文,为甲得数,递减三文。合问。
今有兵士三千四百七十四名,每三人支衫绢七十尺,每四人支裙绢五十尺。问:该总绢若干。
答曰:共绢一十二万四千四百八十五尺,衫绢八万一千零六十尺,裙绢四万三千四百二十五尺。法曰:置〈三人 四人〉〈七十尺 五十尺〉,以三人互乘五十,得一百五十。以四人互乘七十,得二百八十。并之共四百三十。乘兵士得一百四十九万三千八百二十为实。又以三四相乘,得十二。为法除实得总绢数。另置兵士总以七因三归得衫绢数。以五因四归得裙绢数。合问。
互和减半差分

法曰:以〈一 三 五 七 九〉为阳位,〈二 四 六 八 十〉为阴位。三位者〈三 五 七〉并得十五数。四位者〈二 四 六 八〉并得二十数。五位者〈一 三 五 七 九〉并得二十五数。照位并而为法除实,得首尾二人共数。于内减甲多或丙少数,馀数折半,得首尾数。加甲多或丙少数为首数。三位者互和首尾。甲丙二人所得数折半得中乙数。合问。
四位者照前得首尾甲丁二人数,其中有乙丙二人。不可折半得数,却置甲多或丁少数,依例用三归之,合问。
五位者照依前得首尾甲戊二人数。互和首尾数折半,得中丙数。又互和丙戊数折半,得丁数。又互和丙甲数折半,得乙数。如位数多者,皆以空位取之。并而为法除实,得首尾数〈四位者用三归之。六位者用五除之〉。今有白米一百八十石,令三人从上互和减半分之,只云甲多丙米三十六石。问:各该若干。
答曰:甲七十八石,乙六十石,丙四十二石。
法曰:置米一百八十石为实。以〈三 五 七〉并得一石五斗,为法除实得一百二十石,乃甲丙二人首尾共数。于内减甲多三十六石,馀八十四石。折半得丙四十二石,加多三十六石,得甲米七十八石。互和甲丙米,折半得乙米六十石。合问。
今有银二百四十两,令四人从上互相减半分之。只云甲多丁一十八两。问:各该若干。
答曰:甲六十九两,乙六十三两,丙五十七两,
丁五十一两。
法曰:置银为实。以〈二 四 六 八〉并得二两,为法除实得一百二十,乃甲丁首尾二人共数。于内减甲多一十八两,馀一百零二两,折半得丁银五十一两。加多一十八得甲银六十九两。惟乙丙二人不可并折。以甲多一十八例,用三归之,得六两。加入丁银得丙银五十七两。又加六两得乙银六十三两。合问。
今有钞二百三十八贯,令五等人从上作互和减半分之。只云戊不及甲三十三贯六百文。问:各该钞若干。
答曰:甲六十四贯四百文,乙五十六贯,丙四十七贯六百文,丁三十九贯二百文,戊三十贯零八百文。
法曰:置钞为实。以〈一 三 五 七 九〉并得二贯五百文。为法除之得九十五贯二百文,乃首尾二人共数。于内减戊不及甲钞,馀六十一贯六百文,折半得戊钞三十贯八百文。仍加戊不及甲钞三十三贯六百文,得甲钞六十四贯四百文。互和甲、戊钞,共九十五贯二百文,折半得丙钞四十七贯六百文。又互和丙、戊钞共七十八贯四百文,折半得丁钞三十九贯二百文。又互和甲丙钞共一百一十二贯,折半得乙钞五十六贯。合问。
今有五人均银四十两,内甲得十两四钱,戊得五两六钱。问:乙、丙、丁次第均之,各该若干。
答曰:乙九两二钱,丙八两,丁六两八钱。
法曰:并甲戊共一十六两,折半得丙银八两。又并甲丙共一十八两四钱,折半得乙银九两二钱。又并丙戊共一十三两六钱,折半得丁银六两八钱。合问。假如前三人四六分物者,可将一等与二等所得数并作一处,却分为十分。此验其一等原得数是六分。其二等原得数是四分。再将二等与三等仍前考之,其二等原得数却是六分,三等原得数却是四分也。其二八、三七俱照此考验,无差。
因指明等书,不依古法,却以十分之六误为四六。以十分之七为三七,以十分之八为二八,俱差矣。因差而考之。
今有绢四百七十丈零一尺八寸四分,令三等人户作十分之六出之。上等二十五户,中等三十户,下等四十八户。问:每户各该若干。
答曰:上等每户七丈八尺共一百九十五丈,中等每户四丈六尺八寸共一百四十丈零四尺,下等每户二丈八尺零八分共一百三十四丈七尺八寸四分。
法曰:置总绢为实。另置上等户数,以一百因之得二千五百衰。中等户数以六十因之得一千八百衰。下等户数以三十六乘之,得一千七百二十八衰。并三位共六千零二十八衰。为法除实得七丈八尺,是上等一户所出数。以六因是中等一户所出数。再以六因是下等一户所出数。各以户数乘之。合问。
今有粟一百六十八石四斗八升八合,令四等人户作十分之七出之。问:每户逐等各若干。
答曰:第一等二十二户,每户二石,共四十四石。第二等三十六户,每户一石四斗,共五十石零四斗。第三等四十二户,每户九斗八升,共四十一石一斗六升。第四等四十八户,每户六斗八升六合,共三十二石九斗二升八合。
法曰:置总粟为实。另置一等户,以一千因得二万二千。第二等户以七百因之,得二万五千二百。第三等户以四百九十乘之,得二万零五百八十。第四等户以三百四十三乘之,得一万六千四百六十四。并四位共八万四千二百四十四衰。为法除实得二石,是第一等一户所出数。以七因是二等一户数。又七因是三等一户数。又七因是四等一户数。各以户数乘之合问。十分之七即以七因,以生各等。详后解法。今有官米二百二十五石三斗六升,令五等人户作十分之八出之。问:每户逐等各若干。
答曰:第一等四户,每户二石五斗共一十石。第二等八户,每户二石共一十六石。第三等十五户,每户一石六斗共二十四石。第四等四十一户,每户一石二斗八升共五十二石四斗八升。第五等一百二十户,每户一石零二升四合共一百二十二石八斗八升。
解法曰:一等定率一万,以八因之得八千,为二等率。又八因得六千四百,为三等率。又八因得五千一百二十为四等率。又八因得四千零九十六为五等率。
前问十分之七仿此,即以七因定率。

法曰:置总米为实,另置第一等四户,以一万因之得四万。第二等八户,以八千因之,得六万四千。第三等十五户,以六千四百乘之,得九万六千。第四等四十一户,以五千一百二十乘之,得二十万零九千九百二十。第五等一百二十户,以四千零九十六乘之,得四十九万一千五百二十。并五位共九十万零一千四百四十衰。为法除实得二勺五抄,为一衰。数就以此乘一等衰一万每户,该米二石五斗。以八因得二石是第二等一户所出数。又八因得一石六斗,是三等一户数。又八因得一石二斗八升是四等一户数。又以八因得一石零二升四合,是五等一户数。各以户数乘之。合问。
匿价差分歌

匿价分身法更奇,多乘高物以为实。得价减总馀又列,共物除馀低价知。低价添多为高价,各乘各物不差池。学者能知此般算,三四物价也相宜。
今有银一万七千六百九十两,买马骡一千匹。议要马七百匹,骡三百匹,其马价多骡价七两七钱。问:各价若干。
答曰:马每匹价二十两,骡每匹价一十二两三钱。法曰:置马七百匹,以多七两七钱乘之得五千三百九十两。以减总银馀一万二千三百两。以马骡一千为法除之得骡一十二两三钱,加多七两七钱为马价。合问。
今有银二千九百二十八两,共买绫一百五十匹,罗三百匹,绢四百五十匹。只云绫匹价比罗匹价多四钱七分,罗匹价比绢匹价多一两三钱五分。问:三物匹价各若干。
答曰:绫价每匹四两三钱二分,罗价每匹三两八钱五分,绢价每匹二两五钱。
法曰:列罗三百匹,以多绢价一两三钱五分乘得四百零五两。又列绫一百五十匹,以二项多价共一两八钱二分乘得二百七十三两。并之得六百七十八两。减总银馀二千二百五十两为实。并绫罗绢共九百匹。为法除之得二两五钱,为每匹绢价。加多一两三钱五分,得罗匹价三两八钱五分。又加多四钱七分,得绫匹价四两三钱二分。合问。
今有绫七尺,罗九尺,共价适等。只云罗每尺价比绫每尺价少钱三十六文。问:各钱价若干。
答曰:绫每尺一百六十二文,罗每尺一百二十六文。
法曰:置罗九尺,以绫价三十六文乘之,得三百二十四文为实。另以绫七尺罗九尺相减馀二尺。为法除实得绫尺价一百六十二文。另置绫七尺,以三十六文乘之,得二百五十二文为实。仍将前法二尺为法除之,得罗尺价一百二十六文。合问。
今有金九块,银十一块,秤之适等。交换二块,则馀金比换银多一十三两。问:金银各重若干。
答曰:金一块重三十五两七钱五分,银一块重二十九两二钱五分,金九块银十一块各共重三百二十一两七钱五分。
法曰:列金重一十三两折半,得六两五钱。乘金九块,得五十八两五钱为实。却以金九银十一相减馀二。为法除实得银一块重二十九两二钱五分数。另置银十一块,以六两五钱乘之得七十一两五钱为实。仍以前二为法除之,得金一块重三十五两七钱五分。合问。
贵贱差分歌

差分贵贱法尤精,高价先乘共物情。却用都钱减今数,馀留为实甚分明。别将二价也相减,用此馀钱为法行。除了先为低物价,自馀高价物方成。
今有米麦五百石,共价银四百零五两七钱。只云米每石价八钱六分,麦每石价七钱二分五釐。问:米麦各若干。答曰:米三百二十石,价银二百七十五两二钱。麦一百八十石,价银一百三十两零五钱。
法曰:置米麦五百石,以米价八钱六分乘之得四百三十两。减去共价馀二十四两三钱为实。以米价内减麦价馀一钱三分五釐。为法除之得麦一百八十石。却以米麦五百石内减麦数,馀三百二十石为米数。各以原价乘之。合问。
今有银五十五两五钱,共买铜、锡、铁八万三千零五十两。只云银价相仿,每银一钱买铜一百三十两。每银一钱买锡一百五十两。每银一钱买铁一百七十两。问:三色各若干〈此为三色差分〉
答曰:铜二万四千七百两,价银一十九两。锡二万七千七百五十两,价银一十八两五钱。铁三万零六百两,价银一十八两。
法曰:置总银以三归之,得一十八两五钱,约锡为中。以每银一钱买一百五十两,乘得锡二万七千七百五十两。于总物内减讫,馀五万五千三百两。另置总银内减去一十八两五钱,馀三十七两。却以铜一百三十两乘之,得四万八千一百。减去五万五千三百馀七千二百为实。另以铜铁数相减,馀四十。为法除实得铁价一十八两。又于三十七两减去一十八两,馀一十九两为铜价。各以每银一钱买数乘之,合问。今有绫、罗、纱、绢一百六十匹,共价九十三两。绫每匹价九钱,罗每匹价七钱,纱每匹价五钱,绢每匹价三钱。问:四色各若干。
答曰:绫三十五匹该银三十一两五钱,罗四十匹该银二十八两,纱四十匹该银二十两,绢四十五匹该银一十三两五钱。
法曰:此四色差分。先置一百六十匹,以四除之得四十匹,就定中物。罗纱二色及价,却于一百六十匹内减罗纱共八十匹,馀八十匹。又于共价九十三两内减去罗价二十八两、纱价二十两,馀四十五两。以贵贱差分算之,置馀八十匹。以绫价九钱乘之得七十二两。减去四十五两,馀二十七两为实。以绫价九钱减绢价三钱馀六钱。为法除之得四十五匹,为绢数。却于八十匹内减绢四十五匹,馀三十五匹为绫。各以原价乘之,合问。
凡三色、四色差分之法,俱先定中等,惟留首尾二色。以贵贱差分法算之,不拘五、六、七、八、九色者仿此。
仙人换影歌〈又日贵贱相和〉

贵贱相和换影仙,贱物互乘贵价钱。贵物互乘贱价讫,相减馀为长法然。先使总钱乘贱物,后用总物乘贱钱。二数相减馀为实,长法除之短法言。贵物贵价各乘短,物价分明皆得全。总内减贵馀为贱,不遇知音不与传。
今有钱四千九百九十五文,共买桃梨五千个。只云钱一十一文买桃九个,又钱四文买梨七个。问:桃梨各若干。
答曰:桃三千二百八十五个该钱四千零一十五文,
梨一千七百一十五个该钱九百八十文。

法曰:列置〈九个十一文〉〈七个四文〉〈五千个四千九百九十五文〉,先以上十一互乘中七个,得七十七个。又以四文乘九个,得三十六个。以少减多馀四十一为长法。若求桃数价者,以中下互乘。置总钱以七个乘得三万四千九百六十五个。另置总果以四文乘之,得二万以减三万四千九百六十五个馀一万四千九百六十五个为实。以长法四十一除之,得三百六十五个为短法。列二位,一位以九个乘得桃三千二百八十五个,一位以十一文乘得桃价四千零一十五文。于总内减桃数,馀者即梨数价也。若求梨数价者,却置总钱以九个乘之。又置总果以十一文乘之。二数相减馀一万零零四十五为实。仍以长法四十一除之,得二百四十五为短法。列二位,一位以七个乘得梨数。一位以四文乘得梨价。合问〈求桃者以梨价求之,求梨者以桃价求之〉
今有牛羊一百只,共价一百六十八两。只云牛三只价银一十二两,羊四只价银一两五钱。问:牛羊并价各若干。
答曰:牛三十六只价银一百四十四两,羊六十四只价银二十四两。
法曰:列置〈牛三十二两〉〈羊四一两五钱〉〈共一百只共一百六十八两〉,先以上牛贵价一十二两互乘贱物羊四只得四十八两。又以贵物牛三互乘贱物羊价一两五钱得四两五钱。以减四十八两,馀四十三两五钱为长法。次以中羊四互乘总价一百六十八两,得六百七十二。又置总物一百只,以贱价一两五钱乘之,得一百五十。以减六百七十二馀五百二十二为实。以长法四十三两五钱除之,得一两二钱为短法。列二位,一位以贵物牛三乘之得牛三十六只。一位以牛贵价一十二两乘之得一百四十四两。以减总银馀得羊价。合问。今有大小鱼一百斤,共价八钱七分五釐。只云大鱼二斤价四分,小鱼七斤价五分。问:大小鱼及价各若干。
答曰:大鱼一十二斤半价银二钱五分,小鱼八十七斤半价银六钱二分五釐。
法曰:列〈大鱼二斤价银四分〉〈小鱼七斤价银五分〉〈总鱼一百斤总价八钱七分五釐〉先以上大鱼价四分互乘中小鱼七斤,得二钱八分。又以大鱼二斤互乘小鱼价五分,得一钱。以少减多馀一钱八分为长法。次以中小鱼七斤互乘下总价,得六两一钱二分五釐。又以小鱼价五分互乘总鱼一百斤,得五两。以少减多馀一两一钱二分五釐为实。以长法除之,得六分二釐五毫为短法。列二位,一位以二斤乘之,得大鱼一十二斤半。一位以四分乘之,得大鱼价二钱五分。于总鱼一百斤减去大鱼,馀得小鱼。合问。
若求小鱼者,置总价以大鱼二斤乘之,得一两七钱五分。又置总鱼一百斤,以贵价四分乘之,得四两。以少减多馀二两二钱五分。仍用前长法一钱八分除之,得一钱二分五釐为短法。列二位,一位以七斤乘之,得小鱼八十七斤半。一位以五分乘之,得小鱼价六钱二分五釐。合问。
今有圆木大小二根。内大者,一根头径一尺二寸,梢径八寸长二丈五尺。小者一根,头径一尺,梢径七寸,长二丈。共价银四十九两零八分。问:大小木各价若干。
答曰:大木三十一两二钱,小木一十七两八钱八分。
法曰:先置大木头径一尺二寸自乘,得一百四十四寸。又将梢径八寸自乘,得六十四寸。并之得二百零八寸。以长二丈五尺乘之,得积五万二千寸。又置小木头径一尺自乘,得一百寸。又将梢径七寸自乘,得四十九寸。并之得一百四十九寸。以长二丈乘之,得积二万九千八百寸。并大小积共八万一千八百寸。为法以除原价四十九两零八分,每寸派得六毫。就以此为法各乘大小积。合问。
今有石,石中有玉。外方三寸,共重一十二斤十五两。只云玉方一寸,重一十二两。石方一寸,重三两。问:玉、石各重若干。
答曰:玉一十四寸重一十斤零八两,石一十三寸重二斤七两。
法曰:置方三寸自乘得九寸。再乘得二十七寸。以玉率重一十二两乘之,得三百二十四两。减共重一十二斤十五两,即二百零七两,馀一百一十七两为贱实。以贵贱率玉十二两、石三两相减,馀九两。为法除实得石一十三寸。减共积二十七寸,馀得玉一十四寸。以玉率一十二两乘之,得一百六十八两。另以石一十三寸,以石率三两乘之,得三十九两。各以斤法通之得斤数。合问。
今有客三次出外为商,俱得合利。每次归还银三百两,三次本利恰尽。问:原本若干。
答曰:二百六十二两五钱。
法曰:置银三百两折半得一百五十。又加三百得四百五十。又折半得二百二十五两。又加三百得五百二十五两。又折半得原本二百六十二两五钱。合问。
物不知总〈又云韩信点兵也〉

孙子歌曰:三人同行七十稀,五树梅花廿一枝。七子团圆正半月,除百零五便得知。
今有物不知数,只云三数剩二个,五数剩三个,七数剩二个。问:共若干。
答曰:共二十三个。
法曰:列〈三 五 七〉维乘,以三乘五得一十五。又以七乘之得一百零五,为满法数列位。另以三乘五得一十五,为七数剩一之衰。又以三乘七得二十一,为五数剩一之衰。又以五乘七得三十五,倍作七十。以三除之馀一,故用七十为三数剩一之衰。其三数剩二者,剩一下七十,剩二下一百四十也。五数剩三者,剩一下二十一,剩二下四十二,剩三下六十三也。七数剩二者,剩一下十五,剩二下三十也。并之得二百三十三。内减去满数一百零五,又减一百零五,馀二十三个。合问。
今有客至,不知其数。只云三人共饭,四人共羹,通共用碗二百零一只。问:客并羹饭碗各若干。
答曰:客五百一十六人,羹一百二十九碗,饭一百七十二碗。
法曰:置碗三百零一只,以三人因之得九百零三为实。并三人、四人共七人。为法除之得羹碗一百二十九只。又以四因之得客五百一十六人。以三除之得饭碗。合问。
今有客不知数,只云二人共饭,三人共羹,四人共肉,通共用碗六十五只。问:客若干。
答曰:客六十人。法曰:置〈二人 四人 三人〉维乘,以二乘三得六。以三乘四得一十二。又四乘二得八。并之得二十六为法。另以二乘三得六。却以四乘之得二十四。以乘碗六十五得一千五百六十为实。以法二十六除之得客。合问〈维乘者,四处顺倒相乘也〉
右二条先用合分,后用互换也。




钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百十八卷目录

 算法部汇考十
  算法统宗六〈少广章第四上〉

历法典第一百十八卷

算法部汇考十

《算法统宗六》少广章第四上

此章如田截纵之多益广之少。故曰少广如方田,还原之意以方法除积幂,而求方,以圆法除方实而求圆,所注开平方、平圆,头绪繁穴,初学者难。今注释简明列于后。
开平方法认商歌

一百一十定无疑,一千三十有零馀。九千九九不离十,一万才为一百推。得商方除倍作廉,次商名隅并廉除,馀数续商隅又倍,只依此法取空虚。
解曰:平方者,乃方面自乘之积也。开者以求方面之数也,一百一十定无疑者,谓如积一百步可约方面十步,已无疑矣,一千三十有零,馀者谓积一千步可约方。面三十步有零也。九千九九不离十者,谓如积九千步约方面九十步,自乘九九八十一也,一万才为一百步,自乘得一万步也。此言约初商之诀,再具商积于后。

开平方初商定首位诀,是自乘之数也。
商一步积一步   商一十步积一百步
商二步积四步   商二十步积四百步
商三步积九步   商三十步积九百步
商四步积一十六步 商四十步积一千六百步商五步积二十五步 商五十步积二千五百步商六步积三十六步 商六十步积三千六百步商七步积四十九步 商七十步积四千九百步商八步积六十四步 商八十步积六千四百步商九步积八十一步 商九十步积八千一百步法曰:置积为实,别置一算名曰下,法于实数之下〈自末位至首常超一位〉,约实一下定一数,千百下定十数,万下定百数,百万下定千数,实上商置第一位,得若干下位。亦置上商若干,名曰方,法与上商相呼,除实若干馀实若干,乃以二乘方法〈即倍法也〉。得若干为廉法。续商置第二位于上商之次,得若干下法,亦置续商若干为隅法〈隅法者,乃曲尺样二廉之角。为隅则小方也〉。于倍方之次共若干皆与续商相呼,除实尽得平方一面数,如不尽仍前再商之或数不足以法命之,何谓之命,若馀实若干不尽,却以所商得平方数若干倍之,再添一个共得若干,便商得面方多一数也。因此数不足而为之,命平圆不尽数亦仿此,但立方立圆于此不同。
若要还原,如算方田法,以面方数自乘,即见积也。若还原遇面方下,原有不尽数者,以面方数自乘并入不尽数,便可见积也。
开方求率作法本源图开方求率作法本源图

右图,吴氏九章内,虽有自开平方至五乘方,却不云如何作用。注释未见详明。今依图式自上一,得二为平方率又并〈三三〉得三,三为立方率,又并〈四六四〉得四六四为三乘方率,向下求出三十馀乘方皆取自然生率之妙,今略具五乘方图式可为求廉率之梯阶也。
又考其平方形如方田,以平方面自乘,得平方积数是一乘方。
其立方形,如骰子样以平方。面自乘得平方。积再以高,方面乘之,得立方积,数是二乘方。
其三乘方以平方面自乘得平方积数,再以高方面乘得立方积数,又以方面乘得,三乘方积数故曰三乘方,然其形不知如何模样,只是取数而已,或至十乘方三十馀乘方,皆是先贤取生率之妙,以明开方正律亦不可废。
开平方〈有实而无法商约而除之也〉

今有平方积,三百二十四步,问每方面若干。
答曰:得每方面一十八步。
方廉隅法之图方廉隅法之图

法曰:置积三百二十四步为实,约初商一十步,于实左另置下法一十步,于实右名曰方,法与上商相呼一,一除实一百步馀实二百二十四步,就以方法一十步倍之,得二十名曰廉,法又约,次商八步于左,初商一十之次共得一十八步,亦置八步于实右,廉法二十步之次名曰隅,法共得二十八步,与左位次商八步相呼,二八除实一百六十步,又将左八对右八相呼,八八除实六十四步恰尽。若还原自乘是也。
右法以明方廉隅之名也。

假如今有阔算盘,共子三百六十一个,问每面子若干。
答曰:每面一十九个。
法曰:置棋子为实,约初商一十步于实左,另置下法一十步于实右,左右相呼,一一除实。一百个馀实二百六十一个,就以下法一十倍之,得二十,次商九个于左,初商一十之次亦置九个于右,倍方二十之次共得二十九,皆与左次商九相呼,二九除实,一百八十个,又左九对右九相呼,除实八十一个恰尽。今列开平方法,定分左中右式〈凡看字亦照算盘,自左至右〉
图缺
今有方田,积三千一百三十六步。问平一面若干。答曰:五十六步。
法曰:置田积为实,约实定初商五十步于左,另置下法五十步于右,左右相呼,五五除实二千五百步馀积六百三十六步,就以下法五十步倍之,得一百步。次商六步于左,初商五十之下亦置六步于右,倍方一百隔位之下共得一百零六步,皆与次商六步相呼。一六除实六百步,又左六对右六相呼,六六除实三十六步恰尽。
今有方田,积二十万零七千九百三十六步。问平方一面若干。
答曰:四百五十六步。
法曰:置方积为实,约初商四百于左位,亦置四百于右位,为方法与上商相呼,四四除实一十六万馀实四万七千九百三十六步,就以方法四百倍作八百为廉法,次商五十于左初,商四百之下亦置五十于右廉法。八百之下为隅,法共八百五十皆与次商五十呼除,先以左五对右八呼五八除实四万,又左五对右五呼五五除实二千五百馀实五千四百三十六步,却以下法次商五十倍之。并廉共得九百,又为廉法又商六步于左,初次商四百五十之下,亦置六步于廉法,九百隔位之下共九百零六,皆与左再商六步呼,除先左六对右九呼六九除实五千四百。又左六对右六呼六六除实三十六步恰尽合问。今有方砖一千四百六十一块,欲为平方。问一面方若干。
答曰:一面方三十八块又七十七块之十七。
法曰:置砖积为实,初商三十块于左,另置下法三十于右,为方法,左右相呼,三三除实九百馀实五百六十一块。就以方法三十倍,作六十为廉,法次商八于左初商三十之下,亦置八于右,廉法六十之下为隅,法共六十八,皆与上商八相呼,六八除实四百八十,又呼八八除实六十四,馀实一十七不尽。却将所商三十八倍之,再添一块共得一方数七十七,命一十七何谓之命。以原总数内除去一十七,另加上七十七便商得面方三十九块,因此不及,而为之命,馀仿此。
今有方田,积七万一千八百二十四步。问平方一面若干。
答曰:每一面方二百六十八步。
法曰:置方田积为实,以开平方法除之,初商二百于左,位亦置二百于右,位为方法以左二对右二相呼,二二除实四万讫,馀实三万一千八百二十四步;就以方法二百倍,作四百为廉,法次商六十,于左。初商二百之下。亦置六十于廉法四百之下,为隅。法共四百六十,皆与次商六十呼,除先以左六对右四呼四六,除积二万四千又左六对右六呼六,六除积三千六百馀实四千二百二十四步,却以右位次商六十倍加六十于四百之下,共五百二十。皆为廉法,又商八于左初次商二百六十之,下亦置八于右廉,法五百二十之下皆与上商八步呼。除先以左八对右五呼除,五八除积四千又呼,二八除一百六十,又呼八八除实六十四步恰尽。
一方四廉两隅演段图一方四廉两隅演段图

演段解曰:其初商二百自乘得积四万,是大方积也。次商六十内有阔六十,长二百两段故倍,初商二百作四百为廉,法与左次商六十乘得二万四千是两个阔六十长,二百之积。其次商六十自乘得三千六百是中方积,又商八步内有阔八步长二百六十两段,故倍初。次商二百六十为五百二十,却以八步乘得积四千一百六十是两个阔八步长二百六十步小廉积也。其又商八步,自乘得积六十四步,是小方隅积也。凡平圆先用开平方法,后用十二除为圆。
归除开平方

今有平方积,五万四千七百五十六步。问平方一面若干。
答曰:二百三十四步。
归除开平方法曰:置积五万四千七百五十六步,为实,于盘中见实,约商二百于实左,另置二百于右下。左右相呼,二二除实四万步,馀实一万四千七百五十六步,以右下二百步倍之得四百步为法,归除之呼四一,二十二逢四进一十得商三十步,就置三十步于右四百之下,相呼三三除实,九百步馀实一千八百五十六步,就以右下三十步倍之,得六十步共四百六十步为法,归除之,呼四一二十二逢八进二十得商四步,亦置四步于右六之下,相呼四六除实二百四十步,又呼四四除实一十六步恰尽。以左上所商得二百三十四步,为平方一面之数也。
今有平方积四百九十步,欲为平方。问:每面若干。答曰:每面二十二步又四十五分步之六。
归除开平方法曰:置积四百九十为实,于盘中见实四百,商二十步于实左,另置二十步于右下,左右相呼,二二除实,四百步馀实九十步,就以右位二十步倍之得四十步为法,归除之呼逢八进二步。就以二步于右四十之下相呼,二二除实四步,馀实六步不尽,以直方命之法曰:以所商二十二步倍之,又添一步共得四十五步为分母命之曰四十五分步之六也。
解曰:若以积四百九十步,加入四十五步,减去分子六步,仍得五百二十九步,便商二十三步。所谓不及故为之命也。
归除平方带纵歌

平方带纵法最奇,四因积步不须疑。纵多自乘加因积,又用开方法除之。再以纵多并开积,折半方为长数施,若问阔步知多少,将长减却纵多基。
今有直田积一千七百五十步,长比阔多一十五步。问:长阔各该若干。
答曰:长五十步。阔三十五步。
法曰:置积一千七百五十步,以四因之,得七千步,另以纵多一十五步自乘得二百二十五步相并,共得七千二百二十五步为实,以开平方法除之,约商八十于左,亦置八十于右,左右相呼。八八除实六千四百步馀实八百二十五步,就以下法八十倍之,得一百六十步为法,归除之呼,逢五进五于初商八十之次,共得八十五步。下法亦置五于一百六十之下,共一百六十五步,左五对右六相呼,五六除实三百步又左,五对右五呼五五除实二十五步,恰尽。得左商八十五步如长阔相和之,步加入纵多一十五步。共得一百步折半得五十步,于内减去纵多一十五步,馀三十五步即是阔也。
带纵开平方法歌〈兼商除〉

平方带纵法为奇,下位先安纵步基。上商得数加纵内,纵方下法并为题。上下相呼除实毕,倍方不倍纵开馀。馀数续商方再倍,何愁此术不能知。
法曰:如有田积若干只,云阔不及长若干。问阔者几何,则置田积若干为实,以不及若干为纵,列于下法以带纵开平方法,除之实上初商,得若干下法,亦置初商若干于纵内,共得若干皆与上商相呼,除实若干馀实若干另以下法初商若干倍之〈倍方不倍纵〉。次商若干于左位初商之次下,法亦置次商若干于倍方之。次共若干皆与次商相呼,除实尽,得阔数,加不及数为长。若要还原以所商得阔若干,为实,另以所得商数〈加上纵多共若干,或减不及馀若干〉。若干乘之见积。今有田积一千七百五十步,只云长比阔多一十五步。问:长阔各若干。
答曰:长五十步。阔三十五步。
法曰:置积为实以多一十五步为纵列于下位。以带纵开平方法除之,初商三十于左位,另于下法亦置三十。加于纵上共得四十五步,与上商相呼左三对右四呼三四除实一千二百,又左三对右五呼三五除实,一百五十另以下法,初商三十倍作六十加纵多十五,共得七十五次商五于左,位另于下法亦置五于倍方之下共八十,皆与次商五相呼,左五对右八呼五八。除实四百步,恰尽得阔三十五步,加多一十五步为长合问。
又法名减积开平方,置田积为实,于中另置不及十五步于右位,为减积。上商三十于左位,另以下法亦置三十于右为方,法以乘减积一十五步,得四百五十步,以减中实馀实一千三百步,却以初商三十与上商三十,相呼三三减积九百,馀实四百就以方法、三十倍作六十为廉法,次商五步于左三十之次下位亦置五步以乘减积一十五步得七十五步,以减中积仍馀实,三百二十五步,却以下位廉法六十并。入次商五步共六十五步,皆与上商五步呼五六除实,三百五五除二十五步,得广三十五步合问。若问纵照前布列。上商五十步以乘不及十五步,得七百五十步并加前积共二千五百步,却呼五五除实二千五百步,尽得纵合问。
今有圭田,积一百二十六步,阔不及长九步。问:长阔各若干。
答曰:长二十一步,阔一十二步。
法曰:倍田积得二百五十二步,为实以不及九步,为纵方于右上商十步,下法亦置十步于纵,九步上共一十九步,与上商十步除实一百九十步,馀六十二步,另以下法初商一十倍之,作二十次商二步于左下法,亦置二步加于纵方,九上共三十一步,皆与上商二相呼除实尽,得阔一十二步,加不及九步,得长合问。
今有句股,田积四百八十六步,只云句少弦一十八步。问:各若干。
答曰:句阔二十七步,股长三十六步,弦斜四十五步。
法曰:倍积得九百七十二步为实,以弦差一十八步折半得九步为纵,方开平方法除之得句二十七步,加差一十八步为弦,斜四十五步,另以句自乘弦自乘二数相减,馀一千二百九十六步,为实以开平方法除之,得股长三十六步合问。
今有句股田积四百八十六步,只云股少弦九步。问:各若干。
答曰:股三十六步,句二十七步,弦四十五步。
法曰:三因积得一千四百五十八步,为实。以弦差九步折半得四步五分为纵,方开平方法除之,得股长三十六步,加九步为弦四十五步。另以股自乘弦自乘二数相减馀七百二十九步为实。以开平方法除之得句阔二十七步合问。
长阔相和歌〈与减纵开平方法同〉

长阔相和不识情,四因积步莫差争。和步自乘减去积,馀用开方差步名。却将和步加差步,折半当为长数成。要知阔步如何见,长步减差阔便明。
今有直田积一千九百二十步,长阔相和九十二步。问:长阔各若干。
答曰:长六十步,阔三十二步。
法曰:置田积以四因之,得七千六百八十步,另以和步九十二步自乘得八千四百六十四步,减去因积馀七百八十四步为实,以开平方法除之得,长阔相差二十八步,加入和步九十二步共一百二十步,折半得长六十步,内减差步二十八步馀得阔三十二步合问。
又法名减纵开平方,置田积一千九百二十步为实,以相和九十二步于右为减纵,上商三十以减九十二步馀纵六十二步,与上商三十相呼,三六除实一千八百又呼,二三除六十馀实六十步,又以上商三十再减馀纵六十二,仍馀纵三十二,次商二又减纵二馀纵三十与,次商二相呼,二三除实六十合问。若先问长者,仍前布列先商长,六十减纵亦得。今有句股田积九百六十步,长阔相和九十二步。问:长阔各若干。
答曰:长六十步,阔三十二步。法曰:置田积以八因之〈或倍田积以四因同〉,得七千六百八十步,另以和步自乘得八千四百六十四步相减,馀七百八十四步,以平方开之,得长阔相差二十八步加入。和步共一百二十步,折半得长六十步,内减差步二十八馀得阔三十二。步合问。若以减纵开平方法算置积倍之得一千九百二十步,为实。以相和九十二步为减纵,如前商之即得。
长阔相差歌〈与带纵开平方法同〉

长阔相差要识情,积数将来以四乘。差步自乘加入积,开方得数以和名,和步加差须折半,此为长数更无零以长减差便为阔,学者留心仔细寻。
今有直田积一千九百二十步,长阔相差二十八步。问:长阔各若干。
答曰:长六十步,阔三十二步。
法曰:置田积以四因之,得七千六百八十步,另以相差二十八步自乘得七百八十四步,加入积数共八千四百六十四步为实,以开平方法除之,得长阔相和九十二步,加入差步二十八共一百二十步,折半得长六十步,内减相差二十八步,馀得阔三十二步合问。
又法名带纵开平方,置田积一千九百二十步为实,以相差二十八步为带纵,列于右上,商三十于左,右位亦置三十加于纵,上共得五十八步,皆与上商三十相呼,三五除实一千五百又呼,三八除实二百四十馀实一百八十,另以下法初商三十倍之,得六十加差二十八共得八十八步。次商二于左三十之次下法亦置一于倍方之次,共九十步,皆与次商二相呼,二九除实一百八十,恰尽。得阔三十二步,加差二十八步得长六十步合问。如句股出积长阔相差。问答倍积用法同前。
平圆法歌

平圆之法若求周,十二乘积数可求。求径四因三而一,开平方法以除收。
法曰:问外周者置积若干:以圆法十二乘得若干为实,以开平方法除之得周,若要还原如圆田以外周自,乘又以十二除之,见积若周下,原有不尽数者以周自乘并入,不尽,以十二除见积。问径者置积若干,以四因三归,得若干为实以开平方法除之,得径算圆居方四分之三。故用四因三归之,若要还原如圆,田以径自乘并入不尽,数以三因四归之见积。若问周问径遇有馀,积不尽之数,依开平方法下命之。
今有圆田积二千三百五十二步。问:平圆周若干。答曰:周一百六十八步。
法曰:置圆田积步以十二乘之得二万八千二百二十四步为实,以开平方法除之,初商一百于左,位于下法亦置一百为方,法呼一,一除积一万馀积一万八千二百二十四,就以方法一百倍之,得二百为廉,法续次商六十于左,初商一百之下右。位亦置六十于廉,法二百之下为隅,法共二百六十,皆与上商六十呼除先呼二六,除积一万二千又呼,六六除积三千六百馀积二千六百二十四,另以右位次商六十倍作一百二十并入廉,法二百共三百二十,又为廉法再商八步,于左位初次商一百六十之。下于右位亦置八步,又为隅法于廉,法之下共三百二十八,皆与上商八呼,除先呼三八除积二千四百,又呼二八除积一百六十又,呼八八除积六百四十恰尽。今有圆田积二千三百五十二步。问:平圆径若干。答曰:径五十六步。
法曰:置积步先以四因,后用三归得三千一百三十六步为实,以开平方法除之,初商五十于左位,亦置五十于右位,为方法左右相呼,五五除积二千五百馀积六百三十六步,却以右位五十倍作一百为廉,法次商六于左,初商五十之次,亦置六于右廉法一百隔一位,下为隅法。共一百零六皆与上商六相呼,一六除积六百,又左六对右六呼,六六除积三十六步恰尽。
今有圆积五万四千个,欲为平圆。问:径若干。
答曰:径二百六十八个又五百三十七个之一百七十六。
法曰:置积数先以四因,后用三归之得七万二千为实,以开平方法除之,初商二百于左位于下法右位亦置二百为方,法呼二二除积四万,馀积三万二千。就以右位二百倍之,得四百为廉法,次商六十于左。亦置六十于右,廉法四百之次为隅法相呼四六除积二万四千又呼六六除积三千六百馀积四千四百,却以右位六十倍之,并入廉法共五百二十皆为廉法。又商八于左二百六十之次右位,亦置八于廉法之次,共五百二十八,皆与上商八呼,除先呼五八除积四千,又呼二八除积一百六十,又呼八八除积六十四,馀积一百七十六不尽。却将所商数倍之再加一个,得五百三十七,命之一百七十六,若于总内减去一百七十六加上五百三十七,便商得径二百六十九也。
开平方通分法

今有积一千五百九十步六十四分步之一。问:平方一面若干。
答曰:三十九步又八分步之七〈即八分七釐五毫〉。法曰:置积一千五百九十步,以分母六十四分乘之,加入分子一共得一十万零一千七百六十一分,以开平方法除之,得方面三百一十九分为实,另以分母六十四以开平方法除之,得八分为法,除之得方面三十九步不尽七,命之曰八分步之七。
今有方田一段,面方四步一十八分步之一十七。问:斜弦步、方积步各若干。
答曰:斜弦七步,方积二十四步五分。
法曰:置四步以分母一十八乘之,加入分子一十七共得八十九步,自乘得七千九百二十一步,另以分母分子相减,馀一,以乘分子十七,如故并前共得七千九百三十八步为实另以分母十八自乘得三百二十四为法,除之得二十四步五分为方积,倍之得四十九步以开平方法除之,得斜弦七步。但方面下有零分数,求积者仿此。
右商法开方归除开方二者听从人便。
方圆三棱总歌

方圆三棱求周数,各减总一分明布。十六乘方带纵八,十二乘圆加纵六。十八三棱添纵九,俱用带纵开方术。倍方不倍纵开除,何愁外周不知数。
还原束法歌

四方之束添八乘,十六归除数颇明。圆束外周加六凑,乘来十二法除清。三角加九乘周数,十八归除不差争。各要临时添一数〈即中心也〉,束积推详数可成。今有方箭八十一根。问:外周若干。
方箭图

答曰:外周三十二根。
法曰:〈此是八个周中包一〉置方箭八十一根减去中心一根馀八十根。以十六乘之,得一千二百八十根为实,

于中位以八为纵列,于右位用带纵开平方法除之。初商三十于左位下法,亦置三十于右纵八之。上共三十八左右对呼。三三除实九百,又左三对右八呼。三八除二百四十,就以下法初商三十倍作六十〈不倍纵〉,次商二于左,初商三十之次下。法亦置二于倍方之次,共得七十,左二对右七呼二七,除实一百四十恰尽。得周三十二根。合问。
今有方箭一束,外周三十二根。问:总积若干。
答曰:八十一根。
法曰:置外周三十二根于左,亦置三十二根于右,加内周八共四十相乘得一千二百八十为实,以方束法十六除之,得八十。加上中心一,共得八十一根。合问。
凡方物乃是八个,周中包一自内之外每层加八。自外之内每层减八,故以八归,外周即知层数,如外周三十二是四八即是四层。馀仿此。

今有圆箭一百二十七根。问:外周若干。
答曰:外周三十六根。
圆箭图

法曰:〈此是六个周中包一〉置圆箭一百二十七根减去中心一,馀一百二十六根。以十二乘之,得一千五百一十二根为实,于中以纵六列于右。

用带纵开平方法除之,初商三十,于左下法亦置三十于右纵六之。上共三十六,左右相呼。三三除实九百,又呼三六除实一百八十,就以右位,初商三十倍作六十〈不倍纵〉。次商六于初商三十之,次下法亦置六于倍方之次,共七十二,左六对右,七呼。六七除实四十二,又左六对右二呼,二六除实一十二恰尽。合问。今有圆箭一束,外周三十六根。问:总积若干。
答曰:一百二十七根。
法曰:置外周三十六于左,亦置三十六于右,加内周六,共四十二。相乘得一千五百一十二为实,以圆束法十二除之,得一百二十六。加中心一。合问。
凡圆物乃是六个周中,包一。自内之外每层加六。自外之内每层减六。故以六归,外周即知层数。如外周三十六是六六即是六层。馀仿此。

今有三棱物九十一个。问:外周若干。
三棱图

答曰:外周三十六个。
法曰:〈此是九个周中包一〉置三棱物九十一个减去中心一个馀九十个,以十八乘,得一千六百二十个,为实。

以九为纵,列于右。用带纵开平方法除之,初商三十于左下。法亦置三十于右纵九之,上共三十九,左右相呼,三三除实九百,又呼三九除实二百七十除实四百五十,另以下法初商三十倍作六十〈不倍纵〉。共六十九次商。六个于左初商三十之次下,法亦置六于倍,方之次共七十五,以左六对右七,呼六七除实四百二十,又左六对右五呼五六,除实三十恰尽。合问。今有三棱物,外周三十六个。问:总积若干。
答曰:九十一个。
法曰:置外周三十六于左,亦置三十六于右,加内周九共四十五,相乘得一千六百二十为实,以束法十八除之,得九十,加中心一。合问。
凡三棱物乃是九个周中包一,自内之外每层加九,自外之内每层减九,以九归外周即知层数,如外周三十六是四九即四层。馀仿此。

假如方箭积六十四根。问:外周若干。
答曰:外周二十八根。
法曰:此是双层者,只以方箭积为实,以开平方法除之得一面方八根,却减去一根得七根,以四因得外周二十八根。若前方箭积八十一根,乃是单层者,若只以方箭为实,以开平方法除之得一面方九根。却减去一根得八根,以四因亦得外周三十二根。
面方八数为双乃八八六十四也,九数为单乃九九八十一也。此法捷径无差,双层单层皆可用。
演段根源开方图解

夫算之术入则诸问,出则直田。盖直田能致诸用而有此说,故立演段,盖欲演算之片段也。知片段则能穷根源,既知根源而心无朦昧矣。今摘数问详注图解以明后学,其馀自可引而伸之,不待尽述。
直田长阔相乘,与万象同意。

今有直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二
带纵平方图

步。问:长阔各若干。答曰:长三十六步,阔二十四步。
法曰:置积为实以不及十二,列于右为带纵开平方法除之,初商二十于左下法亦置二十加于纵上,共三十二皆与上商二十相呼。除实六百四十馀实二

百二十四,却以下法初商二十倍之,共五十二次商。四于初商二十之次下法亦置四于倍方之,次共五十六。皆与左次商四相呼除实恰尽,得阔二十四步加差一十二步,得长三十六步。合问。
今有直田积八百六十四步,只云长阔相差一十二步。问:长阔相和共若干。
答曰:长阔相和六十步。
法曰:置田积以四因得三千四百五十六步,另以差一十二步自乘得一百四十四步,并四因积共三千
长阔相差求和图

六百步,乃是相和之积,用开平方法除之,得长阔相和六十步合问。若问长数加差折半即得。
演段解曰:四因积者,乃是四长四阔积居边共三千四百五十六步,却以相差一十二步自乘得一百四十四步,补中得相和积二

千六百步,以开平方法除之,得长阔相和六十步也。今有直田积八百六十四步,只云长阔相和六十步。问:长阔相差若干。
答曰:长阔相差一十二步。
法曰:置田积以四因得三千四百五十六步,另以相和六十步,自乘得三千六百步,却减去四,因积三千四百五十六步馀一百四十四步,乃相差自乘,积用开平方法除之,得长阔相差一十二步。合问。
长阔相和求差图同前。
解曰:其相和六十步,自乘积三千六百步,内有四因积四个共三千四百五十六步,居边有一个相差,自乘积一百四十四步,用开平方法除之,得长阔相差十二步。

今有直田积八百六十四步,只云长阔相和六十步。问:长阔各若干。
答曰:长三十六步,阔二十四步。
法曰:置积为实,以相和六十步于右,为减纵开平方法除之,上商二十于左,就将右纵减去上商二十馀
减纵开方图

四十,与上商二十相呼,除实八馀实六十四步,又以上商二十再减馀纵二十,仍馀纵二十次商,四步亦减馀纵二十,仍净馀纵十六与次商四相呼,除实尽得阔二十四步,以减相和六十步,馀得长三十六步。合问。
减纵翻

解曰:若不益积便用减纵,或有不可益积者须用减纵之术,先问阔者用此。若先问长则用减纵翻积法。法曰:置积为实,以相和为减纵开平方法除之,上商三十以减纵六十馀纵三十,与上商三十相呼,合除

积九百而积实不及,乃命翻法除原积八百六十四馀负积三十六为实,再置上商三十以减馀纵三十讫。次商六步下法亦置六为隅,法与上商六呼,除负积恰尽。得长三十六步。合问。
今有方田一段,圆田一段,共积二百五十二步。只云方面圆径适等。问:方圆径各若干。
答曰:方面圆径各一十二步。
法曰:置共积为实,以四因得一千零八步,并方四圆三共七为法除之,得一百四十四步。以开平方法除
方圆求径图

之得方面一十二步,圆径亦同。
术曰:四因方圆共积得四个方积,四个圆积,其四个圆积,恰折三个方积。故用七除得一个方积,以开平方法除之得方圆径。旧法四因共积得一千零八步为实,以开平方法除

之并方四圆三共七为隅,于下法初商一十,以隅七乘得七十为方,法与上商一十相呼,除实七百馀实三百零八步,另倍方法得一百四十为廉,法次商二步以隅。七乘得十四,并入廉法一百四十共一百五十四。与次商二步相呼除实恰尽。合问。
减积带纵开平方

今有大小方田二段,相并共积四百步,只云大方田面比。小方田面多四步。问:大小方面,并积各若干。答曰:大方面一十六步,计积二百五十六步。小方面一十二步计积一百四十四步。
法曰:置共积于中,另置大方田面,多小方田面四步自乘得一十六步,以减共积四百步,馀积三百八十四步,折半得一百九十二步为实。又另置大方面多小方面四步为纵方,以带纵开平方法除之,初商一十于左下法亦置一十于纵方之上,共一十四步,皆与上商一十相呼,除实一百四十步馀实五十二步。却以下法初商一十倍作二十并入纵四步共二十四步。次商二步于左初商一十之次下,法亦置二步
方积带纵开平方图

于纵方之次,共二十六步。皆与次商二步相呼,除实恰尽,得小方面一十二步。加四步得大方面一十六。步各以方面自乘得各积。合问。
解曰:共积是一段大方积,一段小方积。其大方积内有一段小方积,一
段大多小方自乘积如隅,又大多小的两段长阔积如廉,每廉长即小方面数,阔即大多小数。先用大多小方步数自乘得数以减共积者,是减云。大方田一段小隅积馀积折半是一段小方积。一段长阔廉积〈就如一段直田〉。用带纵开平方法除之,求出一段小方面数,加多步为大方数也。

今有大中小方田三段相并,共积八百步。只云大方田面比中方田面多四步,中方田面比小方田面多四步。问:大半小方面并积各若干。
大小三方总一图

答曰:大方面二十步,计积四百步。中方面一十六步,计积二百五十六步。小方面一十二步,计积一百四十四步。
法曰:置共积于上,另置大方面多小方面八步,自乘得六十四步。又以中方面多小方面四步自乘得一

十六步。并二数共八十步,以减共积八百步,馀积七百二十步。以三归之得二百四十步,为实。初商一十自乘得一百步,以减实积馀实一百四十步,次商二并初商共十二,自乘得一百四十四,内除初商自乘一百馀四十四,以减馀实又馀实九十六,却以三因得二百八十八,另并大方多中四小八共十二,倍之得二十四与初商十步,相呼一二,除二一四除四又与次商二相呼,二二除四,二四除八,得小方面十二。步加多四步得中方,面十六步又加多四步。得大方面二十步,各以方面自乘,得各积。合问。
若四段则用四归,五段则用五归。

假如大小圆田二段共积,只云大圆径多小圆径者,法置共积以四因,三归得数仍如前方田算,或只云大圆周多小圆周者,法置共积以十二乘,得数仍如大小方田算。
假如大小立方二所共积,只云大立方面多小立方面者。法置共积另置大立方面多小立方面数,自乘再乘以减共积馀积折半为实,初商自乘再乘得数。除实讫,次商若干并入初商,共若干。自乘再乘得数内减去初商,自乘再乘数馀若干除实讫,仍馀实若干倍之,却以大多小数并入初商。次商数共若干以初次商若干乘得数,又以大多小数乘得若干,却以三因之。得若干除实恰尽,得小立方面数加多数得大立方面数,各以方面自乘再乘得各积立方。三所共积用三归,若四所共积用四归。馀仿此。
开立方法歌〈自乘为平方再乘为立方〉

自乘再乘除实积,三因初商方另列。次商遍乘名为廉,方法乘廉除次积。次商自再乘名隅,依数除积方了毕。初次三因又为方,三商遍乘仿此的。
认商歌

一千商十定无疑,三万才为三十馀。九十九万不离十,百万方为一百推。
解曰:谓如积一千步约商一十步,又如积三万就约商三十步,又如积九十九万步就约商九十步。如积一百万步可约商一百步,乃自乘再乘之积而求原数也。此谓有实无法,故曰约之。

商一步  积一步起至七步止,皆商一步。
商二步  积八步起至二十六步止。
商三步  积二十七步起至六十三步止。
商四步  积六十四步起至一百二十四步止。商五步  积一百二十五步起至二百一十五步止。商六步  积二百一十六步起至三百四十二步止。商七步  积三百四十三步起至五百一十一步止。商八步  积五百一十二步起至七百二十八步止。商九步  积七百二十九步起至九百九十九步止。商一十步 积一千步起至七千步止。
商二十步 积八千步起至二万六千步止。
商三十步 积二万七千步起至六万步止。
商四十步 积六万四千步起至一十二万步止。商五十步 积一十二万五千步起至二十一万止。商六十步 积二十一万六千步起至三十四万止。商七十步 积三十四万三千步起至五十一万止。商八十步 积五十一万二千步起至七十二万止。商九十步 积七十二万九千步起至九十九万止。商一百步 积一百万步起至七百万步止。
已上皆言初商首位之积,以所商自乘再乘之数。次商用法不同。

法曰:置积为实,别置一算,名曰下法。于实数之下〈自末位至首常超二位〉。约实自千至九十馀万俱定十,及百万后俱定百。实上商置第一位得若干下法,亦置初商若干自乘再乘得若干除实讫,馀实若干却以三乘下法初。商若干,得若干为方。法列位次商置第一位于初商之次,得若干下法。亦置次商若干于初商之次,共得若干就以次商若干遍乘,得若干为廉,法再以方,法乘廉,得若干除实讫,馀实若干却以次商若干自乘再乘得若干为隅。法除实尽得立方面数。若有不尽数仍前再商之,或有不尽数以法命之,何谓之命。若馀实若干不尽,却以所商得立方数若干自乘。得若干又以三因之,得若干,另以所商得立方数若干,用三因之。得若干再添一个,共得若干便商得多一立方数也。因此不及而为之命也〈立圆法遇有不尽者,亦仿此〉。若要还原,以立方面自乘再乘,见积。若还原遇立方原有不尽数者,以立方面自乘再乘,并入不尽数,见积。
今有物三千三百七十五尺。问:立方面若干。
答曰:立方面一十五尺。
法曰:置物三千三百七十五尺为实,约初商得一十于左下,法亦置一十于右,自乘得一百,再乘得一千。除实讫馀实二千三百七十五尺,却以三乘下法一十得三十为方,法列位次商五尺于左,初商之次下法亦置次商五于初商一十之次,共一十五就以五遍乘之,得七十五为廉。法再以方,法三十乘廉法七十五得二千二百五十,除实讫馀实一百二十五,恰以次商五自乘再乘得一百二十五为隅,法除实恰尽。
图缺缺图缺
今有积一百九十五万三千一百二十五尺。问:立方面若干。
答曰:立方面一百二十五尺。
法曰:置积尺数为实,约初商一百自乘再乘得一百万,除实讫馀实九十五万三千一百二十五尺,恰以三乘下法一百得三百为方,法列位次商二十于初商一百之次下位,亦置二十于初商一百之次,共一百二十。就以二十乘之,得二千四百为廉,法再以方法三百乘廉法得七十二万。除实讫馀实二十三万三千一百二十五尺,恰以次商二十自乘再乘得八千为隅法,除实讫馀实二十二万五千一百二十五。另以三乘下法一百二十得三百六十,又为方法列位再商五于左初次商一百二十之下,共一百二十五,就以五乘之得六百二十五,又为廉法。再以方法三百六十乘廉法六百二十五得二十二万五千。除实讫,再以再商五自乘再乘得一百二十五又为隅法,除实恰尽。合问。
今有积四千一百五十尺。问:立方面若干。
答曰:立方面一十六尺,又八百一十七之五十四。法曰:置积为实,初商一十自乘再乘得一千尺,除实讫馀实三千一百五十,却以三乘下法一十得三十为方法,列位次商六尺于上,初商一十之次共一十六,就以六乘之得九十六为廉法,再以方法三十乘廉法九十六,得二千八百八十,除实讫馀实二百七十恰以次商六自乘再乘得二百一十六为隅法,除实讫馀实五十四尺不尽,以法命之,却以所商立方一十六尺自乘得二百五十六,又以三因,得七百六十八。另以十六以三因之,得四十八。再添一个并入共得一立方数,积八百一十七之五十四也。何谓之,命以原总数除去五十四加上八百一十七,便商得面方一十七,因此不及而为之命。
假如今有银一万两。问:立方每面若干。
答曰:八寸九分三釐〈有畸难尽〉
法曰:置银一万两为实,以银率每寸一十四两为法,除之得七百一十四寸二分八釐,又为实以开立方法除之,初商八寸于左,亦置八寸于右为下法。自乘得六十四寸,再乘得五百一十二寸,除实讫馀实二百零二寸二分八釐。却以三乘下法八寸得二十四寸为方法,次商九分于初商八寸之次,亦置九分于右初商,八寸之次,共八寸九分,就以九分遍乘得八寸零一为廉法,再以方法二十四寸乘廉法得一百九十二寸二分四釐,除实讫馀实十寸○○四毫。恰以次商九分自乘再乘得七寸二分九釐除实讫,馀实不尽一寸七分五釐。




钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百十九卷目录

 算法部汇考十一
  算法统宗七〈少广章第四中〉

历法典第一百十九卷

算法部汇考十一

《算法统宗七》少广章第四中立圆法歌

立圆问径法何如,十六乘积九归除。除此数常为实积,立方开见更何如。立圆若问周围数,四十八乘积数躯,乘为实积用开立,即见周围数不虚。
法曰:外周者,置积若干,以四十八乘之得若干为实。以开立方法除之,得周若要还原,以周自乘再乘以四十八除之见积。问径置积若干以十六乘之,得若干又用九归之,得若干为实。以开立方法除之得径。若要还原以径自乘再乘以九因十六除之见积。周径下原有不尽者,或周径自乘再乘并入不尽数,周以四十八除之见积径,以九因十六除之见积。若问周问径,遇有馀积不尽者。依开立方下命法命之。
今有积六万二千二百零八尺,欲为立圆。问:径若干。答曰:径四十八尺。
法曰:置积尺数以十六乘之,又用九归之得一十一万零五百九十二尺为实,以开立方法除之,初商四十自乘得一千六百,再乘得六万四千,除实馀实四万六千五百九十二尺,另将初商四十以三因得一百二十为方法,列位次商八尺于初商之次,得四十八尺。就以八乘之得三百八十四尺为廉法,以方乘廉得四万六千零八十尺,除实馀实五百一十二。另以次商八尺自乘再乘得五百六十二尺为隅法,除实恰尽得立圆径。合问。
此问周径如圆毬

今有积六万二千二百零八尺,欲为立圆。问:周若干。答曰:周一百四十四尺。
法曰:置积尺以四十八乘之,得二百九十八万五千九百八十四尺为实,以开立方法除之,初商一百尺自乘得一万,再乘得一百万,除实馀实一百九十八万五千九百八十四尺,另以初商一百以三因得三百为方法,次商四十于初商之下,共一百四十。就以四十乘之得五千六百为廉法,以方乘廉得一百六十八万,除实馀实三十万零五千九百八十四,另以次商四十自乘再乘得六万四千为隅法,除实馀实二十四万一千九百八十四。再以初次商一百四十以三因得四百二十为方法,再商四尺于初次商之下共得一百四十四尺,就以四尺因之,得五百七十六为廉法。以方乘廉得二十四万一千九百二十。除实馀实六十四,又以再商四尺自乘再乘得六十四。除实讫。合问。
凡立圆问周径,遇数单者则有不尽。

今有立方积一万五千六百二十五步。问:立方一面若干。
答曰:二十五步。
归除开立方法曰:置积一万五千六百二十五尺为实,以万积商二十置于积前,就置二十于右下自乘得四百步与上商二十相呼,二四除实八千馀实七千六百二十五步,却以右下四百步以三十乘之得一千二百,为法。归除之,呼逢五进五又呼二五除一千,另置初商二十步以次商五步乘之得一百步。以三因之得三百步,以加入自乘次商五步得二十五步,共三百二十五步于右。与次商五步相呼除之,呼三五除一千五百步,又二五除一百步,又五五除二十五步,积尽以左上二十五步为立方一面之数。合问。
今有立方积一亿零二百五十万零三千二百三十二尺。问:立方一面若干。
答曰:四百六十八尺。
归除开立方法曰:置积为实以七千万,该商四百尺。于左上又置四百尺于右下,自乘得一十六万相呼一四除四千万尺又四六除二千四百万,馀实三千八百五十万零三千二百三十二尺。却以右下一十六万尺以三乘之得四十八万为法,归除之,呼四三七十二少除〈因下位数不足除〉,呼四归起一下还四呼六八除四十八。另置初商四百尺以次商六十尺乘之,得二万四千尺以三因之,得七万二千尺为廉法,加入次商六十尺。自乘得三千六百尺,共七万五千六百尺。却以次商六十尺相呼除之,六七除四十二,又五六除三十。又六六除三十六。馀实五百一十六万七千二百三十二尺,以方法四十八万并入两个廉法七万二千。再并入隅法三个,三千六百尺共得方法六十三万四千八百尺为法,归除之。呼六五八十二。呼三八除二十四,又呼四八除三十二,又八八除六十四。右下之法不用再置。所商共四百六十尺,以次商八尺乘之,得三千六百八十尺。以三因之得一万一千零四十尺并入,再商八尺自乘得六十四尺共一万一千一百零四尺。又以次商八尺相呼除之,一八除八万,又一八除八千,又一八除八百,又四八除三十二尺。除实恰尽。以左上所商四百六十八尺,为立方一面之数。合问。
开立方带纵法

今有方仓贮米五百一十八石四斗,方比高多三尺。问:方高各若干。
答曰:方一丈二尺。高九尺。
法曰:置米五百一十八石四斗,以斛法二尺五寸乘之得积一千二百九十六尺为实,以开立方带纵除之,以方多三尺自乘得九尺为纵方,再置三尺倍之得六尺为纵廉,约积一千,商十尺。今有纵方只商九尺置于实前,另以九尺自乘得八十一尺,加入纵方九尺共九十尺为方法。另以纵廉六尺,以九尺乘之得五十四尺为廉法。二法并共一百四十四尺,于右下,以所商九尺相呼。一九除九,又呼四九除三十六。又四九除三十六。除实恰尽。以商九尺为高,加入方多三尺得方仓一十二尺。合问。
今有立方一所积一千七百八十七万五千尺,只云高阔相等,长多阔三十六尺。问:立方高阔及长若干。答曰:长二百八十六尺,阔二百五十尺,高二百五十尺。
法曰:置积一千七百八十七万五千尺为实,以开立方带纵法除之,初商约得二百尺,自乘得四万尺再乘得八百万尺,又约二百五十尺自乘得六万二千五百尺,再以二百五十尺乘之,得一千五百六十二万五千尺减去积馀积二百二十五万尺为实,另置长多三十六尺,以所商二百五十尺乘之,得九十尺。再以二百五十尺乘之得二百二十五万尺,除实恰尽。得阔二百五十尺,加入长多三十六尺共二百八十六尺,为长数。合问。
今有立方积二万九千八百零八尺,高比方不及一丈三尺。问:高方各若干。
答曰:高二丈三尺。方仓三丈六尺。
法曰:置积二万九千八百零八尺为实,以开立方带纵法除之,约实二万商三十尺,自乘得九百尺再以三十尺乘之,得二万七千尺,又约商三十六尺自乘得一千二百九十六尺,另置三十六尺减不及一十三尺,馀二十三尺,乘之得二万九千八百零八尺。除实尽得方仓三十六尺,高二丈三尺。合问。
今有三乘方积二千零一十五万一千一百二十一尺。问:一面若干。
答曰:六十七尺。
法曰:置积为实,下法常超三位,初商六十于左下法。亦置六十自乘得三千六百,再乘得二十一万六千为隅法,与上商六十相呼。除实一千二百九十六万馀实七百一十九万一千一百二十一尺,乃以四乘隅法二十一万六千,得八十六万四千为方法。另置上商六十自乘,得三千六百。又以六因之,得二万一千六百尺为上廉。又置上商六十以四乘得二百四十尺为下廉。次商七尺于左六十之次下法。亦置七尺自乘,得四十九尺,再以七因,得三百四十三尺为隅法。又以次商七尺乘上廉二万一千六百得一十五万一千二百,又以下廉二百四十用两次七因,初次因得一千六百八十尺,二次因得一万一千七百六十尺,以方法八十六万四千,上廉一十五万一千二百,下廉一万一千七百六十。隅法三百四十三并四法共一百零二万七千三百零三尺,皆与次商七尺相呼,除实恰尽。得一面六十七尺。合问〈此三乘方捷径〉。一法用二次开平方法除之,亦得初一次置积数为实,以开平方法除之商得四千四百八十九尺。第二次就以此初商数为实,亦以开平方法除之,即得一面六十七尺,合问〈此又捷径〉
若还原置一面六十七尺,自乘得四千四百八十九尺,再乘得三十万○○七百六十三尺,又乘之即见原积数也。
自乘再乘又乘故曰三乘。其四乘乃四次乘也。其五乘乃五次乘也。
今有田积三千三百七十五尺。问:立方面若干。答曰:面方一十五尺。
法曰:置积三千三百七十五尺为实,以开立方法除之。古法用三为廉率,约实定位,从实末位尺,十尺定尺百尺。千尺定十尺,初商一十于左下,法亦置初商一十自乘得一百,再乘得一千。除实讫馀实二千三百七十五尺,却以下法初商一十自乘得一百。用三因为方法,又以初商一十以三因,得三十为廉。次商五尺于左,初商之次下法亦置次商五尺。自乘得二十五尺为隅法,又以次商五尺乘廉三十得一百五十为廉法,并方法三百,廉法一百五十,隅法二十五共四百七十五尺。皆与次商五尺相呼,四五除二。五七除三十五,五五除二十五,得方面一十五尺。合问。
开立方开立方

大段解曰:立方积形如骰子,有上下左右,前后六面。方如一段大方,积是初商方高十尺自乘再乘得一千尺。三段平廉,每段方十尺高五尺即初商十尺,自乘又以次商五尺乘,积五百尺。用三因,即三段积一千五百尺,三段长廉每段长十尺阔五尺高五尺即初商十尺,以次商五尺乘,又以次商五尺乘得每段积二百五十尺,用三因即三段积七百五十尺。一段小方隅即次商五尺,自乘再乘积一百二十五尺也。
求米仓窖盛贮歌〈每石斛法二尺五寸〉

米求仓窖要知源,斛法先除米数全。若见圆仓乘十二,方窖三因米数然。三十六乘圆窖米,各为实积定无偏。却用立方开见约方,求长阔约为先圆数。求周为约数各将,约数自乘焉乘来。为法除实积,便见深高法更元。
今有米二千四百一十九石二斗,欲为方仓盛之。问:长阔高各若干。
答曰:长二十八尺,阔一十八尺,高一十二尺。
法曰:置米数以斛法二尺五寸乘之,得六千零四十八尺为实,以开立方法约之,得阔一十八尺,便约长二十八尺,却以长阔相乘得五百零四尺为法,除实得高。合问。
今有米七百零五石六斗,欲作圆仓盛之。问:周围及高各若干。
答曰:周四十二尺。高一十二尺。
法曰:置米数以斛法二尺五寸乘之,得一千七百六十四尺,再以圆法十二乘之,得二万一千一百六十八尺为实,以开立方法约之,得周四十二尺,自乘得一千七百六十四尺为法,除实得高一十二尺。合问。今有米五百七十七石二斗,欲作方窖盛之。问:上下方及深各若干。
答曰:上方九尺。下方一十二尺。深一十三尺。
法曰:置米数以斛法二尺五寸乘之,得一千四百四十三尺,又以三因之得四千三百二十九尺为实,以开立方法约之,得上方九尺,便约下方一十二尺。却以上方自乘得八十一尺,另以下方自乘得一百四十四尺,又以上方九尺乘下方一十二尺得一百零八尺。并三位共三百三十三尺为法。除实得深一十三尺。合问。
今有米七十七石二斗,欲作圆窖盛之。问:上下周及深各若干。
答曰:上周一十四尺。下周一十八尺。深九尺。
法曰:置米数以斛法二尺五寸乘之得一百九十三尺,再以圆率三十六乘之,得六千九百四十八尺为实。以开立方法约之,得上周一十四尺,便约下周一十八尺。另以上周一十四尺自乘得一百九十六尺。又以下周一十八尺自乘,得三百二十四尺,又以上周一十四乘下周一十八,得二百五十二尺,并三位共七百七十二尺为法,除实得深九尺。合问。
今有米二千四百一十九石二斗,欲造长仓盛之,只云阔一十八尺,高一十二尺。问:长若干。
答曰:长二十八尺。
法曰:置米数以斛法二尺五寸乘得六千零四十八尺为实,另以高乘阔得二百一十六尺为法,除实得长。合问。
或只云长二十八尺,高一十二尺。问:阔若干。
答曰:阔一十八尺。
法曰:仍以前实却以长高相乘,得三百三十六尺为法,除实得阔一十八尺。合问。
今有米七百零五石六斗,欲作圆仓盛之,只云高一十二尺。问:周若干。
答曰:周四十二尺。
法曰:置米数以斛法二尺五寸乘之,得一千七百六十四尺,又以圆率十二乘之,再以高一十二尺除之,如故为实以开平方法除之,得周四十二尺。合问。今有米五百七十七石二斗,欲作方窖盛之,只云上方九尺,深一十三尺。问:下方若干。
答曰:下方一十二尺。
法曰:置米数以斛法二尺五寸乘之,得一千四百四十三尺,以三因之,得四千三百二十九尺。以深一十三尺除之,得三百三十三尺。内减上方自乘得八十一尺,馀二百五十二尺为实,以上方九尺为纵方。开平方法除之,得下方一十二尺。合问。
或云下方一十二尺,深一十三尺。问:上方若干。答曰:上方九尺。
法曰:仍以前实四千三百二十九尺,以深除之,得三百三十三尺,内减下方自乘一百四十四尺,馀一百八十九尺为实,以下方一十二为纵方,以开平方法除之,得上方九尺。合问。
今有米七十七石二斗,欲造圆窖盛之,只云上周一十四尺,深九尺。问:下周若干。
答曰:下周一十八尺。
法曰:置米数以斛法二尺五寸乘之,得一百九十三尺,又以圆率三十六尺乘之,得六千九百四十八尺。以深九尺除之,得七百七十二尺,内减上周自乘一百九十六尺,馀五百七十六为实,以上周一十四为纵方,以开平方法除之,得下周一十八尺。合问。或云下周一十八尺,深九尺。问:上周若干。
答曰:上周一十四步。
法曰:仍以前实六千九百四十八尺,以深九尺除之。得七百七十二尺,内减下周自乘得三百二十四尺,馀四百四十八尺为实,以下周一十八尺为纵方,以开平方法除之,得上周一十四尺。合问。
今有米五百一十八石四斗,欲造方仓盛之。问:方高各若干。
答曰:方一十二尺,高九尺。
法曰:置米数以斛法二尺五寸乘之,得一千二百九十六尺为实,以开立方法约之,得方一十二尺,却以方一十二尺自乘得一百四十四尺为法,除实得高九尺。合问。
或云:高九尺。问:方若干。
答曰:方一十二尺。
法曰:仍以前实,以高九尺除之,得一百四十四尺,以开平方法除之,得方一十二尺。合问。
分田截积法上
直田截积歌

直田截积法尤奇,截长积步阔除之。截阔用长除且易,得其步数不须疑。
法曰:若依原长,截积则以原阔除之,若依原阔截积。则以原长除之。
直田截积,原载方田章因与圭梯等截积间隔不便观览,今移此以统于一。

今有直田长四十八步,阔四十步,今依原长截积七
直田截阔图

百二十步。问:截阔若干。
答曰:阔一十五步。
法曰:置截积七百二十步为实,以原长数为法,除之即得截阔数。合问。

今有直田长四十八步,阔四十步。今依原阔截积七百二十步。问:截长若干。
直田截长图

答曰:长一十八尺。
法曰:置截积七百二十步为实,以原阔四十步为法除之,得截长一十八步。合问。

今有方田一丘,要从东南角截一直形积三十二步,南边阔四步。问:截东边长若干。
答曰:截东长八步。
法曰:置截积三十二步为实,以南阔四步为法,除之
方田截直图

得截积东长八步。合问。若东长定数,问截南阔,就以长数为法,而除截积。

今有直田长一十五步六分阔一十二步,今从东边
直田截斜图

截积五十四步六分,北头要阔四步。问:截南头阔若干。
答曰:截南头阔三步。
法曰:置截积五十四步六分为实,以

原长一十五步六分为法,除之得截阔三步五分。此是二广均匀之数,加倍得七步,减去北广四步馀得截南广三步,是也。
又法倍截积得一百零九步二分为实,以原长一十五步六分为法除之,得共截阔七步,减北广四步,馀得截南广三步亦得。
今有直田长一十五步,阔一十二步。今从西北角截
直截句股图

句股形一段,积三十一步五分,原坐落西边股长九步。问:截北边句阔若干。
答曰:截北句阔七步。
法曰:置截积三十一步五分,倍之得六十三步,以西股长九步为法除之得截北句阔七步。合问。
今有直田积一千九百二十步,只云长六十步。问:阔若干。
答曰:阔三十二步。
法曰:置积一千九百二十步为实,以长六十步为法,除之得阔。若是只云阔三十二步,问长若干,就以阔为法,除之即得长。
今有圭田积二百二十五步,只云长三十步。问:阔若干。
答曰:阔一十五步。
法曰:置积倍之得四百五十步为实,以长为法除之,得阔。若云中长步数,倍积为实,以阔为法除之,即得。
以上二款名曰:忘长失短,与直田截积意同。

今有句股田长三十步,阔一十五步,今从尖截长一十二步。问:中广若干。
勾股截积图

答曰:截中广六步。
法曰:置截长一十二步,以句阔乘之得一百八十步为实,以股长为法,除之。

又法:置句为实,以股为法,除之。每股长一步,得阔五分,以乘截长亦得。
今有斜田南广四步,北广十二步,长三十二步,今从中截,腰广六步。问:截南长若干。
答曰:截南头长八步。
斜田截积图

法曰:置截中广六步,减上广四步馀二步,以乘长三十二步,得六十四步为实,却将南北二广相减馀八步为法除之,即得。若截下长,

置下广减中广,馀六步以乘,原长得一百九十二步为实,以上下二广相减,馀八步为法除之,得截下长二十四步。合问。
今以前图截下长二十四步。问:截中广若干。
答曰:六步。
法曰:将下广减去上广四步,馀八步为实,以原长三十二步为法除之,每长一步得阔差二分五釐,就以此为法,以乘下长二十四步。得阔差六步,以减下阔一十二步,馀六步即是中广。合问。
今有梯田积一千五百步,北广四十步,中长五十步。问:南广若干。
答曰:南广二十步。
法曰:置积一千五百步,倍之得三千步为实,以长五十步为法除之,得六十步于内,减北广四十步馀得南广二十步。合问。
原有斜田南广四步,北广十步,长一十二步。今欲增作句股样式。问:股长出若干。
斜增为勾股图

答曰:股长出八步。
法曰:以南广四步乘长一十二步,为实,另以二广相减馀六步为法,除之得尖出股长八步。合问。
圭求广纵歌〈除圭尖即是梯形〉

梯求上广出尖长,上阔乘纵法最良,却将上下广相减,馀法除之免思量。
今有上圭下梯田,上广一尺六寸,下广一十二尺八
圭求广纵图

寸,圭下正纵一十尺零五寸。问:圭尖长若干。
答曰:尖高长一尺五寸。
法曰:置正纵一十尺零五寸,以上

广一尺六寸乘之,得一十六尺八寸为实,另以下广一十二尺八寸减上广一尺六寸,馀一十一尺二寸为法,除之,得圭尖长一尺五寸。合问。
圭求下广歌

圭田若问梯下广,圭梯并长不必想。上广乘长为实则,尖长法除即下广。
法曰:置圭长并梯长共一十二尺,以上广一尺六寸乘之,得一十九尺二寸为实,以尖长一尺五寸为法,除之得下广一十二尺八寸。合问。
圭求外梯长歌

圭田欲问外梯长,下广减去上广良。除以圭长乘为实,上广法除是梯长。
法曰:以下广一十二尺八寸减去上广一尺六寸馀一十一尺二寸,以圭长一尺五寸乘之,得一十六尺八寸。为实以上广一尺六寸,除之得梯正纵长一十尺零五寸。合问。
圭求中广歌

圭求中广要思量,却用下广乘尖长。正纵加入尖长数,为法除之中广良。
法曰:置下广一十二尺八寸,以尖长一尺五寸乘之。得一十九尺二寸为实,另以正纵一十尺零五寸。加入尖长一尺五寸,共一十二尺为法,除之得中广一尺六寸。合问。
假如三角田一丘,三面各一十四步,今作三叚,俱要四角。问:长阔各若干。
三角截四角圆

答曰:共积八十四步。三角各得二十八步。每角计长八步,阔七步。法曰:置每面一十四步,六因七归得中径一十二步,另以每面一十四步,与径一十二步,相乘得一百六十八

步,折半得积八十四步为实,以三段归之,各得二十八步,却以每面折半得阔七步,以归二十八步得四步,倍之得中长八步。合问。
今有直田长一十五步,阔一十二步,今依阔截圭积
直田截圭图

四十五步。问:截圭长若干。答曰:圭长七步五分。
法曰:置截积倍之,得九十步为实。以阔一十二步为法除之,即得。其馀

圭梯等截法俱用,开方列法于左。
圭田截积歌〈若作三段分者先截尖段下二段以作梯形截法〉

圭田截积小头知,倍积原长以乘之,原阔归除为实积,开方便见截长宜。仍以截长乘原阔,原长为法以除之。除来便见截阔数,法明简易不须疑。
今有圭田长七十五步,北阔三十步,今自尖头截积
圭截小头圆

四百零五步。问:截长阔各若干。答曰:长四十五步,阔一十八步。法曰:置截积四百零五步,倍之得八百一十步,以原长七十五步乘

之得六万零七百五十步,以阔三十步除之,得二千零二十五步为实,以开平方法除之,得截长四十五步就以原阔三十步乘之,得一千三百五十步为实。以原长七十五步为法除之,得截阔一十八步,合问。今有句股田股长四十步,句阔二十步,今从大头截
勾股截积图

积一百七十五步。问:所截长阔各若干。
答曰:截下长一十步,截上广一十五步。

法曰:先将句股相乘,得八百折半得积四百步,减截积一百七十五步,馀积二百二十五步以作圭田,截积小头知而算之,置小头积二百二十五步倍作四百五十步,以原长四十步乘之,得一万八千步以原阔二十步。除之得九百步为实,以开平方法除之,得上尖长三十步,就以此为法以除倍积四百五十步,得截阔一十五步,另将原长减去截长三十步,馀得下长一十步。合问。
今又有圭田长七十五步,北阔三十步,今自北阔截
圭截大头图

积七百二十步。问:截长阔各若干。答曰:截下长三十步,阔一十八步。
法曰:置截积七百二十步倍之,得

一千四百四十步以原阔三十步乘之,得四万三千二百步为实,以原长七十五步为法除之,得五百七十六步再以北阔三十步自乘,得九百步以减五百七十六步,馀三百二十四步为实,以开平方法除之,得截阔一十八步,并北广三十步,共四十八步折半,得二十四步为法,除截积七百二十步得截长三十步。合问。




钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百二十卷目录

 算法部汇考十二
 算法统宗八〈少广章第四下 商功章第五 均轮章第六〉

历法典第一百二十卷

算法部汇考十二

《算法统宗八》少广章第四下

分田截积法下

原有直田一丘。今从东北角截句股形,积三十八步七分二釐,其股数与句数相同。问:该田若干。
答曰:东北角各八步八分。
法曰:置截积三十八步七分二釐,倍得七十七步四分四釐为实。以开平方法除之,得截东北角各八步八分,合问。若还原,以句股自乘,折半即得。
梯田截积歌

梯田截积细端详,倍积阔差乘最良。却用原长为法则,归除乘数实之行。若截大头田积步,大阔自乘减实当。若截小头田积步,小阔自乘并实傍。俱用开方为截阔,两广并来折半强。折半数来为法则,法除截积便知长。
今有梯田长九十步,西广二十步,北广三十八步,今
梯截小头图

自南边小头截积八百二十二步五分。问:截长阔各若干。答曰:截上长三十五步,截中阔二十七步。

法曰:置截积八百二十二步五分,倍之得一千六百四十五步,以二广相减,馀一十八步为阔差。以乘倍积得二万九千六百一十步。以原长九十步除之,得三百二十九步。另以小头自乘,得四百步。并入三百二十九步,共七百二十九步为实。以开平方法除之,得截阔二十七步。就以截阔二十七步并小头原阔二十步,共四十七步,折半得二十三步五分为法,以除截积八百二十二步五分,得截长三十五步。合问。今有梯田长九十步,小头阔二十步,大头阔三十八
梯截大头图

步。今自大头截积一千七百八十七步五分。问:截长阔各若干。答曰:截下长五十五步,截中阔二十七步。

法曰:置截积倍之,得三千五百七十五步。以大小二阔相减,馀一十八步为阔差。以乘倍积得六万四千三百五十步。以原长九十步除之,得七百一十五步。另以大阔三十八步自乘,得一千四百四十四步。减去七百一十五步,馀七百二十九步为实。以开平方法除之,得二十七步为截中阔。就以此阔二十七步并大头原阔三十八步,共得六十五步。折半得三十二步五分为法。以除截积一千七百八十七步五分,得截长五十五步。合问。若作三叚分者,先截大小二头,长并中阔,馀长即是中叚数也。或又作四五叚分者,亦先截去大小二头长阔。再将原长内减截去二头长数,馀长步数,并截二叚中广。复作梯法截之是也。其斜形截法与梯形同理。如截东西两旁积,具载难题少广章中。
环田截积歌

环田要截外周积,倍积二周差步乘。原径为法除见数,另以外周周自乘。以少减多馀作实,开方便得内周成。二周相减馀零数,六而取一径分明。
今有环田外周七十二步,内周二十四步,径八步。今
环截外圆图

自外周截积二百八十五步。问:截中周并径若干。
答曰:中周四十二步,截径五步。法曰:置截积二百八十五步,倍之得

五百七十步。却以外周减内周二十四步,馀四十八步为差步。以乘倍积五百七十步,得二万七千三百六十步。以原径八步除之,得三千四百二十步。又置外周七十二步,自乘得五千一百八十四步。以少减多,馀一千七百六十四步为实。以开平方法除之,得中周四十二步。以减外周七十二步,馀三十步。以六除之,得径五步。合问。
今有环田外周七十二步,内周二十四步,径八步。欲
环截内周图

从内周截积九十九步。问:截中周并径若干。
答曰:中周四十二步,径三步。法曰:先将内外二周并之、折半,以径

乘之,得总积三百八十四步。内减今截内积九十九步,馀二百八十五步,即是前截外周积也。
圆田截积

今有圆田中径一十三步,今从边截积三十二步。问:
圆田截积图

所截弦矢各若干。
答曰:弦一十二步,矢四步。
法曰:倍积得六十四步,自乘得四千零九十六步为实。另以四因积三十

二步,得一百二十八步为上廉。又以四因径一十三步,得五十二步为下廉。以五为负隅,用开三乘方法除之,商四步于左上为法。以乘上廉得五百一十二步。就以商四乘隅五,得二十。以减下廉五十二步,馀三十二。另以商四自乘,得一十六。以乘下廉三十二,得五百一十二。并上廉五百一十二,共一千零二十四。为下法除实,得矢四步。另置积倍之,得六十四步。以矢除之,得一十六步。减矢四步,馀得弦一十二步。合问。
今有圆田径二十六步。今从旁截一弧矢,积一百二十八步。问:截弦矢各若干。
答曰:矢八步,弦二十四步。
法曰:倍积自乘,得六万五千五百三十六步为实。另以四因积,得五百一十二步为上廉。又以四因径,得一百零四步为下廉。又以五为负隅法商,得八于左上为法。以乘上廉,得四千零九十六步。又以商八乘隅五,得四十。以减下廉,馀六十四步。另以商八步自乘,得六十四步。以乘馀下廉,得四千零九十六步。并上廉共八千一百九十二步为下法。除实得矢八步也。若问求弦法,曰:置积倍之,得二百五十六步。以矢八除之,得三十二。于内减矢八步,馀得弦二十四步。合问。
弧矢法
圆径与截矢求截弦歌

圆径与矢求弧弦,半径自乘立一边。另以半径减去矢,馀亦自乘减却前。又馀平方开见数,倍之名即是弧弦。
假如有圆径十寸,弧矢阔一寸。问:截弦若干。
答曰:弦六寸。
弧矢内股弦求句图

法曰:置半径五寸为弦,自乘得二十五寸。另以半径五寸,减矢一寸,馀四寸为股。自乘得一十六寸。相减,馀九寸。平方开之,得三寸为句。倍之得六寸为截弧弦,即是二句相并为弦。馀皆仿此。
又法:以圆径自乘,得一百

寸为弦幂。另以圆径减倍矢二寸,馀八寸。自乘得六十四寸为股幂。相减馀三十六寸为句幂。平方开之,得全弦六寸。
圆径与截弦求截矢歌

圆径与弦求截矢,半径为弦自乘是。弧弦折半名为句,亦自乘之相减矣。馀用开方得股数,半径减股馀者矢。
假如有圆径十寸,弧弦长八寸。问截矢若干。
答曰:矢二寸。
弧矢内句弦求股图

法曰:以半俓五寸为句股之弦。另以弧弦八寸折半,得四为句。各自乘、相减,馀九寸。平方开之,得股三寸。以减半径五寸,馀二寸即矢。圆径与截矢求截弧、背其截弦求弧背,同。术曰:先求出弦径,除矢幂,得半弦背差。
解曰:圆之大小本于弧背之长短,系于圆之大小与矢之多寡。假如平圆十寸,平分一半,则矢长五寸。自乘得二十五寸。以径除之,得二寸五分为半弦背。差倍之,得五寸。加入圆径,得一十五寸为半圆周。故不论圆之大小、矢之多寡,皆准也。
弧矢求积、积求弦矢〈调寄西江月〉

一叚田禾之外东边近有荒丘,离边五步系头牛。只为绳长游走,践迹五分八步,如同弧矢弦。畴索长多少。是根由演立天源穷究。
原在难题少广章中,无图。今共图之于此,以便检阅并具法于后。

假如今有弧矢田积一百二十八步,离径五步。问:矢阔、弦长各若干。
答曰:索长一十三步,弧周二十八步有零,矢阔八步,离径五步,弧弦二十四步,圆径二十六
步。
法曰:置积一百二十八步为实。另以此数倍之,得二百五十六步。以开平方法除之,得一十六步为法。除
弧矢求积积求弦矢图

实得矢八步。加法十六共二十四步是弦长。折半得一十二步。自乘,得一百四十四步为实。以矢八步为法,除之,得一十八步。加矢八步,共得圆径二十六步。若问索长,以矢八步,加离边五步,乃是索长一十三步。合问。
弧矢求积歌

弧矢求积弧矢形,丈量之法注分明。弧矢弦长并矢步,半之又用矢相乘。
法曰:置弦二十四步,并矢八步,共三十二步。折半得一十六步。以矢八步乘之,得积一百二十八步。
积求弧弦歌

弧矢之积求弧弦,倍积以矢除为先。除来之数减去矢,馀存此即是弧弦。
法曰:置积一百二十八步,倍之,得二百五十六步为实。以矢八步为法,除之,得三十二步。减矢八步,馀得弧弦二十四步。
积求矢阔歌

积求矢阔倍为实,弦为纵方莫教迟。商于左位右并纵,前后呼除矢得宜。
法曰:置积一百二十八步,倍得二百五十六步为实。以弦二十四步于右为纵方。约初商八步于左。亦置商八步于右。纵方二十之下共三十二步,皆与上商八相呼。三八除实二百四十二,八除实一十六步,恰尽得矢八步。
弦矢求圆径并离径歌

弦矢求圆径可推,半弦自乘矢除之。再加矢阔为圆径,半之减矢离无疑。
法曰:置弦二十四步,折半,得一十二步。自乘,得一百四十四步为实。以矢八步为法除之,得一十八步。再加矢阔八步,得圆径二十六步。复折半,得一十三步。减矢八步,馀为离径五步。
圆径及弧径求离径并矢阔歌

径弦求离径矢阔,圆径弧弦各折半。各自乘减馀开方,离径圆径弧矢辨。
法曰:置圆径二十六步,折半,得一十三步。自乘,得一百六十九步。另以弧弦二十四步,折半,得一十二步。自乘,得一百四十四步。二数相减,馀二十五步。以开平方法除之,得离径五步。另以圆径二十六步折半,得一十三步。减离径五步,馀为矢八步。
圆径及矢阔求弧弦歌

圆径矢阔求弧弦,圆径矢阔减馀存。复以矢阔乘为实,开方倍之得弧弦。
法曰:置圆二十六步,减矢八步,馀一十八步。以矢八步乘之,得一百四十四步。以开平方法除之,得一十二步。倍之得弧弦二十四步。
弧弦及离径求圆径歌

弧弦离径求圆径,弧弦折半自相乘。离径自乘并为实,开方倍数为圆径。
法曰:置弦二十四步,折半,得一十二步。自乘,得一百四十四步。以离径五步,自乘,得二十五步。相并,得一百六十九步为实。以开平方法除之,得一十三步。倍之,得二十六步为圆径。
圆径及离径求弧弦歌

圆径离径求弧弦,圆径折半自相乘。离径自乘减馀实,开方倍得弧弦成。
法曰:置圆径二十六步,折半,得一十三步。自乘,得一百六十九步。以离径五步自乘,得二十五步。相减,馀一百四十四步为实。以开平方法除之,得一十二步。倍之,得弧弦二十四步。
解曰:弧矢状类句股。句股得直方之半。故倍其积以股除之,即得句弧背。曲倍积则长一弦而又一矢。以矢乘积、倍之,恰得一弦。一矢之数因未知矢,故以积自乘为实。约矢一度乘积,以为上廉;两度乘径以为下廉。并之为法,而后可以得矢。用三乘者,何也。积本平方。以积乘积是两度平方矣。故用三乘方法开之。上廉下廉俱用四因者,何也。倍积则乘出之数为积者四,故上下廉俱四以就之。减径者,何也。径乃圆之全径,矢乃截处之句。矢本减径而得,故亦减径以求矢。五为负隅者,何也。凡平圆之积得平方,四分之三在内者,七五在外者。二五不拘圆之大小,每方一尺。该虚隅二寸五分,其矢得四,其虚隅得一,合而为五,亦升实就法之意也。如不倍积,廉不用四,因以一二五为隅法,亦通。或不减径作添,积三乘方法,亦通。

商功章第五

商度也,商量用力之法也。此章以坚壤之率,求穿地之实。以广、阔、高、深,求城堑沟渠之积。以车担往来,求程途负载之功。
商功歌〈即修筑〉

商功须要问工程,长阔相乘深又乘。乘此数来以为实,每日工程为法行。惟以筑城别一样,上下将来折半平。高以乘之长又续〈又以长乘之也〉,以为城积甚分明。五因其积三而一,此是坚求壤法行。穿地四因为壤积,法中仍用五归成。
穿地四尺,为壤五尺。为坚三尺〈壤是虚土也。坚是实土也〉。穿地 求壤〈五因〉 求坚〈三因〉 皆四归之。
壤地 求穿〈四因〉 求坚〈三因〉 皆五归之。
坚地 求穿〈四因〉 求壤〈五因〉 皆三归之。
城垣堤沟求积。并上下广折半。以高深乘之。又以长乘之,得积。
方台求积。上方自乘,下方自乘。另以上下方相乘并之。又以高乘。再以三归之。如方窖刍童者,倍上长,加下长,以上广乘之。又倍下长,加上长,以下广乘之。并二数以高乘又,以六归之。
圆台求积。上周自乘,下周自乘。上下周相乘,并之。又以高乘。再用三十六除之。如圆窖圆锥者,下周自乘。又以高乘。再用三十六除之,如尖堆。
方锥求积。下方自乘,以高乘之,又三归之,如圭形〈下方上尖〉
方堡壔求积。以方自乘,又以高乘之,如方仓方柱也。圆堡壔求积。以周自乘,又以高乘之,再用十二除之,如圆仓圆柱也。
刍荛倍下长,加上长。以广乘之。又以高乘。用六归之,一如屋脊上斜下平。
羡除并三广,以深乘之,用六归之〈上平下尖,或倍上长加下长〉。假如今有坚地,积七千五百尺。问:穿地壤土各该若干。
答曰:穿地一万尺,壤土一万二千五百尺。
法曰:置坚地积,以五因三归之。为壤土积,另置壤积以四因五归之,得穿地积。合问。
今有开河长七千五百五十尺,上广五十四尺,下广四十尺,深一十二尺。每日一工开三百尺。问:用工若干。
答曰:一万四千一百九十四工。
法曰:并上下二广、折半,得四十七尺。以深一十二尺乘之,得五百六十四尺。又以长乘之,得积四百二十五万八千二百尺为实。以每工三百尺为法除之,即得。
今有穿渠上广二丈四尺,下广二丈一尺,深九尺,长三百八十四尺。每用人夫一十二名,日开积六百尺。问:该人夫几何。
答曰:一万五千五百五十二名。
法曰:并两广共得四十五尺。折半得二十二尺五寸。以深九尺乘之,得二百零二尺五寸。又以长乘之,得七万七千七百六十尺为积。又以人夫一十二名乘之,得九十三万三千一百二十尺为实。却以六百尺为法除之。
今有开濠上广七尺,下广九尺,深四尺,长一千八百尺。每人日穿一百四十四尺,今用人夫二百名。问:几日开毕。
答曰:二日开毕。
法曰:并上下广,折半,得八尺。以深四尺乘之,得三十二尺。又以长乘之,得五万七千六百尺为实。另置二百人,以每人一百四十四尺乘之,得二万八千八百尺,为法除之。合问。
筑台歌

筑台丈尺要推详,上长倍之加下长。上广乘之别列位,另倍下长加上长。仍以下广乘见数,二数共并积相当。原高乘并积为实,六归实数积如常。
今有筑直台一所。上广八尺,长二丈,下广一丈八尺,长三丈,高一丈八尺。问:积若干。
答曰:六千尺。
法曰:倍上长,得四十尺。加下长共七十尺。以上广八尺乘之,得五百六十尺。另倍下长,得六十尺。加上长二十尺,共八十尺。以下广一十八尺乘之,得一千四百四十尺。并二数,共二千尺。以高一十八尺乘之,得三万六千尺。以六归之。合问。
今有筑方台,上方六尺,下方八尺,高一十二尺。问:积若干。
答曰:五千九百二十尺。
法曰:依方窖法,以上方六尺自乘,得三十六尺。下方八尺自乘,得六十四尺。又以上方乘下方,得四十八尺。并三数共一百四十八尺。以高一十二尺乘之,得一千七百七十六尺。以三归之。合问。
一法依筑台歌,倍上方,加下方,共二十尺。以上方乘之,得一百二十尺。另倍下方,加上方,共二十二尺。以下方乘之,得一百七十六尺。并二数共二百九十六尺。以高一十二尺乘之,得三千五百五十二尺。以六归之,亦得。
今有圆台,上周一十八尺,下周二十四尺,高一十二尺。问:积若干。
答曰:四百四十四尺。
法曰:置上周自乘,得三百二十四尺。以下周自乘,得五百七十六尺。又以上下二周相乘,得四百三十二尺。并三数共一千三百三十二尺。以高一十二尺乘之,得一万五千九百八十四尺为实。以圆率三十六除之。合问。此如圆窖。
今有立锥,高三十二尺,下方二十四尺。问:积若干。答曰:六千一百四十四尺。
法曰:置下方自乘,得五百七十六尺。以高乘之,得一万八千四百三十二尺为实。以三归之。合问。
今有圆锥,高三十二尺,下周七十二尺。问:积若干。答曰:四千六百零八尺。
法曰:置下周自乘,得五千一百八十四尺。再以高三十二尺乘之,得一十六万五千八百八十八尺为实。以圆率三十六尺除之,得积。合问。
筑墙截高问今上广歌

上下原广数相减,馀用今高数相乘。原高为法除为积,积减下广上广存。
假如原筑墙上广一尺,下广三尺,高一十二尺,今已筑高九尺。问:上广若干。
答曰:一尺五寸。
法曰:将原下广三尺减原上广一尺,馀二尺。以今筑高九尺乘之,得一十八尺为实。以原高一十二尺为法除之,得一尺五十。却于原下广三尺减去一尺五寸,馀得今筑上广。合问。
一法将原下广三尺减原上广一尺,馀二尺。另以原高一十二尺内减今高九尺,馀三尺。以乘二尺,得六尺为实。以原高一十二尺为法除之,得五寸。加原上广一尺,共一尺五寸。亦得。
原筑墙上广一尺,下广三尺,高一丈二尺。今欲筑高一丈五尺。问:上广若干。
答曰:上广五寸。
法曰:置原下广三尺减原上广一尺,馀二尺。另以原高一丈二尺减今高一丈五尺,馀三尺。以乘二六尺为实。以原高一丈二尺为法除之,得五寸。以减原上广一尺,馀五寸为今上广。合问。
筑墙截下广问今高歌〈即是截今下节〉

原今下广数相减,馀以原高乘为实。原下广减原上广,馀为法除高数是。
原筑墙上广一尺,下广四尺,高一十二尺。今只筑下广二尺一寸。问:今高若干。
答曰:七尺六寸。
法曰:置原下广四尺减今筑下广二尺一寸,馀一尺九寸。以原高一十二尺乘之,得二十二尺八寸为实。另以原下广四尺减原上广一尺,馀三尺。为法除之。合问。
原筑墙上广二尺,下广六尺,高二丈。今已筑上广三尺六寸。问:今筑高若干。
答曰:一丈二尺。
法曰:置原下广六尺内减去今筑上广三尺六寸,馀二尺四寸。以原高二十尺乘之,得四十八尺为实。另以原下广六尺减原上广二尺,馀四尺。为法除之,得今高。合问。
原筑墙上广十尺,下广三十尺,高四十尺。今欲筑上广九尺。问:接高若干。
答曰:二尺。
法曰:置原高四十尺为实。另以原上广十尺减原下广三十尺。馀二十尺。除之,得二尺,又为实。以今欲筑上广九尺,减原上广十尺,馀一尺。为法除之,得接高二尺。合问。
筑方锥丈尺今改作方台歌

今上方与原高乘,便为实积数分明。原下方数宜为法,法除实积截高成。
原筑方锥下方二十四尺,高三十二尺,今改作方台只用上方六尺。问:截去高若干。
答曰:截去高八尺。
法曰:置原高三十二尺,以今只用上方六尺乘之,得一百九十二尺为实。以下方二十四尺为法除之,得截去高八尺。合问。
原有方锥下方二十四尺,高三十二尺。今改作方台。已筑高二十四尺。问:今上方若干。
答曰:六尺。
法曰:置原高内减今高二十四尺,馀截去八尺。以乘下方二十四尺,得一百九十二尺为实。以原高为法除之,得上方。合问。
原有方锥下方二十四尺,高三十二尺,今改作方台。只用上方六尺。问:今高若干。
答曰:二丈四尺。法曰:置原下方二十四尺内减今上方六尺,馀一十八尺。以原高三十二尺乘之,得五百七十六尺为实。以原下方二十四尺为法除之,得今高二十四尺。合问。
筑方台丈尺今改作方锥问接高歌

上方与高乘为实,下方内减上方积。馀积为法除实数,便见接高今丈尺。
原方台上方六尺,下方二十四尺,高二十四尺。今改作方锥。问:接高若干。
答曰:接高八尺。
法曰:置原高二十四尺乘原上方六尺,得一百四十四尺为实。另以原下方二十四尺内减原上方六尺,馀一十八尺。为法除之,得接高八尺。合问。
原有圆锥下周七十二尺,高三十二尺。今改作圆台,只用上周一十八尺。问:今筑高若干。
答曰:二十四尺。
法曰:置原下周七十二尺,内减今用上周一十八尺,馀五十四尺。以原高三十二尺乘之,得一千七百二十八尺为实。以原下周七十二尺为法除之,得今高二十四尺。合问。
原有圆锥下周七十二尺,高三十二尺。今改作圆台。已筑高二十四尺。问:今上周若干。
答曰:一十八尺。
法曰:置原高三十二尺减今高二十四尺,馀八尺。以乘原下周七十二尺,得五百七十六尺。以原高为法除之。合问。
筑堤歌

筑堤之法最蹊跷,东高倍之加西高。上下广并乘折半,西高另倍加东高。上下广并仍乘折,一折数并共相交。却用原长乘为实,五归其实积无饶。
今筑堤一所。东头上广八尺,下广一十四尺,高九尺。西头上广二十尺,下广二十二尺,高二十一尺。东至西长九十六尺。问:积若干。
答曰:二万八千八百尺。
法曰:倍东高九尺为一十八尺。加西高二十一尺共三十九尺。却以东头上下广相并,为二十二尺。乘之得八百五十八尺。折半得四百二十九尺。另倍西高加东高共五十一尺。却以西头上下广相并,为四十二尺。乘之得二千一百四十二。折半得一千零七十一。二数相并共一千五百尺。再以长九十六尺乘之,得一十四万四千尺为实。以五归之,得积。合问。今有甲乙二人开渠。甲日开积四百尺,乙日开积三百五十尺。先甲开七十日后令乙开。问:几日与甲同。答曰:八十日。
法曰:置甲开七十日。以每日四百尺乘,得二万八千尺为实。却以乙日开三百五十尺为法除之,得八十日,才与甲同数。
今有人快行者,日行九十五里。慢行者,日行七十五里。今令慢行者先行八日。问:快行者几日赶至追及之。行路程各若干。
答曰:快行者三十日,慢行者多八日,路程二千八百五十里。
法曰:置慢行者日行七十五里,以八日乘之,得六百里为实。以慢行减快行,馀二十里。为法除之即得。今有慢行者已去七日,后令快行者赶去。六日追至中途。及之其路程已行一千一百七十里。问:快慢每日各行若干。
答曰:快者日行一百九十五里,慢者日行九十里。法曰:置已行路程一千一百七十里为实,以六日为法除之,得快者日行一百九十五里。另将先行七日并后赶六日共一十三日,为法除总一千一百七十里,得慢行里数。合问。
今有甲乙二人行步不等。甲日行八十里,乙日行四十八里。令乙先行二百四十里,甲才发步追之。问:几里可及。
答曰:六百里。甲七日半,乙十二日半。
法曰:置先行二百四十里以甲日行八十里乘之,得一万九千二百里为实。却以甲乙日行里数相减,馀三十二里,为法除之。合问。
今有人盗马乘去,已去三十七里,马主方觉。追去一百四十五里不及二十三里,仍复追之。问:几里可及。答曰:二百三十八里又一十四分里之三。
法曰:置不及二十三里以马主追去一百四十五里乘之,得三千三百三十五里为实。另置已行三十七里减去不及二十三里,馀一十四里,为法除实二百三十八里不尽三,以法约之。
今有大都路至杭州四千二百七十五里。马从大都往南日行一百二十里。船从杭州往北日行七十里。问:船马几日相会,各行若干。
答曰:二十二日半。马行二千七百里,船行一千五百七十五里。法曰:置四千二百七十五里为实。却并船马日行共一百九十里,为法除之,得二十二日半又为实。各以原行里数乘之,得各行里数。
原有一夫日耘田七亩,一夫日耕三亩,一夫日种五亩。今令一夫自耘自耕自种。问:治田若干。
答曰:一亩四分七釐又七十一分之六十三。
法曰:以田为分母,夫为分子。以母互乘之,列分母分子之位〈七亩一夫 三亩一夫 五亩一夫〉。先以七亩乘三亩得二十一亩又以五亩,乘之得一百零五亩为实又以七亩,乘三亩得二十一亩。又以三亩乘五亩得一十五亩。又以五亩乘七亩得三十五亩。并之得七十一亩。为法除实得一亩四分七釐不尽六十三,以法命之。原有三女各纳锦一方。长女五日完,中女七日完,小女九日完。今令三女共纳锦一方。何日可毕。
答曰:二日又一百四十三分日之二十九。
法曰:以日为分母,方为分子。以三母相乘。先以五日乘七日得三十五日,又以九日乘之得三百一十五日为实。以母互乘子法〈五日长女 七日中女 九日小女〉。先以五日乘七日得三十五日,又以七日乘九日得六十三次,以九日乘五日得四十五。并之得一百四十三日。为法除实得二日不尽二十九,以法命之。
堆垛歌

缶瓶堆垛要推详,底脚先将阔减长。馀数折来添半个,并入长内阔乘良。再将阔搭一乘实,以三除之数相当。一面尖堆只添一,乘来折半积如常。三角果垛亦堪知,脚底先求个数齐。一二添来乘两遍,六而取一不差池。要知四角盘中果,添半仍添一个随。乘此数来以为实,如三而一法求之。
今有酒瓶一垛。底脚阔八个,长一十三个。问:该积若干。
答曰:三百八十四个。
法曰:置长内减阔,馀五个。折半得二个半。添半个作三个,并入长,共一十六个。以底脚八个因之,得一百二十八个。另以阔八个添一个作九个,乘之,得一千一百五十二个,以三除之。合问。
今有物靠壁,一面尖堆,底脚阔一十八个。问:积若干。答曰:一百七十一个。
法曰:置阔一十八个为实。另以一十八个加顶一个,共一十九个。为法乘之得三百四十二个。折半即得。今有物一面平堆,底脚阔七个,上阔三个。问:积若干。答曰:二十五个。
法曰:置底脚七个减去上阔三个,馀四个。加一个,共五个。为法乃是五层也。另并上下阔,共得十个为实。以法五乘之,得五十个。折半得二十五个。合问。堆垛图式具左。
一面尖堆图


右二图用法权变,便人易晓。故立此以仿其馀。右二图用法权变,便人易晓。故立此以仿其馀。

今有三角果一垛。底阔,每面七个。问:该若干。
答曰:八十四个。
法曰:置底阔七个,另以七个添一个,共八个,相乘得五十六个。又以七个添二个共九个,乘五十六个,得五百零四个为实。以六归之。合问。
今有三角半堆果一垛。每面上阔五,个底阔一十二个。问:该若干。
答曰:三百四十四个。
法曰:亦用三角法。先以底阔一十二个求出全积三百六十四。另以上尖虚底阔四个,求出虚积二十。以减全积,馀半堆,积三百四十四个。
一法上阔五个自乘得二十五。下法十二自乘得一百四十四。上阔五乘下阔十二,得六十。又倍下阔,得二十四。加上阔五得二十九。并四数共二百五十八为实。另以下阔十二减上阔五,馀七加一得高八。为法乘实得二千零六十四。以六除之。合问。
今有物,四面尖堆。底阔一十二个。问:该若干。
答曰:六百五十个。
法曰:置底阔一十二个,另以十二加一个共一十三个,乘之得一百五十六个。又以十二加半个共一十二个半,乘一百五十六个,得一千九百五十个。以三归之。即得。
今有物一堆。横面下阔十个,上阔一个,正面下阔一十二个,上阔三个。问:该若干。
答曰:四百九十五个。
法曰:置正面下阔一十二个,倍之得二十四,加上广三,共二十七。以横面下广一十乘之,得二百七十。另置二百七十以横下广一十乘之,得二千七百。并入二百七十,共得二千九百七十。以六除之,即得。
半堆歌

半堆瓶法另推详,上长倍之加下长。却用上阔乘见数,下长仍倍加上长。别以下阔乘见积,下长另减上头长。馀存三位同相并,再以高乘为实良。要知其积从何见,六而取一积该当。
今有半堆酒瓶一栈。上长二十五个,阔一十二个,下长三十个,阔一十七个,高六个。问:积若干。
答曰:积二千四百一十个。
法曰:倍上长加下长,以上阔乘之,得九百六十。又倍下长加上长,以下阔乘之,得一千四百四十五。并之得二千四百零五。又以下长减去上长,馀五。并入共得二千四百一十。以高乘之,得一万四千四百六十为实。以六为法除之,即得。
今有砖一堆。长三丈,高九尺,入深四尺。每块长一尺,阔五寸,厚二寸。问:共该若干。
答曰:一万零八百块。
法曰:置长三丈为实。以每块二寸为法归之,得一百五十块。另以高九尺,以每块阔五寸归之,得一十八块。乘之,得二千七百块。又以入深四尺乘之。合问。
挑土计方歌〈每一方长阔各一丈,高一尺,开塘法同〉

东西并折半,南北亦如斯。互乘为实位,深数再乘之。今有田内开土、挑泥、填基。东六丈五尺,西七丈五尺,南八丈,北九丈,深二尺。问:取泥该方数若干。
答曰:一百一十九方。
法曰:置东六丈五尺并西七丈五尺,共一十四丈。折半得七丈。又以南八丈并北九丈,共一十七丈。折半得八丈五尺。相乘得五十九丈五尺。又以深二尺乘之,得一百一十九方。合问。
量木梱〈调寄西江月〉

梱有封书模样,
梱法不一。一名一封书,一名方梱。

深阔各倍相乘。
如阔若干,深若干,俱各加倍,以五寸为一根,即是为倍法也。

丈五除长再乘行,
如长若干,以每根长一丈五尺除之,馀数再乘。

书梱加深为定。
如一封书梱,深阔长俱乘讫。又照原深若干加之是也。

方梱须知加阔,
如方梱深阔长俱乘讫,又照原阔若干加之是也。

荒深三折倍成。
又名荒排者,异前二形,即以深三归而一方可倍之,即一尺二根也。

阔长皆是照前因,
虽荒排阔,亦倍之。与三归深者相乘,长亦照前丈五除者相乘。

三折一加有准。
但荒排阔深长俱乘讫。亦照深三归而一加之。

今有一封书梱。深七尺五寸,阔四丈七尺,长九丈。问:木若干。
答曰:一万四千八百零五根。
法曰:置深七尺五寸,以每尺二根计之,得一十五根,即倍法也。又以阔四丈七尺倍作九十四根,相乘得一千四百一十根为实。另置长九丈以每根长一丈五尺除之,得六根。为法乘实得八百四十六根。又以深七尺五寸加之,或用一七五乘亦可。合问。
今有方梱深七尺,阔五丈,长六丈。问:木若干。
答曰:八千四百根。
法曰:置深七尺倍作一十四根。又以阔五丈亦倍作一百根。相乘得一千四百根为实。另置长六丈以一丈五尺除之,得四根。为法乘实得五千六百根。又以阔五丈加之。合问。
今有荒排深二丈一尺,阔四丈四尺,长六丈。问:木若干。
答曰:八千三百七十七根六分。
法曰:置深二丈一尺,以三归,得七尺。倍作一十四根。又以阔四丈四尺倍作八十八根。相乘得一千二百三十二根为实。另以长六丈以一丈五尺除之,得四根。为法乘之,得四千九百二十八根。又以深二丈一尺用三归,得七尺,加之。合问。若量方圆束木法,已见前少广章中。
右梱法虽设则,厂弊客弊或差免。但一封书并荒排法无异。其方梱所加,或阔深长不一,法难必矣。
均输章第六
均,平也。输,送也。此章以户数多寡、道里远近,而求车数粟数。以粟数高下而求僦直。以钱数多少而求佣钱。
歌曰

均输只要一般般,不许亏民及损官。劳费程途知远近,分毫依法要详端。行道驾船皆一体,负挑车载重轻看。
今有银二十二两八钱,买黄白蜡。各要均平,其黄蜡每三斤价银四钱,白蜡每斤价银五钱。问:黄白蜡各若干。
答曰:各三十六斤。黄该银四两八钱,白该银一十八两。
法曰:置总银以黄蜡三斤乘之,得六百八十四斤为实。另置黄蜡三斤以白蜡价五钱乘之,并黄蜡价四钱,共得一两九钱。为法除之,得黄白各三十六斤。就以白蜡三十六斤以每斤五钱乘之,得价一十八两。再置黄蜡三十六斤以价四钱乘之,得一十四两四钱。又以蜡三斤为法除之,得价四两八钱。合问。今有银三十七两八钱,籴米、麦、豆,三色各要均平。每石米价八钱,麦价六钱,豆价四钱。问:各若干。
答曰:米、麦、豆,各二十一石。
法曰:置总银为实并米、麦、豆价共一两八钱,为法除之,得每色二十一石之数。各以价乘之。合问。
右法不拘四色五色者,仿此推之。

今有甲、乙、丙三人以田多寡应当一年差役。甲田三十五亩,乙田二十五亩,丙田二十亩。问:各该值月若干。
答曰:甲该五个月零七日半,乙该三个月二十二日半,丙该三个月。
法曰:置甲、乙、丙三人田共并得八十亩为法。另置甲田以十二月乘之,得四百二十为实。以法八除之,得五个月零二五。却以三十日乘二五,得七日半。又置乙田以十二月乘之,得三百为实。以法八除之,得三个月零七五。却以三十日乘七五,得二十二日半。又置丙田以十二月乘之,得二百四十为实。以法八除之,得三个月。合问。
又法:置一年计三百六十日为实,并甲、乙、丙三人田共八十亩,为法除之每亩得值月四十五日。以乘各人田数,亦得。
今有甲、乙二人往县应役。甲该十二日一往,乙该十五日一往。问:一人何日同会。
答曰:六十日会。
法曰:置甲十二日以乙十五日乘之,得一百八十日为实。却以乙十五日减甲十二日,馀三日,为法除之。合问。
今有官派粮八百四十石。令四县照依田地多寡纳之。甲县田五十六亩,乙县四十四亩,丙县三十二亩,丁县二十八亩。问:各该纳若干。
答曰:甲三百九十四石,乙二百三十一石,丙一百六十八石,丁一百四十七石。
法曰:置列甲、乙、丙、丁四县田数,各以官派粮八百四十乘之,各列为实。另以四县田并之,得一百六十亩。为法以除各县乘数即得各县该纳之数。合问。又法:置总粮为实,并四县田为法除之,以乘各田数。亦得。
今有五县输粟二万石。照人户多少、道里远近、价值上下而均输之。每车载二十五石,行道一里与僦里钞一钱。甲县二万零五百二十户,粟石价二两。乙县一万二千三百一十二户,粟石价一两,远输所二百里。丙县七千一百八十二户,粟石价一两二钱,远输所一百五十里。丁县一万三千三百三十八户,粟石价一两七钱,远输所一百五十里。戊县五千一百三十户,粟价一两三钱,远输所一百五十里。问:各输粟若干。
答曰:甲七千一百四十二石三斗五升九合九勺。乙四千七百六十一石五斗七升三合二勺,该僦里钞二十两。丙二千七百七十七石五斗八升四合,该僦里钞一十五两。丁三千四百三十八石九斗一升四合,该僦里钞二十五两。戊一千八百七十九石五斗六升八合三勺,该僦里钞一十五两。
解曰:甲县乃自输本县而无僦里,惟乙、丙、丁、戊四邑有之。各昭里数远近以僦钞一钱,因之各得僦里钞也。

法曰:置甲县户数为实,以粟价二两为法除之,得一千零二十六衰。乙县行道二百里以每车载二十五石除之,得八钱,并粟价一两共一两八钱,除户数得六百八十四衰。丙县行道一百五十里以每载二十五石除之,得六钱并粟价共一两八钱,除户得三百九十九衰。丁县行道二百五十里亦以二十五石除之,得一两并粟价共二两七钱,除户得四百九十四衰。戊县行道一百五十里亦以二十五石除之,得六钱并粟价共一两九钱,除户得二百七十衰。就以五衰列置五县,再并五衰共二千八百七十三衰为法。另以赋粟二万石以乘五县各衰为实,以法除之。合问。
原有绫每疋价四两一钱,绢每疋价二两一钱。今欲将绫换绢。问:多少可均。
答曰:绫二疋一,绢四疋一。
法曰:以绫绢价相乘,得八两六钱一分为实。以绢疋价除之,得绢数。以绫价除之,得绫数。合问。
其疋下有零者,照疋长若干加之,是也。

今有麻每石价九钱,米每石价八钱,豆每石价七钱。今三主只以价均扣算麻、米、豆数及价。问:各若干。答曰:各该价五钱零四釐,麻五斗六升,米六斗三升,豆七斗二升。
法曰:先置麻、豆价相乘,得六斗三升,退位为米数。又以米、豆价相乘,得五斗六升,退位为麻数。再以麻、米价乘之,得七斗二升,退位为豆数。各以价乘之。合问。
但相乘数多者,为贱;少者,为贵。可以辨之。

原有人挑茶九十斤行道,五百里脚银九钱。今挑一百二十斤,行道三百里。问:该银若干。
答曰:七钱二分。
法曰:以今挑茶一百二十斤乘今行三百里,得三百六十。又以脚银九钱乘之,得三两二钱四分为实。另以九十斤乘原行五百里,得四百五十里,为法除之。合问。
原雇车一辆议行道一千里,载重一千二百斤与银七两五钱。今重一千五百斤,行一千三百里。问:该银若干。
各曰:一十二两一钱八分七釐五毫。
法曰:置今重一千五百斤以,今行一千三百里乘之,得一千九百五十里。又以银七两五钱乘之,得一十四两六钱二分五釐为实。以原重一千二百斤乘原行一千里为法除之。合问。
今有货重一千六百斤,先付车主银六两,照前议行道一千里载重一千二百斤,价七两五钱。问:该行道若干。
答曰:六百里。
法曰:置今付车主银六两以原行道一千里乘之,得六千里。又以原重一千二百斤乘之,得七千二百里为实。另以今重一千六百斤以原价七两五钱乘之,得一十二两,为法除之。合问。
今有道一千七百里,车主已支去银七两六钱五分,照前议每一千里载重一千二百斤,价七两五钱。问:该载重若干。
答曰:七百二十斤。
法曰:置原重以原行道乘之,仍得一千二百里。又以今去银七两六钱五分乘之,得九两一钱八分为实。另置今行道以原与银七两五钱乘之,得一十二两七钱五分。为法除之,即得。
原有人担物一百五十斤行道,一百三十里与脚银二钱。今担一百八十斤行道九十里。问:该银若干。答曰:一钱六分六釐一毫五丝。
法曰:置今重一百八十斤乘今行道九十里,得一百六十二里。又以原脚银二钱乘之,得三钱二分四釐为实。另以原担重一百五十斤乘原行道一百三十里,得一百九十五斤。为法除之,即得。
今有空车日行七十里,重车日行五十里。今载谷至仓五日三返。问:路远若干。
答曰:四十八里又三十六分之二十二。
法曰:置空车、重车日行里数相乘,得三百五十里。又以五日乘之,得一千七百五十里为实。另并空车、重车日行里数。以三返乘之,得三百六十,为法除之不尽二十二,以法命之。
原有人负米一石一斗二升,行三十步,日五十返。今负米一石二斗,行四十步。问:日几返。
答曰:三十五返。
法曰:置负米一石一斗二升以行三十步乘之,得三百三十六。又以五十返乘之,得一千六百八十为实。另以今负米一石二斗以行四十步乘,得四百八十,为法除之。合问。
今有众兄弟辈出钱买物。长兄出钱八文,次兄以下各加一文,顺至小弟出钱六十文。问:兄弟辈及共钱各若干。
答曰:五十三人,共钱一千八百零二文。
法曰:以八文并入六十文共得六十八文。另置六十文于内,减去八文,馀五十二文,再加长兄一人共得五十三人。另以六十八文乘五十三人,得三千六百零四文。折半,即得。
今有中式举人一百名。第一名官给银一百两。自第二名以下挨次各减五钱。问:该银若干。
答曰:七千五百二十五两。
法曰:置一百名减去第一名,馀九十九名。以五钱乘之,得四十九两五钱。以减一百两馀,五十两零五钱,为第一百未名之数。并入第一名给一百两,共一百五十两零五钱。以乘一百名,得一万五千零五十两,折半。合问。
今有钱一文,日增一倍,倍至三十日。问:该若干。答曰:十亿零七千三百七十四万一千八百二十四文。
法曰:置钱一文以十度八因即得〈一度八因乃三日倍数,十度八因乃三十日数〉
一法:以五度六十四乘亦得〈一度六十四乘,乃六日倍数。五度六十四乘,是三十日数〉
一法:以三度三十二乘得数,自乘亦得〈三度三十二乘乃,十五日数,自乘即三十日也〉
解曰:十度者,以八因十次也。五度者,以六十四乘五次也。馀仿此。

今有天干十位,地支十二位。问:干支相配若干。答曰:六十甲子。
法曰:置天干十位,以地支十二乘之,得一百二十为实。却以天干十位减地支十二,馀二。为法除之即得。今有车一轮。轮高六尺,推行二十里。问:输转若干。答曰:输转二千次。
法曰:置二十里以里率一千八百尺乘之,得三万六千尺为实。另以轮高六尺三,因得周一十八尺为法除之。合问。
今有人车,不知其数。凡三人共车,二车空;二人共车,九人步行。问:人车各若干。
答曰:一十五车,三十九人。
法曰:置二人以三人乘之,得六。加九人得车一十五。又以:二人乘车十五,得三十。加九人得人数。
今斋僧不知人数。初日每五人米八斗,次日每九人米七斗。凡二日共米三十二石一斗。问:僧并米各该若干。
答曰:一百三十五人,初日米二十一石六斗,次日米一十石零五斗。
法曰:置列〈五人 九人〉〈八斗 七斗〉,另以九人乘八斗,得七十二。又以五人乘七斗,得三十五。并之得一百零七为法。另以九人五人相乘,得四十五。复乘共米三十二石一斗,得一千四百四十四石五斗为实。以法除之。合问。
今有围兵二万三千四百人,以布围之,各相去五步。今围内缩除一十六里九十步而止。问:围兵各相去若干。
答曰:四步七分五釐。
法曰:置兵数以五步乘之,得一十一万七千步。另以一十六里以三百六十步通之,得五千七百六十步。加零九十步,共五千八百五十步。以减上数馀一十一万一千一百五十步,以围兵二万三千四百,为法除之,即得。
今有粮三千六百石。只云每石则例令三处仓上纳。东仓二斗三升四合,西仓三斗四升五合,南仓四斗二升一合,依则均开。问:各仓该米若干。
答曰:东仓八百四十二石四斗,西仓一千二百四十二石,南仓一千五百一十五石六斗。
法曰:置总粮为实,以各仓则例数乘之,合问。
今有夏税麦二百七十四石。三限催徵。初限五分六月完,中限三分半七月完,末限一分半八月完。问:各限该徵若干。
答曰:初限一百三十七石,中限九十五百九斗,末限四十一石一斗。
法曰:列置麦数三位。一位以五分乘为初限数。二位以三分半乘为中限数。三位以一分半乘为末限数。合问。
今有鸡兔同笼。上有三十五头,下有九十四足。问:鸡兔各若干。
答曰:鸡二十三只,兔一十二只。
法曰:置总头倍之,得七十。于总足内减七十馀二十。四折半得一十二,是兔。以四足乘之,得四十八足,于总足减之,馀四十六足,为鸡足。折半得二十三只。合问。
一法:以四因总头,减去总足,馀折半得鸡。另以二因四归总足,减总头,馀得兔。
倍头减足折半是兔。
不分鸡兔,以鸡二足乘头数,于共足内减之,所馀者是一兔。剩二足,故折半为兔也。

四头减足折半是鸡。
不分鸡兔,以兔四足乘头数,以共足减之,所馀者,鸡足也。故折半为鸡。
此法名二率分身,即贵贱差分也。

今有狐狸一头,九尾、鹏鸟一尾,九头。只云前有七十二头,后有八十八尾。问:二禽兽各若干。
答曰:狐狸九个,鹏鸟七只。
法曰:置总头七十二以减总尾八十八,馀一十六,是二禽兽共数。以尾九因之,得一百四十四,内减总尾八十八,馀五十六,为实。另以尾九内减一头,馀八,为法除实,得鹏鸟七只。以减共数,馀得狐九个。合问。




钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百二十一卷目录

 算法部汇考十三
  算法统宗九〈盈朒章第七〉

历法典第一百二十一卷

算法部汇考十三

《算法统宗九》盈朒章第七

盈,多也;朒,少也。此是假设有馀不足者,以求隐杂之数也。隐杂者,不见之数;显者,可见之数。故以显者推隐杂者。且如数人共买物,出钱多则有馀,少则不足,无可考究者。故以有馀、不足数求之,则人数物价可知矣。
歌曰

算家欲知盈不足,两家互乘并为物。并盈不足为人实,分率相减馀为法。法除物实为物价,法除人实人数目。
法曰:置所出率与盈不足〈出率 出率〉〈盈率不足率〉,以盈不足互乘,所出率并之,共若干为物实。另并馀不足共若干为人实。置所出率相减,馀若干为法除人实,得人数;除物实得物价。
又法:并盈不足为人实,以出率相减,馀为法除实,得人数。却以出率乘人数,得若干。减盈增不足即得物价。
若人分物者,却是增盈减不足,即得物数也。其盈朒互乘出率,并为物实。又并盈朒为人实。或并盈朒为人实,俱出率相减,馀为法也。其理则一作法之意也。

今有人买物。每人出银五两,盈六两。每人出银三两,不足四两。问:人物价各若干。
答曰:五人,物价银一十九两。
法曰:置盈不足〈出五两 出三两〉〈盈六两不足四两〉,先以出五两互乘,不足四两,得二十两。次以出三两互乘,盈六两,得一十八两。并二位共三十八两为物实。另并盈六两不足四两,共十两为人实。却以出五两内减出三两,馀二两。为法除人实,得五为人数,除物实得一十九两为物价。
此是盈朒互乘出率,并为实,又并盈朒为人实者。

今有人分物。每人分一十二个,盈一十二个。每人分一十四个,不足六个。问:人数及物若干。
答曰:九人物一百二十个。
法曰:置盈不足并盈十二、不足六,共一十八个为人实。以分十四减分十二馀二,为法除人实,得九人。却以分一十四个,乘人数,得一百二十六个。内减去不足六个,馀一百二十个,是物数。或置九人以分一十二个,乘得一百零八个,内增十二,亦得物数。合问。
此是并盈朒为人实,出率相减,馀为法除人实,得人数。以分率乘之。或增盈减不足,得物数。凡分物则用增盈减不足。若买物者,则用减盈增不足。

今有买物,每人出钱八文,盈三文。每人出钱七文,不足四文。问:人数物价各若干。
答曰:七人,物价五十三文。
法曰:置盈不足,并盈三文、不足四文,共七文为人实。以出八文减出七文,馀一文。为法除人实,得七人。却以出八文乘人数,得五十六文。内减盈三文馀五十三文是物价。或置七人以出率七文乘之,得四十九文。内增不足四文,亦得物价。合问。
此因前并盈朒为人实者,是买物也。仍前得人数,却以出率乘之。或减盈增不足,即得物价。凡贾物者仿此。

今有人分绢。只云每人分八匹,盈一十五匹。每人分九匹,不足五匹。问:人绢各若干。
答曰:二十人,绢一百七十五匹。
法曰:置盈不足〈分八匹 分九匹〉〈盈十五匹不足五匹〉。先以分八匹互乘不足五匹,得四十匹。次以分九匹互乘盈十五匹,得一百三十五匹。并二位,得一百七十五匹,为绢数。又并盈十五不足五共二十,为人数。合问。
此是分八匹分九匹相减,馀一为法者。虽用归之数,亦如故。惟以大数变化,为小故不必用此法亦得。只并盈朒为人实。另并前互乘二位为绢数。

人有绢一匹,欲作帐幅。先摺作六幅,比旧帐长六寸。后摺作七幅,比旧帐短四寸。问:绢及旧帐幅长各若干。
答曰:绢长四丈二尺,旧帐幅长六尺四寸。
法曰:置先摺绢六幅以比旧帐长六寸乘之,得三尺六寸。另置七幅以短四寸乘,得二尺八寸。如盈不足列〈六幅 七幅〉〈长三尺六寸宽二尺八寸〉,以七幅互乘长三尺六寸,得二丈五尺二寸。又以六幅互乘二尺八寸,得一丈六尺八寸,并二数,得四丈二尺为绢实。却以七幅减去六幅,馀一幅。为法除绢实得绢长数,另并互乘长短得六尺四寸,为旧帐幅实,仍前法除之。
今有直田一段。欲截南头卖之。只云截长六步,不足七步。截长八步,盈九步。问:截卖步数及田原阔各若干。
答曰:截卖五十五步,原阔八步。
法曰:置盈不足〈截六步 截八步〉〈不足七步盈九步〉,先以截六步乘盈九步,得五十四步。次以截八步乘不足七步,得五十六步。并二位共得一百一十步为截积之实。却以截卖六步八步相减,馀二步。为法除之,得截积五十五步。另以不足七步,并多九步,共得一十六步为田阔之实。仍以前法二除之,得原阔八步。合问。
两盈两不足歌

两盈出率互相乘,多减少剩是物情。两盈相减遗人实,出率相减法之名。法除物情是物价,法除人实人数称。若问算中两不足,与盈法例一般行。
法曰:置所出率与两盈互乘,各得若干。以少减多,馀为物实。另以两盈相减,馀为人实。又以出率相减,馀为法除人实,得人数。除物实得物数。
今有人买物。每人出银三两五钱,盈六两。每人出三两三钱,盈二两八钱。问:人数物价各若干。
答曰:一十六人,物价银五十两。
法曰:置两盈〈出三两五钱 出三两三钱〉〈盈六两 盈二两八钱〉,先以出三两五钱互乘盈二两八钱,得九两八钱。次以出三两三钱互乘盈六两,得一十九两八钱。二数相减,馀十两为物实。另以置六两内减盈二两八钱,馀三两二钱为人实。又以出三两五钱内减出三两三钱,馀二钱。为法除物实得五十两。为物价法除人实得一十六,为人数。合问。
今有人买牛。每人出银五两,不足四两。每人出五两四钱,不足二两。问:人数物价各若干。
答曰:五人,物价银二十九两。
法曰:置两不足〈出五两 出五两四钱〉〈不足四两 不足二两〉,先以出五两乘不足二两,得一十两。次以出二两四钱乘不足四两,得二十一两六钱。二数相减,馀一十一两六钱为物实。另以不足四两,减不足二两,馀二两为人实。又以出五两四钱内减出五两,馀四钱。为法除物实得物价。就以法四钱除人实,得五为人数。合问。今有里长值月。议云每里科出银五钱,依帐买物以办酒席,多银三两五钱。每里科出四钱,亦多五钱。问:合用银并里数若干。
答曰:三十里,用银一十一两五钱。
法曰:置两盈〈出五钱 出四钱〉〈多三两五钱 多五钱〉,先以出五钱互乘多五钱,得二两五钱。次以出四钱互乘多二两五钱,得一十四两。二数相减,馀一十一两五钱为用银实。另以多三两五钱减多五钱,馀三两为人实。再以出五钱减出四钱,馀一钱。为法除银实即银数除人实,即里数。合问。
今有井不知深。先将绳摺作三条入井汲水,绳长四尺。后将绳摺作四条入井,亦长一尺。问:井深及绳长各若干。
答曰:井深八尺,绳长三丈六尺。
法曰:两盈置绳长四尺以摺作三条通之,得一十二尺。又置长一尺以摺作四条通之,得四尺。各列置位〈三条 四条〉〈长十二尺 长四尺〉。先以三条乘四尺,得一十二尺。又以四条乘长一十二尺,得四十八尺。二数相减,馀三十六尺为绳实。却以三条四条相减,馀一为法除绳实,得绳长。另以前通两盈数相减,馀八尺为井实。仍以法一除之,得井深数。合问。
此是三条四条相减馀一为法者,不必用法除,即是。
盈适足不足适足歌

盈与适足数相乘,乘数将来为物情。盈数自称为人实,二位各列要分明。出率相减馀为法,法除物实物价真。法除人实为人数,不足适足一般行。
法曰:盈适足者置所出率于上,以盈与适足于下或以盈数互乘适足出率,得若干为物实。另以盈数为人实,又以出率相减,馀为法除人实,得人除物实得物。
一法:以盈数为人实,另以出率相减,馀为法除人实,得人数若干。却以适足数乘之,得物数〈此乃捷径〉。今有人买物。每人出银二两五钱,盈六两。每人出银二两三钱,适足。问:人数物价各若干。
答曰:三十人,物价银六十九两。
法曰:置盈适足列〈出二两五钱 出二两三钱〉〈盈六两适足〉,只以盈六两互乘出二两三钱,得一十三两八钱为物实。另以盈六两为人实,却以出二两五钱减出二两三钱,馀二钱。为法除物实,得物价。除人实,得人数。合问。一法:以盈六两为人实,另以出率相减,馀二钱为法除人实,得三十。却以二两三钱乘之,亦得物价。今有人买物。每人出银七两不足一十四两。每人出银九两适足。问:人数物价各若干。
答曰:七人,物价银六十三两。
法曰:置不足适足列〈出七两 出九两〉〈不足十四两适足〉,只以不足一十四两互乘出九两,得一百二十六两为物实。另以不足一十四两为人实,却以出九两内减出七两,馀二两。为法除物实得物价。除人实得人数。合问。
一法:以不足一十四两为人实,以出率相减馀二。为法除实,得七人。以九两乘之,得物价。
今有米换布七匹,多四斗。换九匹,适足。问:米布价各若干。
答曰:米一石八斗,布匹价米二斗。
法曰:置盈适足。以多四斗为实。另以九匹减七匹馀二匹。为法除实,得匹价米二斗。却以适足九匹乘之,得总米一石八斗。合问。
盈朒双套〈今述释义于左〉

盈朒章〈盈不足,两盈两不足。盈适足,不足适足〉。三宗皆先贤立法正律格式。自刘氏通明,吴氏比类始增。双套者,用分母子者,皆存于后,以便学者。
双套法:三宗五条,布算俱分左右,二行各列上中下三位。俱先以右上左上相乘,得若干。为乘人率通法。以右上乘左中,左上乘右中,二数相减,馀若干。为法除人实、物实之法〈三宗双套俱先如此〉
双套盈不足法:先用前双套法。次以右中得数乘左下,左中得数乘右下,二数相并,为物实。以前除法除,得物数。却以右下盈若干,左下不足若干,二数相并,为人率。先以前通法乘之,为人实。后仍以前除法除之,得人数。
双套两盈法:先用前双套法。次以右中得数乘左下,左中得数乘右下,二数相减,馀为物实。以前除法除,得物数。却以右下盈若干,左下盈若干,二数相减,馀为人率。先以前通法乘之,为人实。后仍以前除法除,得人数〈两不足同〉
双套盈适足法:先用前双套法。次以右中得数乘左下盈数,就为物实。以前除法除之,得物数。却以左下盈若干,就为人率。先以前通法乘,为人实。后仍以前除法除之,得人数〈不足适足同〉
今有人买物。每八人出银七两,盈四两五钱。每九人出银六两,不足三两。问:人数物价各若干。
答曰:三十六人,物价银二十七两。
法曰〈双盈不足〉〈右上八人 左上九人〉〈中出七两 中出六两〉〈得六十三 得四十八〉〈下盈四两五钱 下不足三两〉,先以左上九人、右上八人相乘,得七十二,为乘人率通法。又以左上九人互乘右中七两,得六十三。再以右上八人互乘左中六两,得四十八。二数相减,馀十五。为除人实、物实法。次以左中得数四十八互乘右下盈四两五钱,得二百一十六。又以右中得数六十三互乘左下不足三两,得一百八十九。二数相并共四百零五为物实。以法十五除之,得银二十七两。却以左下不足三两、右下盈四两五钱,二数相并得七两五钱,为人实率。先以前通法七十二乘之,得五百四十,为人实。后仍以前法十五除之,得三十六人。合问。
今有人买物。每六人出银九两多三两,每四人出银七两多六两。问:人数物价各若干。
答曰:一十二人,物价银一十五两。
法曰:双两盈置〈右上六人 左上四人〉〈中出九两得三十六 中出七两得四十二〉〈下盈三两 下盈六两〉。先以左上四人、右上六人相乘,得二十四,为乘人率通法。又以左上四人互乘右中九两,得三十六。再以右上六人互乘左中七两,得四十二。二数相减,馀六,为除人实、物实法。次以左中得数四十二互乘右下多三两,得一百二十六。再以右中得数三十六互乘左下多六两,得二百一十六。二数相减,馀九十两为物实。以前法六除之,得银一十五两。却以左下多六两、右下多三两,二数相减,馀三两,为人实率。先以前通法二十四乘之,得七十二为人实。后仍以前法六除之,得一十二人。合问〈双套两不足法仿此〉
今有买物。每三人出银五两,多十两。每五人出银九两,适足。问:人数物价各若干。
答曰:七十五人,物价银一百三十五两。
法曰:双套盈适足置〈右上五人 左上三人〉〈中出九两 中出五两得五〉〈下适足 下盈十两〉。先以左上三人、右上五人相乘,得十五,为乘人率通法。次以左上三人互乘右中九两,得二十七。再以右上五人互乘左中五两,得二十五。二数相减,馀二,为除人实物实法。次以右中得数二十七乘左下盈十两,得二百七十两,就为物实。以前法二除之,得银一百三十五两。却以左下盈十两就为人实率。先以前通法十五乘之,得一百五十为人实。后仍以前法二除之,得七十五人。合问〈双套不足适足仿此〉
取钱买物盈朒歌

取钱买物求盈朒,分子互将分母乘。乘讫却来通物价,以钱并作物之情。互乘物价亦相并,乘子除为钱实名。买率减馀为法则,除来钱物自分明。
今有银不知其数,欲买田。取银三分之二买之,盈三两。取银五分之三买之,不足一两。问:总银田价各若干。
答曰:总银六十两,田价银三十七两。
法曰:先以之二互乘五分,得一十。以通不足一两得十两。次以之三互乘三分,得九。以通盈三两得二十七两。如盈朒法列位〈九十〉〈多二十七两少一十两〉。先以十互乘多二十七两,得二百七十两。又以九互乘少十两,得九十两。并二位,得三百六十两。却以分子之二、之三相乘,得六十两,为银实。却以通十、减九,馀一,为法除之,得总银六十两。次以多二十七两、少十两并之,得三十七两,为田价实。仍以前法一除之,得田价三十七两。合问。
取钱买物两盈歌〈附两朒即两不足〉

取钱买物两皆盈,分子互乘分母讫。以母通乘物价周,对减盈钱为物实。物价互乘少减多,乘子除为钱实积。率减零馀为法行,法实相除尽可识。
今有银不知数,欲买鹿。取银六分之四买之,盈二两。取银四分之三买之,盈三两五钱。问:银数鹿价各若干。
答曰:银一十八两,鹿价一十两。
法曰:先以之四互乘四分,得一十六,以通盈三两五钱,得五十六两。次以之三互乘六分,得一十八,以通盈二两得三十六两。各列位〈十八 十六〉〈盈三十六 盈五十六〉。先以十六互乘三十六,得五百七十六两。又以十八互乘五十六,得一千零八两。二位相减,馀四百三十二两。却以分子之三、之四相乘,得十二。除之得三十六,为银实。却以十八十、六相减,馀二,为法除之,得银数一十八两。另以两盈三十六、五十六相减,馀二十,为鹿价实。仍以前法二除之,得鹿价一十两。合问。今有官派银不知数。依例令上等八户,下等五户,纳之不足五两。复令上等六户,下等八户,纳之亦不足三两。其银下户例如上户例,十分之八。问:派银数及各户则例若干。
答曰:官派银六十五两,上户例五两,下户例四两。
法曰:先置上等八户,以十因之,得八十户。又置下等五户,以八因之,得四十户。并之,得一百二十户。列位。次置上等六户,以十因之,得六十户。又置下等八户,以八因之,得六十四户。并之得一百二十四户。列位〈一百二十户 一百二十四户〉〈不足五两 不足三两〉。先以一百二十户互乘不足三两,得三百六十两。又以一百二十四户互乘不足五两,得六百二十两。二位相减,馀二百六十两,为银实。却以户数一百二十与一百二十四相减,馀四,为法除之,得官派银六十五两。另以两不足五两、三两相减,馀二两,为则例实。仍以前法四除之,得五钱,以十因之,得上等一户则例银五两。另列五钱以八因之,得下等一户则例银四两。合问。
取钱买物盈适足歌

取钱买物盈适足,子互乘母自相通。却以盈钱为物实,减率留馀作法宗。取钱适足乘盈数,乘子除为钱实宫。如法除之钱可见,不足适足术相同。
假有铜钱不知数,欲买木一根。取钱二分之一买之,盈钱四文。取钱七分之三买之,适足。问:钱数木价各若干。
答曰:总钱五十六文,木价二十四文。
法曰:先以二分下之一互乘七分,得七数次。以七分下之三互乘二分,得六数。以通盈四文,得二十四文。如盈适足列位〈六七〉〈盈二十四适足〉。先以盈二十四文为木价实,却以六相减,馀一,为法除之,得木价二十四文。次以七互乘盈二十四,得一百六十八。却以之一、之三相乘,得三,为法除之,得钱五十六文。合问。今有芝麻不知数。只云取麻八分之三,粜银十两,不足二石。取麻三分之一,粜银八两,适足。问:麻数及每两该麻若干。
答曰:总麻四十八石,每银一两该麻二石。
法曰:先以八分下之三互乘三分,得九数。以通八两得,七十二两。次以三分下之一互乘八分,得八数。以通十两,得八十两。以八通不足二石,得一十六石。如不足过足列位〈八十两 七十二两〉〈不足十六石适足〉。先以七十二互乘一十六石,得一千一百五十二。却以之一、之三相乘,得三。除之,得三百八十四石为麻实。却以八十两减去七十二两,馀八两。为法除之,得总麻四十八石。另以不足一十六石为银。该麻之实仍以前法八除之,得每银一两,该麻二石。合问。
此取钱买物数条,是带分母之法。




钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百二十二卷目录

 算法部汇考十四
  算法统宗十〈方程章第八 句股章第九〉

历法典第一百二十二卷

算法部汇考十四

《算法统宗十》方程章第八

方,正也;程,数也。以诸物总并为问,去繁就简为主。乃诸物繁亢,诸价错杂,必须布置行列,或损益加减,同异正负,递互遍乘,求其有等。以少减多,馀物为法,馀价为实。性实相除,得一价以推其馀。若繁杂甚者,次第求之。
正者,正数。负者,欠数。
二色方程歌

世人欲要识方程,物价俱将左右陈。右上法乘左中下,次将左上右行乘。中间相减馀为法,下位相减馀实情。法除实为右中价,得价须将右中乘。右下价内减去积,馀为实数甚分明。右上为法除下实,便为上价细推寻。
今有马三匹,牛二头,共价银一百一十四两。又马四匹,牛五头,共价一百六十二两五钱。问:马牛价各若干。
答曰:马每匹价三十五两,牛每匹价四两五钱。法曰:列所问数
 上马〈三匹〉为法〈先乘左〉中牛二〈乘得八〉  下价〈一百一十四两〉 得〈四百五十六两〉 上马〈四匹〉为法〈次乘右〉中牛五〈乘得一十五〉  下价〈一百六十二两五钱〉 得〈四百八十七两五钱〉先以右行马三为法,遍乘左行中牛五,得一十五。又以法乘左行下价一百六十二两五钱,得四百八十七两五钱。却以左行马四为法,复遍乘右行中牛二,得八。减左行乘得牛十五,馀七为法。又以左上马四乘右下价一百一十四两,得四百五十六两。减左行乘价四百八十七两五钱,馀三十一两五钱为实。以法七除之,得牛匹价四两五钱。却以右行中牛二乘之,得九两。以减右行下价一百一十四两,馀一百零五两为实。以右行马三为法除之,得马一匹价三十五两。合问。
今有绫三尺,绢四尺,共价四钱八分。又绫七尺,绢二尺,共价六钱八分。问:绫绢各价若干。
答曰:绫每尺价八分,绢每尺价六分。
法曰:列所问数
 绫〈三尺〉为法〈先乘左〉 绢〈四尺〉〈二十八〉 价〈四钱八分〉 得三两三钱六分 绫〈七尺〉为法〈次乘右〉 绢〈二尺〉乘得〈六〉  价〈六钱八分〉 乘得二两零四分先以右行绫三为法遍乘左中下,得数。却以左行绫七为法复遍乘右行中绢四,得二十八。减左行中得绢六馀二十二为法。又以左绫七乘右价四钱八分,得三两三钱六分。减左行乘得价二两零四分,馀一两三钱二分为实。以法二十二除之,得绢每尺价六分。就以右行绢四尺乘之,共得绢价二钱四分。以减右行价四钱八分,馀二钱四分。以绫三尺为法除之,得绫每尺价八分。合问。
三色方程歌

三色方程法更奇,物价三行左作基。左右互乘须减尽,中下价馀左位宜。又列二行仍乘减,中中左中减无馀。下馀为法价馀实,法实相除下价知。
此三色方程已后,内中或有正负、同异加减者。

今有砚三个,墨五匣,笔九枝,共价八钱一分。又砚四个,墨六匣,笔七枝,共价八钱九分。又砚五个,墨七匣,笔八枝,共价一两零六分。问:砚墨笔各价若干。答曰:砚每个八分,墨每匣六分,笔每枝三分。
法曰:列所问数
 砚〈三〉为法〈先乘左右〉〈五〉〈二十〉 笔〈九〉〈三十六〉〈八钱一分〉 得三两二钱四分 砚〈四〉〈一十二〉  墨〈六〉〈一十八〉〈七〉〈二十一〉〈八钱九分〉 得二两六钱七分 砚〈五〉〈一十五〉  墨〈七〉〈二十一〉〈八〉〈二十四〉〈一两零六分〉得三两一钱八分先以右行砚三为法,遍乘左中二行得数。却以中行砚四遍乘右行墨笔得数。墨得二十,笔得三十六,价得三两二钱四分。与中行对减,馀墨二,笔十五,价五钱七分。另列右位,又以左行砚五为法,遍乘右行墨笔得数,墨二十五,笔四十五,价四两零五分。与左行对减,馀墨四,笔二十一,价八钱七分。另列左位,再列减馀,以分左右位数。以右行墨二为法,遍乘左行笔价,得数列左位。
 墨〈二〉 笔〈十五〉  得〈六十〉 价〈五钱七分〉 得二两二钱八分 墨〈四〉 笔〈二十一〉 得〈四十〉〈八钱七分〉  得一两七钱四分复以左行墨四为法,遍乘右行笔价,得数列右位。却以左右对减,墨尽,馀得笔一十八枝为法。又以馀价得数相减,馀五钱四分为实。以法除实,得笔价每枝三分。就以笔价乘后右馀笔十五,得四钱五分。以减右行馀价五钱七分,馀一钱二分。以右行馀墨二为法除之,得墨价每匣六分。于前右行原价八钱一分内,减原笔九价二钱七分,原墨五价三钱,馀二钱四分为实。以前右原砚三为法除之,得砚价每个八分。今有马一匹,骡二匹,驴三匹。皆载四石二斗,至坡皆不能上。马借骡一匹,骡借驴一匹,驴借马一匹,方过其坡。问:三等力各若干。
答曰:马二石四斗,骡一石八斗,驴六斗。
法曰:列所问数
正马〈一〉为法〈先乘左中〉 〈借〉〈一〉 下空 四石二斗 空 正骡〈二〉 〈借〉〈一〉 四石二斗〈借〉〈一〉 空〈负一〉 正驴〈三〉〈三〉 四石二斗 得四石二斗先以右行正马一为法,遍乘左行中下得数。却以左行借马一为法,遍乘右行中下,得数。中得一因左行中空无减,加入负骡一。下空无数,转乘本行下正驴三,得三四石二斗。得四石二斗,与左行减尽。又以中行正骡二遍乘左行中下得数。中加一得二,下三得六。四石二得八石四斗。再以左行中一为法,遍乘中行中下得数。中中正二得二,与左中二减尽。下一得一,加左行下六,得七。为法四石二斗。得四石二斗与左行八石四斗对减,馀四石二斗为实。以法除之,得驴匹力六斗。中行四石二斗内减借驴一匹,除六斗仍三石六斗。作骡二匹除之,得骡力一石八斗。右行四石二斗内减借中行骡一匹,除一石八斗,馀二石四斗,为马一匹力。合问。
今有朱二斤,粉三斤,价二两零四分。又粉五斤,丹六斤,价六钱四分。又朱三斤,丹七斤,价二两九钱八分。问:三色各价若干。
答曰:朱每斤九钱,粉每斤八分,丹每斤四分。
法曰:列所问数
 朱〈二〉为法〈先乘左行〉 粉〈三〉 得〈一〉 空 价〈二两零四分〉 空 粉〈五〉 丹〈六〉 价〈六钱四分〉 朱〈三〉 空〈负九〉 丹〈七〉〈一十四〉〈二两九钱八分〉 得五两九钱六分先以右行朱二为法,遍乘左行。得数列于左位。却以左行朱三为法,遍乘右行粉三,得九。左空亦立负九价二两零四,得六两一钱三分。与左行得数五两九钱六分对减馀,一钱六分。又以中行粉五为法,遍乘左行粉负九,得负四十五,丹十四,得七十馀价一钱六分,得八钱。再以左行负粉九为法,遍乘中行粉五,得四十五。与左行负粉对减,尽丹六,得五十四异。加左丹七十,共一百二十四为法。以中原价六钱四分,亦以负粉九乘,得五两七钱六分。减左馀价八钱。馀四两九钱六分为实。以法除之,得丹每斤价四分于中行。价六钱四分内减原丹六共价二钱四分,馀价四钱为实。以粉五为法除之,得粉每斤价八分。又于右行价二两零四内除粉三斤,共减价二钱四分,馀价一两八钱为实。以朱二斤为法除之,得朱每斤价九钱。合问。
今有鹅四只,鸭三只,共价七钱五分。又鹅三只,鸡四只,共价六钱。又鸭五只,鸡六只,共价八钱一分。问:三色价各若干。
答曰:鹅每只价一钱二分,鸭每只价九分,鸡每只价六分。
法曰:列所问数。
 鹅〈四〉为法〈先乘中行〉 鸭〈三〉中法〈乘得九〉 空 七钱五分〈中法乘得二两二钱五分〉 鹅〈三〉为法〈次乘右行〉 空〈照左负九〉  鸡〈四右法乘得十六左法乘得八十〉 六钱〈右法乘得二两四钱咸右馀一钱五分左法乘得七钱五分〉 空  鸭〈五〉中法〈负九乘得四十五〉 鸡〈六〉中法〈负九乘得五十四〉 八钱一分〈中法负九乘得七两二钱九分〉先以右行鹅四为法,遍乘中行,得数鸡一十六、价二两四钱,列中位。又以中行鹅三为法,遍乘右行,得数鸭九、价二两二钱五分,列右位。以中右对减,馀鸡一十六,价一钱五分,又列中位为用。再以左行鸭五为法,复遍乘中行得数。鸭照右设立,负九得四十五。鸡十六得八十,价一钱五得七钱五分,列中位。又以中行负九为法,遍乘左行,得数鸭四十五,鸡五十四,价七两二钱九分,列左位。以中左对减,鸭尽。鸡中行八十加左行五十四,共一百三十四为法。以价中七钱五分加左七两二钱九分,共八两零四分为实。以法除之,得六分为鸡一只之价。另以左行原价八钱一分减鸡六只,共价三钱六分,馀四钱五分。以鸭五只为法除之,得鸭价每只九分,再以右行原价七钱五分减鸭三只,共价二钱七分,馀四钱八分。以鹅四为法除之得鹅每只价一钱二分。合问。
今有卖二牛、五羊,买十三猪,剩银五两。卖一牛、一猪,买三羊适足。卖六羊、八猪,买五牛,少银三两。问:牛、羊、猪,各价若干。
答曰:牛价银六两,羊价银二两五钱,猪价银一两五钱。
法曰:以卖牛为正,以买猪为负。以多为正,以少为负。列所问数 牛〈正〉二为法 羊〈正〉五 猪〈负〉十三 〈正〉五两 牛〈正〉一 羊〈负〉〈得负六〉 猪〈正〉〈得正二〉 空适足 牛〈负〉五 羊〈正〉〈得正十二〉 猪〈正〉〈得正十六〉 〈负〉三两〈得六两〉先以右行牛正二为法,遍乘中左二行得数。却以中行牛正一为法,复遍乘右行羊正五得正五。异加中行羊负六,共得羊负十一。猪负十三得负十三。异加中行猪正二,共得猪正十五,价正五两得正五两。因中行价空,无减得正五两。再以左行牛负五为法复遍乘右行羊正五,得羊正二十五。同名加左羊正十二,共得三十七。猪负十三得猪负六十五。异减左行猪正十六,馀得猪负四十九。价正五两得正二十五两。异减左行负六两,馀得负一十九两。再以中行羊负十一为法遍乘左行羊正三十七,得羊正四百零七。猪负四十九得猪负五百三十九。价负一十九两得价负二十两零九钱。却以左行羊正三十七为法复遍乘中行羊负十一,得羊负四百零七。与左行羊正四百零七异名对减尽。猪正十五得猪正五百五十五。异减左行猪负五百三十九,馀得猪正一十六为法。价正五两得正一十八两五钱。异减左行价二十两零九钱,馀得正二两四钱为实。以法除之得猪价一两五钱。中行猪正十五。以价一两五钱乘得二十二两五钱。加正五两共二十七两五钱。以羊十一除之,得羊价二两五钱。右行猪负十三。以价一两五钱乘,得一十九两五钱。加入正五两,共得二十四两五钱。减五羊价共一十二两五钱,馀得一十二两。以牛二除之得牛价六两。合问。
四色方程歌〈附五六色仿数〉

四色方程法可誇,须存末位作根芽。诸行乘减同前例,偶与奇行认莫差。若遇奇行须减价,偶行之价要相加。加减作实须加法,减法亦须减法佳。随问几多繁杂色,凭斯推广更无他。
今有瓜二个,梨四个,共价四分。梨二个,桃七个,共价四分。桃四个,榴七个,共价三分。瓜一个,榴八个,共价二分四釐。问:各该价若干。
答曰:瓜八釐,梨六釐,桃四釐,榴二釐。
法曰:列所问数。以一行、三行为奇,二行、四行为偶。 瓜〈二〉 梨〈四〉 空 空 价四分 空 梨〈二〉 〈七〉 空 价四分 空 空 〈四〉 榴〈七〉 价三分 瓜〈一〉 空〈负四〉 空 榴〈八〉〈一十六〉 价二分四釐 得四分八釐先以一行瓜二为法,遍乘四行梨空。负四桃,空榴八得一十六。价二分四釐,得四分八釐。却以四行瓜一遍乘一行梨四,得四。第四行梨空无,减桃空。价四分得四分。与四行四分八釐对减,馀八釐。次以二行梨二遍乘四行梨负四,得八桃。空榴十六得三十二。价八釐得一分六釐。却以四行梨负四遍乘二行梨二得八。与二行梨八对减尽桃七,得二十八榴空。价四分得一钱六分。加四行一分六釐共一钱七分六釐。又以三行桃四遍乘四行桃负二十八,得一百一十二。榴三十二得一百二十八。价一钱七分六釐得七钱零四釐。却以四行桃负二十八遍乘三行桃四,得一百一十二。与四行桃减尽榴七,得一百九十六。减四行榴一百二十八,馀六十八为法。价三分得八钱四分。减四行价七钱零四釐,馀一钱三分六釐为实。以法除之得二釐为榴价。于三行价三分内减榴七共价一分四釐,馀一分六釐。以桃四除之得四釐为桃价。于二行价四分内减七桃价,共二分八釐,馀一分二釐。以二梨除之得六釐为梨价。于一行价四分内减四梨,共价二分四釐,馀一分六釐。以二瓜除之,得八釐为瓜价。合问。
今有绢三疋,添价六钱,买布十疋。又布五疋,添价一钱,买绢二疋。问:绢布价各若干。
答曰:绢疋价八钱,布疋价三钱。
法曰:如前正负术之法。〈此问可作盈不足算〉
 绢三〈正〉为法 布十疋〈负〉 价六钱〈正〉 绢二〈负〉 布五疋〈得正十五〉 价一钱〈正〉得三钱先以右行绢正三为法,遍乘左行布正五,得正一十五。价正一钱得正三钱。却以左行绢负二为法,遍乘右行布。负十疋得正二十疋。减左行布正十五,馀五为法。价正六钱得一两二钱。加左行三钱共一两五钱为实。以法除实得三钱为布疋价。却以左行布五疋,以每疋三钱乘之,得一两五钱。加添价一钱共一两六钱,以绢二疋除之,得绢疋价八钱。合问。

句股章第九

横阔谓之句,直长谓之股,两隅斜去谓之弦。此章以句股求弦之斜;句弦求股之长;以股弦求句之阔;求
句股形图

句股中容方、容圆;求山之高、水之深、城之广、路之远,皆可知也。
句股之形,即今木匠曲尺之
形也。句是尺,股是尺稍,自尺头至稍尾斜去,是弦也。
设如句三尺,股四尺,弦即五尺也。句股名义〈生变有一十三〉

〈横曰句〉      句股较〈句股相减〉
句弦较〈句弦相减〉   句股和〈句与股并〉
句弦和〈句与弦并〉
〈直曰股〉      股弦较〈股弦相减〉
股弦和〈股与弦并〉
〈斜曰弦〉      弦较和〈弦与句股较并〉弦和和〈弦与句股和并〉 弦和较〈弦与句股和相减〉弦较较〈弦与句股较相减〉
句股论说释义

假如句二十七步,股三十六步,弦四十五步。
其求句,求股,求弦。容方、容圆另具图于后。
句股之法:横曰句,直曰股,斜之为弦。句二
十七、股三十六相减,其差九曰较。句股相并得六十三曰和。股三十六减弦四十五之差九曰股弦较。句二十七弦四十五之差十八曰句弦较。并句股共六十三,减弦四十五之差十八则曰弦和较。
弦四十五减句股之差九,其差三十六曰弦较较。股弦相并得八十一,则曰股弦和。句弦相并得

七十二,曰句弦和。句股之差九并弦共五十四,则曰弦较和。句股弦并得一百零八,曰弦和和。倍弦实〈即弦自乘倍之〉得四千零五十,减句股和,自乘得三千九百六十九,馀八十一为实,平方开之,得九为句股较。前倍弦实减句股较九,自乘得八十一,馀三千九百六十九,平方开之,得六十三为句股和。并句弦共七十二,除股自乘得一千二百九十六,得十八为句股较。即句弦之差十八,除股自乘得一千二百九十六,得七十二为句弦,和并得股弦共八十一,以除句自乘得七百二十九得九为股弦较。即股弦之差九,除句自乘得七百二十九得八十一为股弦和。句股和六十三自乘得三千九百六十九,减弦自乘得二千零二十五,馀一千九百四十四为实,以弦较较三十六除之,得五十四为弦较和。弦较和除前实,得弦较较。句股之差九自乘得八十一,以减弦自乘得二千零二十五,馀一千九百四十四为实,以弦和和一百零八除之,得十八为弦和较。弦和较除前实得弦和和。句二十七加股弦较九,共三十六即弦较较。句二十七减股弦较九,馀十八即弦和较。句加弦较和五十四共八十一即股弦和。股三十六加句弦较十八共五十四即弦较和。股三十六减句弦较十八馀十八即弦和较。股加弦较较三十六共七十二即句弦和。句股较九加股弦较九共十八即句弦较。句股较九减股弦和八十一馀七十二即句弦和。句股和六十三加股弦较九共七十二为句弦和。股弦和八十一减句股和六十三馀十八即句弦较。句股较九加句股和六十三共七十二半之为股。句股和六十三减句股较九馀五十四折半为句。股弦较九加股弦和八十一共九十,半之为弦。股弦和八十一减股弦较九馀七十二,半之为股。句弦较十八加句弦和七十二共九十,半之为弦。句弦和七十二减句弦较十八馀五十四,半之为句。弦和较十八加弦和和一百零八共一百二十六,半之为和。弦和和一百零八减弦和较十八馀九十,半之为弦。弦较较三十六加弦较和五十四共九十,半之为弦。
弦较和五十四减弦较较三十六馀十八,半之为

较。变而通之,神而明之,存乎其人焉。
句股求弦句弦求股股弦求句共歌

句股求弦各自乘,乘来相并要分明。开方便见弦之数,法术从来有见成。句弦求股要推详,各自乘来各一张。以少减多馀作实,实求股数要开方。弦股求句皆一例,算师熟记莫相忘。
句股求弦法,曰:置句自乘,股自乘,并二数以开平方法除之,得弦数。
其句自乘,股自乘,二数并之。合弦自乘。数故用开平方法除之,即得弦斜数也。

句弦求股法,曰:置弦自乘内减句,自乘,馀以开平方除之,得股长数。
其弦自乘数内有一句,自乘一股。自乘数今减去句,自乘数馀是股自乘数。故用开平方除之,得股长数。

股弦求句法,曰:置弦自乘内减股自乘,馀以开平方除之,得句阔数。
其弦自乘有一句、一股。自乘数今减去股,自乘数馀是句。自乘数故用开平方除之,得句阔数。

今有句二十七尺、股三十六尺。问:弦斜若干。
答曰:弦斜四十五尺。
法曰:置句二十七尺自乘,得七百二十九尺。另以股三十六尺自乘,得一千二百九十六尺。二数并之得二千零二十五尺为实,乃合弦。自乘数以开平方法除之,初商四十于左,亦置四十于右。为方法左四对右四呼四,四除实一千六百尺,馀实四百二十五尺。却以下位初商方法四十,倍作八十。为廉法次商五尺于左位,初商四十之次,亦置五于右位。廉法八十之次。为隅法左五对右八呼五,八除实四百。又左五对右五呼五,五除实二十五尺恰尽,得弦斜四十五尺。
今有句二十七尺、弦四十五尺。问:股长若干。
答曰:股长三十六尺。
法曰:置弦四十五尺自乘,得二千零二十五尺。内有一句、一股。自乘之数另以句自乘,得七百二十九尺。二数相减,馀一千二百九十六尺为实。是股自乘数以开平方法除之。初商三十于左位,亦置三十于右位。为方法左三对右三呼三,三除实九百馀实三百九十六尺。另以下位初商三十倍作六十。为廉法次商六尺于左三十之次。亦置六于右,廉法六十之次。为隅法左六对右六呼六,六除实三百六十。又左六对右六呼六,六除实三十六尺恰尽。得股长三十六尺。合问。
今有股三十六尺、弦四十五尺。问:句阔若干。
答曰:句阔二十七尺。
法曰:置弦四十五尺自乘,得二千零二十五尺。内有一句、一股。自乘之数另以股自乘,得一千二百九十六尺。二数相减,馀七百二十九尺为实。〈是句自乘数〉以开平方法除之,初商二十于左。亦置二十于右。为方法左二对右二呼二,二除实四百,馀实三百二十九尺。却以下位初商二十倍作四十。为廉法次商七尺于左,初商二十之次亦置七尺于右廉法四十之次。为隅法左七对右四呼四,七除实二百八十。又左七对右七呼七,七除实四十九恰尽。得句阔二十七尺。合问。
句股容方容圆共歌

句股容方法最良,以句乘股实相当。并之句股数为法,以法除实便知方。句股容圆法可知,句弦股数并为奇。三数并来为法则,句股相乘倍实宜。法除倍实为圆数,算者详之不用疑。
今有句股内容方,句二十七尺、股三十六尺。问:中容方面径若干。
勾股容方图

答曰:中容方面一十五尺有畸。法曰:置句二十七尺乘股三十六尺,得九百七十二尺为实。以句股并得六十三尺。为法除之

得中容方面径一十五尺有畸。
今有句股容圆,句二十七尺、股三十六尺、弦四十五尺。问:中容圆径若干。
句股容圆图缺答曰:中容圆径一十八尺。法曰:置句二十七尺、股三十六尺相乘,得九百七十二尺。倍之得一千九百四十四尺为实。并

句、股、弦三数共一百零八。为法除实得容圆径一十八尺。合问。
今有句股玉一块。长一尺二寸、阔六寸。今欲截角为方取印一颗。问:方面若干。
答曰:方面四寸。
勾股容方图缺法曰:置句股相乘得七十二寸为实。以句股相并得十八,为法除之即得。
若以圆径十八尺,用一尺二寸归除,得方径十五尺。若
以方径十五尺,用一尺二寸乘之,得圆径十八尺。
较求句股弦共歌〈较差也是股弦相差及句弦相差也〉

股较求股句自乘,股较自乘减句盈。减除句馀为实数,股较倍之为法行。法实相除为股数,句较求句一样成。弦较求弦句自乘,弦较除之为实情。仍加弦较须折半,就得弦长数即成。
今有句阔二十七步,只云弦多股九步。问:股弦各若干。
答曰:股三十六步,弦四十五步。
法曰:置句二十七步自乘得七百二十九步。另以弦多股九步为股较,即以此自乘得八十一步。二位相减,馀六百四十八步为实。倍较九步得一十八步。为法除之,得股长三十六步。加较九步,得弦长四十五步。合问。
此是股较求股即股弦相差也。

一法名弦较求弦。置句自乘得七百二十九步为实。以弦较九步为法除之,得股弦和八十一步。仍加弦较九步得九十步。折半是弦长四十五步。内减较九步是股长三十六步。亦可得也。
今有葭二茎生池中。并根杪齐出水三尺,即葭一茎斜去至岸九尺,与水适平。问:水深若干。
答曰:水深一丈二尺。
股较求股图

法曰:置去岸九尺为句,自乘得八十一尺。以出水三尺为股较,自乘得九尺。以减八十一尺,馀七十二尺为实。以较三尺倍作六尺。

为法除之,得水深一丈二尺。合问。〈水深如股葭至岸如弦〉今有句九尺,却将弦比股有馀三尺。问:弦股各若干。答曰:弦一十五尺,股一十二尺。
法曰:以句九尺自乘,得八十一尺为实。以多三尺为法除之,得二十七尺。减去多三尺馀得二十四尺,折半得股长一十二尺。加入弦多三尺,得弦一十五尺。合问。
今有立木不知其高,索不知其长。垂索委地二尺,引
股较求股弦

索去木八尺,其索斜柱地适尽。问:木高、索长各若干。答曰:木高一丈五尺,索长一丈七尺。
法曰:置去木八尺为句,自

乘得六十四尺。以委地二尺为股较,自乘得四尺。以减六十四尺馀六十尺为实。以较二尺倍作四尺。为法除之,得木高一丈五尺。如股加较二尺,得索长一丈七尺,如弦。合问。若以弦较求弦法。置去木八尺为句,自乘得六十四尺为实。以委地二尺如弦较,为法除之得三十二尺。加弦较二尺共得三十四尺,折半,得索长一丈七尺。将弦内减去较二尺,得木高一丈五尺,即股。
今有厅门外悬帘下垂,离地五寸,引帘离阈六尺,离
弦较求弦图

地二尺五寸。问:帘高若干。答曰:帘高一丈。
法曰:置去阈六尺为句,自乘得三十六尺。以离地二尺五寸减去原离地五寸,馀二尺为弦较。

除之得一十八尺。加弦较二尺共得二十尺,折半得帘高一丈。合问。
今有开门,去阈一尺,不合二寸。问:门广若干。
答曰:门二扇广九尺九寸。
股较求股图

法曰:置去阈十寸为句,自乘得一百寸。以不合二寸折半,得一寸为股较,自乘得一寸。以减一百寸馀九十九寸为实。以较一

寸倍作二寸,为法除之得一扇门广四尺九寸五分。如股倍之得二扇门广九尺九寸。合问。
今有墙高一丈,斜倚二木于上。木杪与墙头齐,其木根抵地。却将木一根平卧于地,其木杪抵墙脚,此木根则过斜木根一尺。问:木长并去墙若干。
弦较求弦股图

答曰:木长五丈零五寸,去墙四丈九尺五寸。
法曰:依弦较求弦。以墙高十尺为句,自乘得一百尺。以过斜木根一尺为弦较,除之如故。一百尺加较一尺,共得一百零一尺,折半,得木长五丈零五寸。如弦减过斜木一尺,馀如股至墙四丈九尺五寸。合问。

今有圆木泥在壁中,不知径。以锯锯之,深一寸,锯道
弦较求弦图

长一尺。问:木径若干。答曰:木径一尺六寸。法曰:置锯道一尺折半,得五寸为句。自乘得二尺五寸为实。以深一寸为股较,除之如故,得二尺五寸为

股。加深一寸,共得木径二尺六寸。合问。此如圆田中截去一张矢田问原径,同法。置锯道一尺如弧矢之弦,折半得五寸。自乘得二尺五寸为实。以深一寸如矢,为法除之得二尺五寸。并入矢深一寸,共二尺六寸为圆木原径,亦得。
今有圆木径二尺六寸,锯深入木八寸。问:锯道长若干。
答曰:锯道长二尺四寸。
此问与右图式相同,今以数并注于图内径左,以便共览。

法曰:以径二尺六寸减深八寸,馀一十八寸。复以锯深八寸乘之,得一百四十四寸为实。以开平方法除之,得一十二寸。倍之得二尺四寸。合问。
今有股长三十六步,只云弦多句十八步。问:句弦各若干。
答曰:句二十七步,弦四十五步。
法曰:置股三十六步自乘,得一千二百九十六步。另以弦多句一十八步为句较,自乘得三百二十四步。二位相减馀九百七十二步为实。倍较十八得三十六步,为法除之得句一十七步。加较一十八步得弦长四十五步。合问。〈此即句弦相差〉一法名弦较求弦。置股自乘得一千二百九十六步为实。以弦较十八步为法除之,得句弦和七十二步。仍加较一十八步,共九十步,折半得弦四十五步。内减较一十八步,馀二十七步即句之数也。
今有弦长四十五步,只云股多句九步。问:句股各若干。
答曰:句二十七步,股三十六步。
法曰:置弦四十五步自乘,得二千零二十五步。另以股多句九步为句股,较自乘得八十一步。二位相减馀一千九百四十四步。加入弦自乘得二千零二十五步。共三千九百六十九步为实,以开平方法除之,得句股相和六十三步。加入差九步,共得七十二步,折半得股三十六步。内减差九步,馀得句二十七步。合问。
今有户高多广六尺八寸,两隅斜去十尺。问:高广各若干。
答曰:高九尺六寸,广二尺八寸。
法曰:置两隅斜十尺如弦自乘,得一百尺。另以高多广六尺八寸为句股较,自乘得四十六尺二寸四分。二位相减,馀五十三尺七寸六分。加入斜自乘得一百尺共一百五十三尺七寸六分为实。以开平方法除之,得句股相和一丈二尺四寸。加入差六尺八寸,共得一丈九尺二寸,折半得高九尺六寸。内减差六尺八寸,馀得广二尺八寸。合问。〈此二条即句股相差〉
股别句弦歌〈附句别股弦即句弦和亦即股弦和〉

股别句弦股自乘,句弦自乘减股零。折半留为句实积,句弦为法最公平。法除句积为句数,句别股弦依此行。
今有竹高一丈,为风所折仆地。稍尖去根三尺。问:折
股别勾弦图

处高若干。
答曰:高四尺五寸五分。法曰:置去根三尺如句,自乘得九尺。是以竹高一丈如股弦和,为法除之得九

寸。以减股弦和一丈,馀九尺一寸。折半,得四尺五寸五分即是折处高股也。
今有股长三十六步,只云句弦相和七十二步。问:句弦各若干。
答曰:句二十七步,弦四十五步。
法曰:置股三十六步自乘得一千二百九十六步。另以句弦和七十二步自乘得五千一百八十四步。二位相减,馀三千八百八十八步,折半得一千九百四十四步为实。以句弦七十二步为法除之,得句二十七步。以减句弦和,馀得弦四十五步。合问。
一法以股自乘得一千二百九十六步为实。以句弦和七十二步为法除之,得句弦相差一十八步。仍加和七十二步共九十步,折半,得弦四十五步。内减差一十八步,馀二十七步是句。亦得。〈此乃句弦和〉今有句阔二十七步,只云股弦相和八十一步。问:股弦各若干。
答曰:股三十六步,弦四十五步。
法曰:置句二十七步自乘得七百二十九步。另以股弦和八十一步自乘得六千五百六十一步。二位相减,馀五千八百三十二步,折半,得二千九百一十六步为实。以股弦和八十一步为法除之得三十六步为股长。以减股弦和八十一步,馀四十五步为弦。合问。
今有弦长四十五步,只云句股相和六十三步。问:句股各若干。
答曰:句二十七步,股三十六步。
法曰:置弦四十五步自乘得二千零二十五步。另以句股和六十三步自乘得三千九百六十九步。二位相减,馀一千九百四十四步。再减弦自乘得二千零二十五步,馀八十一步。以开平方法除之,得句股相差九步,加入相和六十三步,共七十二步,折半,得股三十六步。内减去差九步,馀得句二十七步。合问。〈此是句股相和〉
句弦较股弦较歌〈此是句弦差又股弦差〉

句弦股较法尤精,句乘股较二来因。平方开见弦和数,和加句较股分明。股较加和句可见,算师熟记看灵扃。
今将弦比句馀四尺,复将弦比股馀二尺。问:句弦股
勾弦股较图

各若干。
答曰:句六尺,股八尺,弦一丈。
法曰:以句较四尺乘股较二尺,

得八尺。倍之得一十六尺为实。以开平方法除之,得四尺。加入股较二尺,得六尺为句。另以四尺加入句较四尺,得八尺为股。又加入股较二尺,得一丈为弦。合问。
今有直田不知长阔,只云隅斜比长多二步,又云斜比阔多九步。问:长阔及斜各若干。
答曰:长一十五步,阔八步,斜一十七步。
法曰:置句弦较九步,以股弦较二步乘之,得一十八步。以二因之,得三十六步为实。以开平方法除之,得弦和六步。加句较九步,得股长一十五步。另以弦和六步加股较二步,得阔八步。再加句较九步,得斜弦一十七步。合问。
今有句弦和七十二步,股弦和八十一步。问:句股弦各若干。
答曰:句二十七步,股三十六步,弦四十五步。
法曰:置句弦和七十二步,以股弦和八十一步相乘,得五千八百三十二步。倍之得一万一千六百六十四步为实。以开平方法除之,得句股弦和一百零八步。以减股弦和八十一步,馀得句二十七步。又置一百零八步内减句弦和七十二步,馀得股三十六步。又置一百零八步以减句二十七步,减股三十六步,馀得弦四十五步。〈此是句弦和又股弦和〉
今有直田积一百二十步,广不及纵七步。问:广若干。答曰:广八步。
法曰:置田积一百二十步,以四因之得四百八十。以较七步自乘,得四十九步。相并得五百二十九步。以开平方法除之,得句股和二十三步。加较七步,共得三十步,折半,得股长一十五步。内减较七步,馀广八步。
今有井不知其深。井径五尺,直立木五尺于井上,从木末望井底,人目入径四寸。问:井深若干。
答曰:井深五丈七尺五寸。
法曰:以井径五尺除目入四寸,馀四十六寸。与木高五十寸相乘,得二千三百寸为容方积。以馀句四寸为法除之。
今有邑不知大小,四面居中开门。西门外三十步有
馀勾馀股求容方

木一根,出南门外七百五十步,见木。问:邑方若干。答曰:邑方三百步。
法曰:出西门三十步为馀句,出南门为馀股。相乘得

二万二千五百步。以平方开之,得一百五十步,为半邑之方。倍之,为全邑方也。〈即句股容方〉
今有邑方二百步,四面居中开门。东门外一十五步
容方馀勾求馀股

有木一根。问:出南门若干。答曰:六百六十六步六分步之一。
法曰:半邑方为容方一百步,自乘得一万步为实。以

东门外十五步为馀句,为法除之。合问。〈此是容方与馀句求馀股〉
求高求远法
海岛题解

魏刘徽注九章,重立差著于句股之下,以阐世术。夫度高测深,非句股之法,则无可知矣。故以重表累矩,旁求审察。其窥望海岛、隔水望木,是重表也。其岸望谷深,山望津广,是累矩也。以海岛去表为之篇首。因以名之实九章之遗法也。后至唐李淳风,而续算草。宋杨辉释名图解,以伸前贤之美。本经题目广远,难于引證学者。今将孙子度影量竿,题问于前,引用详解以验海岛之法,亦循循诱入之意。姑以一问,其馀好学者,自能触类而考知矣。
假有立木不知高,日影在地长五丈。随立一竿长一丈,在边影长一丈二尺五寸。问:立木高若干。
答曰:木高四丈。
法曰:置立木影长五丈为实。以竿影长一丈二尺五寸为法除之。合问。
今有立木不知高,日影在地长四丈。随立一竿长一丈,在边影长八尺。问:木高若干。
答曰:木高五丈。
法曰:置木影长四丈为实,以竿影八尺为法除之。合问。
右二问,乃孙子度影量竿之法。
遥望木竿歌

望木须知立表竿,表离木处几多宽。退行表后参眸望,望表斜平末与竿。表数减除人目数,馀表乘远实相看。退行之数为法则,法实相除加一竿。
假有木不知高,从木脚量远二十五尺立一丈表竿。表后退行五尺,用窥穴望表与木,斜平。其人窥穴高四尺。问:木高若干。
答曰:木高四丈。
法曰:以表高十足减去人目穴四尺,馀六尺。以乘表竿去木远二十五尺,得一百五十尺为实。以退行五尺为法除之,得三十尺。加表高十尺,得木高四十尺。合问。
解曰:木高如股,〈是上节三十尺表高十尺 减人目四尺馀六尺是馀股〉末如句二十五尺,表后退行五尺是馀句,木顶斜至
股较求高之图

表末如弦,表末斜至人目是馀弦。弦之内外分二段句股,其句中容横股,中容直二积皆同,各一百五十尺。以馀句五尺除横积一百五十尺,得积外之股,即木上三十尺。加表高十尺即木高四十尺,以馀股六尺。除直积一百五十尺,得

积外之句,即木至表二十五尺。〈古人以题易名若非释名则无以知其源〉今较还原法曰:置弦内外二句股,木高四丈内除人目四尺,馀股各三丈六尺为长。以远二十五尺加退后五尺,共三十尺为阔相乘得方积一千零八十尺。今复将弦内外二股各长三十尺,二句各阔二十五尺相乘,得方积七百五十尺。另以下句直长二十五尺、阔六尺乘之,得直积一百五十。又以右边股直三十尺,以阔五尺乘之,得直积亦一百五十。再以馀句五尺乘馀股六尺,得积三十尺。四共亦得一千零八十尺,较之以合前数而不差也。
已上遥望木竿是一表望木也。

今立表三尺六寸,退行二尺又立表三尺。人目望其高处,二表俱与参合,自前表相去二丈五尺。问:高若干。
答曰:高一丈一尺一寸。
法曰:置远二十五尺,加入退行二尺,共二十七尺。以二表相减馀六寸。乘之得一十六尺二寸为实。却以退行二尺为法除之,得八尺一寸。加入后表三尺,得高一丈一尺一寸。合问。
若依前法置前表三尺六寸,减去后表三尺,即是人目数,馀六寸以。乘远去二丈五尺,得一丈五尺为实。以退行二尺为法除之,得七尺五寸。加入前表三尺六寸,共高一丈一尺一寸。
今立表三尺,退行一尺八寸。又立表三尺六寸,人目望其二表俱对远处参合。问:远若干。
答曰:十尺零八寸。
法曰:置后表三尺六寸,以退行一尺八寸乘之,得六
句较求远之图

十四寸八分为实。却以二表相减,馀六寸。为法除之,得一十尺零八寸,为后表相去之远。若以前表三尺,以退行一尺八寸乘之,得五尺四寸为实。却以二表相减,馀六寸。为法除之,得九尺为前表相去之远也。
窥望海岛歌

望岛知高法术奇,立来二表并高低。表间尺数乘高数,以作实情更不疑。二表退行相减较,减馀为法以除之。更将一表相加并,海岛巅高尽可知。另置表间之尺数,以乘前表退行宜。前法除之知隔水,水程远近不差池。
假如隔水望木有竿,不知其高。立二表各长一丈,前后参直相去一十五尺。从前表退行五尺,人目四尺窥望,表与竿齐平。复从从表退行八尺窥望,亦与竿齐平。问:竿高隔水各若干。
答曰:竿高四丈,隔水广二丈五尺。
法曰:置表高十尺减人目四尺,馀六尺。以相去一十五尺乘之,得九十为实。另以前表退行五尺减去后表退行八尺,馀三尺。为法除实得三十尺。加表高十尺,得竿高四十尺。另置相去一十五尺,以前表退行五尺乘之,得七十五尺。仍以前法三尺除之,得隔水广二十五尺。合问。
解曰:前表是第一图,以表望木后表是第二图。以表望木,盖总设人不知所以分作两图。其以隔水望木为问,设窥望海岛为题,以重差为术。好事者引而伸
股较隔水望木之图

〈此乃二表〉
较数,辨理
凑方式以
合,总而不
差故也。


之,以发其馀也。其前表去木远乃小,股中容积一段。后表去木远乃大,股中容积一段。以小容积减大容积,其馀不尽者,乃前后表两界之中各表间积。所以古人以表高减人目四尺,馀六尺,乘为实。以前图小馀股五尺减后图大馀股八尺,馀三尺,为法除实得弦外之高,即木上节三十尺。加表高十尺,得木高四十尺。本是大小容积相减馀为实。以大小馀股相减,馀为法除实得弦外之高。加表高十尺为木高也。今有海岛不知其高,远立表竿三丈,退行六十丈。又
窥望海岛之图窥望海岛之图

立短表三尺。人目望其二表,俱与岛峰参合。复却退行五百丈,又立表三丈。退行六十二丈,又立表三尺。人目望其二表,俱与岛峰参合。问:海岛高远各该若干。
答曰:岛高三里一百三十八丈,岛远八十三里六丈。
法曰:置表高三丈减去短表三尺,即是人目数也。馀二丈七尺,以表间相去五百丈乘之,得一千三百五十丈为实。另置后表退行六十二丈减去前表退行六十丈,馀二丈。为法除之,得六百七十五丈。加入表高三丈,共六百七十八丈。以里法一百八十丈为法除之,得岛高三里一百三十八丈。又置表间相去五百丈,以前表退行六十丈乘之,得三万丈为实。亦以所馀二丈为法除之,得一万五千丈。以里法一百八十丈为法除之,得岛远八十三里六丈。合问。




钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百二十三卷目录

 算法部汇考十五
 算法统宗十一〈难题一〉

历法典第一百二十三卷

算法部汇考十五

《算法统宗十一》难题一序目

夫难题昉于永乐四年。临江刘公仕隆偕内阁诸君预修大典,退公之暇,编成《难法》,附于九章通明之后。及钱唐吴信民《九章比类》,与诸家算法中诗词、歌括、口号,总集名曰《难题》。难者,难也。然似难而实非难,惟其词语巧捏,使算师一时迷惑莫知,措手不知。难法皆不离于九章。非九章之外,其难题惟在乎立法。立法既明,则迎刃而破,又何难之有哉。今分列《九章立法明辩》,附集杂法于统宗之后,俾好事者共览云。
方田一〈凡七问〉


昨日丈量田地回,记得长步整三十。广斜相并五十步,不知几亩及分釐。
答曰:二亩。
法曰:置广斜相并五十步自乘,得二千五百步。另以长三十步自乘,得九百步。二位相减,馀一千六百步。折半,得八百步为实。以广斜五十步为法除之,得阔一十六步。以乘长三十步,得四百八十步。以亩法二四除之。合问。〈此是句弦和〉


三十八万四千步,正长端的无差误。六丝二忽五微阔,不知共该多少亩。
答曰:一亩。
法曰:置长三十八万四千步为实。以阔六丝二忽五微为法乘之,得二百四十步。以亩法二四除之。合问。〈此是直田长阔间积〉


一段环田径不知,二周相并最幽微。皆知一亩无零积,一百六十不差池。三般可以见端的,只要名家仔细推。
答曰:径三步,外周八十九步,内周七十一步。
法曰:通田一亩得二百四十步为实。另以二周相并一百六十步折半,得八十步。为法除之,得径三步。以三步自乘,得九步。以减八十步,馀七十一步为内周。以减总一百六十,馀得外周八十九步。合问。
凤栖梧

一叚环出余久虑。众说分明,亦有谁人悟。忘了二周并径步。人道二周不及为,差处七十有馀单。二步三事,通知答曰分明注。五亩二分无零数。元机奥妙堪思慕。〈题解内周不及外周七十二〉
答曰:径一十二步,内周六十八步,外周一百四十步。
法曰:以亩法通田五亩二分得一千二百四十八步。倍之得二千四百九十六步为实。以不及七十二步,以六除得径一十二步。为法除之得二百零八步。以减不及七十二步,馀一百三十六步,折半得内周六十八步。加不及七十二步,得外周。合问。〈此是环田问周径〉弧矢问难,已载少广章中,故不重述。
双捣练

长十六,阔十五,不多不少恰一亩。内有八个古坟墓,更有一条十字路。阔一步。每个墓,周六步。十字路,阔一步。每亩价银二两五。除了墓,除了路,问君该剩多少数。
答曰:路墓共占地二分二釐五毫,〈内八墓计二十四步路计三十步〉
路墓地图

剩地七分七釐五毫,该银一两九钱三分七釐五毫。
法曰:通田一亩为二百四十步。于上另置墓八个。以每个周六步自乘得三十六步。以十二除

之得三步。八墓共积二十四步。又十字路阔一步,长一十六步,阔一十五步二,共三十一步。除路中心一步,实三十步加八墓,共二十四步。通共占地五十四步。以亩法二四除之,得二分二釐五毫为占地数。以减去一亩,馀剩地七分七釐五毫。以每亩价银二两五钱乘之,得剩地价银。合问。
竿上安箍歌

圆圆三丈一高竿,稍尖头径尺二宽。今有铁箍径九寸,试问将来何处安。答曰:自上而下二丈二尺五寸。
法曰:置竿高三丈为实,以头径一尺二寸为法除之得二尺五寸。以箍径九寸乘之,得自上而下二丈二尺五寸。上安箍只离头七尺五寸。合问。〈此如方锥作方台问截高〉


今有直田不知亩,长阔相和十七步。平不及长廿五尺,请问田该多少数。
答曰:二分五釐,计六十步。
法曰:置相和一十七步,减不及五步,馀一十二步为长。以阔五步相乘。合问。


今有直田用较除,一百二十步无馀。长阔相和该一百,问公三事几何如。
答曰:长六十步,阔四十步,较二十步。
法曰:置较除一百二十步减长阔相和一百步,馀二十步为较。以减相和一百步馀八十步,折半得四十步为阔。加较二十得长六十。合问。
粟布二
哑子买肉歌

哑子来买肉,难言钱数目。一斤少四十,九两多十六。试问能算者,合与多少肉。
答曰:一十一两,每两该钱八文。
法曰:置少四十加多十六共五十六为实。以多十六减九两,馀七两。为法除之,得八文。却以九两因之,得七十二。加多十六,共得原钱八十八文。以八归之,得肉一十一两。合问。
解曰:若买一斤少钱四十文,若买九两多钱十六文。
老人问甲歌

有一公公不记年,手持竹杖在门前。借问公公年几岁,家中数目记分明。一两八铢泥弹子,每岁盘中放一丸。日久岁深经雨湿,总然化作一泥团。秤重八斤零八两,加减方知得几年。
答曰:一百零二岁
法曰:置总八斤半,以每斤三百八十四铢乘之,得三千二百六十四铢为实。以每岁一两作二十四铢加入八铢共三十二铢,为法除之。合问。
西江月

白面秤来四斤,使油一斤相和。今来有面九斤多,六两五钱不错。已用香油和合,二斤十二无讹。再添多少面来和,不会应须问我。答曰:添面一斤九两五钱。法曰:合用异乘同除法。置今有油二斤十二两,先将十二两化为七五于二斤之次。以乘原面四斤得面一十一斤为实。以原用油一斤为法除之如故。仍得实面一十一斤减去已用面九斤六两五钱,馀为添面一斤九两五钱。合问。
梅气清

三石五斗粟,会换芝麻三石足。又有五斗五升麻,换来小麦量八斗。今有小麦换粟米,九石六斗无零数。
解题曰:假如有粟米三石五斗换芝麻三石,又如芝麻五斗五升换折小麦八斗。今却有小麦九石六斗要换粟米,问:该若干。

答曰:粟米七石七斗。
法曰:合用异乘同乘法。置今有小麦九石六斗以乘所问芝痲五斗五升,得五石二斗八升。再以粟米三石五斗乘之,得一十八石四斗八升为实。又用异除同除法置所换芝麻三石,以乘小麦八斗,得二石四斗。为法除之,得粟米七石七斗。合问。
解法曰:置米三石五斗为实,以换麻三石为法除之,得麻每石换米一石一斗有零。又云麻五斗五升换麦八斗。置麻五斗五升,以每石折米一石一斗并零乘之,得米六斗四升并零为实。以换麦八斗为法除之,得麦每石折米八斗有零。又云今有麦九石六斗换米,问:该几何。置麦九石六斗,以麦每石折米八斗并零乘之,得米七石七斗。此乃用法之理,是一乘一除理之然也。盖因除法多有畸零,数之不尽,故前法用总乘,然后用总除。真是大术矣。
西江月

甲钏九成二两,乙钗七色相同。李银铺内偶相逢,各欲改成器用。其子未详所以,误将一处销镕。当时闷恼李三翁,又把算师扰动。
答曰:共销镕八成色金四两,甲该分二两二钱五分,〈折足色一两八钱〉 乙该分一两七钱五分。〈折足色一两四钱〉法曰:置甲金二两折足色一两八钱,乙金七成二两折足色一两四钱,并之得足色三两二钱。以原金二共四两归之,得八色。就以八为法除甲一两八钱,得甲金二两二钱五分。亦以法八除乙一两四钱,得乙金一两七钱五分。合问。

肆中听得语吟吟,薄酒名醨厚酒醇。好酒一瓶醉三
客。薄酒三瓶醉一人。共同饮了一十九,三十三客醉醺醺。试问高明能算士,几多醨酒几多醇。
答曰:好酒十瓶,薄酒九瓶。
解曰:共三十三人饮酒一十九瓶好酒,三人饮一瓶薄酒,一人饮三瓶。

法曰:列置问衰。〈一瓶三人〉〈三瓶一人 十九瓶三十三人〉先以右上一瓶互乘左中一人,得一人。又以左上三人互乘右中三瓶,得九瓶。相减馀八瓶为法。另以右中三瓶互乘左下三十三人,得九十九人。另以左上三人乘右中三瓶,得九瓶。再乘共酒一十九瓶,得一百七十一人。内减九十九人,馀七十二人为实。以法八瓶除之,得薄酒九瓶。以减总酒,馀得好酒十瓶。合问。
水仙子

为商出外去经营,将带白银去贩参。为当初不记原银锭,只记得七钱七分买六斤。脚钱便使用三分,总记用牙钱四锭,是六分中取二分。问先生贩买数分明。
答曰:人参四万三千五百斤,原银六千两,牙钱二百两,脚钱二百一十七两五钱。
解曰:每人参六斤价七钱七分,又用脚钱三分、牙钱二百两,乃是六十分中取二分也。

法曰:置牙钱四锭,以锭率五十两乘之,得二百两。以六十分取二分,该得原银六千两。减牙钱二百两,馀剩五千八百两。以买参六斤因之,得三万四千八百斤为实。却以价七钱七分,用脚钱三分共八钱为法除之,得参四万三千五百斤。以每六斤归之,得七千二百五十斤。以参价七钱七分乘之,得参价五千五百八十二两五钱。以减总银五千八百两,馀得脚银。合问。


二丈四长尺八阔,四两半银休打脱。三丈六长尺六问,该银多少要交割。
答曰:六两。
法曰:用异乘同除法置令长三丈六尺,阔一尺六寸相乘,得五丈七尺六寸。以乘卖银四两五钱,得二百五十九两二钱为实。以原长二丈四尺,阔一尺八寸相乘,得四丈三尺二寸。为法除之。合问。


足色黄金整一斤,银匠误侵四两银。斤两虽然不曾耗,借问却该几色金。
答曰:八色。
法曰:置金一十六为实,另以金加银四两,共二十两。为法除之。合问。


足色纹银十二两,欲倾八成预忖量。分两虽然添得重,入铜多少得相当。
答曰:入铜三两。
法曰:置纹银一十二两,以八色归之,得一十五两。减去原银一十二两,馀三两为入铜数。合问。


一斤半盐换斤油,五万白盐载一舟。斤两内除相为换,须教二色一般筹。
答曰:各二万斤。
法曰:置总盐五万斤为实,并盐油共得二斤。半为法除之得各二万斤。合问。
铺金问积歌

皇城内丹墀中,周围有八里。铺金二寸深,方寸十六两。秤来有一斤,不知多少数。特来问缘因。
答曰:金七百二十万斤。
法曰:置周八里以四归之,得每面二里。自乘得四里。又以每里三百六十步乘之,得一千四百四十步。以每步二千五百寸乘之,得三百六十万寸。又以深二寸因之,得七百二十万寸,即七百二十万斤也。合问。
西江月

客向新街籴米,共量八十四石。一千二百七十知,石价尽依乡例。雇觅小车搬运,装钱三百三十。脚言家内缺粮食,只据原钱要米。
答曰:客米六十六石六斗七升五合,脚米一十七石三斗二升五合。
法曰:此乃就物抽分之法。置米八十四石,以价一千二百七十文乘之,得一十万零六千六百八十文为实。另以石价并脚钱共一千六百文为法除实,得客米数。以减总米馀为脚米。合问。
衰分三
西江月

净拣棉花弹细,相和共雇王孀。九斤十二是张昌,李德五斤四两。纺绩织成布匹,一百八尺曾量。两家分布要明彰,莫得些儿偏向。
答曰:张昌七丈零二寸,李德三丈七尺八寸。
法曰:列各衰张昌九斤十二两,李德五斤四两,各以两法通之,张得一百五十六两,李得八十四两。副并共得二百四十两为法。另以织布一百零八尺乘张一百五十六两,得张一千六百八十四丈八尺。乘李八十四两,得李九百零七丈二尺。各自为实,以法除之。合问。


赵嫂自言快绩麻,李宅张家雇了他。李宅六斤十二两,二斤四两是张家。共织七十二尺布,二人分布闹喧哗。借问乡中能算士,如何分得的无差。
答曰:张宅五丈四尺,李宅一丈八尺。
法曰:置共织布七十二尺为实,并二麻张六斤一十二两。以斤加六得一百零八两。李二斤四两以斤加六得三十六两,共一百四十四两。为法除之,每两得五寸。以乘各出麻。合问。
诵课增倍歌

有个学生心性巧,一部孟子三日了。每日增添一倍多,问君每日读多少。
答曰:头一日读四千九百五十五字,第二日读九千九百一十字,第三日读一万九千八百二十字。法曰:置〈一 二 四〉并为七衰为法,以孟子字数三万四千六百八十五字为实。以法除之,得四千九百五十五字为头日之数。倍之为第二日数。又倍之为第三日数。合问。
行程减等歌

三百七十八里关,初行健步不为难。次日脚痛减一半,六朝才得到其关。要见每朝行里数,请公仔细算相还。
答曰:初日一百九十二里,次日九十六里,三日四十八里,四日二十四里,五日一十二里,六
日六里。
法曰:置三百七十八里为实,列置衰。〈一 二 四 八 十六 三十二〉并得六十三衰,为法除实得六里为第六日之数。递加一倍。合问。
浮屠增级歌

远望巍巍塔七层,红光点点倍加增。共灯三百八十一,请问尖头几盏灯。
答曰:顶层三盏。
法曰:置共灯数为实,列置衰。〈一 二 四 八 十六 三十二 六十四〉并之得一百二十七衰。为法除实,得三为顶层灯数。各加倍,得各层灯数。合问。
三等赔偿鹧鸪天

八马九牛十四羊,赶在村南牧草场。吃了人家一段谷,议定赔他六石粮。牛一只,比二羊,四牛二马可赔偿。若还算得无差错,姓字超群到处扬。
答曰:马八共赔三石,牛九共赔一石六斗八升七合五勺,羊十四共赔一石三斗一升二合五勺。
解曰:马八只、牛九只、羊十四只,共议赔谷六石。羊一分,牛二分,马四分。

法曰:置米六石为实。另置马八,以四因得三十二衰。牛九以二因得一十八衰。羊一十四衰并得六十四衰,为法除之,得九升三合七勺五抄,为一羊所吃赔谷数。为法遍乘各衰。先以羊一十四衰乘之,得一石三斗一升二合五勺,为羊主赔数。又以牛衰十八乘之,得一石六斗八升七合五勺,为牛主赔数。又以马衰三十二乘之,得三石为马主赔数。合问。
五爵分金歌

公侯伯子男,五四三二一。假有金五秤,依率要分讫。答曰:公一秤十斤,侯一秤五斤,伯一秤,子一十斤,男五斤。
法曰:置金五枰,以每秤一十五斤乘,得七十五斤为实。列公五、侯四、伯三、子二、男一,副并得一十五。为法除实得五斤,为男所得数。加五得十斤为子所得数。再加五得一秤为伯所得数。又加五得一秤零五斤为侯所得数。再加五得一秒一十斤为公所得数。合问。
八子分绵歌

九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠。次第每人多十七,要将第八数来言。务要分明依次第,孝和休惹外人传。
答曰:长子一百八十四斤,次子一百六十七斤,三子一百五十斤,四子一百三十三斤,五子一百一十六斤,六子九十九斤,七子八十二斤,
八子六十五斤。
法曰:置七衰〈一 二 三 四 五 六 七〉并得二十八衰为实。以多十七乘之,得四百七十六。以减总绵数,馀五百二十。以八子除之,得六十五斤,为第八子数。加十七得八十二斤,为七子数。仿此递加十七至长。合问。
九儿问甲歌

一个公公九个儿,若问生年总不知。自长排来争三岁,共年二百七岁期。借问长儿多少岁,各儿岁数要详推。答曰:长儿三十五岁,次儿三十二岁,三儿二十九岁,四儿二十六岁,五儿二十三岁,六儿二
十岁,七儿一十七岁,八儿一十四岁,九儿一
十一岁。
法曰:列八衰。〈以一 二 三 四 五 六 七 八〉各以差三岁因之,为各人之衰数。长儿因得三,次儿因得六,三儿因得九,四儿因得十二,五儿因得一十五,六儿因得一十八,七儿因得二十一,八儿因得二十四。并入衰得一百零八数,以减总二百零七岁,馀九十九岁。以九人除之得一十一岁,为第九儿之年岁。次递加三岁至长。合问。
依等算钞歌

甲乙丙丁戊己庚,七人钱本不均平。甲乙念三七钱钞,〈二十三两七钱〉念六一钱戊己庚。〈二十六两一钱〉惟有丙丁钞无数,要依等第数分明。请问高明能算者,细推详算莫差争。
答曰:甲该钞一十二两二钱,乙该钞一十一两五钱,丙该钞一十两零八钱,丁该钞一十两零一钱,戊该钞九两四钱,己该钞八两七钱,庚该
钞八两。
法曰:置戊、己、庚三人,添一为四。以三乘之,得十二,折半,得六。减去三馀三为下差率。另以甲乙二人乘,总七人得十四。减去下差率三,馀得十一为上差率。列置戊、己、庚、甲、乙。〈三二〉〈馀三 得六 二十六两一钱 得五十二两二钱 馀十一 得三十三 二十三两七钱 得七十一两一钱〉先以左上二互乘右中三,得六。又以左上二乘右下二十六两一钱,得五十二两二钱。次以右上三乘左中十一,得三十三。以减去右中六馀二十七为法。又以右上三乘左下二十三两七钱,得七十一两一钱。减去右下五十二两二钱,馀一十八两九钱为实。以法二十七除之,得七钱为一差之数。另置甲乙共钞二十三两七钱,加入差七钱,共二十四两四钱,折半得一十二两二钱为甲所得数。除差七钱,馀一十一两五钱,是乙钞。各减七钱得各数。
竹筒容米歌

家有九节竹一茎,为因盛米不均平。下头三节三升九,上稍四节贮三升。惟有中间二节竹,要将米数次第盛。若是先生能算法,教君直算到天明。
答曰:第一节容米一升四合,第二节一升三合,第三节一升二合,第四节一升一合,第五节一升,第六节九合,第七节八合,第八节七合,第九节六合。法曰:置上四节加一为五与四乘,得二十。折半得一十。减去四,馀得六,为下差率。另以下三节以总九节乘之,得二十七。减去下差率六,馀二十一为上差率。列置,〈右四 左三〉〈馀六 得一十八 三升 得九分 馀二十一 得八十四 三升九合 得一十五分六釐〉先以左上三互乘右中六,得一十八。次以右上四互乘左中二十一,得八十四。以少减多,馀六十六为法。复以左上三乘右下三,得九分。又以右上四乘左下三升九,合得一十五分六釐。减去九分馀六分六釐,为一节之差数。却以下三节盛米三升九合为实,以法六十六乘之,得二百五十七分四釐。以三归之,得八十五分八釐,是第二节数。加六分六釐为第一节数,减六分六釐得七十九分一釐为第三节数。又减去六分六釐,馀七十二分六釐为第四节数。每节次第减六分六釐,得各数。以法六十六除之。合问。
原法下头三节贮四升米不尽者多,今改为三升九合却尽矣。


一万六百八两银,四个商人依率分。原银轮递四六出,休将六折术瞒人。
答曰:甲四千四百零六两四钱,乙二千九百三十七两六钱,丙一千九百五十八两四钱,丁一千三百零五两六钱。
解曰:四六者乃是每两多五。故自丁起递用加五为衰,并之为法除实。

法曰:各列置衰,〈丁四 丙六 乙九 甲一十三衰五分〉副并得三十二衰五分为法。另以银一万零六百零八两,以乘各衰。甲十三衰五分得一十四万三千二百零八两,乙九衰得九万五千四百七十二两,丙六衰得六万三千六百四十八两,丁四衰得四万二千四百三十二两。各自为实,以法各除之。合问。


三千四百十两银,五个为商照本分。原银轮递二八出,休将八折易瞒人。
答曰:甲二千五百六十两,乙六百四十两,丙一百六十两,丁四十两,戊一十两。
解曰:二八者,乃是每两多四。故自戊起依次递用四,因为衰并之为法。

法曰:各列置衰,〈戊二 丁八 丙三十二 乙一百二十八 甲五百一十二〉副并得六百八十二衰为法。以所分银三千四百一十两为实,以法除之,得五十为一衰。以乘各衰得各人数。合问。


三百六十九斤丝,出钱四客要分之。原本皆是八折出,莫教一客少些儿。
答曰:甲一百二十五斤,乙一百斤,丙八十斤,
丁六十四斤。
法曰:各列置衰,〈甲一千 乙八百 丙六百四十 丁五百一十二〉副并得二千九百五十二为法。另以所分丝三百六十九斤乘未并各衰。甲一千得三十六万九千,乙八百得二十九万五千二百,丙六百四十得二十三万六千一百六十,丁五百一十二得一十八万八千九百二十八。各自为实,以法除实,得各人丝。合问。


甲乙丙丁戊,分银一两五。甲多戊钱三,互和折半与。答曰:甲三钱六分五釐,乙三钱三分二釐五毫,丙三钱,丁二钱六分七釐五毫,戊二钱三分五釐。
解曰:甲多戊一钱三分也。

法曰:此互和减半之法。置分银一两五钱为实,以例用〈一分 三分 五分 七分 九分〉并之,得二钱五分。为法除之,得六钱,乃首尾之数。于内减中多戊一钱三分,馀四钱七分,折半得戊二钱三分五釐。仍加多一钱三分,得甲三钱六分五釐。互和甲戊,共得六钱,折半得丙三钱。互和加甲三钱六分五釐,共得六钱六分五釐,折半得乙银三钱三分二釐五毫。并丙戊共五钱三分五釐,折半得丁二钱六分七釐五毫。合问。
西江月

群羊一百四十,剪毛不惮勤劳。群中有母有羊羔,先剪二羊比较。大羊剪毛斤二,一十二两羔毛。百五十斤是根苗,子母各该多少。
答曰:大羊一百二十只,小羊二十只。
法曰:置羊一百四十,以大羊剪毛一斤二加六为一十八两。乘之得二千五百二十两。以减共剪毛一百五十斤,亦加六为二千四百两,馀一百二十两为实。另以大羊毛一十八两,减小羊毛一十二两,馀六两。为法除之,得小羊二十只。以减总羊,馀得大羊一百二十只。合问。
二果问价歌

九百九十九文钱,甜果苦果买一千。甜果九个十一文,苦果七个四文钱。试问甜苦果几个,又问各该几个钱。
答曰:甜果六百五十七个该钱八百零三文,苦果三百四十三个该钱一百九十六文。
法曰:列置,〈九个十一文〉〈七个四文 一千个九百九十九文〉先以右上九个互乘左中四文,得三十六个。次以右中七个互乘左上一十一文,得七十七文。以少减多馀四十一为长法。又以右中七个互乘左下九百九十九文,得六千九百九十三文。再以左中四文互乘右下一千个得四千。以少减多馀二千九百九十三文。却以长法除之,得七十三为短法。若求甜果,以七十三乘九个,得甜果六百五十七个。另以七十三乘一十一文,得甜果钱八百零三文。于总果内除六百五十七,馀苦果三百四十三个。又于总钱减去甜果钱,馀得苦果钱。合问。
均舟载盐歌

四千三百五十盐,大小船只要齐肩。五百盐装三大只,三百盐装四小船。请问船只多少数,每只船载几引盐。
答曰:大船一十八只装盐三千引,小船一十八只装盐一千三百五十引。
法曰:列置,〈四只 三只〉〈三百 五百〉先以左上三只互乘右下三百引,得九百。次以右上四只互乘左下五百,得二千。并之得二千九百。为法列置三四乘得一十二只。以乘总盐得五万二千二百为实。以法除之,得十八,是大小船数。先以大船盐五百因之,得九千。再以船三只归之,得盐三千引。又置小船一十八只,以盐三百因之,得五千四百。又以船四只归之,得盐一千三百五十引。合问。
增钱剥浅歌

邻家有客乱争喧,相见问其所以然。二百三十六担货,程途远近论船钱。九十五担六分算,八十五担四分还。更有五十六担货,二分五釐算为先。只因剥浅争船价,二两五钱二分添。请问高明能算士,各人分派免忧煎。
解曰:假如赵一、钱二、孙三三人共货二百三十六担,雇船一只。原各以程途远近不等,水脚多寡不同。内赵一货九十五担交卸甚远,每担船脚银六分。钱二货八十五担卸处颇近,每担船脚四分。孙三货五十六担程途又,近每担船脚二分五釐。算其银付足外,因中途剥浅贴银二两五钱二分,照依远近船钱派分,各该若干。
答曰:赵一该贴一两三钱六分八釐,钱二该贴八
钱一分六釐,孙三该贴三钱三分六釐。
法曰:置赵一货九十五担,以每担船脚银六分乘之,得五两七钱。另以钱二货八十五担,以每担船银四分乘之,得三两四钱。又以孙三货五十六担,以每担船银二分五釐乘之,得一两四钱。并三数原船脚银一十两零五钱为法,却以贴银二两五钱二分为实。以法除之,得二钱四分,乃是船脚每两贴剥之数。就以此二钱四分为法,以乘各客船脚银数。即得。
笔套取齐歌

八万三千短竹竿,将来要把笔头安。管三套五为期定,问君多少配成完。
答曰:管套各得一十五万五千六百二十五个,管竹五万一千八百七十五竿,套竹三万一千一百二十五竿。
解题:共有短竹八万三千竿,每一竿截作笔管三个,每一竿截为笔套五个。问:各该用竹若干裁截配合成笔。

法曰:置竹八万三千为实,以管三套五并作八,为法除之得一万零三百七十五又为实。另以管三乘套五得一十五。又为法乘实得管套各得一十五万五千六百二十五个,列置。问管竹以三归之,问套竹以五归之。合问。
金毬问积歌

有个金毬里面空,毬高尺二厚三分。一寸自方十六两,试问金毬多少金。
答曰:一百三十八斤一十两零二钱四分。
解曰:金毬者,形如立圆。高尺二即圆中之径也。厚三分者,乃中径。之两头俱有,故并共厚六分。以减全径尺二,馀得内中空径一尺一寸四分也。其用立圆之法,自再乘毕。又用九因十六除者,何也。其平圆居方内四分之三,故用三因四归,得积。今立圆而又多一,再乘者故。以三三如九因之,平圆四归而一。今立圆亦再以四自乘,得一十六而除之,是也。若毬周问积,置周数以三归,求出径数。同法算积。

法曰:置毬高一十二寸自乘、再乘,得一千七百二十八寸。以九因十六除,得九百七十二寸,是全个金毬之实。另置径一十二寸,减去径两头共厚六分,馀得毬中空径一十一寸四分。亦自乘、再乘,得一千四百八十一寸五分四釐。亦以九因十六除,得八百三十三寸三分六釐为毬内空积之数。以减全毬积数,馀一百三十八寸六分四釐。以一百三十八寸变为一百三十八斤零者,用加六之法,得一十两零二钱四分。合问。
西江月

帝城三五元宵,鳌山两样灯毬。都来一秤三斤油,七两又来添凑。三两分为四盏,四两分作三瓯。三停盏子二停瓯,请问先生知否。
答曰:瓯一百二十只油十斤,盏一百八十个油八斤七两。
法曰:置油一秤为一十五斤。又添三斤,共一十八斤。每斤用加六法得二百八十八两。又添七两共二百九十五两。以每两二十四铢乘之,得七千零八十铢为实。另置油三两,以二十四铢乘,得七十二铢。以四盏归之,每盏得一十八铢。又以三停乘之,得五十四铢为盏之法。另又置油四两以二十四铢乘之,得九十六铢。以三瓯归之,每瓯得三十二铢。又以二停乘之,得六十四铢为瓯之法。并瓯盏二法,共一百一十八为总法。除实七千零八十铢,得六十为则。以二停因,得一百二十为瓯数。以每瓯油三十二铢乘之,得三千八百四十铢。以每斤三百八十四铢除之,得十斤为瓯油总数。另以则六十以三停因之,得一百八十为盏总数。以每盏油一十八铢乘之,得三千二百四十铢。以每两二十四铢除之,得一百三十五两。以斤法一十六两除之,呼见一无除作九,一无除起一。下还一六八除四十八馀七两,不可除,即是八斤七两为盏油总数。并瓯总油共一十八斤七两。合问。
以碗知僧歌

巍巍古寺在山中,不知寺内几多僧。三百六十四只碗,恰合用尽不差争。三人共餐一碗饭,四人共尝一碗羹。请问高明能算者,算来寺内几多僧。答曰:六百二十四人,饭碗二百零八只,羹碗一百五十六只。
法曰:以三人、四人相乘,得一十二人。以乘总碗三百六十四只,得四千三百六十八为实。另以三四并之,得七。为法除之,得僧数。用三归得饭碗。用四归得羹碗。合问。
河边洗碗歌

妇人洗碗在河滨,试问家中客几人。答曰不知人数目,六十五碗自分明。二人共餐一碗饭,三人共吃一碗羹。四人共肉无馀数,请问布算莫差争。答曰:客六十人,饭碗三十只,羹碗二十只,肉碗一十五只。
法曰:以二人乘三人得六人。又以四人乘之,得二十四人。以乘总六十五碗,得一千五百六十为实。另列维乘,〈得六 得一十二〉先以二乘三得六。次
以三乘四,得一十二。又以四乘二得八。并之,得二十六。为法除实,得六十人。各列以二归,得饭碗。以三归得羹碗。以四归得肉碗。合问。
书生分卷歌

《毛诗》《春秋》《周易》书,九十四册共无馀。《毛诗》二册三人共,《春秋》一本四人呼。《周易》五人读一本,要分每样几多书。就见学生多少数,请君布算莫踌蹰。
答曰:《毛诗》四十本,《春秋》三十册,《周易》二十四本,学生各经一百二十名,总计三百六十人。
法曰:列置三人、四人、五人维乘,以三人乘四人,得一十二。又以四人乘五人,得二十。又以五人乘三人,得一十五。并之,得四十七为法。另以共书九十四本在位,以《诗》三人乘之,得二百八十二本。再以《易》四人乘之,得一千一百二十八本。又以《书》五人乘之,得五千六百四十本为实。以法四十七除之,得各经学生一百二十名。列三位以三人归之,得《诗经》四十本。以四人归之,得《春秋》三十本。以五人归之,得《易经》二十四本。并三经学生,共三百六十人。合问。
僧分馒头歌

一百馒头一百僧,大和三个更无争。小和三人分一个,大小和尚得几丁。
答曰:大和尚二十五人该馒头七十五个,小和尚七十五人该馒头二十五个。
法曰:置僧一百名为实,以三个、一个并得四个。为法除之,得大僧二十五人。以每人三个因之,得馒头七十五个。于总僧内减大僧,馀七十五为小僧。以三人归之,得馒头二十五个。合问。


一千官军一千布,一官四匹无零数。四军才分布一匹,请问官军多少数。
答曰:官二百员该布八百匹,军八百名该布二百匹。
法曰:置官军共一千为实,以四匹、一匹并得五匹。为法除之,得官二百员。以每员四匹因之,得布八百匹。于总官军内减二百,馀八百名为军。以四军归之,得布二百匹。合问。


今有千文买百鸡,五十雄价不差池。草鸡每个三十足,小者十文三个知。
答曰:公鸡八只价钱四百文,母鸡十一只价钱三百三十文,小鸡八十一只价钱二百七十文。
原法曰:置钱千文为实,另置公鸡一、母鸡一,各以小鸡三因之,得公鸡三,母鸡三,小鸡三,共得九。为法除实,得十一为母鸡数。不尽一,返减下法九馀八为公鸡数。另列总鸡一百只,减去公鸡八只,母鸡一十一只,馀八十一只为小鸡数。各以价钱因之。合问。
又引前法置所答数。公鸡八只,增四作十二。母鸡十一,减七为四小鸡。八十一益三为八十四,共百鸡,千文也。此乃张丘建云。鸡公增四,鸡母减七,鸡雏益三,又细参之。仍置原数,却将鸡公八只减四得四只。鸡母十一增七,得一十八只。鸡雏八十一减三得七十八只。亦得百鸡千文也。其一法而生三,故在变通之意也。
水仙子

元宵十五闹纵横,来往观灯街上行。我见灯上下红光映,绕三遭,数不真。从头儿三数无零,五数时四瓯不尽,七数时六盏不停。端的是几盏明灯。
解题:初以三算之恰尽。次以五算之,馀四盏。再以七算之,馀六盏。问:共灯若干。

答曰:六十九盏。
法曰:此如孙子物不知总法也。先置三数无零,不必下五数剩四。每一下二十一数,四共该下八十四数。七数剩六。每一下十五数,六共该下九十数,并之共得一百七十四,减去满法一百零五,馀得六十九盏。合问。




钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百二十四卷目录

 算法部汇考十六
  算法统宗十二〈难题二〉

历法典第一百二十四卷

算法部汇考十六

《算法统宗十二》难题二少广四


直田七亩半,忘了长和短。记得立契时,长阔争一半。今特问高明,此法如何算。
答曰:长六十步、阔三十步。
法曰:置田七亩半,以亩法二四通之,得积一千八百步,折半得九百步为实。以开平方法除之,约商三十步,自乘得九百步。除实,尽得阔。三十步为法以除总田,积一千八百步,得长六十步。合问。
西江月

今有方田一段,中间有个圆池。步量田地可耕犁,十亩无零在记。方至池边有数,每边十步无疑。外方池径果能知,到处芳名说你。
解题:耕犁十亩,乃是池外馀地,忘却方面圆径二数,只记得方至池边十步。今问:外方面内圆径各若干。

答曰:方面六十步、内圆池径四十步。
法曰:置田十亩,以亩法二四通之,得二千四百步。另以每边十步自乘,得一百步,又以三因之,得三百步。加入积内,共得二千七百步为实。另以每边十步以六因之,得六十步为纵方。于右以开平方,带纵法除之,约商三十步。于左位就置三十,于右位并入纵方六十,共得九十步。于左商三十,相呼三九,除二千七百步积尽。以商三十倍,作六十步为方面,减去每边各十步,共减二十步,馀得圆池径四十步合问。
解法曰:方内容圆四分之三,故以三因池外自乘之数,得三百并积为实。另以三倍之为六,乘每边十步,得六十步为纵方平方开之。
西江月

今有圆田一段,中间有个方池。丈量田地待耕犁,恰好三分在记。池面至周有数,每边三步无疑。内方圆径若能知,堪作算中第一。
答曰:圆径一十二步,内方池六步。
法:以亩法通田三分,得七十二步,以每边三步约之,得圆径一十二步,自乘得一百四十四步,三因四,归得一百零八步,减田积七十二步,馀三十六步,平方开之,得方池六步。合问。
又法:以每边三步自乘,得九步,又以四因得三十六步,加入倍积一百四十四步,共一百八十步为实。另以每边三步,以八因之得二十四步为纵方。以平方带纵法开之,约商六步,于左亦置六步,于右并入纵方二十四步,共得三十步,与上商六步,相呼除实,尽得半径六步,倍之,得全径一十二步是也。
孤峰马杰断古法曰:以每边三步约之,得圆径一十二步,此数非圆田之正径乎。以正径论之,积步不及三分,岂有方池六步之容。前后不接,细考后矣。 改正法曰:置耕犁地三分,通为七十二步,以四归之,得弧矢田积一十八步为实。另以此数倍之,得三十六步。以平方开之,得六步为法,除实得矢三步,并法六步,共九步为弦。折半得四步半,自乘得二十步,零二分五釐。以矢三除之得六步七分五釐,加矢三步,共九步七分五釐为圆径。内减二矢,阔六步,馀三步七分五釐为方池。合问。予因二数不一,故将杰改正圆径九步七分五釐,较之具立图形于左,细究以辨曲直,其古法数准无疑。惟每边三步约之得径十二,但约之之说而无定法,含糊之甚,孤峰改正妄减数目,理甚不明。

大位法曰:存方池馀地,取作上下二大弧矢,两边二直又二小,弧矢以每边三步为矢,求弦法。置半径四
求弦合总图

步八分七釐五毫,自乘得二十三步七分六釐五毫,另置半径减矢三步,馀一步八分七釐五毫,自乘得三步五分一釐五毫。相减馀二十步零二分五釐,以

平方法开之,得四步五分,倍之得九步为上下弧弦。用弧矢法得一矢积一十八步,倍之得三十六步为上下二弧矢之积,又以方池左右两旁取直二段,阔各二步六分二釐五毫,以池方三步七分五釐乘之,得九步八分四釐四毫,倍之得一十九步六分八釐八毫为左右直积。再以东西二小弧矢,矢各三分七釐五毫,弦各三步七分五釐,各用弧矢法得七分七釐三毫五丝,并之得一步五分四釐七毫为东西二小弧矢积。并四旁积只有五十七步二分三釐五毫,加方池积一十四步零六釐二毫五丝,通共总得七十一步三分,此乃较准毫忽无差,并池地,合原积七十二步尚且不足七分,焉得三分耕犁之地乎。予思马杰用四归七十二步,乃是圆内容方弧弦方角俱至边周可用此法,若是钱形内容方池,角不通边,外有馀空,岂可以四均而归之。重叠四角,其理明矣。
西江月

方田一十五亩,及时人去耕犁。圆池在内甚稀奇,圆径不知怎记。方至池边有数,每边二十无疑。外方圆径若能知,细演天源如积。
答曰:面方六十步、圆径二十步。
法曰:以亩法通田得三千六百步,以平方法开之得六十步,以减每边二十步,二边共减四十步,馀得圆径二十步。合问。
西江月

今有圆田一所,不知顷亩端的。直河一道正中穿,圆分弧矢两段。通田七十四步,二十四步河宽。除河见在几多田,水占如何得见。
圆变二弧矢

答曰:见在田九亩八分九釐五毫八丝。 水占田七亩二分一釐六毫六丝。
法曰:先置通径七十四步,自乘

得五千四百七十六步,以三因四,归得四千一百零七步为全圆总积。再置通径七十四步减去河宽二十四步馀五十步,折半得二个弧矢,各得矢二十五步,宜用圆径与截矢求截弦之法,另置通径七十四步,折半得半径三十七步为弦,自乘得一千三百六十九步,另以半径三十七步减矢二十五步,馀一十二步为股,自乘得一百四十四步,以减弦自乘数馀一千二百二十五步,以平方法开之得三十五步,倍之得七十步为截弦,并矢二十五步,共九十五步,折半得四十七步五分,以矢二十五步乘之,得一千一百八十七步五分为一段弧矢田积,倍之得二千三百七十五步为见在田,以减通径总田四千一百零七步,馀一千七百三十二步为水占田,各以亩法二四除之。合问。
古法设弦七十步,并无用法出处,今用求弦之法也。
歌:

今有梯田长一百,小头十五大廿七。截卖一百九十
二,欲从一边截去积。
解题:截积一边,如句股之形也。

答曰:截长八十步、阔四步八分。
法曰:倍截积得三百八十四步以乘,长一百步,得三万八千四百步为实,以大头二十七步减小头一十
梯积句股图

五步,馀一十二步,折半得六步为法,除之得六千四百步,以开平方法除之,得截长八十步,以所折半之六步乘之,得四百八

十步,却以原长一百步除之,得截阔。合问。
歌:

弧矢一亩积一叚,更加九十七步半。矢不及弦十五步,弦矢各长怎的算。
答曰:弦三十步、矢一十五步。
法曰:通田一亩得二百四十步,加零九十七步半,共得三百三十七步半,以四因三,归得四百五十步为实,以不及一十五步为纵方,于右上,商十步。下法亦置十步加于纵方一十五之上,共二十五,皆与上商一十步,除实二百五十步,馀实二百步。另以下法初商一十倍之,得二十次,商五步于左,下法亦置五步加于纵方一十五之上,并倍初商共得四十步,皆与上商五,除实尽得矢一十五步,加不及十五共三十步为弦。合问。
歌:

梭田共积一千二,又零二十有四步。阔不及长三十二,要见阔长多少数。
答曰:长六十八步、阔二十六步。
法曰:倍积得二千四百四十八步为实,以不及三十二步为纵方于右,初商三十步于左,下法亦置三十加于纵方之上,共六十二步。与左初商三十,相呼三六,除实一千八百。又呼二三,除六十,馀五百八十八步。另以下法六十二,加倍初商三十,得九十二,次商六步于左,下法亦置六步加于纵方九十二之上,共九十八步,皆与次商六步相呼六九,除五百四十,又呼六八除四十八步,尽得阔三十六步,加不及三十二步,得长六十八步。合问。
船缸均载歌

三百六十一只缸,任君分作几船装。不许一船多一只,不许一船少一缸。
答曰:船一十九只、每只装缸一十九个。
法曰:置缸三百六十一只为实,以开平方法除之,初商一十于左,亦置一十于右为方法,左右相呼,一一除实一百,馀实二百六十一,右法初商一十,倍作二十为廉法,次商九于左,初商之次亦置九于倍商,二十之次皆与左次商九相呼,二九除实一百八十,又呼九九除八十一,实尽得一十九船,每船载缸一十九个。合问。
船粮均载歌

今岁都要纳秋粮,雇船搬载去上仓,五万七千六百石,河中漏湿一船粮,每船负带一石去,船仍剩得一石粮,秋粮纳米已有数,不知原用几船装。
解题:问总粮用船及每只装数相同,各该若干。

答曰:船二百四十只、每只装二百四十石。
法曰:置米为实,以开平方法除之,初商二百于左,亦置二百于右,左右相呼,二二除四,万石馀实一万七千六百。另以右商二百,倍作四百,次商四十于左,初商之次,亦置四十于右,倍商四百之次,皆与上商四十相呼,四四除一万六千,又呼四四除一千六百恰尽。
驻马听

不比寻常,欲造金毬内外光。要求高径尺寸,今有金积耀眼睛,黄百二十一五分。详立圆高许,如等杖折半曾量,折半曾量,金实虚积无偏向。
答曰:立圆径高六寸。
法曰:置金积一百二十一寸五分,以十六乘,得一千九百四十四寸,以九归之,得二百一十六寸为实,以开立方法除之,初商六寸自乘,再乘得二百一十六寸,除实恰是得径。合问。 又曰:要知金积,将径六寸自乘,再乘以九因十六,除得积。
西江月

假有坡地一段,中间一卖安茔。总皆一亩二分平,更有八釐相应。只要纵多两堵,每堵八尺无零。筑墙选日雇工兴,几许封堆可定。
解题:假如有地一段,共积三百零七步二分,周围筑墙,每堵八尺,东西长比南北阔多二堵。问各该地并堵数若干。

答曰:东西各长一十九步二分、墙一十二堵、南北各阔一十六步、墙十堵。
法曰:置田一亩二分八釐,以亩法二四通之,得三百零七步二分为实,以纵多二堵共一十六尺,以五归之,得三步二分为纵方,以平方带纵法除之,得阔一十六步,加三步二分,得长一十九步二分,各以一步六分除之,得墙一十二堵。合问。
解法:纵多二堵共一十六尺,以五归之,即每尺为二分也,各以一步六分除之,即每堵八尺也。
系羊问索歌

旷野之地有个桩,桩上系著一腔羊。团团踏破三亩二,试问羊绳几丈长。
答曰:绳长八尺。
法曰:此乃平圆之法,置地三亩二分,以亩法二四通之得七百六十八步,以四因三,归之得一千零二十四步为实,以开平方法除之,初商三十,自乘得九百,除实馀一百二十四步。另以右位初商三十,倍作六十,次商二步于左,下法亦置二步于倍商六十之次,皆与左次商相呼二六,除一百二十,又呼二二除四步,恰尽得。三十二步乃地之全径,折半得一十六步为羊所系桩处,再以每步五尺乘之,得八十尺为羊绳长。合问。
西江月

今有酒坛一垛,共积一百六十。下长多广整七枚,广少上长三只。堆积槽坊园内,上下长广难知。烦公仔细用心机,借问各该有几。
答曰:上长八个、下长十二个、上广一个、下广
堆垛坛

五个。
法曰:置积一百六十以六乘之,得九百六十为实,倍多广七个,得一十四个,加上长三个,共一十七个为纵方。再加上长三个,共二十个为纵廉,以

三为隅算,用开立方法除之,上商五个,下法亦置五个,自乘得二十五个,又以隅三乘之,得七十五个为隅法。又以五乘纵廉二十,得一百,以方廉隅三法,共得一百九十二,皆与上商五除实,尽得下广五个,加多七个,为下长,加多三个,为上长。合问。


红桃一垛积难知,共该六百八十枚。三角垛来尖上一,每面底子几何为。
答曰:底子一十五个。法曰:置果积六百八十,以六因之,得四千零八十个为实,以二为纵方,三为纵廉,以开立方法除之,初商一十于左,下法亦置一十于右,自乘得一百,为隅法又以上商一十,乘纵廉三,得三十,并方二隅一百,共一百三十二,皆与上商一十,相呼除实一千三百二十,馀实二千七百六十,乃二乘纵廉三十,得六十,以三乘隅法一百,得三百,皆并入纵方二,共三百六十二为方法。下法再置上商一十,以三因,得三十,加入纵廉三,共三十三为廉法,次商五,下法亦置五自乘得二十五为隅法,又次商五乘廉三十三,得一百六十五,并方三百六十二廉一百六十五隅二十五,三法共五百五十二,皆与上商五相呼,除实尽得底脚一十五个。合问。
商功五


穿渠二十九里程,再加一百四步零。上广一丈二尺六,下广八足丈八深,每日一夫三百尺,问该夫数雇工兴。
答曰:三万二千五百八十人不尽,二百八十八尺。法曰:置二十九里,以每里三百六十步乘之,得一万零四百四十步,加零一百零四步,共一万零五百四十四步,以每步五尺乘之,得五万二千七百二十尺为长积,另并上下广二丈零六寸,折半得一丈零三寸,以深一丈八尺乘之,得一百八十五尺四寸以乘长积,得九百七十七万四千二百八十八尺为实,以每人日开三百尺为法,除之得三万二千五百八十人不尽,二百八十八尺不彀一人一日。合问。
西江月

张家三女孝顺,归家频望勤劳。东村大女隔三朝,五日西村女到。小女南乡路远,依然七日一遭。何朝齐至饮香醪,请问英贤回报。
答曰:一百零五日同到相会。
法曰:以三朝五日相乘,得一十五,再以七日乘之,得一百零五日。合问。


今有四人来做工,八日工价九钱银。二十四人做半月,试问工钱该几分。
答曰:一十两零一钱二分五釐。
法曰:置二十四人,以一十五日乘之,得三百六十。又以银九钱因之,得三百二十四两为实,以四人乘八日,得三十二日为法除之。合问。
均输六
粒米求程歌

庐山山高八十里,山峰峰上一黍米,黍米一转止三分,几转转到山脚底。
答曰:四百八十万转。
法曰:置山高八十里,以每里三百六十步乘之,得三万八千八百步,以每步五十寸乘之,得一百四十四万寸为实,以米转三分为法除之。合问。
排鱼求数歌

三寸鱼儿九里沟,口尾相衔直到头。试问鱼儿多少数,请君对面说因由。
答曰:五万四千个。
法曰:置九里,以每里三百六十步乘之,得三千二百四十步,以每步五十寸乘之,得一十六万二千寸,以每鱼长三寸,为法除之,得鱼数。合问。
推车问里歌

一人推车忙且苦,半径轮该尺九五。一日推转二万遭,问君里数如何数。
答曰:一百三十里
法曰:置半径轮一尺九寸五分,倍之得三尺九寸为全径之数,以周三因之得一百一十七寸为一转之数,却以二万遭乘之,得二百三十四万寸为实,另以每里三百六十步,每步五尺计五十寸,乘之得一万八千寸为法除之。合问。
迟疾求平〈调寄西江月〉

甲乙同时起步,其中甲快乙迟。甲行百步且交立,乙才六十步矣。使乙先行百步,甲行起步方追。不知几步方追及,算得扬名说你。答曰:二百五十步。
法曰:置甲行百步乘先行百步,得一万步为实,另以甲行百步减乙行六十步,馀四十步,为法除之。合问。
行程问日歌

三藏西天去取经,一去十万八千程。每日常行七十五,问君几日得回程。
答曰:一千四百四十日、计四年。
法曰:置一十万零八千里,以每日行七十五里为法,除之得日数,再以三百六十日除之,得年数。合问。


当年苏武去北边,不知去了几周年。分明记得天边月,二百三十五番圆。答曰:一十九年。
法曰:置月圆二百三十五番,以每年十二月除之,得一十九年不尽,七月乃是闰月。合问。


昨日街头干事毕,闲来税局门前立。见一客持三百布,每匹必须税二尺。贴回铜钱六百文,收布一十五半匹。不知每匹卖几何,只言每匹长四十。
答曰:一贯二百文。
法曰:置布三百匹,以税二尺乘之,得六百尺,另以收布一十五匹半,以匹法四十尺乘之,得六百二十尺。以减该税六百尺,馀得多税二十尺为法,以贴回钱。六百文为实。以法除之,得每尺价三十文,以乘每匹长四十尺,得每匹价一贯二百文。合问。
鸡兔同笼一条,前均输章,内已载,故不重述。
鹧鸪天

三足团鱼六眼龟,共同山下一深池。九十三足乱浮水,一百二眼将人窥。或出没,往东西,倚栏观看不能知。有人算得无差错,好酒重斟赠数杯。
答曰:团鱼一十五个、龟一十二个。
解曰:以团鱼〈三足二眼〉〈四足共九十三足六眼共一百二眼〉此乃托比兴也。

法曰:置〈三足二眼〉〈四足六眼〉〈九十三足一百二眼〉互乘,先以三足六眼乘,得一十八,以四足二眼乘,得八,以少减多馀一十为法,又以六眼乘九十三足,得五百五十八,又以四足乘一百二眼,得四百零八,以少减多馀一百五十为实,以法除之得团鱼一十五个,以三足乘之,得足四十五,以减总足馀四十八足,以龟四足除之,得龟一十二个。合问。
西江月

甲乙闻说牧放,二人暗里参详。甲云得乙九个羊,多你一倍之上。乙说得甲九只,两家之数相当。二边闲坐恼心肠,画地算了半晌。
答曰:甲六十三只、乙四十五只。
解曰:甲云借乙九只,共七十二,乙借与甲九仍三十六,故曰甲多乙一倍,乙云借甲九只共五十四,甲仍五十四,故云相当。

法曰:甲羊添乙羊九个,多乙羊一倍者为二十分,却减借乙羊九个为一分,净一十九分,另以乙羊添甲九个两家相当者为十分,内减借甲九个为一分,净得九分,置甲一十九分,以九乘之,得一百七十一,又以乙九分,以九乘之,得八十一,相减馀九十,折半得乙羊四十五只,又以甲一百七十一,内减乙羊四十五,馀一百二十六,折半得甲羊六十三只。合问。〈原法置甲七分乙五分各以九乘之亦得〉
凤栖梧

甲赶群羊逐草茂,乙拽肥羊一只随其后。戏问甲及一百否,甲云所说无差谬。若得这般一群凑,再添半群小半群。得你一只来方凑,元机奥妙谁参透。答曰:甲羊三十六只。
解题:甲原羊三十六只为一群,借一群亦三十六只,再借半群一十八只,又借小半群九只,又凑一只共百只也。

法曰:置羊一百只,减乙羊一只,馀九十九只为实。并群率原一群,又一群再凑,得半群即五分小半群,即二分半共二群七分半为法,除之得甲原羊一群三十六只。合问。


今有程途二千七,十八人骑马七匹。言定十里轮转骑,各人骑行怎得知。
答曰:人行一千六百五十里、骑马一千零五十里。法曰:置程途二千七百里为实,以一十八人为法除之,得每人一百五十里,以马七匹乘之,得骑马一千零五十里,以减程途里数,馀得人行一千六百五十里。合问。


三人二日四升七,一十三口要粮吃。一年三百六十日,借问该粮几多食。
答曰:三十六石六斗六升。
法曰:置今吃粮三百六十日以乘一十三口,得四千六百八十。又以原吃粮四升七合乘之,得二百一十九石九斗六升为实。以原三人乘二日,得六为法除之。合问。


诸葛统领八员将,每将又分八个营。每营里面排八阵,每阵先锋有八人。每人旗头俱八个,每个旗头八队成。每队更该八个甲,每个甲头八个兵。
答曰:一千九百一十七万三千三百八十五人。法曰:置总兵一以八因之,得将八员。又八因,得营六十四。又八因,得阵五百一十二。又八因,得先锋四千零九十六人。又八因,得旗头三万二千七百六十八人。又八因,得队长二十六万二千一百四十四人。又八因,得甲二百零九万七千一百五十二人。又八因,得兵一千六百七十七万七千二百一十六人。除营阵不作数,其总兵、将、先锋、旗队、甲兵并之。合问。
马杰曰:以八八相因得六十四,自乘得数,又自乘得数,加总兵一,共得一千六百七十七万七千二百一十七人。 予据杰变用此法差数二百馀万,改正之误也。

比如有钱一文,每日生利八文。问八日该生利,并本一文,问共若干。
答曰:一千六百七十七万七千二百一十七文。法曰:置初日利八文自乘,得六十四文,又以六十四文自乘,得四千零九十六文,又以四千零九十六自乘,得一千六百七十七万七千二百一十六文,加本钱一文。合问。
前诸葛统兵一问,出吴氏九章。因杰改正数差,反为不正。故设此问,以明上意。


一条竿子一条索,索比竿子长一托,折回索子却量竿,却比竿子短一托。
答曰:竿长一丈五尺、索长二丈。
法曰:置倍短一托,得二托,并长一托,得竿三托,加长一托,得索长四托,各以每托长五尺乘之合问。
盈朒七


隔墙听得客分银,不知人数不知银。七两分之多四两,九两分之少半斤。
答曰:六人,银四十六两。
法曰:置盈不足以分七两,互乘少八两,得五十六两。另以分九两,互乘多四两,得三十六两。并之得九十二两为实。又以九两七两相减馀二两,为法除实得银四十六两,以多四两、少八两,并得一十二两,为人实,以法二除之,得六人。合问。
浪淘沙

昨日独看瓜,因事来家,牧童盗去眼昏花。信步庙东墙外过,听得争差。十三俱分咱,十五增加,每人十六少十八。借问人瓜各有,几何先答。
答曰:一十一人,瓜一百五十八个。
法曰:并盈十五不足十八,得三十三为实,以各十三、十六相减,馀三为法除之,得十一,以各得十六乘之,得一百七十六减不足十八,馀得瓜数。合问。


我问开店李三公,众客都来到店中。一房七客多七客,一房九客一房空。
答曰:房八间、客六十三人。
法曰:置盈七客,以一房空九人乘之,得六十三,以九客乘多七客,得六十三,并之得一百二十六为实,以盈七客与不足九客相减馀二,为法除之得六十三人,以减去多七客馀五十六人,以每房七客除之,得房八间。合问。
西江月

几个牧童闹耍,张家园内偷瓜。将来林下共分挐,三人七枚便罢。分讫剩馀一个,内有同人兜搭。四人九个又分挐,又馀两个厮打。
答曰:一十二人、瓜二十九个。
法曰:置两盈〈四人 三人〉〈九个 七个〉三人乘九个,得二十七。四人乘七个得二十八个,并之得五十五个,加两盈数三个,共五十八个,折半得瓜二十九个,以三四相乘得一十二人。合问。


牧童分杏各争竞,不知人数不知杏。三人五个多十枚,四人八枚两个剩。
答曰:二十四人、杏五十枚。
法曰:置两盈以三人互乘八枚得二十四,以四人互乘五个得二十,以少减多馀四为法,又以三人四人相乘,得一十二为实,却以多十枚减,剩二个馀八枚为法,乘得九十六为实,又以前法四除之得二十四人,另以盈一十乘二十四,得二百四十人,盈二乘二十得四十,以少减多,馀二百为杏实以法四除之,得杏五十枚。合问。


今有粮长犒劳夫,不分老幼唱名呼,每人七个少三个,五个却少四十五。
答曰:二十一人、钱一百五十文。
法曰:置两不足〈七文五文〉〈少三个少四十五个〉,两不足相减馀四十二为实两分,率七文五文相减馀二文为法,除实四十二,得二十一,却以人分七文乘之,得一百四十七,加不足三,得钱。合问。


林下收童闹如簇,不知人数不知竹。每人六竿多十四,每人八竿恰齐足。
答曰:七人、竹五十六竿。法曰:置盈适足以多十四为实以分,六竿八竿相减馀二为法,除之得七人。以适足八竿乘之,得竹五十六竿。合问。


隔墙听得客分绫,不知绫数不知人。每人六疋少六疋,每人四疋恰相停。
答曰:三人、绫一十二疋。
法曰:置〈不足适足〉以不足六疋为实以分绫,六疋四疋相减馀二为法,除之得三人。以适足四疋乘之得绫一十二疋。合问。


今携一壶酒,游春郊外走。逢朋添一倍,入店饮斗九。相逄三处店,饮尽壶中酒,试问能算士,如何知原有。答曰:原酒一斗六升六合二勺五抄。
法曰:置三处倍饮列一倍,二二倍四,并之得七率为法以乘一斗九升,得一石三斗三升,折半三遭得原酒。合问。
又法:置一斗九升,并倍酒率七乘之为实,另以倍酒率七加原酒率一共得八为法除之亦得。 若要知三处饮尽者,置原酒一斗六升六合二勺五抄倍之,得三斗三升二合五勺,除第一处饮酒一斗九升馀一斗四升二合五勺,又倍之得二斗八升五合,除第二处饮一斗九升,馀九升五合,倍之得一斗九升,是第三处饮尽也。
原吴氏用盈不足法,今因其繁冗故不录。


昨日沽酒探亲朋,路远迢遥有四程,行过一程添一倍,却被安童盗六升,行到亲家门里面,半点全无在酒瓶,借问高明能算者,几何原酒要分明。
答曰:原酒五升六合二勺五抄。
法曰:置四处倍饮列〈一倍二 二倍四 四倍八〉并,之得一十五率为法乘盗六升,得九斗,折半四遭得原酒五升六合二勺五抄。合问。
又法:置盗六升以并倍酒率十五,乘之得九升为实,以倍酒率十五加原酒,一共十六为法除之亦得。若以原酒倍饮四次,即知酒尽也。
西江月

待客携壶沽酒,不知壶内金波。逢人添倍又相和,共饮斗半方可。添饮还经五处,壶中酒尽无多。要知原酒无差讹,甚么法儿方可。
答曰:原酒一斗四升五合三勺一抄二撮五圭。法曰:置五处恰饮列〈一 二 四 八 十六〉并之得三十一,为法以乘一斗五升,得四石六斗五升,折半五遭即得原酒数。
又法:置饮一斗五升以并倍酒率三十一,乘之得四石六斗五升为实,以倍酒率三十一加原酒率,一共三十二为法除之亦得。 若以原酒倍之,除饮去一斗五升,馀倍五次,得四斗五升,即知酒尽也。


本利年年倍,债主催速还。一年取五斗,三年本利完。答曰:原本四斗三升七合五勺。
法曰:置三年本利平列,〈一倍二 二倍四〉共七率乘五斗,得三石五斗,折半三遭。合问。
又法:置五斗以七乘,八除,亦得。
已前五款,原用盈不足法,因繁冗,删去不录。
鹧鸪天

百兔纵横走入营,几多男女𩰚来争。一人一个难拿尽,四只三人始得停。来往聚闹纵横,各人捉得往家行。英贤如果能明算,多少人家甚法评。
答曰:七十五人。
法曰:置百兔为实以四只归之,得二十五,却以三人因之。合问。
自前问三处四处五处倍饮,并三年倍利还债俱是原本一。初倍得利一,又倍得利二,再倍得利四,并其倍利倍饮,乘饮酒为实。另以倍利加原本一为法除之,得原本原酒也。
方程八


今有布绢三十疋,共卖价钞五百七。四疋绢价九十贯,三疋布价该五十。欲问绢布各几何,价钞各该分端的。若人算得无差讹,堪把芳名题郡邑。
答曰:绢一十二疋该钞二百七十贯、布一十八疋,该钞三百贯。
法曰:列所问数
〈九十〉为法 价〈五十〉 共〈五百七十〉
〈四疋〉 〈三疋〉〈二百七十〉 共〈三十疋〉〈二千七百〉先以右行价九十贯为法,遍乘左行中下得数,却以左行绢四为法复遍乘右行中价五十,得二百减左行二百七十,馀七十为法又以左四遍乘右行下,共价五百七十,得二千二百八十,减左行二千七百,馀四百二十为实以法除之,得六为错综之数,以布三疋乘之得布一十八疋,以减总绢布三十疋馀得绢一十二疋,布十八以价五十乘之,得九百贯,以三疋除之,得三百贯,绢十二以绢四疋除之,得三,以价九十贯乘之,得二百七十贯。合问。
西江月

甲借乙家七砚,还他三管毛锥。贴钱四百整八十,恰好齐同了毕。丙却借乙九笔,还他三个端溪。一百八十贴乙齐,二色价该各几。
答曰:笔价五十文、砚价九十文。
法曰:列所问数
先以右行砚正七为法,遍乘左行中下得数,却以左行砚正三为法,复遍乘右行中笔负三得九。同减左行笔负六十三,馀得笔负五十四为法,价正四百八十得正一千四百四十,异加左行价负一千二百六十,共得二千七百为实,以法除之得笔价五十文,右行价正四百八十,里加笔负三价一百五十,共得六百三十。以砚七除之,得砚价九十文。合问。
西江月

七钏九钗成器,钏子分两重多。九两四钱是相和,仔细与公说过。二物相交一只,秤之适等无那。不能算得是喽啰,二人却来问我。
答曰:钏一只重七钱、钗一只重五钱。
法曰:此问七钏九钗共金九两四钱,交易其一,秤之适等,乃六钏一钗重四两七钱,八钗一钏重四两七钱,排列〈六钏 一钗 重四两七钱 一钗 八钏 重四两七钱〉先以右行六钏为法,遍乘左行中下,得数钏四十八重二十八两二钱,次以左行一钗为法,遍乘右行中一钗,得一减左行四十八,馀四十七为法下重四两七钱,得四两七钱,减左行二十八两二钱,馀二十三两五钱为实,以法除之得钗重五钱,右行重四两七钱,减一钗重五钱,馀四两二钱,以钏六只除之,得钏重七钱。合问。
西江月

甲乙二人沽酒,不知谁少谁多。乙钞少半甲相和,二百无零堪可。乙得甲钱中半,亦然二百无那。英贤算得的无讹,将甚法儿方可。
答曰:甲钱一百六十文、乙钱一百二十文。
法曰:列所问数〈甲二八一百六十 乙三四一百二十〉〈甲二分之一钱二百 乙三分之一钱二百〉先以二分互乘二百,得四百,次以三分互乘二百,得六百,以少减多,馀二百为实。以甲二分乙三分并之,得五分为法除之,得四十,以乙三乘之,得乙该钱一百二十文,以减原钱二百,馀八十,以甲二分乘之,得甲该钱一百六十文。合问。
解曰:甲借一半凑乙,乃八十并之为二百也。
句股九
西江月

田中有一枯柱,丈六全没枝梢。尖头一马系难牢,吃尽田中禾稻。四分五釐田地,团团吃一周遭。索长几许算偿招,不算难赔多少。
答曰:三丈四尺。
法曰:此为句股求弦。置四分五釐,以亩法二百四十通之,得一百零八步,四因得四百三十一用三,归之得一百四十四。为实以开平方法除之,上商一十,自乘得一百,除实馀实四十四步以,初商一十倍作二十为方法。次商二步呼二二除四十,又呼二二除四步恰尽,得一十二步为全径步,折半得六步,乃枯柱系马之处,以每步五尺乘之得三十尺为股。自乘得九百尺另以一十六尺为句。自乘得二百五十六尺,并之得一千一百五十六为实,以平方开之,初商三十自乘,得九百,除实馀实二百五十六,以初商三十倍作六十为方法,次商四尺呼四六除二百四十,又呼四四除一十六恰尽,得三十四尺为索长。合问。


二丈木长三尺围,葛生其下绕缠之。徐徐缠绕七周遍,葛梢却与木梢齐。试问高明能算者,葛长多少请君题。
答曰:二丈九尺。
法曰:置木围三尺与周七相乘,得二十一为股。自乘得四百四十一尺,以木长二十足为句,自乘得四百尺,并之得八百四十一尺为实,用开平方法除之,得二丈九尺。合问。
西江月

三月清明节气,蒙童𩰚放风筝。托量九十五尺绳,被风括起空中。量得上下相应,七十六尺无零。纵横甚法问先生,算之多少为平。
答曰:五十七尺。
法曰:此弦股求句法也。以绳斜长九十五尺如弦自乘,得九千零二十五尺,又绳头量至风筝上下相应七十六尺,如股自乘,得五千七百七十六尺,以减弦积,馀三千二百四十九尺为实,以开平方法除之,得句五十七尺为高。合问。


池河八分下钓钩,鱼吞水底是根由。钩绳五十岸齐并,使尽机关无法筹。纵横源流虽辨认,水深几尺数难求。
答曰:水深三十尺。
法曰:置圆池八分以亩法二四通之,得一百九十二步,以四因三归得圆积二百五十六步为实,以开平方法除之得圆池径一十六步,折半得八步,以每步五尺乘之,得池半面。如股四十尺自乘得一千六百尺、钩绳五十尺,如弦自乘得二千五百尺,相减馀九百尺为实,以开平方法除之,得水深三十足为句。合问。
西江月

今有坡田一段,西高东下曾量。十步五寸是斜长,南北均阔六丈。欲要修为平壤,东增一丈新墙。不知几许请推详,平阔须教相当。
答曰:得平地四分九釐五毫、阔九步九分。
法曰:此如句弦求股。置斜弦十步,以每步五尺乘之,得五十尺,加零五寸自乘,得二千五百五十尺零二寸五分,以减句墙一十尺自乘,得一百尺,馀二千四百五十足零二寸五分为实,以开平方法除之,得股四丈九尺五寸,以步法五尺除之,得阔九步九分以乘,南北均阔一十二步,得平地一百一十八步八分,以亩法二四除之。合问〈南北均阔一十二步即六丈也〉


八尺为股六尺句,内容圆径怎生求。有人识得如斯妙,算学方为第一筹。
答曰:内容圆径四尺。
法曰:置句六尺以股八尺相乘,得四十八尺,倍之得九十六尺为实。另以句六尺自乘,得三十六尺,以股八尺自乘,得六十四尺,相并得一百尺。以开平方法除之,得弦一十尺,加句六尺、股八尺,共二十四尺为法,除实得内容圆径四尺。合问。


六尺为句九尺股,内容方面如何取。有人达得这元机,便是高明算中举。
答曰:内容方面三尺六寸。
法曰:置句六尺,以股九尺乘之,得五十四尺为实,另并句六尺、股九尺共一十五尺为法,除之得内容方面三尺六寸。合问。
西江月

平地鞦韆未起,板绳离地一尺。送行二步恰竿齐,五尺板高离地。才子佳人争蹴,终朝语笑欢戏。良工高士请言知,借问索长有几。
答曰:一丈四尺五寸。
法曰:置送行二步化为十尺,如句自乘得一百尺为实,以股弦较离地五尺减去原离地一尺,馀四尺为法除之得二十五尺,加较四尺共得圆径二十九尺,折半得索长一丈四尺五寸。合问。
西江月

今有方池一所,每边丈二无移。中心蒲长一根肥,出水过于二尺。斜引蒲梢至岸,适然与岸方齐。请君明算更能推,蒲长水深各几。
答曰:蒲长一丈、水深八尺。
法曰:此股弦差也。置半池方六尺,如句自乘得三十六尺,以减股弦较出水二尺自乘,得四尺,馀三十二尺为实,倍出水二尺,得四尺为法除之,得股水深八尺,加出水二尺,即蒲长一丈。合问。
西江月

今有门厅一座,不知门广高低。长竿横进使归室,争奈门狭四尺。随即竖竿过去,亦长二尺无疑。两隅斜去恰方齐,请问三色各几。
答曰:门高八尺、广六尺、竿长一丈。
法曰:置句弦较横阔四,以股弦较竖不出二尺相乘,得八尺,倍之得一十六尺,为弦和较积用开平方法除之,得弦和四尺加股弦较二尺,得六尺为句,即门广,另以弦和较四尺倍之,得八尺为股,即门高,又以句六尺加句较四尺,得竿长即斜一丈。合问。
一法:置门广如句以多四尺为句弦,较门高如股以多二尺为股弦,较二数相乘,得八尺,倍之,得一十六尺,以平方法除之,得四尺即弦和较,加多竖之二尺,得门广六尺,加多广之四尺,得门高八尺,全加多广多竖共六尺,得竿长即门斜十尺也。




钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百二十五卷目录

 算法部汇考十七
  算法统宗十三〈难题三〉

历法典第一百二十五卷

算法部汇考十七

《算法统宗十三》难题三〈以下系杂法〉

金蝉脱壳〈又名乘除易会算诀〉
因乘歌

起双下加倍,见一只还原。倍一挨身下,馀皆隔位迁。
此法不用乘除,只以此歌二十字代之。

假如有米三石五斗,每斗价银七分。问:该银若干。答曰:二两四钱五分。
法曰:置米三石五斗为实,将斗价七分为原法。另将七分倍之,得一钱四分为倍法,先于实末位五斗上呼起双下加倍。起了二斗,挨身下一钱。次位下四分再起二斗,挨身下一钱四分。却呼见一只还原。起了一斗隔位下七分,次于三石上呼起双下加倍。起了二石挨身下一两,次位下四钱,却呼见一只还原。起了一石隔位下七钱,该得二两四钱五分。合问。假如棉布五十七匹,每匹价银二钱五分。问:该银若干。
答曰:一十四两二钱五分。
法曰:置布五十七匹为实,以每匹价二钱五分为原法,另以二钱五分倍作五钱为倍法。先于末位七匹内起了三个二匹,挨身下三个五钱。又起了一匹,又挨身下二钱五分,次于五十匹。内起二个二十匹,挨身下二个五两。又起了一十匹,挨身下二两五钱。共该得一十四两二钱五分。合问。
前算米之法,价是分倍为钱,则倍数挨身下,原数隔位下。 此算布之法,价是钱倍亦是钱,则倍数原数俱挨身下,馀仿此。
九归并除歌

加双下除倍,加一下除原。倍一挨身除,馀皆隔位迁。假如有钱二千二百五十文,给军九十名。问:每名该若干。
答曰:每名二十五文。
法曰:置钱二千二百五十文为实,以军九十名为原数,另以九十倍之,得一百八十名为倍数。先于二千前挨身,呼加双下除倍。除实一千八百,馀实四百五十。次于馀实四百前呼加双下除倍,除实一百八十。又呼加双下除倍,再呼加一下除原九十,恰尽。得每名该钱二十五文。合问。
今有香油四百二十斤,每油七斤半换芝麻一斗。问:芝麻若干。
答曰:芝麻五石六斗。
法曰:置油四百二十斤为实,以七斤半为原数,另以七斤半倍之,得一十五斤为倍数。先于四百前加二个双,除二个一百五十斤,又加一除七十五斤。次于原二十斤前加三个双,除三个一十五斤,得芝麻五石六斗。合问。
二句字诀歌

有除隔位进,无除挨身进。
隔一位除者,只用一原法,而无倍折数也。但因乘从实尾位起,除一隔一位,而加原法数也。归除则从实前过一位起,亦隔一位而除原法数也。推除实尽,方是得数。
按金蝉脱壳并此二句字诀,布算繁叠,只是小智之术,蠢子顽儿之数。若遇开方等,法则不能施,又不如乘除简易。此小智之术,不学可也。
写算歌〈即铺地锦〉

写算铺地锦为奇,不用算盘数可知。法实相呼小九数,格行写数莫差池。记零十进于前位,逐位数数亦如之。照式画图代乘法,釐毫丝忽不须疑。
今有布二十三疋,每疋价银五钱六分五釐。问:该银若干。
答曰:一十二两九钱九分五釐。
法曰:先画格眼图。置布二十三疋填于图上,横写为实,再将五钱六分五釐为法,于右图外直写。法实相呼填写格内。先从末行起依次相乘,逆上至实首止。得数从下右边小数起,亦是逆升向前,自下而上。合
问。
因乘图

今有绢四百三十五疋,每疋价钞五千六百七十八
文。问:该钞若干。
答曰:二百四十六万九千九百三十文。
又因乘图又因乘图

法曰:先画格眼。将绢数为实,于上横写。以每疋钞数于右,直写为法。法实相呼,填写格内。先从末行起依次相乘,逆上至实首止。得数从下右边小数起,亦是逆升向前,遇十进上。合问。
已上二款,名曰写乘格如楼梯。
已下二问,名曰写除图式,与前不同,今列于左。

今有银九十四两五钱,买绢七十疋。问:每疋价若干。答曰:一两三钱五分。
法曰:先画图式。置银数于内为实,次将绢七十于右为法,归之。合问。
每一图自中心起,从下旋左而前,至右而止。
归除图归除图

今有银一千二百三十三两,买绫四十五疋。问:每疋价银若干。
答曰:二两七钱四分。
法曰:图依前式。置银为实,以绫四十五疋为法,除之。
旧法九位图


旧法以九归。归除减法俱列九位。置九图如河图方攒。凡数有九位者少。常虚设其位者多。今变立归除二图于右直排。不论几位皆可用也。而无虚设位矣。旧法以九归。归除减法俱列九位。置九图如河图方攒。凡数有九位者少。常虚设其位者多。今变立归除二图于右直排。不论几位皆可用也。而无虚设位矣。
一笔锦


巧算一笔锦为奇,不用算盘数可知。垛积合总乘除法,各行写数莫差池。但看直行末后数,逐位合数似走之。照式用心明其理,釐毫丝忽不须疑。
法曰:照算盘定位,布列行数用暗马直下。但丨上可加一画者。加之如,不能加者须另画
马。若本行退尽无存者,用一小圈隔之以别溷数。如俱完毕,只看各行末后之数。自左至右,犹似走之是也。
垛积合总

假如今有银一两二钱三分,又二两六钱四分,又三两八钱五分,又四两九钱二分。问:四共若干。
答曰:一十二两六钱四分。
法曰:先以一两二钱三分列为三行,从左起依次增加,逐位而下。
垛积合总

又式。

假如照前问数:
〔参考页面图〕
因法式

假如今有米三十六石五斗,每石价银四钱。问:该银若干。
答曰:一十四两六钱。
法曰:置米于左列为三行。以价四钱于右为法,因之。呼四五得二十、四六二十四、三四一十二。 此三句乃总呼之法,后分三行用之。
因法式

还原用四归
归法式

假如前银一十四两六钱,籴米每石价四钱。问:该米若干。答曰:三十六石五斗。
法曰:置总银于左为实,列为三行。以每石价银四钱于右为法,归之。呼四一二十二、逢四进一十、四二添作五、逢四进一十、四二添作五。 此五句后分三行用。
归法式

乘法式

假如今有米五十三石二斗,每石六钱四分。问:该银若干。
答曰:三十四两零四分八釐。
法曰:置米于左,列为三行。以价六钱四分于右为法,乘之。呼二四如八、二六一十二、三四一十二、
三六一十八、四五得二、五六得三。 此六句总呼之法,后分五行用之。
乘法式

除法式

假如今有银一千二百三十三两,买绫四十五疋。问:每疋该价若干。
答曰:二两七钱四分。
法曰:置银于左,列为四行。以绫四十五疋于右为法,除之。呼四一二十二、二五除一十、四三七十二、
五七除三十五、四一二十二、逢八进二十、

四五除二十尽。 此七句亦总呼之法,后分作四行用。
河图纵横图缺缺歌曰:
纵横十五人能晓,天下科差掌上观。万中千坎百归艮,十震两巽钱离安。分坤釐兑毫乾上,河图千载再重看。免用算盘并算子,乘除加减总不难。

自古有河图纵横十五数,今以此数九位为算。先熟记其位数:坎一坤二震三巽四中五乾六兑七艮八离九。次书其图形布排。运用乘除,不用算盘并无差误。依前排列,九图为万千百十两钱分釐毫,用钱九个。若遇开方,只动分图上一个钱。其九个即是九位也。 若实数位少,只用三四图即得。
右上一图相生,为九定式于左。

其左九图,其中有图上一圈者四,乃是各色总物之数也。有图上三圈者五,乃临时遇物而呼,以别分类之不同也。
纵横定位分别九图缺
今有人支银四钱五分,又支三钱四分,又支三两五钱。问:共该若干。
答曰:四两二钱九分。
法曰:置九图。先呼四钱五分,将铜钱置钱图巽四上,次将五分置分图中五上。又呼三钱四分。将钱图巽四移在兑七。仍四分于分图,内起中五移在离九上。再呼三两五钱,置两图内震三上。却将五钱在于钱图内,兑七去五,移在坤二上。进一于两图内震三,移在巽四。共得四两二钱九分。合问。
今有米五百七十六石,每石价银三钱。问:共该银若干。
答曰:一百七十二两八钱。
法曰:置米五百七十六石于图中为实,以每石三钱为法,因之。
乾  〈三六一十八 将乾六移在坎一 却于斗图下艮八定位八钱〉兑  〈三七二十一 将兑七移在坤二 却将石图坎一移在坤二〉中  〈三五一十五 将中五移在坎一 却将十图坤二改作兑七〉今有丝六十八两,每两价钞四百六十文。问:该钞若干。
答曰:三十一贯二百八十文。
法曰:置丝总数于图为实,以每两价钞数为法,乘之。
〈六八四十八,将次位下巽四,入次位下艮八。〉

艮  〈四八三十二,将艮八移在震三,又将次位巽四改作乾六。
六六三十六,将次位震三移在乾六,却将下位乾六加六退四,移在坤二进一加于前乾六共七,移在兑位。

乾  〈四六二十四,将乾六移在坤二,却将下位兑七加四退六,移在坎一。
进一加于前坤二共三移在震位。

今有银一百七十二两八钱,籴米,每石价银三钱。问:该米若干。
答曰:五百七十六石。
法曰:置银于图中为实,以每石价三钱为法,归之。艮  〈逢九进三十,将离九除尽进三十加于前震三共六移在乾位。〉坤  〈三一三十一,将坎一加二移在震三却于下位艮八加一移在离九。 逢三进一十,将巽四除三移在坎一却于前位乾六加进一移在兑七。〉兑  〈三二六十二,将坤二加四移在乾六却于下位坤二加二移在巽四。 逢六进二十,将艮八除六移在坤二却于前位震三加进二移在中五。〉坎  〈三一三十一,将坎一移在震三又将下位兑七移在艮八。〉今有钞二十三贯九百二十文,每钞四百六十文,买丝一两。问:共丝若干。
答曰:五十二两。
法曰:置钞于图中为实,以每两钞四百六十文为法,归之。

离  〈二六除一十一,将本位坎一除去更于下位坤二亦除尽。 逢八进二十,将离九除八移在坎一进二加于前坤二上。〉震  〈五六除三十,除去震三尽。〉
坤  〈四二添作五,将坤二移在中五。〉
一掌金定位图一掌金定位图

左手
右图以九数置于左手,列为三行。每指左边逆上一二三,中间顺下四五六,右边逆上七八九。以五指而定位数。大指为百。二指为十。中指为两。四指为钱。五指为分,或数大小亦可权变。算时暗于袖中,用左右两手五指,各指配合相对照。每指上定数一二三,右指尖在左指左旁四五六,右指尖在左指中行七八九,右指尖在左指右旁。五指皆同,务记清白。假如左右两手中指掐。若左中指右下为七,错记在四指左为一,此是以前位七而降后位一。数差误非小,宜谨慎之。如遇位数多者,二足底亦当二位。平立为五,平指欹前为四,平跟欹后为六,侧于东南为三,侧于西南为九,欹于东北为一,欹于西北为七。学者须依暗读熟记,自然惯便,不拘乘除皆可用也。
〈即四四图〉
花十六图

阳数
阴数

右易换术曰:以十六子依阳图作四行排列。先将外四用对换,一换十六,四换十三。次将内四角对换,六换十一,七换十。只以内外四角换毕,横直斜角皆积三十四数。
求积法曰:以上西南一,下东北十六两角,共十七。以十六乘之,折半得积一百三十六为实,以四行为法,除之得纵横斜角皆三十四数。
易换术曰:先以十三居中位,周围连中位,各皆三层也,列图于左。
五五图五五图

求积法曰:并上一下,二十五共二十六,以二十五乘之,折半得积三百二十五为实,以五行为法,除之得纵横斜角皆得积六十五数。
解曰:并上下数者,非图中之上下。一乃数之始为上,二十五乃数之终为下。后皆仿此。
六六图

求积法曰:并上下数,上一下三十六共三十七,以三十六乘之,折半得积六百六十六为实,以六行为法,除之得纵横斜角,皆积一百一十一数。
易换术曰:以一换三十六,俱斜对相取。
七七图

衍数       法曰:并上下数,上一下
四十九共数五十,以四十九乘之,得二千四百五十,折半得一千二百二十五为实,以七行为法,除之得纵横斜角,皆一百七十五数也。
八八图

易数 〈与八阵图数同〉
〈法曰:并上下数上一下六十四共六十五,以六十四乘之得四千一百六十,折半得积二千零八十为实,以八行为法,除之得纵横斜角皆二百六十数,大抵纵横八,八惟纵后行多数九,又横上至下,第三路多数九,不能易换。〉
九九图

法曰:并上下数,上一下八十一共八十二,以八十一乘,折半得积三千三百二十一为实,以九行为法,除之得纵横斜角,皆三百六十九数。
百子图

法曰:并上下数上一下一百共一百零一,以一百乘之,得一万零一百,折半得五千零五十为实,以十行为法,除之得纵横,皆五百零五数,已上图求积皆如堆垛算。
聚五图

二十一子作二十五子用。
五圈各皆得积六十五数。
聚六图

六子回环各积一百一十一数
聚八图

各积一百数二十四子作三十二子用
攒九图缺斜直周围并中九各积一百四十七数


行八子顺流来,遇偶之行逆上排。八八尽将排列毕,把来横取更休猜。〔参考页面图〕,均平八阵显才。一八五三二七六四各行,皆居坎位。
法曰:以一三五七之行为,以二四六八之行为偶,却以六十四子依上顺逆排毕,然后横取上层排于次阵,先以第一行一居北,次以八行六四居东北,又以五行三十三居东,又以三行十七居东南,又以二
八阵图

行十六居南,又以七行四九居西南,又以六行四八居西,又以四行三二居北,至第二层俱依此法排之,则八阵自然均平,各积数二百六十,以小辅大而无强弱不齐之数也。
又八阵图

如截坎之东四子,艮之西四子,亦成一阵之积,凡两阵各取半面四子积一百三十,合而俱成一阵,共积二百六十数也。
求积法见易数图内。
连环图连环图

求积法曰:并上一下七十二共七十三,以七十二乘之得五千二百五十六,折半得二千六百二十八为实,以九为法,除之得每环八子为一阵,各一百九十二子,多寡相资邻壁相,兼以九阵化一十三阵,此见运用之道也。
黄钟 五音相生歌

黄钟九九起宫音,循此三分损一寻。六九逢之生徵火,三分益一属商金。商居八九还生羽,羽水传流六八侵。复以三分而益一,角音八八妙通神。
五音相生图

三分损一者,乃三分之二也。
三分益一者,乃三分之一也。

法曰:黄钟之管长九寸,以九寸自乘,得八十一寸为宫音,却以八十一以二因之,得一百六十二寸,以三归之得五十四寸,所谓三分损一而生徵火,却以五十四以四因之,得二百一十六,以三归之得七十二寸,所谓三分益一而生商金,却以七十二以二因三而一,得四十八寸而生羽水,复以羽数四十八四因三而一,得六十四而生角木,此乃五音相生之法,多者为尊为浊,少者为平为清。
律吕相生图

律吕相生歌

律吕相生识者稀,黄钟九寸是根基。隔八生阴三损一,阴律生阳益一奇。黄林太蔟皆全寸,馀者通之更不疑。俱用九分乘见积,四时气候配攸宜。
黄钟、太蔟、姑洗、蕤宾、夷则、无射为阳。大吕、夹钟、仲吕、林钟、南吕、应钟为阴。阳吕生阴,三分损一。阴律生阳,三分益一。二因三除为损,四因三归为益。律吕之中,惟黄钟、林钟、太蔟之律,皆得全寸,馀者皆有畤零,不尽之数,以法通之。
黄钟〈属阳〉空围九分律长九寸,以九分因之得积八百一十分,其候冬至。 阳律生阴之法,却以九寸二因之得一十八寸,三归之得长六寸,隔八下生林钟,林钟〈属阴〉空围九分律长六寸,以九分因之得积五百四十分,其候大暑。 阴律生阳之法,却以六寸四因之得二十四寸,三归之得长八寸,隔八下生太蔟。太蔟〈属阳〉空围九分律长八寸,以九分因之得积七百二十分,其候雨水。 阳律生阴之法,却以八寸二因之得一十六寸,三归之得长五寸三分之一,隔八下生南吕。
以上三律皆得全寸,自此以下九律不尽之寸,俱用通法通之。

南吕〈属阴〉律长五寸三分之一,却以分母三通五寸加分子之一,共得一十六寸,以九分因之,以三归之得积四百八十分,其候秋分。 却以通寸一十六,以四因之得六十四寸,另以三因分母三得九为法,归之得七寸九分寸之一,隔八下生姑洗。
姑洗〈属阳〉律长七寸九分寸之一,却以分母九通七寸,加分子之一,共得六十四寸,以空围九分因之,得五千七百六十分,以分母九归之,得积六百四十分,其候谷雨。 却以通寸六十四,以二因之得一百二十八寸,另以三因分母九得二十七为法,除之得四寸二十七分寸之二十,隔八下生应钟。
应钟〈属阴〉律长四寸二十七分寸之二十,却以分母二十七通四寸加分子二十,共得一百二十八寸,以空围九分因之,得一万一千五百二十分,以分母二十七除之不尽一十八分,法实皆九约之,得积四百二十分三分寸之二,其候小雪。 却以通寸一百二十八,以四因之得五百一十二寸,另以三因二十七得八十一为法,除之得六寸八十一分寸之二十六,隔八下生蕤宾。
蕤宾〈属阳〉律长六寸八十一分寸之二十六,却以分母八十一通六寸加分子二十六,共得五百一十二寸,以空围九分因之,得四万六千零八十分,以分母八十一为法,除之不尽七十二分,法实皆以九约之,得积五百六十分九分寸之八,其候夏至。 却以通寸五百一十二,以四因之得二千零四十八寸,另以三因八十一,得二百四十三为法,除之得八寸二百四十三分寸之一百零四,隔八上生大吕。
按蕤宾阳律生阴之法,当用三分损一,如上所云乃三分益一之法,此又不可晓者,抑夏至一阴始生之故欤。
自此以后阴律生阳三分损一,阳律生阴三分益一。

大吕〈属阴〉律长八寸二百四十三分寸之一百零四,却以分母通八寸加分子,共得二千零四十八寸,以九分因之,以分母二百四十三为法除之,不尽一百二十六分,法实皆三约之,得积七百五十八分八十一寸寸之四十二,其候大寒。 却以通寸二千零四十八寸,以二因之,得四千零九十六寸为实,另以三因二百四十三得七百二十九为法,除之得五寸七百二十九分寸之四百五十一,隔八下生夷则。
夷则〈属阳〉律长五寸七百二十九分寸之四百五十一,却以分母通五寸加分子,共得四千零九十六寸,以空围九分因之,得三十六万八千六百四十分为实,以七百二十九为法除之不尽四百一十四分,法实皆九约之,得积五百八十一分寸之四十六,其候处暑。 却以通寸四千零九十六,以四因之得一万六千三百八十四寸,另以三因七百二十九得二千一百八十七为法,除之得七寸二千一百八十七分寸之一千零七十五,隔八上生夹钟。
夹钟〈属阴〉律长七寸二千一百八十七分寸之一千零七十五,却以分母通七寸加分子,共得一万六千三百八十四寸,以空围九分因之,得一百四十七万四千五百六十分,以分母二千一百八十七除之,不尽五百二十二分,法实皆九约之,得积六百七十四分二百四十三分寸之五十八,其候春分。 却以通寸一万六千三百八十四寸,以二因之得三万二千七百六十八寸为实,另以三因二千一百八十七得六千五百六十一为法,除之得四寸六千五百六十一分寸之六千五百二十四,隔八下生无射。
无射〈属阳〉律长四寸六千五百六十一分寸之六千五百二十四,却以分母通四寸加分子,共得三万二千七百六十八寸,以空围九分因之,得二百九十四万九千一百二十分,却以分母六千五百六十一分为法除之,不尽三千二百三十一分,以法命之,得积四百四十九分六千五百六十一分寸之三千二百三十一,其候霜降。 却以通寸三万二千七百六十八寸,以四因之,得一十三万一千零七十二寸,另以三因分母六千五百六十一,得一万九千六百八十三为法除之,得六寸一万九千六百八十三寸之一万二千九百七十四,隔八上生仲吕。
仲吕〈属阴〉律长六寸一万九千六百八十三分寸之一万二千九百七十四,却以分母通六寸加分子,共得一十三万一千零七十二寸,以空围九分因之,得一千一百七十九万六千四百八十分,以分母一万九千六百八十三为法除之,得积五百九十九分一万九千六百八十三分寸之六千三百六十三,其候小满。
统纪历年度分地里
今有一元,统十二会,一会统三十运,一运统十二世,
一世积三十年。问:一元该年若干。
答曰:一十二万九千六百年。
法曰:置十二会,以三十运乘之,得三百六十,又以十二世乘之,得四千三百二十世为实,却以每世三十年为法乘之,得一元共该一十二万九千六百年。合问。
今有周天三百六十五度四分度之一,每度经地二千九百二十里零二十步。问:该里若干。〈出望斗真经注〉答曰:一百零六万六千五百五十里零一百零五步。法曰:置二千九百二十里,以里法三百六十步通之加零二十步,共得一百零五万一千二百二十步,以四而一得二十六万二千八百零五步为法,另置三百六十五度,以四通之,加入分子之一,共得一千四百六十一度为实,以法乘之,得三亿八千三百九十五万八千一百零五步,却以里法三百六十步除之。合问。
袖中定位诀歌

掌中定位法为奇,从寅为主是根基。因乘顺数下回转,归与归除上位施。法多原实逆上数,法少原实降下知。乘除大小从术化,釐毫丝忽不差池。
定位掌图

因乘定位法

假如有田三百一十二亩,每亩科粮四升。问:共该米若干。
答曰:一十二石四斗八升。
法曰:置田亩为实,以每亩粮四升为法,因毕得数莫动,先从寅上定百亩,以卯上得十亩,以辰上得一亩,就以亩下,巳位上得术变升逆回,辰上得斗,卯上得石,寅上即十。合问。
归除定位法
用归法有逢进,故升前一位而得令。

假如有米四百石,每银一两,粜米二石五斗。问:共该价银若干。
答曰:一百六十两。
法曰:置总米为实,以每银粜米二石五斗为法,除之得数莫动,却从寅上起百石,卯上得十石,辰上得石。就以石前卯上定两逆升前,寅上得十两过前一位,丑上即百两也。
假如有米四百石,用船脚银三十两。问:每石该银若干。
答曰:七分五釐。
法曰:置银三十两为实,以米四百石为法,除之得数莫动,此乃法多实少,却从寅上起,原实十逆升上丑位遇法是百止,逆前一位子上得令是两,复转顺下降丑为钱,降寅位即得七分,卯位是五釐也。
孕推男女法


四十九数加孕月,减行年岁定无疑。一除至九多馀数,逢双是女只生儿。
今有孕妇,行年二十八岁,八月有孕。问:所生男女。答曰:生男。
法曰:置四十九加孕月八,共五十七,减年二十八,馀二十九,减天除一地,除二人,除三四时,除四五行,除五六律,除六七星,除七不尽,奇为男偶为女也,〈一三五七九皆奇二四六八十皆偶〉如数多,再以八风除八。
算经源流

宋元丰七年,刊十书入秘书省,又刻于汀州学校:《黄帝九章》 《周髀算经》 《五经算法》 《海岛算经》《孙子算法》 《张丘建算法》 《五曹算法》 《缉古算法》《夏侯阳算法》 《算术拾遗》
元丰绍兴淳熙以来,刊刻者多,且以见闻者著之:《议古根源》 《益古算法》 《证古算法》 《明古算法》《辨古算法》 《明源算法》 《金科算法》 《指南算法》《应用算法》 《曹唐算法》 《贾宪九章》 《通微集》《通机集》  《盘珠算》  《走盘集》  《三元化零歌》《钤经》   《钤释》
嘉定咸淳德祐等年,又刊各书:
《详解黄帝九章》
《详解日用算法》
《乘除通变本末》
《续古摘奇算法》
以上俱出杨辉摘奇内。

《详明算法》
元儒安止斋、何平子,作有乘除而无九章,不备。

《九章通明算法》
明永乐二十二年,临江刘仕隆作九章,而无乘除等法,后作难题三十三款。

《指明算法》
正统己未,江宁夏源泽作,而九章不全。

《九章比类算法》
景泰庚午,钱唐吴氏作,共八本。有乘除,分九章,每章后有难题。其书章类繁乱,差讹者亦多。

《算学通衍》
成化壬辰,京兆刘洪作。

《九章详注算法》
成化戊戌,金陵许荣作,采取吴氏之法。

《九章详通算法》
成化癸卯,鄱阳余进作,采取详明通明法。

《启蒙发明算法》
嘉靖丙戌,福山郑高升作。

《马杰改正算法》
河间吴桥人。嘉靖丙戌作,而无乘除,只改钱唐吴信民法,反正为邪数款。今予辨明图释参校,免误后学。

《句股算术》
嘉靖癸巳,吴兴尚书箬溪顾应祥作,无乘除。

《正明算法》
嘉靖己亥,金台张爵作。

《算理明解》
嘉靖庚子,江西宁都陈必智作。

《重明算法》
《订正算法》
嘉靖庚子,浙东会稽林高作,详解定位。

《测圆海镜》
嘉靖庚戌,学士栾城李冶作,无乘除。

《弧矢弦术》
嘉靖壬子,顾箬溪作,无乘除。

《算林拔萃》
隆庆壬申,宛陵太邑杨溥作。

《一鸿算法》
万历甲申,银邑余楷作。

《庸章算法》
万历戊子,新安朱元浚刊。




钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百二十六卷目录

 算法部汇考十八
  新法历书〈比例规解〉

历法典第一百二十六卷

算法部汇考十八

《新法历书》比例规解〈远西罗雅谷著〉序目

天文历法等学,舍度与数,则授受不能措其辞。故量法、算法、恒相发焉。其法种种,不袭而器。因之各国之法与器,大同小异。如算法之或以书、或以盘珠,吾西国犹以为未尽其妙也。近世设立筹法,似更超越千古。至几何家用法,则筹有所不尽者,而量该之不能不藉以为用。今繇《几何》六卷六题,推显比例规尺一器,其用至广,其法至妙,前诸法器,不能及之。因度用数开阖。其尺以规支度得算最捷,或加减,或乘除,或三率,或开方之面与体,此尺悉能括之。又函表度、倒景、直景、日晷、句股、弦算、五金轻重、诸法及百种技艺,无不赖之。功倍用捷,为造玛得玛,第嘉最近之津梁也。昔在上海,曾为徐宗伯造其尺,而未暇译书。今奉旨修历,兼用敝庠之法。思此小器,为用既广,曷敢秘而不传。第中西文字,绝不相同,倘因艰涩而辍译,是坐令此器不得其用,不甚可惜哉。因草创成书,请教宗伯。此器之倘为用于世也,则润色之,增补之,定有其时而谷之不文,或见亮于天下后世也矣。
论度数者其纲领,有二:一曰量法,一曰算法。所量所算者,其节目有四焉。曰点,曰线,曰面,曰体。总命之曰:《几何之学》。而其法不出于比例,盖比例法又不出于句股。第句股为正方角,而别有等角、斜角。句股不足尽其理。故总名之曰:三角形,此规名比例者,用比例法也。器不越咫尺,而量法、算法,若线、若面、若体、若弧、矢方圆诸法。凡度数所须,该括欲尽,斯亦奇矣。所分诸线,篇中称引之说,特其指要,各有本法。本论未及详焉。若所从出,与其致用,则三角形之比例而已。按《几何原本》六卷四题云:凡等角三角形,其在等角旁之各两腰线,相与为比例必等。而对等角之边,为相似之边。六题云:两三角形之一角等,而对等角旁之各两边比例等,即两形为等角形。而对各相似边之角各等。作者因此二题创为此器。今依左图解之,如


甲乙丙与丁乙戊大小两三角形,同用乙角即为等角,则甲乙与乙丙之比例。若丁乙与乙戊而对等角之边,如甲丙与丁戊为相似之边也,又显两形为等角形,而对各相似边之角各等也。今此规之枢心,即乙角两股、即乙甲乙丙两腰,甲丙为底,即与乙丁戊为等角形,而各相当之各角各边其比例悉等矣。任张翕之,但取大


小两腰,其两底必相似也,或取两底,其两腰必相似也,或取此腰,此底其与彼腰彼底必相似也,以数明之,如甲乙大腰一百,乙丁小腰六十,而设甲丙大底八十,以求小底丁戊,即定尺用规器量取丁戊,为度向平分线。取数必四十八,不烦乘除矣。又如平方积一万,其根一百,求作别方为大方四之三,即以一百为腰,分面线之,

四点为大,底次以三点为小,腰取小底为度向平分线,得八十六半强为小方根。自之约得七千五百为小方,积不烦开平方矣。又如立方积八千,其根二十,求作大方倍元方,即以二十为小底,分体线之一点为小腰,次以二点为大腰,取大底为度于平分线。得二十五半自之,再自之约得一万六千为大方积,不烦开立方矣。篇中所言某为腰,某为底,设某数得某数者,皆此类也。规凡二面,面有五线,共十线,其目如左。
第一平分线;
第二分面线;
第三更面线;
第四分体线;
第五更体线;
第六分弦线;
第七节气线;
第八时刻线;
第九表心线;第十五金线。
右比例十类之外,依几何原本其法甚多,因一器难容多线,故止设十线,其不为恒用者。姑置之稍广焉。更具四法如左,
一、平面形之边与其积;
二、有形五体之边与其积与其面;
三、有法五体与球或内或外两相容;
四、随地造日晷求其节气。
比例规造法〈一名度数尺,其式有二。〉
第一式第一式

一以簿铜板或厚纸,作两长股,如图,任长一尺,上下广如长八之一,两股等长、等广、股首上角为枢,以枢心为心,从心出各直线,以尺大小定线数,今折中作五线,两股之面共十线,可用十种比例之法。线行相距之地取足书字而止。尺首半规馀地以固枢也,用时张翕游移。
第二式第二式

一以铜或坚木作两股,如图:厚一分以上,长任意,股上两用之际以为心。规馀地以安枢,其一规面与尺面平,而空其中,其一剡规而入于彼尺之空,令密无罅也,枢欲其无偏也,两尺并欲其无罅也,枢心为心,与两尺之合线,欲其中绳也。用则张翕游移之,张尽令两首相就成一直线。可作长尺,或以两半直角相就成一直角,可作矩尺。
比例矩之类别有二种。一为四锐定心规;一为四锐百游规,不解之其造法,颇难为用未广,姑置之。
比例各线总图四

比例各线总图二比例各线总图二

比例各线总图三第一平分线比例各线总图三比例各线总图二比例各线总图三

第一平分线比例各线总图二比例各线总图三

第一平分线第一平分线
分法

此线平分为一百或二百,乃至一千量尺之大小也。分法如取一百先平分之为二,又平分为四,又各五分之为二十,自此以上不容分矣,则用更分法,以元分四复五分之,或以元分六复五分之,如左图:甲乙线分丙丁戊为元分之四,今更五分之,得己庚辛壬。元分与次分之较为壬丙为戊己,皆甲乙二十分之一,为元分五之一。


每数至十、至百,各书字识之。
论曰:甲乙四与甲丙一,若甲己四与甲壬一更之甲乙四与甲己四,若甲丙一与甲壬一,甲己为甲乙五之四,即甲壬为甲丙五之四,壬丙为甲丙五之一,又甲丁为十,甲辛为八,辛丁为甲丁十之二,或丙丁五之二,戊庚为丁戊五之三,又壬丙为甲丙五之一,必为甲壬四之一。〈几何五卷〉
用法一:

凡设一直线任欲作几分,假如四分。即以设线为度数,两尺之各一百以为腰,张尺以就度,令设线度为两腰之底。置尺数两尺之各二十五以为腰。敛规取二十五,两点间之度以为底。向线上简得若干数,即所求分数。 凡言线者皆直线,依几何原本,大小两三角形之比例,则二十五与得线。若一百与设线也,更之二十五与一百,得线与设线皆若一与四也。若求极微分,如一百之一,如上以一百为腰,设线为底,置尺次以九十九为腰,取底比设线,其较为百之一。 若欲设线内取零数,如七之三,即以七十为腰。设线为底,置尺次以三十为腰,敛规取底,即设线七之三。〈置尺者置不复动下仿此〉
用法二:

凡有线求几倍之,以十为腰,设线为底置尺。如求七倍以七十为腰,取底即元线之七倍。若求十四倍,则倍得线,或先取十倍,更取四倍并之。
用法三:

有两直线欲定其比例,以大线为尺末之数〈尺百即百千即千〉置尺,敛规取小线度于尺上,进退就其等数,如大线为一百,小线为三十七,即两线之比例。若一百与三十七可约者约之。
约法以两大数约为两小数,其比例不异如一百与三十约为十与三。
用法四:

乘法与倍法相通。〈乘者求设数之几倍也〉如以七乘十三,于腰线取十三为度,七倍之。即所求数也。
用法五:

设两线或两数。
凡言数者,腰上取其分,或以数变为线,或以线变为数。

欲求一直线而与元设两线为连比例。 若设大求小,则以大设为两腰,中设为底,次以中设为两腰,得小底,即所求。如甲乙、甲丙尺之两腰,所设两数为三十,为十八,欲求其小,比例从心向两腰取三十。如甲辛、甲己识之,敛规取十八为度,以为底,如辛己次从
图图

心取十八,如甲丁、甲戊。即丁戊为连比例之小率,得十一有奇。 若设小求大,则反之,以中设为两腰,小设为底,置尺以中设为度,进求其等数以为底。从底向心得数,即所求。如甲丁、甲戊为两腰,丁戊为底,次以甲丁为度。引之至辛、至己而等,从辛从己向心得三十。即大率论。见几何六卷十一题
凡言等数者皆两腰,上纵心取两数等。下同
用法六:

凡有四率连比例,既有三率而求第四,或以前求后,则丁戊为第一率,辛己、甲丁、甲戊为第二。又为第三而得辛甲,为第四。若以后求前,则甲辛、甲己为第一,辛己、甲戊、甲丁为第二。又为第三而得丁戊为第四。
甲辛与辛己若甲丁与丁戊,故也。


用法七:
有断比例之三率求第四,如一星行九日得一十一度,今行二十五度,日几何。即用三率法以元得一十一度为两腰,元行九日为底,置尺以二十
五度为两腰,取大底腰上数之得二十日〈十一之五〉为所
求日。
此正三率法九章中名异乘同除也。


用法八:
句股形有二边,而求第三法于一尺。取三十为内,句一尺,取四十为内股,更取五十为底,以为内弦,即腰间角为直角置尺,若求弦,则以各相当之句股进退取数,各作识于所得点。两

点相望,得外弦线。以弦向尺,上取数为外弦数。
言内外者以先定之,句股成式为内,甲乙丙是以所设所得之。他句股形为外,甲戊己是。

若求句于内股,上取外股作识,以设弦为度,从识向句尺。取外弦得点,作识,从次识向心数之。得句求股亦如之。
下有开方术为句股本法可用。
用法九:

若杂角形有一角及各傍两腰,求馀边。先以弦线法


依设角,作尺之腰,间角次用前法取之。〈见下二十一用四法〉
用法十:
有小图欲更画大几倍之图,则尺上取元图之各线加几倍,如前作之。
用法十一:

此线上宜定两数其比例,若径与周为七、与二十二、或七十一与二百二十三,即二十八数上书径八十六上书周。 有圈求周径法,以元周为腰,设周为底,


次于元两径。取小底得所求径。 反之以径求周径为腰如前。
用法十二:
此线上定两数,求为理分中末线之比例。则七十二与四十二又三之一,不尽为大分其小,分为二十四又三之二弱。 有一直线

欲分中末分,则以设线为度,依前数取之。〈几何六卷三十题〉
第二分面线,

今为一百不平分,分法有二:一以算,一以量。


以算分:
算法者以枢心为心,任定一度为甲乙十平分之,自之得积一百。 今求加倍,则倍元积一百为二百。其方根为十四又十四之九。即于甲乙十分线加四分半强,而得甲丙为倍面之


边。求三倍,则开三百之根,得十七有半为甲丁,求五六七倍以上者,边法同。〈用方根表甚简易〉
以量分:
任取甲乙度为直角方形之一边,求倍,则于甲乙引至丁,截乙丁倍于甲乙,次平分,甲丁于戊戊心。甲界作半圈,从乙作乙己垂线,截圈于己。即己乙线为二百容形之一边。〈六卷二十六增〉

三倍则乙丁三倍于甲乙,四倍以上法同于尺上,从心取甲乙,又从心取乙己。等线成分面线。
试法:

元线为一正方〈直角方形省曰正方〉之边,倍之。得四倍容方之边。否则不合。三倍之得九倍容方之边,四倍得十六,五倍二十五,又取三倍之边,倍之,得十二,再加倍,得二十七倍之边。再加倍,得四十八倍之边。再加倍,得七十五倍之边。若五倍容形之边,倍之得二十倍容形之边。再加倍,得四十五倍容形之边。再加倍,得八


十倍容形之边。〈本边之论见几何六卷十三〉
用法一:
有同类之几形。
方圆三边,多边等形容与容之比例。若边与边其理具几何诸题。
欲并而成一同类之形,其容与元几形并之容等。如


正方大小四形,求作一大方其容与四形并等。第一形之容为二,二形之容为三,三形之容为四有半,四形之容为六又四之三。其法从心至第二点为两腰,以第一小形之边为底置尺,次并四形之容得十六又四之一。以为两腰,取其


底为大形边,其容与四形之容并等。 若无容积之比例,但设边如甲乙丙丁,四方形其法从心至尺之第一点为两腰,小形甲边为底置尺,次以乙形边为度,进退取等数得第二点,外又四分之三,即书二又四之三,次丙形边为度得

三又五之一,丁形边得四又六之五,并诸数及甲形一得十又二十之十九,向元定尺上进退,取等数为底,即所设四形同类等容之一大形边。〈此加形之法〉


用法二:
设一形,求作他形大于元形几倍法。曰元形边为底,从心至第一点为腰,引至所求倍数点为大腰。取大底即大形之边。〈此乘形之法〉
用法三:

若于元形求几分之几,以元形边为底,命分数为腰,退至所求数为腰,取小底即得。 如正方一形求别。作一正方,其容为元形四之三,以大形边为底,第四点为腰。〈即命分数〉次以第三点为腰。〈即得分数〉得小底即小形边。
此除形之法。若设一形之积大,而求其若干倍小,而求其若干分,则以原积当单数,用第一线求之。
用法四:

有同类两形,求其较,或求其多寡,或求其比例若干。法曰:小形边为底,第一点为腰置尺,以大形之边为度。进退就两等数以为腰,得两形比例之数。次于得数减一所馀为同类,他形之一边,此他形为两元形之较。 如前图,小形边为一,大形边为六,其比例为一与六,则从一至六为较形边。〈此减形之法〉
用法五:

有一形,求作同类之他形。但云两形之容积,若所设之比例。法曰:设形边为底,比例之相当率为腰,次他率为腰,取其底为他形之边。
用法六:

有两数,求其中比例之数。法曰:先以大数变为线,变线者于分度线上。取其分与数等为度也,以为底。以


本线上之本数为腰。置尺次于小数上,取其底线变为数,变数者于分度线上查,得若干分也,此数为两元数中比例之数。 如前图,二与八为两元数,先变八为线以为底,以本线之第八点为腰,置尺次于第二点上,取

其底线变为四数,则二与四若四与八也。 若设两线不知其分,先于分度数线上查几分法,如前。
用法七


有长方,求作正方,其积与元形等法。曰:长方两边变两数,求其中比例之数变作线。即正方之一边与元形等积。
用法八:

有数求其方根,设数或大或小。若大如一千三百二十五。先于度线上取十分为度以为底,以本线一点为腰。即一正方之边其积一百次,求一百与设数之比例。得十三倍又四之一。以本线十三点强为腰,取其底于度线上,查分得三十五强为设数之根。
第三更面线。
分法,

如有正方形,欲作圆形与元形之积等。置公类之容积四三二九六四以开方,得六五八正方边也。以开三边形之根,得一千为三边等形之一边。开五边之


根,得五○二,六边形之根为四○八,七边形之根为三四五,八边形之根为二九九,九边形之根为二六○,十边形之根为二三七,十一边形之根为二一四,十二边形之根为一九七。圆形之径为七四二。以本线为千平分而取各类之

数。从心至末取各数加本类之号。
言平形者,有法之形,各边各角俱等。
用法一:

有异类之形欲相并,先以本线各形之边为度,以为底。以本类之号为腰,置尺取正方号之底线别书之末。以各正方之边于分面线上,取数合之而得总边也。
假如甲乙丙三异类形欲相并。先以三边号为腰,甲一边为底,置尺取正方号,四点内之底向分面线上


用十数为腰。正方底为底,于甲形内作方底线书十次,五边号为腰,乙一边为底,如前。取正方底向分面线得二十一半。即于乙形内作方底线,书之次圆号为腰径,为底,如前。得十六弱并,得四十七半弱。 若欲相减,则先通类。如前法

次于分面线上相减。〈同上图〉
用法二:

有一类之形,求变为他类之形。同积以元形边为度以为底,从心至本号点为腰,置尺次以所求变形之号为腰得底,即变形边。
用法三:

凡设数求开各类之根,先于分面线求正方之根次,以方根度为底,本线正方号为腰,置尺,则所求形之号之底线,即元数某类之根。
有法之平形,其边可名为根,与方根相似。
用法四:

若异类形,欲得其比例与其较。则先变成正方,依分面线求之。
第四分体线。

线不平分,分法有二:一以算,一以量。
以算分:

从尺心任定一度为甲乙,十平分自之,又自之得积一千。即定其线为一千,即体之根。今求加一倍积体


之根。倍元积得二千,开立方根得十二又三之一。即于甲乙加二又三之一为甲丙。乃倍体之边,求三倍开三千数之立方根,以上同。
又捷法取甲乙元体之边,四分之一加于甲乙元边,得甲丙,即倍体边又取甲

丙七分之一,加于甲丙得甲丁。乃三倍体之边,取甲丁十分之一加于甲丁,得甲戊,乃三倍体之边。再分再加如图。
图图

试置元体之边二十八四之一,得七,以加之,得三十。五法曰:两根之实数,即用再自之数为一,与二不远。盖二十八之立实为二一九五二,倍之为四三九○四。比于三十五倍体边之实四二八七五,其差才○一○二九,约之为一千四百五十二分之一,不足为差。若用三十六之四六六五六,其差为远。 又加倍体七之一,得再倍体之边三十五又七之一,七之一者五也。以加之得四十。其实为六四○○○。元积再倍之,数为六五八五六。较差才○一八五六,或三十五之一可不入算也,若用四十一根之实六八九二一,其差为远。
又试倍边上之体为体之八倍。即依图计零数至第八位,为五之四,八之七,十一之十,十四之十三,十七之十六,二十之十九,二十三之二十二。用合分法合之得一二○四二八○之六○八六○八。约之为一○七五○之五四三四,与二之一不远。则法亦不远,右两则皆用开立方之法,不尽数难为定法。
以量分:

先如图,求四率连比例线之第二,盖元体之边与倍体之边为三,加之比例也。今求第二。几何法曰:第二线上之体与第一线上之体,若四率连比例线之第四与第一。假如丙乙元体之边,求倍体之边。则倍丙
图缺乙,得甲丁。以甲丁乙丙作壬巳辛庚矩形,于壬角之两腰引长之。以形心为心,如戊作圈,分截引长线于子、于午渐试之。必令子午直线切矩形之辛角乃止。即乙丙〈即辛庚〉午庚子己甲丁〈即壬庚〉为四率连比例线。用第二率午庚为次体之

一边,其体倍大于元体。〈详双中率论〉 若甲丁为乙丙之三倍、四倍。即午庚边上之体大于元体,亦三、四倍以上仿此。 用前法则元体之边倍之,得八倍体之边。若三之得二十七倍体之边,四之得六十四倍体之边,五之得一百二十五倍体之边。
又取二倍体边倍之,得十六,再倍得一二八。倍体之边,本线上量体任用其边,其根、其面、其对角线、其轴皆可。
用法一
设一体,求作同类体大于元体几倍法,以元体边为
底,从心至第一点为腰,置尺次以所求倍数。 为腰得大底,即所求大体边。 若设零数如元体,设三求作七,以三点为初腰,七点为次腰,如上法。〈此乘体之法〉
用法二:

有体求作小体,得元体之几分。如四分之一,四分之三等。法以元体之边为底,命分数之点为腰,置尺,退至得分数为小腰,得小底是所求分体边。〈此分体之法〉
用法三:

有两体求其比例。以小体边为底,第一点为腰,置尺次以大体边为底。就等数得比例之数也,不尽则引小体边于二点以下。以大边就等数两,得数乃上可,得比例之全数而省零数。
用法四:

有几同类之体,求并作一总体。 若有各体之比例,则以比例之数合为总数。以小体边为底,一点以上为腰,置尺于总数点内,得大底,即总体边。 若不知其比例,先求之次,用前法。〈此加体之法〉
图图

如图:甲乙丙三立方体,求并作一大立方体。其甲根一,乙三又四之三,丙六并。得十又四之三,以甲边为底,本线一点以上为腰,置尺向外,求十又四之三为腰,取底为度,即所求总体之根。
用法五:

大内减小所存,求成一同类之体。 先求其比例,次以小体边为底,比例之小率点以上为腰。置尺次以比例。两率较数点上为腰。得较底,即较体之边。〈此减体之法〉
用法六:

有同质同类之两体,得一体之重知他体之重。盖重与重若容与容。先求两体之比例,次用三率法。某容得某重若干。求某容得某重若干。
同质者、金铅银铜等同体者,方圆长立等。
用法七:

有积数欲开立方之根。  置积与一千数,求其比例。次于平分线上取十分为底,本线一点以上为腰,置尺次比例之大率以上为腰,得大底于平分线上,取其分为所设数之立方根。如设四万则四万与一千之比例为四十与一,如法于四十点内,得大底线变为分得三十四强。 若所设积小不及千,则以一分为底,一点或半点或四之一等数为腰,置尺设数内。求底而定其分,若用半点,用所设数之一半,用四之一,亦用设数四之一。盖算法通变或倍、或分、不变比例之理。
用法八:

有两线,求其双中率。〈线数同理〉如三为第一率,二十四为第四率,求其比例之中两率。 法求两率之约数,得一与八以小线为底,一点以上为腰,置尺次八点以上为腰,取大底即第二率有第二,第四依平分线求第三。
第五变体线

变体者如有一球体,求别作立方其容与之等。
分法

置公积百万,依算法开各类之根,则立方之根为一百四,等面体之根为二○四八,等面体之根为一二


八半十二,等面体之根为五十二十,等面体之根为七六。 圆球之径为一二六。 因诸体中独四等面体之边最大,故本线用二百○四分平分之,从心数各类之根至本数加字。
开根法见测量全义六卷
用法一:

有异类之体,求相加以各体之边为度以为底。本线本类之点以上为腰,置尺次从立方点内,取底别书之各书讫,依分体线法合之。
用法二:

有异类之几体,求其容之比例。先以各体变而求同容之立方边、次于分体线,求其比例。乃所设体之比例。若知一体之容数,因三率法求他体之容数。
第六分弦线〈亦曰分圈线〉


分法有二:
一法、
别作象限圈分,令半径与本线等长,分弧为九十度。各作识从一角向各识,取度移入尺线,从尺心起度各依所取度作识加字。若尺身大加半,度之点可作一百八十○度,若身小


可六十度、或九十度止。
又法
用正弦数表取度分数,半之。求其正弦倍之,本线上从心数之识之。
如求三十度弦,即其半十五度之正弦为二五九,倍之得千分之五一九。为三十度之弦从心
识之。
用法一:

有圈径,设若干之弧,求其弦以半径为底,六十度为腰,置尺次以设度为腰,取底,即其弦移试元圈上合其弧。 反之有定度之弦,求元圈径,以设弧之弦为底,设度为腰,置尺次取六十度为腰,取底。即圈之半径。
用法二:

有全圈,求作若干分法。以半径为底,六十度〈其弦即半径也〉为腰,置尺命分数为法,全圈为实,而一得数为腰,取底试元圈上合所求分。〈此分圈之法〉 约法本线上先定各分之点。如百二十为三之一,九十为四之一,七十二为五之一,六十为六之一,五十一又七之三为七之一,四十五为八之一,四十为九之一,三十六为十之一,三十二又十一之八为十一之一,三十为十二之一各加字。
用法三:

凡作有法之平形,先作圈以半径为底,六十度为腰,置尺次本形之号为腰,取底,移圈上得分。
用法四:

有直线角,求其度,以角为心任作圈,两腰间之弧度即其对角之度。〈有半径有弧求度如左〉
用法五:

有半径,设弧不知其度数,法以半径为底,六十度为腰,置尺次以弧为度,就等数作底,其等数即弧度。反之设角度不知,其径及弧求作图。其法先作直线,一界为心任作圈。分以截线为底,六十度之弦线为腰,


置尺次于本线,取设度之弦线为腰,得底以为度,从截圈点取圈分。即设度之弧,再作线到心,即半径成直线角如所求。

因此有两法可解。三角形省布数详测量全义首卷
第七节气线。〈一名正弦线〉
分法:

全数为一百平分,尺大可作一千用,正弦表从心数


各度之数。每十度加字。如三十度之正弦五十,则五十数傍书三十二度之正弦五,则五数傍书三。
简法

第一平分线可当此线为各有百平分,则一线两傍,一书分数字,一书度数字。
用法一:

半径内有设弧求其正弦。以半径为底,百为腰,置尺次以设度为腰,取底即其正弦。
用法二:

凡造简平仪、平浑日晷等器。用此线甚简易,如简平仪之下盘,周天圈其赤道线左右,求作各节气线。先定赤道线为春秋分,次于弧上取赤道左右各二十三度半之弧,两弧相向作弦。以其半弦为底,本线百数为腰,置尺次数各节气离春秋分两节之数。寻本线之相等数为腰,取底为度,移赤道线,左右两旁作直线与相对之节气相连,为各节气线。
或于赤道线上及二至线上定时刻线之相距若干亦可。

如欲定立春、立冬、立夏、立秋、
因四节离赤道之度等。故为公度。

法曰:立春至春分四十五度,则取本线四十五度内之底线,移于仪上春分线左右。 若欲定小暑、小寒之线离秋分、春分各七十五度,则取七十五度内之底线为度,移二分线左右得小暑、小寒之线。
第八时刻线。〈一名切线线〉


分法、
切线之数无限,为九十度之切割两线,皆平行无界。故今止用八十度,于本线

立成表。上查八十度得五六七,即本线作五六七平分,次因各度数加字。
一度至十五切线正弦,微差尺上不显可,即用正弦。
第九表心线、〈一名割线线〉
分法、

此线亦止八十度,依表查得五七五平分之,其初点与四十五度之切线等。〈初点即全数故等〉次依本表加之。
用法一:

有正弧或角,欲求其切线、或割线,法以元圈之半径为底切线,线四十五度之本数为腰割线,线则以○度○分为腰,置尺次以设度为腰,取底为某度之切线割线。 反之有直线又有本弧之径,欲求。设线之弧若干,度以半径为度以为底,设弧之度数为腰,置尺又设线为底,求本线上等数即设线之弧。
用法二:

表度说:以表景长短求日轨高度分。今作简法,用切


线,线凡地平上立物皆可当表,以表长为底,本线四十五度上数为腰,置尺次取景长为底,求两腰之等数。即日轨高度分。 若用横表法,如前,但所得度分乃日离天顶之度分也。安表法见本说。
用法三:

地平面上作日晷法,先作子午直线,卯酉横线。令直角相交,从交至横线端为底,就切线,线上之八十二


度半为腰,置尺次于本线七度半点内。取底为度,向卯酉线交处左右各作识。为第一时分次递加七度半取底为度。如前递作识为各时分。
每七度半者,如七度半、十五度,二十二度半,三十度,三十七度半,四十五度,五十二度半,六十度六,十七度半,七十五度,八十二度半。

若求刻线,则递隔三度四十五分,而取底为度也。次于元切线上取四十五度线〈四十五度之切线即全数〉为底割线。初点为腰,置尺次以本地北极高度数为腰,于本线上取底为表,长于子午卯酉两线之交,正立之又取北极高之馀度线为度。于子午线上从交点起,向南得日晷。心从心向卯酉线上各时分点作线,为时线在子午线西者,加午前字。如巳辰卯在子午线东者加午后字,如未申酉。
日晷图说。


子午卯酉两线相交于甲,甲酉为度以为底,以切线之八十二度半为腰,置尺递取七度半之底,向甲左右作识。如甲乙、甲丙次取十五度线之底作第二识。

如甲丁、甲戊每识递加七度半,每识得二刻,则丁点为午初,戊为未初,馀点如图。 次取甲己线上四十五度之切线为底,割线之。初点为腰,置尺取北极高馀度〈顺天府约五十〉之割线为度。从甲向南取辛辛为心,从心过乙丁等点作线为时刻,线又割线,上取北极高度之线〈顺天府约四十〉为表,长即甲庚也,表与面为垂线。
立表法,以表位甲为心,任作一圈次立表,表末为心,又作圈,若两圈相合或平行则表直矣。
用法四:

先有表度,求作日晷。则以表长为底,割线上之北极高度为腰。置尺次以极高馀度为腰,取底为度,定日晷之心。次用元尺于切线上,取每七度半之线如前。
凡言表长以垂表为主,或垂线。
用法五:

有立面向正南,作日晷。法如前,但以北极高度求晷心,以北极高之馀度为表长。
又平晷之子午线为此之垂线,书时刻以平晷之卯为此之酉各反之。


用法六:
若立面向正东、正西。先用权线作垂线定表处。即晷心从心作横线与垂线为直角。 若面正东于横线下,向北作象限弧,若面正西于横线下,向南作弧。弧上从下数北极高之馀度为界。从心过界作线为赤
道线。又以表长为底切线,线上之四十五度为腰,置
尺递,取七度半之线,从心向外于赤道上,各作识,从各识作线与赤道为直角。则时刻线也。其过心之线向东晷为卯,正线向西晷为酉正线。 若欲加入节气线,法以表长为度,从表位甲上取乙点为表心。从心取赤道上各时刻点为度以为底。以切线,线之四十五度为腰,置尺,又以二十三度半为小腰,取小底为度于各时刻线上。从赤道向左、向右各作识为冬夏至日景所至之界。 如左图:甲乙为卯酉正线,以


表长为度,从甲取乙为表心,以切线上之四十五度为腰,甲乙为底,置尺,又以二十三度半为小腰。取小底于本线上从赤道甲向左向右各作识。即卯酉正时冬夏至之景界。 次从表心向卯酉初刻线,取赤道之交丙点为底,切线之

四十五度为腰,置尺,以二十三度半为小腰,取小底于丙左右,各作识为本时冬夏至之景界。次于各时线如上法,各作二至景界,讫联之为本晷。上冬夏二至之景线。 次作二至前后各节气线,以节气线之两至点为腰。〈即鹑首之次西历为巨蟹宫〉以各时线上赤道至两至界为底。置尺,次以各节气为小腰,取小底为度,从各线之赤道左右作识,如前法。
第十五金线

分法用下文各分率及分体线。
置金一度、
下方所列者,先造诸色体,大小同度,权之得其轻重,之差以为比例。

置水银一度又七十五分度之三十八;
置铅一度又二十三分度之一十五;
置银一度又三十一分度之二十六;
置铜二度又九分度之一;
置铁二度又八分度之三;
置锡二度又三十七分度之一。
先定金之方立体,其重一斤为一度,本线上从心向外任取一点为一度,即是金度。次以分体线第十点为腰,此度为底。置尺,依各色之本率。于分体线上取若干度分之线为底,从心取两等腰,合于次底作点。即某色之度点。
又法

取各率之分子,用通分法乘之。
得金四五九五九二五;
得水银六九二四五二七;
得铅八六二七四○○;
得银八四三一二一二一七;
得铜九○○一四○○;
得铁一○九一四○七五;
得钖一一七九九○○○;
次以各率开立方求各色之根;
得金一六六弱;
得水银一九一弱;
得铅二○二;
得银二○四;
得铜二一三;
得铁二二二;
得锡二二八。
若金立方重一斤,其根一百六十六弱,用各色之根率为边,成立方。即与金为同类、〈皆为立方〉同重〈皆为一斤〉之体也。
今本线用此以二二八为末点。如各率分、各色之根数加号。
石体轻重不等,故不记其比例。
用法一

有某色某体之重。欲以他色作同类之体,而等重。求其大小。法以所设某色某体之一边为度以为底,以本线本色点为腰。置尺,次以他色号点为腰,取底即所求他体之边。
用法二

若等体等大求其重。法以所设体之相似一边为度以为底,置尺于他色号点,取其底,两底并识之。次于分体线上,先以设体之重数为腰。以先设体之底为底。置尺,以次得他体之底为底,进退求相等数为腰,即他体之重。
用法三

有异类之体,求其比例。先依更体线通为同类次,如前法。




钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百二十七卷目录

 算法部汇考十九
  几何要法

历法典第一百二十七卷

算法部汇考十九

《几何要法》〈明郑洪猷著〉

序目:

世之执牛耳盟者,幽言,理至度数之学,则以为迂,而无当于道,而刍狗置之。夫度数而斤斤术艺也者,则刍狗置也。可度数之中,大而授时定历,正律审音,算量分秒不爽。水泉灌溉有资,与夫力小任重,营建机巧毕具,而兵家制胜,列营阵,揣形势,策攻守,所须乎此者,尤亟用之。如斯其广且切也。此而可刍狗视之,将羲画虞璿,亦枯而不灵之器,而禹奏平成,可舍句股勿用,而姬公测验,必《周髀》是问。何为也。始信理脱数而藏,《易》借以覆短。数传理而见,则有物有事,假作不得,假说亦不得也。善哉。《几何原本》之帙译,自西国裁自徐太史先生之手,其中比分栉解,义数详明,可以佐隶首商高之不逮,可以补十经九执之遗亡,而梓甘翟襄不擅长焉者。神而明之,引类而伸之。先王制器,前用之法备见矣。特初学,望洋而叹,不无惊其繁。余因晤西先生,得受几何要法,其意约而达,简而易从。如攻坚木,先其易者,后其节目,久也。相说以解先河而后海,昔有言之矣。不操缦而能安弦,有是学乎,爰是订而副诸梓,人僭数语弁其端;有笑而诧,猷以俗吏,而迂谭度数之理也,猷乌知。
论线〈计界说十六 章数十七 要法三十〉总论

几何家者,脱物体而空穷度数,数其截者,度其完者。度有三:曰线,曰面,曰体。线以度长短;面以度广狭;体以度厚薄。线自点始,点引为线,线展为面,面运为体。点者无长,线者无广,面者无厚。点为线之界,线为面之界,面为体之界,体不可为界。点、线、面、体,几何之论起焉。
界说章第一〈凡十六则〉

界者,一物之始终。解篇中,所用名目,作界说。
第一界

几何者,度与数之府也。
第二界

点者无分,无长短广狭厚薄,故无分,如左图甲点。〈甲〉真圆真平相遇处,止一点,毕世积点,不能结线也。
凡图十干,为识干,尽用十二支等字。
第三界


线止有长,无广厚,如一平面光照之,有光无光之间,不容一物,是线也。如上甲乙图,毕世积线,不能结面。
第四界

面者,有长有广无厚,一体所见为面。凡体之影,极似


于面,无厚之极也。如上甲乙丙丁图,毕世积面,不能结体。
第五界
体有长有广有厚,如上甲乙丙丁戊己庚图。
第六界
分者,几何之几何也。小能度大,而尽之无赢不足者,以小为大之分,若小不能尽。度大当称几分几何之几,如

上甲乙四,与丙丁八,戊己十二等数皆能尽分者,则甲乙四为丙丁八戊己十二之分;若庚辛四与壬癸六一即赢二,即不足,不能尽度者,不得正名为分,则称之为三分六之二。〈他数仿此〉
第七界

点者,非几何,故不能为线及诸几何之分。
第八界

线非广狭之几何,故不能为面之分。
第九界

面非厚薄之几何,故不能为体之分。
第十界


线有曲直:线之一点能遮两界,是直线,如上图甲乙;不遮,则不直,如下图丙丁。
第十一界


面之中间,线能遮两界,不碍不空,是平面,如上图甲乙丙丁;不遮,则不平,如下图戊己庚。


第十二界
直线垂于横线之上,为横线之垂线。如上图丁乙为甲丙之垂线


第十三界
两直线于同面,行至无穷,不相离,亦不相远,终不得相遇者,为平行线。如上甲乙丙丁两线
第十四界

两几何以几何相比之理为比例,两几何者,或两数,或两线,或两面,或两体,各以同类大小相比,谓之比例。若线与面,或数与线,此异类不为比例;若同类相比,而不以几何,亦不为比例也,如白线与黑线,或有穷之线与无穷之线,虽则同类,实无比例。有穷之线毕世倍之,不能及无穷之线故也。
凡比例有三种:有数之比例;有量法之比例;有乐律之比例。本卷论量法之比例。
第十五界

比例相续不断,为连比例。其中率与前后两率递相。


为比例而中率,既为前率之后,又为后率之前,如上图甲二与乙四比,乙四又与丙八比是也。


第十六界
中率一取不再用,为断比例。如上图甲四自与乙八比,丙六自与丁十二比是也。
备器章第二

几何在历家,则多用图画。图必先备器,器有三:曰尺,曰规,曰矩。尺以画线而贵直;规以画圜而贵调;矩以画方而贵准。器准矣,不识用法,则茫无措手。今以用法著于篇。
审尺章第三

画图,首画线,线贵直,线界于尺,故先求尺直。
如甲乙为尺,面丙丁为尺,侧一棱先以丙丁画一戊


己线,丙合戊,丁合己,次转丙丁棱画一己戊线,丙合己,丁合戊,不出不入,则尺直矣。不直再当琢削。
画线章第四

尺既直矣,线可无曲,然画时又有法,须以铁或铜铸笔上,长其柄,令可把手,下截阔出,复渐窄而下,其正


面削极平,背令稍圆,去末寸许,作一小窝,窝下渐细,至末,用时以墨汁入小窝,

以平面紧倚尺作线,则墨汁自就下,或恐墨污其地,将尺削去丙丁,侧一棱,则墨线莹细如丝,即作于规末亦得。
审平面章第五

平面者,诸方皆作直线。


法曰:如甲乙丙丁为面,欲审其平,即用直尺施于甲,角绕面运转,不碍不空,全合直尺,是平面也。
引线章第六


有一短直线,求平引长之。
法曰:如有甲乙线,欲平引长之,先以甲为心,以乙为界,画小半圜;以乙为

心,任取一度于小半圜,上下各作规,界线为丙为丁;次以丙丁为心,任取一度,向前作短界线相交,为戊末,引甲乙线至戊,则得所求。若欲更引长,仍依此法。
平分直线章第七〈法有二〉

有有界之线,求两平分之。
第一法


如有甲乙线,求两平分。先以甲为心,任用一度,但须长于甲乙线之半,愈长愈准,向上向下各作一短界线,次

用元度;以乙为心,亦如之,两界线交处,即丙丁末,用尺作丙丁直线,即甲乙有界之线,两平分于戊矣。
第二法

若所分之线下面无地可作短界线,即于甲乙线上,


先画两短界线于丙,次或开或收,规度仍前,从甲从乙;向上又作两短界线于丁,规度愈相远,画线愈准,末以丙丁二交,用尺如前,画线则得所求。
作垂线章第八〈法有四〉

有一直线,任于一点上求作垂线。
第一法

甲乙直线任指一点于丙,求丙上作垂线。先于丙点,左右任用一度,愈远愈准,各截一界,为丁为戊。次以


丁为心,任用一度,但须长于丙丁线。向丙上方作短界线,次用元度,以戊为心,亦如之,两界线交处为己,从己至丙,以尺画线,则得所求。
第二法


于丙左右,如上法,截取丁与戊,即任用一度,以丁为心,于丙上下方各作短界线;次用元度,以戊为心,亦如之,则上交为己,下交为庚,末作己庚直线,视直线交于丙点,即得所求。若丙

点在甲乙端上,则当暗引长甲乙线后,如前作亦得。
第三法

若直线甲端上求立垂线,又甲点外无地可暗引线,则先以甲乙原线上方任取一点为丙,以丙为心,甲


为界,作大半圜,圜界与甲乙线相遇为丁,次自丁至丙依前法作直线,引长之至戊,为戊丁线。戊丁与圜界相遇,为己末,自己至甲作直线即所求。
第四法


若甲乙线所欲立垂线之点,乃在线末甲界上,甲外无馀线可截,则于甲乙线上任取一点为丙,如前一二法,于丙上立丁丙垂线,次以甲丙丁角

两平分之,〈分法在后三卷第四章〉为己丙线;次以甲丙为度,于丁丙垂线上截戊丙线,又用元度,以戊为心,向己作短界线,为庚末。自庚至甲作直线得所求。
立垂线章第九〈法有四〉

有无界直线,线外有一点,求自彼点作垂线至直线上。
第一法

如有甲乙无界直线,直线外有丙点,求自丙点作垂线至甲乙线。先以丙为心,向直线两处各作小半圜,


或两短界线为甲为乙,次仍用一度,以甲为心,向丙点相望处作短界线;又以乙为心,亦如之,两线相交处,为丁末。自丙至丁作直线截甲乙线于戊,则丙戊为垂线。


第二法
于甲乙线上近甲或乙任取一点为心,以丙为界,作一圜界于丙点,及相望处各稍引长之,次于甲乙线上视


前心,或相望,如前图,或进或退,如后图。任移一点为心,以丙为界,作一圜界与前圜交处,得丁末。自丙至丁作直线,得丙戊垂线。


第三法
若丙点垂于甲乙线之界,不能于丙点左石画圜,如前二图。又或不能暗引长甲乙线,则当以甲为心,于丙点及相望处,各作短界线于丙于丁;又

进以乙为心,以丙为界,仍相望作两短界线末,从丙丁二交处作直线,则得所求。
第四法

若甲乙线在面之边,且下无地可措规,如前四图,则
当用前章第三法,或以丙为心,任指甲乙线上两点,为丁为戊。次任取一度,以丁为心,向丙上作短界线;次用元度,以戊为心,仍向丙上作短界线交于己末。自己至丙作直线引长之。

至庚,得所求。又有便法,在后平行线中。
作平行线章第十〈法有三〉

一点求作直线与原设直线平行。
第一法
于甲点,求作直线与乙丙线平行。先任作甲丁线与乙丙斜交,次以丁为心,任作戊己圜界;次用元度,以甲为心,作庚辛圜界,稍长于戊己。次取戊己圜线为度,于庚辛圜界截取庚辛

末。自甲至辛作直线即所求。
第二法

先以甲点为心于乙丙线,近乙处任指一点作短界线为丁;次任用一度,以丁为心,向丙截取一分,作短
界线为戊。又用丁戊元度,以甲为心,对甲平行作短界线为己,次用甲丁元度,以戊为心,对甲平行作短界线于己末。自甲至己作直线即所求。
注曰:凡有不等度,须一度用一规,
始元度不爽,如一规而数易,其度则元,度永不复矣。此丁先生秘法。 以上二法,以甲点定远近,若无甲点任指所欲远近为界,可当甲点。
第三法
此法比前法更简易,即西本几何亦未载,乃敝师伯先生所授,如有甲乙线,任远近,求作平行线。近甲取心,向上以所求远近为度,作小半圜,次用元度,近乙取心,向上复作小半圜,末
以尺依半圜为界,作直线即所求。
注曰:以上平行数法,可推用作沿边直线之垂线。如有甲乙线,求乙线界上作一垂线。先以乙
为心,向甲任取一点为丙,又用元度,以丙为心;向甲指一点为丁,又以乙为心,任取一度,向上方作一短界线,愈远愈准;又以丁为心,用元度,仍向上方作一短界线与前界线相交于戊,次自戊至丙作垂线,末以前作平行线法,随用一法,以丙乙为度,作平行线正垂在乙点上,即得所求。
求分一直线,任为若干平分章第十一〈法有四〉

凡造历象数,欲分直线为不等分,不谙其法,大费手力,抑且不准,宜熟后法以便用。
第一法
如甲乙线,求五平分。先从甲任作甲丙线,为丙甲乙角;次从甲向丙任作五平度,为甲丁、丁戊、戊己、己庚、庚辛,次作辛乙直线,末用平行线法,作丁壬、戊癸、己子、庚丑四线,皆与辛乙平行,即壬癸、子丑与甲乙为五平分。
第二法
如甲乙线,求五平分。即从乙任作乙丙线,为丙乙甲角;次于乙丙任取一点为丁,作丁戊线与甲乙平行;次从丁向戊任作五平分,为丁己、己庚、庚辛、辛壬、壬癸,而丁癸线令小于甲乙,次从甲过癸作甲子线遇乙丙于子;

末从子作子壬、子辛、子庚子己,四线各引长之,而分甲乙于丑、于寅、于卯、于辰,为五平分。
第三法
如甲乙线,求五平分。即从甲、从乙作甲丁、乙丙两平行线;次从乙任作戊己、庚辛、四平分;次用元度,从甲作壬癸、子丑四平分;末作戊丑、己子、庚癸、辛壬四线相联,即分甲乙于己、于辰、于卯、于寅,为五平分。
第四法
图图

右图之法,极简极神,可分百千不等之线,与百千不等之分。先作一器,如丙丁、戊己为平行线。任平分为若干格,器愈大,格愈密,其用愈广。格每分作平行线相联。今欲分甲乙为五平分,即规取甲乙之度,以一规髀任抵戊丙线上,一规髀抵第五庚辛线上,如不在庚辛者,即渐移之至线界而止,既至壬,即戊壬之分,为甲乙之分。
图图

又如右图:有甲乙线,求十七平分。先以规取甲乙之度,以一规髀抵戊丙线一处,以一规髀抵此器庚辛,第十七格为壬;次从戊至壬画一直线;次取所过两格相距之度,以此为准,分甲乙直线,则得十七分矣。或图小而所分者大,欲广其用,则递倍之。如图:一尺欲分一丈,为十九分。须取一丈十分之一,为一尺用。前法为十九分,后以尺递十倍之,则一丈已分为一百九十分矣。每十分作识,如所求。馀以此推之。
一直线求截所取之分章第十二〈法有二〉
第一法
如有甲乙直线,求截取三分之一。先从甲任作一甲丙线,为丙甲乙角;次从甲向丙,任作所命三分之平度,如甲丁、丁戊、戊己,为三分也;次作乙己直线;末作丁庚线,与己乙为平行线,即甲庚为甲乙三分之一也。
第二法
如甲乙直线,求截取七分之三。先以
前章之法,分甲乙线为七分后,取其三于庚,则得所求也。如欲截取十分之七、十四分之九等不均之数,亦如之。
有一直线,求截各分如所设之分。章第十三〈一法〉
法曰:甲乙线,求截各分如所设,甲丙任分之丁戊者,谓甲乙所分,各分之比例,若甲丁、丁戊、戊丙也。先以甲乙、甲丙两线相联于甲,任作丙甲乙角;

次作丙乙线相联;末从丁、从戊,作丁己、戊庚两线,皆与丙乙平行,即分甲乙线于己、于庚,若甲丙分于丁戊焉。
有直线,求两分之,而两分之比例若所设两线之比例章第十四〈一法〉
法曰:如甲乙线,求两分之,而两分之比例若所设丙与丁。先从甲,仍作甲戊线为戊甲乙角;次截取甲己与丙等,己庚与丁等;次作庚乙线联之;末

作己辛线与庚乙平行,即分甲乙于辛,而甲辛与辛乙之比例若丙与丁。
有两直线,求别作一线,相与为连比例章第十五〈法有二〉
第一法


有甲乙甲丙两线,求别作一线相与为连比例者,任合两甲乙、甲丙为甲角,而甲乙与甲丙之比例,若甲丙与所求他线也。先于甲乙引长之,为乙

丁与甲丙等;次作乙丙线相联;次从丁作丁戊线与丙乙平行;末于甲丙引长之,遇于戊,即丙戊为所求线。〈若以甲丙为前率仿此〉
第二法


以甲乙、乙丙两线联作甲乙丙直角,次以甲丙线联之,而甲乙引长之,末从丙作丙丁为甲丙之垂线,遇引长线于丁,即乙丁为所求线。
三直线,求别作一线,相与为断比例。章第十六
法曰:甲乙、乙丙、甲丁三直线,求别作一线,相与为断比例者,谓甲丁与他线之比例,若甲乙与乙丙也。先以甲乙、乙丙作直线,为甲丙;次以甲丁线合甲丙,任作甲角;次作丁乙线相联;次从丙作丙戊线与丁乙平行;末自甲丁引长之;遇丙戊于戊,即丁戊为所求线。
两直线,求别作一线,为连比例之中率章第十七

法曰:甲乙、乙丙两直线,求别作一线为中率者,谓甲
乙与他线之比例,若他线与乙丙也。先以两线作一直线为甲丙;次以甲丙两平分于戊;次以戊为心,甲丙为界,作甲丁丙半圜;末从乙至圜界作

乙丁垂线,即乙丁为甲乙、乙丙之中率。〈以上原本卷之一〉
论圜〈计界说十二 章数二十九 要法三十二〉总说

圜成于线,线有二种:为曲,为直。直线或单或众,前卷已详之。众线或三而成三角形;或四而成方形;或多而成诸不等形。曲线或半或全。半线有不等之用;全线或成圜形,或成卵形、等角形及方形。卵形详见后卷。今先论圜形。
界说章第一〈凡十二则〉
第一界

圆形于平地居一界之间为圜。
第二界

外圆线为圜之界。
第三界

圜之中处为圜心。
第四界


自圜之界,作一直线过中心至他界,为圜径。如上图甲丁、乙戊为圜界,丙为心,甲乙为径。
第五界

凡直线切圜界,过之而不与界交者,为切线。如上图
甲乙丙线是也。若先切圜界,而引之入圜内,则谓之交线。如丁戊是也。
第六界


凡两圜相切而不相交者,为切圜;相切而相入者,为交圜。如上图。
第七界


凡直线形居他直线形内,而此形之各角切他形之各边,为形内切形。如上图丁戊己为甲乙丙形内切形。
第八界

凡直线形居他直线形外,而此形之各边切他形之各角,为形外切形。如前图甲乙丙为丁戊己形外切形。其馀各形,仿此二例。
第九界


直线形之各角切圜之界,为圜内之切形。如上图甲乙丙形之三角,各切圜界于甲、于乙、于丙三者是也。圜之

界切直线形之各角为形外切圜。同上图。
第十界


直线形之各边切圜之界为圜外切形。如上甲乙丙形之三边切圜于丁、于己、于戊,是也。
第十一界

一圜之界切直线形之各边,为形内切圜。如前图。
第十二界


一直线之两界各抵圜界,为合圜线。如上图之甲乙线。
造规章第二〈法有四〉

圜形以至圆为准,至圆必出于规,规必欲极准极顺,其用甚活,乃堪造历。凡造规之法有四,详列于后。
第一法

先以铜或铁范成二股,上阔下窄,至末而锐,近头小半截作凹凸状,令可相合;次以钉钉其圆头,贵宽紧得宜,任意可开收,规下半截为规髀,一规髀作墨池,如首卷第三章法以适用。凡欲造历象,必须备规。其造式见后。
规图

第二法

凡规有三用:一画虚线。则须铅条,当先以铜叶为管,虚其中,横开小路,上套小铜圜,可上下松紧以出入。铅条末略奓出,以留小圜。如下甲图。一画墨线。则当作墨路,如前章法。如下乙图。一画铜板线。须以纯钢为末,如下丙图,右三髀俱,另作不相连本规,其本规如前法造,但截去一髀,临截处长半寸许,作一小箱状,虚其中,亦令方可受规髀柄,如下图丁处,箱而作旋螺,用时任入一规髀,以铜消息,如旋螺者贯定之。如下戊图,则任意可画线,而一规可具三用矣:此为第二法。如下图。


第三法

造历恒用规,依比例法分线、分圜,或以大形移变小形,或以小度移变大度,其分法稍难。今作一四髀规,或铜、或铁,略如剪形,上下作四规髀,上短下长,令上准,下度或半、或三之一、或十之一及种种不等,则作线圜时,或欲以大变小:先以下髀取度,次以上髀移度;或欲以小变大:先以上髀取度,次以下髀移度,则得所求。其或半或三之一或十之一,俱从髀之长短而分,下愈长,则度愈大;上愈短,则度愈促。


第四法

前三种规长不踰尺,止堪小用。如欲造玑衡大器,则当更变其式。如下图:其规以铜范为极,方条上下如一。任作几尺于条左,末作锥,垂下二三寸,以纯钢为之,更造一锥与前锥等。上方寸许,仍凿方孔,令透,可受方条,任远近可推移。方孔旁更凿圆孔,仍前法作旋螺,贯定方条,使两锥坚定,不爽分毫,可画大圜。如下图。


有圜求两平分之章第三〈一法〉


如有甲乙丙圜,求两平分:用尺任以圜一处为界,正过心画一直线,则圜体两平分矣。
有圜之分求两平分之章第四〈一法〉


如有甲乙丙圜分,求两平分之:先于圜分两界作甲乙线,次两平分之于丁,从丁作丙丁为甲乙之垂线,
一卷第八章

即丙丁分甲乙圜分为两平分。若有圜不露其心,又求两平分之,亦如此法。
有圜求四平分之章第五〈一法〉


凡立天象,多用四分圜为周天四象限,故造法不可不准。如有甲乙丙圜,求四平分:先以前法,作甲乙线,过戊心两平分之次;依作垂线法于戊心

上,自丙至丁作垂线,得所求。
有圜求六平分之章第六〈一法〉


凡历家分周天度,多用六数,或十二,或二十四。今详其法:如有一圜,求作六分,不用他法,惟以画圜之元规,周圜界六步,则自然分为甲乙丙丁戊己六平分矣。
有圜求十二平分之章第七〈一法〉


先以本卷五章法四,平分于甲乙丙丁;次以画圜元规,从甲、从乙,上下各指一点,又从丙、从丁,左右各指一点,

则得所求。若欲二十四分,每分为两,则得所求矣。
有圜求三百六十平分之章第八〈一法〉

凡历家所用细分周天度,以三百六十为率。今详其法:
如有甲乙丙圜,先依前法四,平分之为四象限;次以规元度,依前法十二平分,为十二宫,就以所分十二宫各三分之,各包十度;次每十两平分之,各包五次;每宫又五平分之,各包六。今用六度之规,至终不改,从子宫初一度步起完一周,又次从初五度、初十度、
图图

十五度、二十度、二十五度各步完一周,则平分三百六十分矣。
有圜之分任截几度章第九〈一法〉


如有甲乙圜之一分,欲取三十五度,如用常法,必须先求圜分之心,依后十一章之法,成圜后均分为三百六十,乃取三百六十之三十五分,其法颇繁。今有


简妙之法:先备一铜板,分一子丑寅象限为九十分,合极准。设有甲乙圜之界,自甲起,欲取三十五度之分,先从甲至圜心作甲丙半径线,如与子丑寅象限

半径相合,则移彼度子卯至甲乙线上,至庚,即得所求矣。如大小不合,则以规取子丑寅半径,以丙为心,或甲乙内,或甲乙外,作一圜分;若丁戊圜在外,则当引长甲丙线至丁,取子丑寅限三十五度,以丁为始,移于丁戊圜上,至己从丙心过己,作一直线截甲乙于庚,则甲庚为甲乙圜上三百六十分之三十五也。若所范铜板,欲其用广,当从寅心重重作圜与子丑平行,又自子丑外圜逐度引直线至寅心后,所欲取圜分之度。若其半径与子寅不等,或同于他子丑内圜之半径,则可径移其度于所分圜上,不尔仍用前法。
有圜求寻其心章第十〈一法〉


如有甲乙丙丁圜,欲求其心。先于圜之两界任作一戊己直线,次以平分线法,作丙丁垂线,两平分之于庚,则庚为圜心。
有圜之分求成圜章第十一〈一法〉


如有甲乙丙圜分,求成圜。先于圜分任取三点于甲、于乙、于丙,从甲至丙、丙至乙,各作一直线,各两平分于丁、于戊,次于丁戊上各作垂线,相交处

为己;末以己为心,以圜为界,旋转,即得所求。
任设三点不在一直线,求作一过三点之圜章第十二〈法有二〉
第一法

如有甲乙丙三点,求作一圜贯之。先以甲为心,任取


一度,向乙上下各作小圜分;又以乙为心,向甲仍用元度上下各作小圜分,相交处为丁、为戊;次又以甲为心,向丙上下作小圜分如前;次以丙为

心,亦如之,相交处为己、为庚;次从丁至戊、从己至庚,各作直线,相交处为辛;末以辛为心,任取一点为界,旋规成圜,即得所求。
第二法


先以三点作三直线,相联成甲乙丙三角形;次平分两线于丁、于戊;次于丁戊上各作垂线,令相遇于己;末以己为心,甲为界,作圜,即得所求。
有圜,求作合圜线与所设线等此。设线不大于圜之径线章第十三〈一法〉


如有甲乙丙圜,求作合线与所设丁线等。其丁线不大于圜之径线,径为圜内之最大线,更大不可合。先作甲乙圜径为乙丙,若乙丙与丁等者,即

是合线。若丁小于径者,即于乙丙上截取乙戊与丁等,次以乙为心,戊为界,作甲戊圜,交甲乙丙圜于甲;末作甲乙合线,即与丁等何者,甲乙与乙戊等,则与丁等。
三角形求作形外切圜章第十四〈一法〉


甲乙丙角形,求作形外切圜:先平分两边于丁、于戊;次于丁戊上各作垂线,为己丁、己戊,而相遇于己;末以己为心,甲为界,作圜,必切甲乙丙,而为三角形之形外切圜。
三角形求作形内切圜章第十五〈一法〉

甲乙丙角形,求作形内切圜:先以甲乙丙角、甲丙乙角各两平分之,作乙丁、丙丁两直线相遇于丁;次自


丁至角形之三边,各作垂线,为丁己、丁庚、丁戊;末以丁为心,戊为界,作圜,即过庚己,为戊庚己圜,而切角形之甲乙、乙丙、丙甲三边于戊、于己、于庚,此为形内切圜。
有圜求作圜内三角切形与所设三角形等角章第十六

甲乙丙圜求作圜内三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先作庚辛线切圜于甲次作庚甲


乙角与设形之己角等次作辛甲丙角与设形之戊角等末作乙丙线即圜内三角切形与所设丁戊己形等角
有圜求作圜外三角切形与所设三角形等角章第十七

甲乙丙圜,求作圜外三角切形,其三角与所设丁戊己形之三角各等。先于戊己边各引长之,为庚辛;次于圜界,抵心作甲壬线;次作甲壬乙角,与丁戊庚等;


次作乙壬丙角,与丁己辛等;末于甲乙丙上作癸子、子丑、丑癸三垂线,此三线各切圜于甲、于乙、于丙,而相遇于子、于丑、于癸,
若作甲丙线,即癸甲丙、癸丙甲两角小于两直角,而子癸、丑癸两线必相遇馀仿此,
此癸子丑三角与所设丁戊己三角各等。
有圜求作内切圜直角方形章第十八


有甲乙丙丁圜,求作内切圜直角方形:先作甲丙、乙丁两径线,以直角相交于戊;次作甲乙、乙丙、丙丁、丁甲等四线,即甲乙丙丁为内切圜直角方形也。
有圜求作外切圜直角方形章第十九〈法有二〉第一法

甲乙丙丁圜,其心戊,求外切圜直角方形:先作甲丙、


乙丁两径线,以直角相交于戊;次于甲乙、丙丁作庚己、己辛、辛壬、壬庚四线,为两径;末界之垂线,而相遇于己、于辛、于壬、于庚,即己庚壬辛为外形。
第二法

以戊甲为度,依平行线法,作己庚、辛壬上下两线,与乙丁平行;次用元度,作己辛、庚壬左右两线,与甲丙平行,即得所求。同前图。
有直角方形求作形内切圜章第二十


甲乙丙丁直角方形,求作形内切圜:先以四边各两平分于戊、于己、于庚、于辛,而作辛己、戊庚两线相交于壬;末以壬为心,戊为界,作圜,必过戊己

庚辛,而切甲丁、丁丙、丙乙、乙甲四边,是为形内切圜。
有直角方形求作形外切圜章第二十一


甲乙丙丁直角方形,求作外切圜:先作对角两线,为甲丙、乙丁,而交于戊;末以戊为心,甲为界,作圜,必过乙丙

丁甲而为形外切圜。
有圜求作圜内五边切形其形等边等角章第二十二


如有甲乙丙丁戊圜,求作五边内切圜形等边等角:先作己庚辛两边等角形,而庚辛两角各倍大于己角;次于圜内作甲丙丁角形,与己庚辛角形各等角;次以甲丙丁、甲丁丙两角,各两平分,作丙戊、丁乙两线;末作甲

乙、乙丙、丙丁、丁戊、戊甲五线,相联,即甲乙丙丁戊为五边内切圜形,而五边五角俱自相等。
有一圜求作内切圜五边及十边形章第二十三

如有甲乙丙圜,心为丁,先作甲丙过心线;次作乙丁


垂线;次平分丁丙线于戊,作乙戊线;次取戊乙度,移于径线,为戊己;次作乙己直线,盖乙己为甲乙丙圜五分之一,以此为度,可作内切圜五边形。

丁己度可作内切圜十边形。
有圜求作圜外五边切形其形等边等角章第二十四

甲乙丙丁戊圜,求作五边外切圜形等边等角:先依


前章法,作圜内甲乙丙丁戊五边等边等角切形;次乃从己心,作己甲、己乙、己丙、己丁、己戊五线;次从此五线作庚辛、辛壬、壬癸、癸子、子庚五垂线,相遇于庚、于辛、于壬、于癸、于子,五垂

线既切圜,即成外切圜五边形,而等边等角。
五边等边等角形求作形内切圜章第二十五

甲乙丙丁戊五边等边等角形,求作内切圜:先分乙甲戊、甲乙丙两角,各两平分其线,为己甲、己乙,而相


遇于己;目己作己丙、己丁、己戊三线;次从己向各边作己庚、己辛、己壬、己癸、己子五垂线;末作圜,以己为心,庚为界,必过辛壬癸子庚而为甲乙丙丁戊五边形之内切圜。
五边等边等角形求作形外切圜章第二十六

甲乙丙丁戊五边等边等角形,求作外切圜:先分乙


甲戊、甲乙丙两角,各两平分其线,为己甲、己乙,而相遇于己;次从己作己丙、己丁、己戊三线,与己甲、己乙俱等;末以己为心,甲为界,作圜,必过乙丙丁戊甲,即得所求。
求作圜内六边切形其形等边等角章第二十七


如有甲乙丙丁戊己圜,其心庚,求作六边内切圜形等边等角:先作甲丁径线;次以丁为心,庚为界,作圜,两圜相交于丙、于戊;次从庚心,作丙庚、戊庚两线,各引长之,为丙己、戊乙;末作

甲乙、乙丙、丙丁、丁戊、戊己、己甲六线相联,即得所求。
求作圜内十五边切形其形等边等角章第二十八

如有甲乙丙圜,求作十五边内切圜形,等边等角:先


作甲乙丙内切圜平边三角形,即各边当圜十五分之五;次从甲作甲戊己庚辛内切圜五边形,等角各边,当圜十五分之三,而戊乙得十五分之二;次以戊乙圜分取乙己度,两平行

于壬,则壬乙得十五分之一;次作壬乙线,依壬乙共作十五合圜线,即得所求。
以此为例,推用递分可作无量数形。
圜内有同心圜,求作一多边形切大圜,不至小圜其多边为偶数而等章第二十九

如有甲乙丙丁戊两圜,同以己为心,求于甲乙丙大圜内作多边切形,不至丁戊小圜,其多边为偶数而等:先从己心,作甲丙径线,截丁戊圜于戊也;次从戊
作庚辛,为甲戊之垂线,即庚辛线切丁戊圜于戊也;次以甲丙两平分于乙,乙丙两平分于壬,以壬丙两平分于癸,则丙癸圜分必小于丙庚,而作丙癸合圜线,即丙癸为所求切圜形

之一边也,次以癸丙为度,递分一圜各作合圜线,得所求形。〈以上原本卷之二〉
论线〈计界说十 章数十四 要法十四〉界说章第一〈凡十则〉
第一界


角者,两线纵横相遇,所作线有曲直。两直相遇为直线角;两曲相遇为曲线角。一直一曲相遇为杂线角。曲杂两线角更有别论,今先明直线角。
第二界


凡直线正垂于横直线之上,必成两直角相等。如上图甲乙为垂线,丙丁为横线,而乙之左右两角相等,为两直角。若反以甲乙为横线,则丙丁为甲乙垂线也。
如今用矩尺,一纵一横互相为直线,互相为垂线。
第三界

垂线斜交于横直线之上,必成两不等角。两不等角


一大于直角,一小于直角。大为钝角,小为锐角。如上图戊己庚为钝角,戊己辛为锐角。故直角惟一,而锐钝两角其大小不等,乃至无数。
第四界
凡二直线不能为有界之形,故直线之形有界者,至少有三角。有三直线为边,名曰三边形,亦曰三角形。如上图三边形止有三种
第五界


三边线相等为等边三角形,亦为平边三角形。如上甲乙丙图
第六界
两边线相等为一不等三角形。如上丁戊己图。
第七界


三边线俱不等为不等边三角形。如上庚辛壬图。
第八界


三边形有一直角为三边直角形;有一钝角为三边钝角形;有三锐角为三边各锐角形。如上三图。
第九界
凡三边形恒以在下者为底,在上边为腰,如上图甲乙、甲丙为腰,乙丙为底。
第十界


凡言角者,俱用三字为识,其第二字即所指角也。如甲乙丙角,其乙字指角。
三髀规章第二

规以二髀为常法,或倍之于两端为四髀,前卷已详之矣。兹有三髀规,新式造法两髀如常,如前二卷中所设是也。旁一髀即附于二髀之枢,稍引长之,出头,其头端上有眼,衔旁一髀,令其圆活,可上下左右。如下图用法见后。


于有界直线上求立等边三角形章第三

如甲乙直线上,求立等边三角形:先以甲为心,乙为


界,或上,或下,作短界线;次以乙为心,甲为界,作短界线,两线交处为丙;末自甲至丙、丙至乙,各作直线,即所求。
于有界直线卜求立一不等三角形章第四


如甲乙直线,以甲为心,任取一度,或长或短,于甲乙线上,用前法作一短界线;次以乙为心,用前度亦如之,两

短界线交处为丙,从丙至甲至乙各作直线,即所求。
于有界直线上求立三不等角形章第五

如甲乙直线,以甲为心,或长或短,用一度,如前作短


界线;次以乙为心,甲度长,今用短度,甲度短,今用长度,于甲乙不等作短界线,交处为丙,从丙至甲至乙作两直线,即所求。
有直线角求两平分之章第六

如乙甲丙角,求两平分之:先于甲乙线任截一分,为


甲丁;次于甲丙线截甲戊与甲丁等;次或用元度,或任取一度,以丁为心,向乙丙间作一短界线;次以戊为心,亦如之,两线交处为己,从甲至己作直线,即所求。若向乙丙无地可作短


界线,则宜仍以丁以戊为心,向甲上作短界线为己,从己至甲作直线,即所求如上图。
有直角求三平分之章第七


如甲乙丙直角,求三平分之先:任于一边,立平边角形,为甲乙丁;次分对直角一边,为两平分丁戊,从此边对角作垂线至乙,即所求。
有角任分为若干分章第八


如乙甲丙角,欲分为四、为八、为十六等分,则先分两分;又各两分之,得四;又各两分之,得八;又各两分之,得十六。愈分则愈倍,任欲分为几分。如三

五七九之类,则先以甲为心,向乙作一圜分,次以规分圜分,任作几何分,末从所分度至甲作直线,即所求。如上图。
有三直线求作三角形其三边如所设三直线等章第九


如甲乙丙三线,每两线并大于一线,任以一线为底,以底之甲为心,第二、第三线为度,向上作短界线,两界线交处为丙;次向下作丙甲、丙乙两腰,

即所求。
设一三角形求别作一形与之等章第十


以所设三角形之三边,当甲乙丙三线。以前法作之,即所求。或又用前所备三髀规,以规形所设三角形,度移于别处,即所求。
一直线任于一点上求作一角如所设角等章第十一

如甲乙线上有丙点,求作一角,如所设丁戊己角等:


先于戊丁线任取一点为庚,于戊己线任取一点为辛,自庚至辛作直线;次以前法于甲乙线上作丙壬癸角,形与戊庚辛角等,即所求。
有三角形求两平分之章第十二


如有甲乙丙三角形,求两平分之:任于一边,两平分之于丁,向角作直线,即所求。
凡角形,任于一边任作一点,求从点分两形为两平分章第十三
有甲乙丙角形,从丁点求两平分之:先自丁至相对甲角,作甲丁直线;次平分乙丙线于戊,作戊己线与甲丁平行;末作己丁直线,即分本形为两平分。
有三边直角形以两边求第三边长短之数章第十四

如甲乙丙三角形,甲边直角先得甲乙、甲丙两边长


短之数。如甲乙六、甲丙八,求乙丙边长短之数。其甲乙、甲丙上,所作两直角方形,并既与乙丙上所作直角方形等,〈原本卷四十七〉则甲乙之幂,〈自乘之数曰幂〉得三十六;甲丙之幂,得六十四,并之得百。而乙丙之幂亦百,百开方得十,即乙丙数十也。又设先得甲乙、乙丙,如甲乙六、乙丙十,而求甲丙
之数,其甲乙、甲丙上两直角方形并既与乙丙上直
角方形等,则甲乙之幂得三十六,乙丙之幂得百,百减三十六,得甲丙之幂六十四,六十四开方,得八,即甲丙八也。求甲乙仿此。〈以上原本卷之三〉
论方形〈计界说八 章数十三 要法十四〉界说章第一〈凡八则〉
第一界


方形者,四直线,两纵两横,相遇所成。亦谓之四边形。如上甲图。
第二界


四边形之四线等,而四直角者,为直角方形。如上甲图。
第三界


四边两两相等,而俱直角者,为长直方形。如上乙图。
第四界


四边等,但非直角者,为斜方形。如上丙图。
第五界


四边两两相等,但非直角者,为长斜方形。如上丁图。
第六界


已上方形四种,谓之有法四边形。四种之外他方形,皆谓之无法四边形。如上戊图等。本卷多以直方形为论,为其多有用也。
第七界


凡形,每两边有平行线,为平行线方形。如上己图。
第八界


凡作平行线方形,若于两对角作一直线,其直线为对角线也。又于两边纵横间各作一平行线,其两平行线与对角线必交罗相遇,即此形分为四平行线方形,其两形有对角线者,为角线方形;其两形无对角线者,为

馀方形。如甲乙丙丁方形,于丙乙两角作一线,为对角线;又依乙丁平行作戊己横线,依甲乙平行作庚辛纵线,其对角线与戊己、庚辛两线交罗相遇于壬,即作大小四平行线方形矣,则庚壬己丙及戊壬辛乙谓之角线方形。而甲庚壬戊及壬己丁辛谓之馀方形。
审矩章第二

凡作方形,必欲用矩,故先论审矩法,后论弃矩求方之法。矩以两尺纵横而成,然必成直角方准。若稍出入,必为锐钝两角,而不能成矩。今欲审直角,先审两尺之棱,如首卷第一法。后于他坚体上,作半圜,中画


径线;次以矩角,倚半圜之界,视二尺棱,正切径线与圜相交之处,则矩准而可用矣。若有出入,则当更改,或于坚体上作一直线,更作一垂线,四边作直角,以一矩准四直角,不爽则至准矣。
一直线上求立直角方形章第三


如甲乙线上,求立直角方形:先于甲乙两界各立垂线,为丁甲,为丙乙,皆与甲乙线;等次作丁丙线相联,即得所求。
有直线形求作直角方形与之等章第四

甲直线无法四边形,求作直角方形与之等:先作乙丁形与甲等〈本卷第五第六章〉而直角;次任用一边引长之,如丁丙引之至己,而丙己与乙丙等;次以丁己两平分于庚,其庚点,或在丙点,或在丙点之外。若在丙,即


乙丁是直角方形与甲等矣。若庚在丙外,即以庚为心,丁己为界,作丁辛己半圜;末从乙丙线引长之,遇圜界于辛,即丙辛上直角方形与甲等。如上图丙辛壬癸。
有三角形,求作平行方形与之等,而方形角又与所设角等章第五

设甲乙丙角形丁角,求作平行方形与甲乙丙角形等,而有丁角先分一边为两平分,如乙丙边平分于


戊;次作丙戊己角与丁角等;次自甲作直线与乙丙平行,而与戊己线遇于己;末自丙作直线与戊己平行,为丙庚,而与甲己线遇于庚,则得己戊丙庚平行方形与甲乙丙角形等而有丁角。
有多边直线形,求作一平行方形与之等,而方形角又与所设角等章第六

设甲乙丙五边形丁角,求作平行方形与五边形等,


而有丁角先分五边形为甲乙丙三三角形;次依前章法作戊己庚辛平行方形与甲等,而有丁角;次于戊辛己庚两平行线引长之,作庚辛壬癸平行方形与乙等,而有丁角;末复引

前线作壬癸子丑平行方形与丙等,而有丁角;即此三形并为一平行方形,与甲乙丙并形等而有丁角。自五边以上可至无穷,俱仿此法。
有多直角方形,求并作一直角方形与之等章第七

如五直角方形,以甲乙丙丁戊为边,任等不等,求作


一直角方形与五形等:先作己庚辛直角,而己庚线与甲等,庚辛线与乙等;次作己辛线,旋作己辛壬直角,而辛壬与丙等;次作己壬线,旋作己壬癸直角,而壬癸与丁等;次作己癸线,旋作己癸子直角,而癸子与戊等;末作己子线,而己子线上所作直角方

形即所求。
有平行方形,求作三角形与之等,而三角形一角如所设角等章第八

如有甲乙丙丁平行方形戊角:先作丁乙己角与戊


等,遇甲丙线于己;次以乙丁线引长之,为庚,取丁庚度与乙丁等;末作己庚直线,乙丙庚三角形与甲乙丙丁平行方形等,而有戊角,即所求。
一直线上,求作平行方形与所设三角形等,而方形角又与所设角等章第九

设甲线乙角形丙角,求于甲线上,作平行方形与乙


角形等,而有丙角:先依本卷第五章法,作丁戊己庚平行方形与乙角形等,而戊己庚角与丙角等;次于庚己线引长之,作己辛线;次作辛壬线与戊己平行;次于丁戊引长之,与辛壬线遇于壬;次自壬至己作对角线引

出之,又自丁庚引长之,与对角线遇于癸;次自癸作直线与庚辛平行,又于壬辛引长之,与癸线遇于子;末于戊己引长之至癸子线得丑,即己丑子辛平行方形如所求。如欲即于甲线立形,则先依本章法,作己辛子丑方形;次于甲线一界,作寅角如辛己丑角等;次取寅卯如己丑等;末成平行方形,即得所求。
设不等两直角方形,如一以甲为边,一以乙为边,求别作两直角方形自相等,而并之又与元设两形并等章第十

先作丙戊线与甲等,次作戊丙丁直角形,而丙丁线


与乙线等;次作戊丁线相联;末于丙丁戊角、丙戊丁角各作一角,皆半于直角;己戊、己丁两腰相遇于己,而相等,即己戊、己丁两线上,所作两直角方形自相等,而并之,又与丙戊、丙丁上所

作两直角方形亦相等。
两直线形不等,求相等之较几何章第十一


甲与乙两直线形,甲大于乙,以乙减甲,求较几何:先任作丁丙、己戊平行方形与甲等;次于丙丁线上依丁角,作丁丙辛庚平行方形与乙等,即得辛庚戊己为相减之较矣。
有圜,求作一直角方形与之等章第十二

方圆圆方之法,自古名贤究析而未准。吾师丁先生,几何六卷之末,设此神法。其法之用甚广。今撮其要,以推作方圆圆方之法:先设甲乙丙丁直角方形,次


以乙为心,以甲为界,作甲丁限象,任分为若干度,今姑分为九十度。又分甲乙丙丁两线,如前数为九十,次自乙心至象限,逐度皆作虚线;次从甲乙、丙丁两线对望,作平行线,其与限象线交处俱作点;次从甲作曲线贯诸点,贯诸点之线,则甲戊线为方圆圆方之根线,而乙甲为边,


乙丁为底,次自甲至戊作一直线;若乙戊直线与所设欲方之圜半径等,则甲乙线为所设圜限象之界线;若圜半径长,则于乙丁线上截乙己与半径等,引长甲乙线,作己庚与戊甲线平行,庚至乙即长径圜象限之界线;若圜半径短,则于乙丁线上截乙辛与半径等,作辛壬线与
戊甲平行,则壬至乙即短径圜限象之界线。今有子
丑圜,或大或小,其半径与乙辛等,先作一寅卯直线立一辰己垂线;次从己起取己午、午未各与乙壬等;次取己申与乙辛等;次两平分申未于酉,以酉为心,以申或未为界作半圜,切垂线于辰;末取己辰作直角方形之一边,则此方形与所设圜等。以此可推,不特一方与一圜,即方之一边线与圜一限象等,方之半边线与圜半限象等。
有直角方形,求作一圜与之等章第十三
图缺如有甲线为方之边,先取一圜,依前法,求其作方之线,如前度得申己;次作辰申直线;次截戊己如所设甲线等;次自戊作戊卯线与辰申平行;末以己卯为半径之度,作一圜即得所求。
推用一法

依两章方圆圆方之法,可推任有直线形可作一圜与之等。又任设一圜,可作直线形与之等,须先依前章法,求多边直线形,作一方形与之等;次依本章法,作一圜形与直角方形等;则得一圜与所设直线形等。若又有圜,求作一三角形,先依本章法,作一方与所设圜等;次依前法,作三角形如所设方形等,则所作三角形如原设圜等。〈以上原本卷之四〉




钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百二十八卷目录

 算法部总论
  隋书〈律历志备数〉
  明唐顺之本集〈句股测望论 句股容方圆论 弧矢论 分法论 六分论〉
 算法部艺文
  明算          册府元龟
  测圆海镜序         李冶
 算法部纪事

历法典第一百二十八卷

算法部总论

《隋书》律历志备数

五数者,一十百千万也。《传》曰:物生而后有象,滋而后有数。是以言律者,云数起于建子,黄钟之律,始一而每辰三之,历九辰至酉,得一万九千六百八十三。而五数备成,以为律法。又参之终亥,凡历十二辰,得十有七万七千一百四十七,而辰数该矣。以为律积,以成法除该积,得九寸,即黄钟宫律之长也。此则数因律起,律以数成。故可历管万事,综覈气象。其算用竹,广二分,长三寸,正策三廉,积二百一十六枚,成六觚乾之策也。负策四廉,积一百四十四枚,成方坤之策也。觚方皆经十二,天地之大数也。是故探赜索隐,钩深致远,莫不用焉。一十百千万,所同由也。律度量衡历率,其别用也。故体有长短,检之以度,则不失毫釐;物有多少,受之以器,则不失圭撮;量有轻重,平之以权衡,则不失黍丝;声有清浊,协之以律吕,则不失宫商;三光运行,纪以历数,则不差晷刻;事物糅见,御之以率,则不乖其本。故幽隐之情,精微之变,可得而综也。夫所谓率者,有九流焉:一曰方田,以御田畴界域;二曰粟米,以御交质变易;三曰衰分,以御贵贱廪税;四曰少广,以御积幂方圆;五曰商功,以御功程积实;六曰均输,以御远近劳费;七曰盈朒,以御隐杂互见;八曰方程,以御错糅正负;九曰句股,以御高深广远。皆乘以散之,除以聚之,齐同以通之,今有以贯之。则算数之方,尽于斯矣。古之九数,圆周率三,圆径率一,其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒,各设新率,未臻折衷。宋末,南徐州从事史祖冲之,更开密法,以圆径一亿为一丈圆周,盈数二丈一尺四寸一分五釐九毫二秒七忽,朒数三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒六忽,正数在盈朒二限之间,密率圆径一百一十三,圆周三百五十五,约率圆径七周二十二又设开差幂,开差立,兼以正圆参之,指要精密,算氏之最者也。所著之书,名为缀术,学官莫能究其深奥。是故废而不理。
《唐顺之本集》句股测望论
句股,所谓矩也。古人执数寸之矩,而日月运行,朓朒迟速之变,山溪之高深广远,凡目力所及,无不可知。盖不能逃乎数也。句股之法,横为句,纵为股,斜为弦。句股求弦,句股自乘,相并为实,平方开之,得弦。句股求股,句弦自乘,相减为实,平方开之,得股。股弦求句,同法。盖一弦实,藏一句一股之实;一句一股之实,并得一弦实也。数非两不行,因句股而得弦,因股弦而得句,因句弦而得股:三者之中,其两者显而可知,其一者,藏而不可知,因两以得三,此句股法之可通者也。至如远近可知,而高下不可知,如卑则塔影,高则日影之类。塔影之在地者可量,而人足可以至于戴日之下,而日与塔高低之数不可知,则是有句而无股弦,三者缺其二,数不可起,而句股之法穷矣。于是有立表之法,盖以小句股求大句股也。小句股每一寸之句为股长几何,则大句股每一尺之句,其长几何可知矣。此以人目与表,与所望之高,三相直而知之也。人目至表,小弦也;人目至所望之高,大弦也。又法:表为小股,其高几何,与至塔下之数相乘,以小句除之,则得塔高。盖横之则为小股,至塔之积;纵之则为小句,至塔顶之积。纵横之数,恰同是变句以为股,因横而得纵者也。句、股、弦三者有一可知,则立表之法可得而用。若其高与远之数皆不可知,而但目力可及,如隔海望山之类,则句、股、弦三者无一可知,而立表之法又穷矣。于是有重表之法,盖两表相去几何为影差者,几何因其差以求句股,亦可得矣。立表者以通句股之穷也,重表者以通一表之穷也,其实重表一表也,一表句股也,无二法也。

句股容方圆论

凡奇零不齐之数,准之于齐;圆准之于方,不齐之圆,准于齐之圆,不齐之方,准于齐之方,句股容圆准于句股容方。假令句五股五弦七,有奇,此为整方均齐无较之句股,其容方径,该得句之半,盖容方积得句股全积四分之一,其取全积时,句股分在两廉,则句五股五,五五二十五内,一半为句积,一半为股积。其求容方,则并句股为纵。一廉得十为长之数,得阔二五与原句相半,盖始初,则一半句积,一半股积,横列之而为正方。及取容方,则股积在上,句积在下,而为长方矣。其容方,所以止得半句者,则以句股之数均也。若句短股长,则容方以渐,而阔不止于半句矣。故大半为股积,小半为句积,其始横列时,句积与股同长而不同阔;其从列时,则股积之阔如故,而句积截长以为阔,则阔与股积同而长与股积异,与横列正相反。此变长为阔,而取容方之法也。其谓之句积股积者,从容方,径与句股相乘之数而名之也。若取容圆径,则用句股自之,而倍其数。以句股与弦并为法,盖容圆之径多于容方。方有四角,与弦相碍,故其数少。圆循弦宛转,故其数多。若以求容方,与求容圆相比,则积中恰少一段圆径与半弦和较相乘之数。弦和较者,勾股并,与弦相较之数也。假令勾五股五相乘,亦倍之,得五十。如求容方,则亦倍勾股为法,得二十,亦恰得二寸五分之径。如求容圆,则不用倍勾股为法,而用一句股并与一弦,是以一弦代一句股并也。以一弦代一句股并,恰少一弦和较,加一弦和较,则亦两句股矣。假令一句股,得十倍句股,得二十,是取容方之径。一句股得十,一弦得七,恰少一弦和较。三是取容圆之径,其所以少一弦和较者,圆径多于方径也。假令取容圆不用句股倍积,而止用句股本积,则宜用句股并为廉,而除去半弦和较,亦得或约得圆径。之后与半弦和较相乘添积,而以句股并为廉,不除亦得。或用句股倍积,用两句股相并为廉,而以全弦和较,与约得圆径相乘添积,亦得此改方为圆之妙。其机括只寓之于弦和较间也。至于句股积与弦积,亦只于句股较中求之,盖数起于参伍,参伍起于畸零,不齐也。假令股五句五齐数之句股,则句股幂倍之,即得弦幂。盖两句股积,而成弦积也。至于句短股长相乘之积,则成一长方倍之。而弦侧不当中径,亦不成弦幂,惟以一句股较积补之,乃能使长方为一正方,而得弦积。盖句股之差愈远,则长方愈狭;长方愈狭,则句股之差积愈多。故句股差者,所以权长方不及正方之数以相补,辏此补狭为方之法也。

弧矢论

凡弧矢算法,准之于矢,而参之于径。背径求矢之法,先求之背弦差,而半背弦差藏之,矢幂与径相除之中,倍矢幂,与径相除,则全背弦差也。半法简捷,故用其半幂者,方眼也。自乘之数必方,故谓之幂。假令径十寸截矢一寸,一寸隅无开方,即以一寸为矢幂,而以十寸之径除之,该得一分,是半背弦差一分。若二寸矢,开方得四寸,是为一寸者四,半背弦差得四分。三寸矢开方得九,是为一寸者九半背弦差得九分。皆准之于十寸之径。故一寸之幂,而差一分递,而上之视其幂,以为差之多少。又假令径十三寸矢,幂一寸,则以十三寸之径与一寸相除,每寸该差七釐七毫,弱以为半背弦差,若二寸矢,开方得四,该四个七釐七毫并之,得三分八毫,以为二寸矢半背弦差,此准之十三寸之径亦递,而上之视其幂,以为差之多少,盖径长则背弦之差减,故一寸矢而差止七釐有奇。径短则背弦之差增,故一寸矢而差及一分虽。其数有增减,而准之于一寸之幂与径相除,而以渐开之。每得一寸,则得元差,而相并以为背弦之差,则其法之一,定不可易者也。背径求矢、矢背求径诸法,消息管于是矣。至于径积求矢一法,古法以倍截积自乘为实四,因截积为上廉四,因直径为下,廉五为负隅,与矢相乘,以减下廉;而以上下廉与矢除实。今立一法,但以截积自乘为实,而遂以截积为上廉,直径为下廉,每一寸矢带二分五釐,二寸矢则带五分。四分而增其一,以减径其倍积四,因之法,悉去不用,颇为简捷。盖径积求矢,准于矢径之差。矢径差者,矢径互为升降也。矢一寸则该减径一寸二分五釐,矢二寸则该减径二寸五分,而矢径之差起于积数之不足。且夫圆准于方,而畸零之圆又准于均齐之圆。以方为率,径十寸,矢一寸,则积必是十寸;矢二寸,则积必是二十寸,但得积为实,只约矢与径为从平方开之,足矣。盖方无虚隅也。又以整圆为率,径十寸,矢五寸,则圆积必居方积四分之三,而以四之一为虚隅,足矣。盖虽有虚隅,而其数易准也。惟是矢以渐而短,则积以渐而减。有不能及四分之三虚隅,以渐而加。有不止于四分之一者矣,于是平方法与四分,而一为虚隅之法,皆不可用。惟是乘平方之积为三乘,而以四分之矢减五分之径,则不问矢之长短,积与虚隅之多寡,而其数皆至此,而均齐犹之平方之法。数有多寡,而减来减去必得一均齐之数,以为准。而后不齐者,皆齐此天然之妙也。夫积,自乘而为三乘方之实,则一整方耳,而矢数藏焉。及立法求矢,则分为上下两廉,而矢数著焉盖整方。所以聚积而分廉,所以散积,补短截长,而方圆斜直通融为一,此亦天然之妙也。假令径十寸,矢一寸,积该三寸五分,自乘该十二寸二分五釐,上廉三寸五分,下廉十寸,以三乘方开之,而一寸无开方,则上下廉如,元数共得十三寸五分,为廉法与一寸矢相乘,除实恰少一寸二分五釐,是为负隅之数。所以用每矢一寸,则带二分五釐为准,以减径,然后法实相当也。又如径十寸,矢二寸,积该十寸自乘该百寸,上廉十寸,下廉亦十寸,以三乘方开之,则须以矢数乘上廉,上廉该得三十寸。盖长十寸而高二寸之数,以矢数自乘得四而乘下廉,下廉该得四十寸。盖高十寸而阔四寸之数,上下廉共得六十寸。又以矢二寸为方面与上下廉相乘,除实共二个六十寸,该得一百二十寸,其数乃足。而元数止得百寸,恰少积二十寸,所以用二寸五分,以除下廉,则该止得七寸五分,为下廉。其下廉减去高二寸五分,中阔该四寸,则四个二寸五分该得十寸方,面二寸,与十寸相乘,共二十寸,恰勾负隅之数。所以二寸矢,则用二寸五分减法也。递而上之每寸,以二分五釐为准,盖虽径有极长极短,而一寸寸矢带二分五釐,减径之法,则定数也。径积求矢,矢积求径,径矢求积诸法,消息管于是矣。然此二法者,背弦之差,则随径而不随矢,所以均为一寸之矢。而其差则有多寡之不齐。矢径之差,则随矢而不随径,所以但得一寸之矢,则不问径之长短。而一例为差,此二法之异也。若以今法与旧法相通,今法不倍积。所以不用四因。四因者,生于倍积也,古法之五为负隅,即今之一寸带二分五釐也。盖以五乘之矢除,四因之径,则亦一寸矢而减一寸三分五釐之径也。然有廉而无方隅者,盖截积止得廉数也。即此二法,可见截弧截积之法,皆从边起,而准之于边,以渐消息之矣。既得一寸之定差,则虽倍蓰十伯错综变化,而皆不能出乎范围之外,此天然之妙也。故曰:握其机而万事理矣。其弦矢求径法,半弦自乘为实,而以矢除之,加矢得径,是径之数藏于半。弦幂与矢相除,而加矢之中也。今环而通之,以为背弦求矢诸法。背弦求矢,其半背幂中藏一个半弦幂,与矢相除,而加矢之径数,藏一个矢幂以径数相除,为背弦差之数,二数消息恰得半背幂本数,则矢数见矣。假令径十寸,矢一寸,半背弦差一分,半背数三寸一分,自乘得九寸六分一釐,其九寸为弦幂,所谓中藏半弦幂与矢相除,而加矢之径数,其六分一釐,乃是两半背幂,而空其一差,亦名差与半背相开方之数,即以与其差一分相乘之数。所谓一个矢幂,以径数相除,为背弦差之数也。二数消息,以尽背幂,而法可立矣。其背矢求弦法,若背矢,先求出径,而后以矢径求弦,则为简捷。盖半背幂中所藏弦幂,与背弦差幂。今以矢幂约径,而以径除矢幂,为背弦差。又以矢截径,以矢乘之,为半弦幂。二数消息恰得半背幂本数。则径数见矣。得径而弦在其中矣。其矢弦求背,亦须先得径,而后得背。盖半弦幂为实,乃以矢约径,以矢减之,以矢乘之,恰得半弦幂本数。则径数见矣。得径而背在其中矣。假令矢一寸半,弦三寸,自乘九寸,为半弦幂为实。以矢约寸得十寸,以矢一寸减之得九寸,以矢一寸乘之得九寸,恰与半弦幂相同,则为径十寸矣。此背弦矢径四者相乘除,循环无穷之妙也。至于径积求矢,则既然矣。因而通之积矢求径。假令径十寸,矢一寸,积三寸五分自乘,该十二寸二分五釐,乃以原积三寸五分为上廉,一寸之矢为下廉,以除自乘之积,馀数得八寸七分五釐,加矢带数一寸二分五釐,则为径十寸矣。又如径十寸,矢二寸,积十寸自乘,寸百为实,矢乘积得二十寸为上廉,再矢自乘得八为下廉,以二乘上廉,消积四十,以八消馀积六十,得七寸五分,加入矢带数二寸五分,则径十寸矣。径积求矢,则积为上廉,而径为下廉。矢积求径,则亦积为上廉,而矢为下廉,此其纵横往来相通之妙,而一乘上廉,再乘下廉,则三乘开方之定法也。积矢求弦,则倍其积,以矢除积,而减矢。弦矢求积,则并矢于弦,以矢乘积,而半其积,盖矢弦并之为长,以矢乘之,而得两积,故半之,而积可见也。倍之,则为矢弦相并之积,以矢除之,而得矢弦相并之本数,除矢而弦可见也。径矢求积,则先得弦,而后得积,盖以矢减径,以矢乘之四,因得数面弦幂藏于其中平方开之得弦乃以矢自乘以矢与弦相乘,合二数而半之,则得积矣。此又积矢径弦四者相乘除,循环无穷之妙也。其径背求矢法,则以半背自乘为实,而约矢以减径,以矢乘之,为半弦幂,而平方开之,以减背,其减馀之数,恰与矢之背弦差数相当,则矢数见矣。盖半背数中,藏一半弦数,藏一背弦差数,故合二数而消息之也。径十寸,矢一寸,半背三寸一分,十寸之径,每一寸矢该差二分,二寸矢该差四分,为定差。今约矢一寸,以减径,得九寸,以矢乘亦得九寸,平方开之得三寸,为半弦。以除半背,而馀一分,恰勾一寸差数,则矢之为一寸也,无疑矣。又如径十寸,半背四寸四分,约得矢二寸,以减径,馀八寸,以矢乘,得十六寸,为弦幂平方开之为四寸,以减半背四寸,而馀四分,恰得二寸,矢之定差,则矢之为二寸也,无疑矣。又法,半背幂,自乘为实,中藏一个半弦,自乘之数,一个背弦差与两半背,而空出一差,相乘之数,亦名背弦差与背相开方之数,以此两数与实相消,而矢数见矣。假令径十寸,半背三寸一分,其半背幂,该九寸六分一釐,约矢一寸,与径相减,相乘如前法,得九寸,以除实九寸,而以一寸之差一分,与两半背而空出一差之数,得六寸一分,与上差一分相乘,得六分一釐,并二数九寸六分一釐,除实,恰尽。以是知矢之为一寸也。又如半背四寸四分,自乘得十九寸三分六釐,为实约,矢二寸与径相减,相乘如前法,得十六寸,以除十六寸,而以二寸之差四分与两半背,而空出一差之数,得八寸四分,与上差四分相乘,得三寸三分六釐,并二数十九寸三分六釐,除实恰尽以是知矢之为二寸也此其法亦始于先得定差,而约矢与径,两相消息,以得矢也。其径数有长短,差数有多寡,亦准。此法而通之也,在先得定差,而已又法半径,自乘为径,幂半背,自乘为背幂,二幂相乘为实,乃约矢,以减径,以矢乘之,为半弦幂,与径幂相乘,以除实,又以径幂除其馀实,恰得矢数之定差,则矢可得矣。盖二幂相乘,中藏一个径幂,与弦幂相乘之数,藏一个径幂,与半背弦差幂相乘之数,而背弦差者,矢之所藏也。假令径十寸,矢二寸,背差八分,半径自乘,得二十五寸,半背自乘,得十九寸三分六釐,相乘得四百八十四寸,为实及约矢,得二寸,以减径,而乘之得十六寸,为弦幂,与径幂相乘,得四百,以除实,馀八十四寸;又以径幂除之,得三寸三分六釐,恰与二寸矢之定差相合,然二寸矢之定差四分,而乃有三寸三分六釐者,盖始求背幂之时,以两背数相乘,则四分寓,其间恰得此数,所谓差与背相开方之数也。以四分与八寸四分相乘,得三寸三分六釐,故定差四分,而其积则三寸三分六釐也。以八寸四分除之,则定差本数也。夫背弦差者,矢之所藏也。以差立法,古未有之,而实求矢之大机也。差径求矢,以差与径相乘,平方开之得矢;差矢求径,矢自乘以差,为从平方开之得径,而差与弦亦可以求矢径半弦之幂,矢除径,而矢乘径之数也。差者,矢幂而径除之之数也。先约径矢数与弦幂相同,而又以径除矢幂,与差数同,则得矢径差与背,求矢径减差,则得弦,即差弦求矢径也。积者,矢与弦并,以矢除而半之之数也。积弦求矢,倍积为实,约矢而加之于弦,为从方,以矢为法除之,则得矢也。矢积求弦,矢自乘,而置虚积与元积相当,然后减去矢自乘之幂,而以矢除其虚积与元积之并,则得弦也。假令矢一寸,积三寸五分,矢自乘,得寸添积二寸五分,乃与元积相当。然后减去矢自乘之寸,馀六寸,以矢除之,得弦六寸也。矢二寸,积十寸,矢自乘,得四寸,加虚积六寸,与元积相当。减去矢自乘之寸,馀十六寸,以矢除之,得弦八寸也。如不以矢径求弦得积,而遂以矢径求积,则矢每寸截径寸二分五釐,而以矢自乘,再乘,以乘截馀之径,为径积,然后以径约积,而以积与矢自乘之数相乘,添入径积,合为积幂,而复以约积自乘,亦与前积幂同数,则积亦可得矣。然不如得弦而后得积之为简捷也。至于残周与弦求矢,则亦用半弦自乘为实,而约出矢数,以除半弦幂,而加矢为径,乃以径补出全周之数,而以半背数除半弦数,馀为半背弦差,恰得矢之定差,则矢可得矣。假令弦六寸,残周二十三寸八分,则以半弦自乘,得九为实,而约出矢一寸,以除实而加之,得十寸为径,该周三十寸,除残周数,得半背三寸一分,除半弦三寸,而馀一分,恰得一寸矢之定差,则矢一寸也。又如弦八寸,残周二十一寸二分,半弦自乘,得十六为实,约出矢二寸,以除实而加之,得十寸为径,该周三十寸,除残周数,得半背四寸四分,除半弦四寸,而馀四分,恰得二寸,矢之定差,则矢二寸也。数虽如是,而起算极周折惟求之,弦、矢、径三相权,则其数可准,盖径、矢求弦,则以矢减径,以矢乘之,为半弦幂径、弦求矢,则以半弦自乘为实,而以径为益方,以矢减益方,而相乘,除实,亦是以矢减径,以矢乘之,而得半弦幂也。弦、矢求径,则以半弦自乘,以矢除之,加矢而得径,由是三者辗转求之,则是半弦幂,中藏却以矢减径,以矢乘之之定数,以是约出矢径,而因径以为周,减其残周,而得背。以半背与半弦相较,而得差,恰与矢之定差相同,则矢数无所失矣。其有不合,则更约之,此数虽若眇茫,然准之,于以矢减径,即以矢乘,必须与半弦幂相当,则亦未尝无绳墨也。此意元之又元也,至神莫知也,积也,矢也,径也,弦也,背也,残周也,差也,凡七者转相为法,而转相求,共得三百二十六法,而后尽浑然一圆圈,而中含错综变化,乃至于此。呜呼。岂非所谓至妙至妙者哉。

分法论

差分方程,盈朒粟米,总是一分法也。物有多寡,价有贵贱,两物相形,已知物之孰贵孰贱,各有定价矣。若使两物总共若干,两价亦总共若干,则两物混杂。虽则两物混杂,而总价固相差也。于是以价权物,则因价之贵贱而差之也。未知两物之孰贵孰贱,而但知两物相参伍之总价,若使此三而彼五,则价共增若干。此五而彼三,则价共减若干,则两价混杂,而物数固相形也。于是以物权价,则因物之参伍,而推出价之贵贱,谓之方程。方程者,言物价相检,括有定式,而不可乱也。差分方程之所不能尽,于是有盈朒。盈者有馀,朒者不足,盈朒者,因其外露畸零可见之数,而推知其中藏隐,杂不可见之数,以据末颖而窥全,锥也。假令物共若干,两价共若干,两两物混杂,而法有不尽于差分也,于是而盈朒之。假令总是贵物,则原总价不足若干;总是贱物,则原总价有馀若干。于是推乘,以齐其数。以不足之数乘贱物,以有馀之数乘贵物,两物各得其所乘之数,以为实,而并有馀;不足之数,以为法,而各归之,则物之多寡,可得矣。此差分之盈朒也。未知两物之孰贵孰贱,而但知此三而彼五,则价共增若干。此五而彼三,则价共减若干。两价混杂,而法有不尽于方程也,于是而盈朒之。假令此贱若干,彼贵若干,则原总价有馀几何。此贵若干,彼贱若干,则原总价不足几何。于是维乘,以齐其数,以有馀乘。此贵彼贱,亦以不足乘。彼贵此贱,令两贱自相减,两贵自相减,为实有馀。不足,亦自相减为法,则价之贵贱可得矣。此方程之盈朒也。差分以价,权物方程,以物权价,差分露价而混物,方程露物而混价,露价而混物,故以价相辖;露物而混价,故以物相参。而盈朒通乎其间矣。至于物有以多而易寡,价有以贵而易贱,于是有粟米,则乘除互换之,间而多遂与寡相当,贱遂与贵相当,而其数齐矣。以粟易米,则以粟率乘,以米率除;以米易粟,则以米率乘,以粟率除;以贵物易贱物,则以贵率乘,以贱率除;以贱物易贵物,则以贱率乘,以贵率除;以贱物易,皆以本率乘,以所易之率除。谓之粟米者,因粟米以名诸物也。

六分论

数欲以繁而从简,而数之有分者,不可以常法约也。于是有约分之法,则以子减母,以母减子,至于等,而后止。等数者,母子之数所共止齐也,必相减,而后得之,所谓减损求原也。然后以等约母,以等约子,而繁者简矣。数有以少而合多,以聚其零散;亦有以少而减多,以较其多寡。而数之有分者,不可以常法,合而减也,于是有合分。课分之法,分母不同,分子亦异,于是母互乘子,以齐其数。假令二分之一与三分之一相乘,二分之母数本少也,与子之二数相乘而为四,则虽少而多。三分之母数本多也,与子之数相乘,而为三,则虽多而少一,互乘而裒多,益寡之义著矣。诸分皆母互乘子而合,分则相并以为实,所以为合也。课分,则相减,以为实,所以为减也。其实有相乘相减之异,而其法则皆以母相乘,盖其始皆母互乘子,以为实,则其母亦互相乘,以为法也。合分观其所总,而聚散著矣。减分观其所馀,而多寡著矣。数有多寡损益以取平,而数之有分者,不可以常数平也。于是有平分之法。亦母互乘子而副置之,其一相并以为平实,其不相并而据诸分之位数,凡几谓之列数名,以列数乘其不相并之分子,以为列元,是三位相并,则以三为列数。原是四位相并,则亦以四为列数,以三数乘,不相并,则亦与三数相并相当矣。以四数乘,不相并,则亦与四数相并相当矣。但相并,则诸分。总得其相乘之数。不相并,则诸分各得其相乘之数耳。以各较总而有馀,不足见矣。故平实者,总也;列实者,各也。非总无以准各,非各无以自准,有总有各而有馀,不足见矣。列实有馀者,以平实准之,而得其减数。列实不足者,以平实准之,而得其益数。减有馀之列,实益不足之列实,皆齐于平实而后止,是若齐于总也。于是以诸母相乘犹之母互乘子也。亦以列数乘,诸母之相乘者,犹之列数乘诸分子也,则分母恰与分子相当。以为法,以命平实,而诸分平矣。乘分者,乘法之有分者也。除分者,除法之有分者也。其乘分、除分皆用通分法。假如有银十两三分,两之二,则无分之全数,与有分之零数,相碍而不相通。于是以分母三乘全两,其十两得三十分,带分子二,共三十二分。所谓分母乘其全分子,从之也。通分,则全数与零数均为一法。而不相碍通分之后乘分,则以各通分相乘,为实分母相乘,为法除分,则以实分母乘法,以法分母乘实,而法与实之数始相当,而无偏,亦所谓变而通也。算经曰:学者不患乘除之为,难而患分法之为,难然必精于无分之乘除,而后能通于有分之乘除,非二致也,法有浅深而已矣。天地之间聚散分合,而已天气下降,地气上腾,而天地合。天气上腾,地气下降,而天地判合。则气发泄于其外判,则气凝结于其中其分,所以为合也。兵之用,聚散分合而已矣。分不分,谓之縻军;聚不聚,谓之孤旅。然聚易,而分难,其分所以为聚也。韩信多多益辨,兵家以为分数明也。数之用聚散分合而已矣。聚小以为大,谓之乘;散大以为小,谓之除。聚小以为大,则无畸零不尽之数;散大以为小,则多有畸零不尽之数矣。是以乘法省,而除法繁;乘法易,而除法难也。可知矣。

算法部艺文

明算          册府元龟

自隶首作算,容成造历,后之学者,不绝英华。或妙尽其能,或略穷其理。忘寝废食,精骛心游。耳不闻于雷霆,行或坠于坎窞。尝龆龀而耽味,射隐伏以冥符。小则括毫釐之形,大则周天地之数。聊屈指而洞明,运只著而无爽。若非苦志名山,寻师远道,则何以臻此哉。

测圆海镜序         李冶

数本难穷,吾欲以力强穷之,彼其数不惟不能得其凡,而吾之力且惫矣。然则数,果不可以穷耶。既已名之数矣,则又何为而不可穷也。故谓数为难穷,斯可谓数为不可穷。斯不可,何则彼其冥冥之中,固有昭昭者存。夫昭昭者,其自然之数也。非自然之数,其自然之理也。数一出于自然,吾欲以力强穷之,使隶首复生,亦末如之,何也。已苟能推自然之理,以明自然之数,则虽远而乾端坤倪,幽而神情鬼状,未有不合者矣。予自幼喜算数,恒病夫考圆之术,例出于牵强,殊乖于自然。如古率、徽率、密率之不同,截弧、截矢、截背之互见。内外诸角,析会两条,莫不各自名家,与世作法,反反覆研究,而卒无以当吾心焉。老大以来,得洞渊九容之说,日夕玩绎而乡之,病我者始去之而无遗馀。山中多暇客,有从余求其说者。于是乎,又为衍之,遂累一百七十问。既成编,客复目之《测圆海镜》,盖取夫天临海镜之义也。昔半山老人集唐百家诗选,自谓废日力于此,良可惜。明道先生以上蔡谢君记诵,为玩物丧志,夫文史尚矣。犹之为不足贵,况九九贱技能乎。嗜好酸咸,平生每痛,自戒敕,竟莫能已。类有物凭之者,吾亦不知其然而然也。故尝私为之解,曰:由技进乎道者,言之、石之、斤扁之,轮庸非圣人之所予乎。览吾之编,察吾苦心。其悯我者,当百数;其笑我者,当千数。乃若吾之所得,则自得焉耳,宁复为人悯笑计哉。

算法部纪事

《通鉴前编》:黄帝有熊氏,命隶首作数。〈注〉《外纪》曰:帝命隶首定数,以率其羡,要其会,而律度、量、衡,由是而成焉。
《史记》:张苍明习天下图书计籍,又善用算律历,故令苍以列侯,居相府,主领郡国上计者。
《册府元龟》:汉许商为博士,治《尚书》为算,能度功用,尝著《五行论历》〈注〉《艺文志》,有《许商算术》二十六卷,《杜忠算术》十六卷。
桑弘羊,武帝时以计算。羊年十三为侍中。
耿寿昌,宣帝时为大司农丞,以善算为算工,得幸于帝。
《后汉书·冯勤传》:勤为司徒,八岁善计〈注〉计算术也。《册府元龟》:张衡为尚书,尤致思于天文阴阳历算。王子山与父叔师,到泰山,从鲍子真学算。
《西京杂记》:汉安定,皇甫嵩、真元菟、曹元理并善算术,皆成帝时人。真尝自算其年寿七十三,于绥和元年正月二十五日晡时死,书其屋壁,以记之。二十四日晡时死,其妻曰:见算时,常下一算,欲以告之。虑脱有旨,故不告。今果先一日也。真又曰:北邙青冢上,孤槚之西,四丈所凿之入七尺,吾欲葬此地。及真死,依言往掘,得古时空椁,即以葬焉。
曹元理,尝从真元菟友人陈广汉,广汉曰:吾有二囷米,忘其石数,子为吾计之。元理以食箸十馀转,曰:东囷七百四十九石二斗七合,西囷六百九十七石八斗。遂大署囷门,后出米,西囷六百九十七石七斗九升中,有一鼠大堪一升;东囷不差圭合。元理后岁复遇广汉。广汉以米数告之元理,以手击状,曰:遂不知鼠之食米,不如剥面皮矣。广汉为之取酒鹿脯数脔,元理复算曰:甘蔗二十五区,应收一千五百三十六枚;蹲䲭三十七亩,应收六百七十三石千;牛产二百犊;万鸡将五万雏。羊豕鹅鸭皆道其数;果蓏殽核悉知其所。乃曰:此资业之广,何供具之褊。广汉惭,曰:有仓卒客,无仓卒主人。元理曰:俎上蒸肫一头,厨中荔枝一盘,皆可以为设。广汉再拜谢罪,入取,尽日为欢。其术后传南季,南季传项滔,项滔传子陆,皆得其分数,而失其元妙焉。
《后汉书·郑元传》:元以永建二年七月戊寅生,八九岁能下算乘除。年十一二,随母还家,腊日宴会,同时十许人皆美服盛饰,语言通了。元独漠然状,如不及。母私督数之,乃曰:此非元之所志也。
《异苑》:郑元在马融门下,三年不相见。高足弟子,传授而已。常算浑天不合,问诸弟子,弟子莫能解。或言:元。融召令算,一转便决,众咸骇服。及元业成辞归,融心忌焉。元亦疑有追者,乃坐桥下,在水上据屐。融果转式逐之,告左右曰:元在土下水上,而据木,此必死矣。遂罢追。元竟以免。一说郑康成师马融,三载无闻。融鄙而遣还。元过树阴,假寐,见一老父,以刀开腹心,谓曰:子可以学矣。于是寤而即返,遂精洞典籍。融叹曰:诗、书、礼、乐,皆已东矣。潜欲杀元。元知而窃去。融推式以算元,元当在土木上,躬骑马袭之。元入一桥下,俯伏柱上。融踟蹰桥侧,云:土木之间,此则当矣。有水非也。从此而归。元用免焉。
《册府元龟》:郑元造太学,受业师事京兆第五。元先始通《春秋》《三统历》《九章》《算术》,又因卢植事马融,融素贵元。在门下三年,不得见会。融集诸生,考论《图纬》,闻元善算,乃召见。元因质诸疑义,后徵大司农,不起〈注〉三统历,刘歆所撰九章、算术,周公作凡有九篇:方田一,粟布二,差分三,少广四,均输五,方程六,旁要七,盈不足八,钩股九。
《三国·魏志·王粲本传》:粲子仲宣,山阳高平人也。性善算,作算术,略尽其理。
《册府元龟》:吴顾谭为左节度,每省簿书,未尝下筹。徒屈指心计,尽发疑谬。下吏以此服之。
赵达,明算术,事大帝。帝令达算:作天子之后,当复几年。达曰:高祖建元十二年,陛下倍之。帝大喜,左右称万岁。果如达言。黄武三年,魏文帝在广陵,大帝令达算之。曰:曹丕走矣。虽然吴衰庚子岁。帝曰:几何。达屈指而计之,曰:五十八年。帝曰:今日之忧,不暇及远,此子孙事也。达治九宫一算之术,究其微,旨是以能应机立成,对问若神。至计飞蝗射隐伏,无不中。效或难。达曰:飞者,固不可校。谁知其然,此殆妄耳。达使人取小豆数斗,播之席上,立处其数验,覆果信。尝过知故,知故为之具食。毕,谓之曰:仓卒乏酒,又无佳肴,无以叙意,如何。达因取盘中只箸,再三纵横之,乃言:卿东壁有美酒一斛,又有鹿肉三斤,何以辞无。时适坐有他宾,内得主人情。主人惭,曰:以卿善射有无,欲相试耳,竟效如此。遂出酒酣饮。又有书简上作千万数,著空仓中封之,令达算之。达处如数,云但有名无实。其精微若是。达又閒居,无为引算自较,乃叹曰:吾算讫尽,某年月日其终矣。达妻数见达效,闻而哭,泣达,欲弭妻意,乃更步算,言:向者谬误耳,尚未也。后如期死。大帝闻达有书,求之不得。乃录问其女,及发达棺,无所得。法术绝焉。
宋关康之,字伯愉,河东杨人。世居京口,寓属南平昌,少而笃学,算术妙尽其能。太宗诏徵,不起。
祖冲之为长水校尉,善算,注九章,造缀术数十篇。后魏安丰王猛,子延明,为尚书右仆射。以河间人信都芳,工算术,引之在馆,共撰古今乐事、九章、十二图。高允为太常,明算法,为算术三卷。
殷绍,长乐人。少聪敏,好阴阳术数。游学诸方。达九章、七曜。太武时,为算生博士。
《北齐书·信都芳传》:芳,河间人。少明算术,为州里所称。有巧思,每精研究,忘寝与食,或坠坑坎。尝语人云:算之妙,机巧精微。我每一沉思,不闻雷霆之声也。其用心如此。以术数干高祖,为馆客,授参军丞相仓曹。祖珽谓芳曰:律管吹灰,术甚微妙,绝来既久。吾思所不至,卿试思之。芳遂留意十数日,便云:吾得之矣。然终须河内葭莩灰。后得河内葭莩,用其术,应节便飞,馀灰即不动也。不为时所重,竟不行,故此法遂绝云。《册府元龟》:信都芳,初为魏安丰王延明所馆。延明家有群书,欲抄集五经算事,为五经宗。又聚浑天欹器地动铜乌候风诸图。为器准,并令芳算之。会延明南奔,芳乃自撰注。芳注重差句股,撰史宗,仍自注之,合数十卷。
北齐许遵,明易,善算。高祖引为馆客。后文宣无道,日甚遵,语人曰:多折算来,吾筮此狂夫,何时当死。遂布算满床,大言曰:不出冬初,我乃不见。遵果以九月死。隋萧吉,字文休。为上仪同。博学多通,尤精阴阳算术。刘炫为旅骑尉,撰算术一卷行于世。
唐傅仁,均为太史令,善历算。
李淳风为太史令,尤明天文历算阴阳之学。与算学博士梁,永太学助教王真儒等,注释五曹、孙子等十部算经,分二十卷,显庆元年左仆射于志宁等奏之,付国学行用。
僧一行,姓张氏,公谨之孙也。初求访师,资以穷。大衍至天台山国清寺,见一院古松,数十门有流水。一行于门屏间,闻院僧于庭布算声,而谓其徒曰:今日当有弟子,自远求吾算法,已合到门,岂无人导达也。即除一算,又谓曰:门前水当却西流,弟子亦至。一行承其言而趋入,稽首请法,尽授其术。而门前水果却西流。
《稽神录》:后唐表弘禦,为云中从事,尤精算术。同府令算庭下桐树叶数,即自起量树,去地七尺围之,取围径之数布算。良久曰:若干叶众,不能覆。命撼去二十二叶。复使算,曰:已少向者二十一叶矣。审视之,两叶差小,止当一叶耳。节度使张敬达有二玉碗,弘禦量其广深,算之,曰:此碗明年五月十六日巳时当破。敬达闻之,曰:吾敬藏之,能破否。即命贮大笼藉,以衣絮锁之库中。至期,库屋梁折,正压其笼,二碗俱碎。太仆少卿薛文美同府亲见。
《宋史·徽宗本纪》:大观三年冬十一月丁未,诏算学,以黄帝为先师,风后等八人,配飨巫咸等七十人从祀。